Keplerove zákony. Keplerove zákony: prvý, druhý a tretí Význam Keplerovych objavov v astronómii

„Žil v dobe, keď ešte neexistovala dôvera v existenciu nejakého všeobecného vzorca pre všetky prírodné javy...

Aká hlboká bola jeho viera v takýto vzorec, ak z neho, pracujúc sám, nikým nepodporovaný a nepochopený, po mnoho desaťročí čerpal silu pre ťažké a starostlivé empirické štúdium pohybu planét a matematických zákonov tohto pohybu!

Dnes, keď už bol tento vedecký čin vykonaný, nikto nedokáže plne oceniť, koľko vynaliezavosti, koľko tvrdej práce a trpezlivosti bolo potrebné objaviť a tak presne vyjadriť“ (Albert Einstein o Keplerovi).

Johannes Kepler ako prvý objavil zákon pohybu planét slnečnej sústavy. Urobil to však na základe analýzy astronomických pozorovaní Tycha Braheho. Poďme si teda najprv povedať o ňom.

Tycho Brahe (1546-1601)

Tycho Brahe - Dánsky astronóm, astrológ a alchymista renesancie. Kepler ako prvý v Európe začal vykonávať systematické a vysoko presné astronomické pozorovania, na základe ktorých Kepler odvodil zákony pohybu planét.

Už ako dieťa sa začal zaujímať o astronómiu, viedol nezávislé pozorovania a vytvoril niekoľko astronomických prístrojov. Jedného dňa (11. novembra 1572), keď sa vracal domov z chemického laboratória, zbadal nezvyčajne jasnú hviezdu v súhvezdí Cassiopeia, ktorá tam predtým nebola. Okamžite si uvedomil, že to nie je planéta a ponáhľal sa zmerať jej súradnice. Hviezda svietila na oblohe ďalších 17 mesiacov; Najprv ho bolo vidno aj cez deň, no postupne sa jeho lesk stlmil. Išlo o prvý výbuch supernovy v našej Galaxii za posledných 500 rokov. Táto udalosť vzrušila celú Európu, bolo veľa interpretácií tohto „nebeského znamenia“ - predpovedali sa katastrofy, vojny, epidémie a dokonca aj koniec sveta. Objavili sa aj vedecké pojednania obsahujúce chybné tvrdenia, že ide o kométu alebo atmosférický jav. V roku 1573 vyšla jeho prvá kniha „O novej hviezde“. Brahe v ňom uviedol, že v tomto objekte nebola zistená žiadna paralaxa (zmeny zdanlivej polohy objektu voči vzdialenému pozadiu v závislosti od polohy pozorovateľa), čo presvedčivo dokazuje, že nové svietidlo je hviezda a sa nenachádza v blízkosti Zeme, ale aspoň v planetárnej vzdialenosti. Vďaka tejto knihe bol Tycho Brahe uznaný ako prvý dánsky astronóm. V roku 1576, dekrétom dánsko-nórskeho kráľa Fridricha II., získal Tycho Brahe ostrov Ven na doživotné užívanie ( Hven), ktorá sa nachádza 20 km od Kodane, a na výstavbu observatória a jeho údržbu boli vyčlenené značné sumy. Bola to prvá budova v Európe špeciálne postavená na astronomické pozorovania. Tycho Brahe pomenoval svoje observatórium „Uraniborg“ na počesť múzy astronómie Urania (názov sa niekedy prekladá ako „Hrad na oblohe“). Návrh budovy vypracoval sám Tycho Brahe. V roku 1584 bol vedľa Uraniborgu postavený ďalší hrad observatória: Stjerneborg (v preklade z dánčiny „Hviezdny hrad“). Uraniborg sa čoskoro stal najlepším svetovým astronomickým centrom, ktoré spájalo pozorovania, vyučovalo študentov a publikovalo vedecké práce. Ale neskôr, v súvislosti so zmenou kráľa. Tycho Brahe prišiel o finančnú podporu a potom bol na ostrove zákaz praktizovať astronómiu a alchýmiu. Astronóm opustil Dánsko a zastavil sa v Prahe.

Čoskoro bol Uraniborg a všetky budovy s ním spojené úplne zničené (v našej dobe boli čiastočne obnovené).

Počas tohto napätého obdobia Brahe dospel k záveru, že potrebuje mladého, talentovaného asistenta matematika, ktorý by spracoval údaje nahromadené za 20 rokov. Keď sa Tycho dozvedel o prenasledovaní Johannesa Keplera, ktorého mimoriadne matematické schopnosti ocenil už z ich korešpondencie, pozval ho k sebe. Vedci stáli pred úlohou: vydedukovať z pozorovaní nový systém sveta, ktorý by mal nahradiť ten ptolemaiovský aj kopernikovský. Keplerovi zveril kľúčovú planétu: Mars, ktorého pohyb silne nezapadal nielen do Ptolemaiovej schémy, ale ani do Braheho vlastných modelov (podľa jeho výpočtov sa dráhy Marsu a Slnka pretínali).

V roku 1601 začali Tycho Brahe a Kepler pracovať na nových, rafinovaných astronomických tabuľkách, ktoré sa na počesť cisára nazývali „Rudolph“; boli dokončené v roku 1627 a astronómom a námorníkom slúžili až do začiatku 19. storočia. Ale Tycho Brahe dokázal dať stolom iba meno. V októbri nečakane ochorel a zomrel na neznámu chorobu.

Po starostlivom preštudovaní údajov Tycha Braheho objavil Kepler zákony pohybu planét.

Keplerove zákony pohybu planét

Pôvodne Kepler plánoval stať sa protestantským kňazom, no vďaka svojim mimoriadnym matematickým schopnostiam bol v roku 1594 pozvaný prednášať matematiku na univerzitu v Grazi (dnes Rakúsko). Kepler strávil v Grazi 6 rokov. Tu v roku 1596 vyšla jeho prvá kniha „Tajomstvo sveta“. Kepler sa v nej pokúsil nájsť tajnú harmóniu vesmíru, pre ktorú prirovnal rôzne „platónske pevné látky“ (pravidelné mnohosteny) k obežným dráham piatich vtedy známych planét (vyzdvihol najmä sféru Zeme). Obežnú dráhu Saturna prezentoval ako kruh (ešte nie elipsu) na povrchu gule opísanej okolo kocky. Na kocke bola zasa vpísaná guľa, ktorá mala predstavovať obežnú dráhu Jupitera. Do tejto gule bol vpísaný štvorsten, opísaný okolo gule predstavujúcej dráhu Marsu atď. Toto dielo po ďalších objavoch Keplera stratilo svoj pôvodný význam (už len preto, že dráhy planét sa ukázali ako nekruhové) ; Napriek tomu Kepler až do konca svojho života veril v existenciu skrytej matematickej harmónie vesmíru av roku 1621 znovu vydal „Tajomstvo sveta“, v ktorom urobil množstvo zmien a doplnkov.

Ako vynikajúci pozorovateľ zostavil Tycho Brahe počas mnohých rokov rozsiahle dielo o pozorovaní planét a stoviek hviezd a presnosť jeho meraní bola výrazne vyššia ako u všetkých jeho predchodcov. Na zvýšenie presnosti použil Brahe ako technické vylepšenia, tak aj špeciálnu techniku na neutralizáciu chýb pozorovania. Cenná bola najmä systematickosť meraní.

V priebehu niekoľkých rokov Kepler pozorne študoval Braheho údaje a ako výsledok starostlivej analýzy dospel k záveru, že Trajektória Marsu nie je kružnica, ale elipsa, pričom Slnko je v jednom z jeho ohniskov - v polohe známej dnes ako Keplerov prvý zákon.

Prvý Keplerov zákon (zákon elipsy)

Každá planéta v slnečnej sústave sa točí po elipse, pričom Slnko je v jednom z ohniskov.

Tvar elipsy a stupeň jej podobnosti s kružnicou je charakterizovaný pomerom , kde je vzdialenosť od stredu elipsy k jej ohnisku (polovica medziohniskovej vzdialenosti) a je hlavnou poloosou. Veličina sa nazýva excentricita elipsy. Keď , a teda sa elipsa zmení na kruh.

Ďalšia analýza vedie k druhému zákonu. Vektor polomeru spájajúci planétu a Slnko opisuje rovnaké oblasti v rovnakých časoch. To znamenalo, že čím ďalej je planéta od Slnka, tým pomalšie sa pohybuje.

Druhý Keplerov zákon (zákon oblastí)

Každá planéta sa pohybuje v rovine prechádzajúcej stredom Slnka a v rovnakých časových úsekoch vektor polomeru spájajúceho Slnko a planétu opisuje rovnaké oblasti.

S týmto zákonom sú spojené dva pojmy: perihélium- bod obežnej dráhy najbližšie k Slnku, a aphelion- najvzdialenejší bod obežnej dráhy. Z druhého Keplerovho zákona teda vyplýva, že planéta sa pohybuje okolo Slnka nerovnomerne a má väčšiu lineárnu rýchlosť v perihéliu ako v aféliu.

Každý rok na začiatku januára sa Zem pri prechode perihéliom pohybuje rýchlejšie, takže aj zdanlivý pohyb Slnka po ekliptike na východ nastáva rýchlejšie ako je priemer za rok. Začiatkom júla sa Zem prechádzajúca aféliom pohybuje pomalšie, a preto sa pohyb Slnka po ekliptike spomaľuje. Zákon plôch naznačuje, že sila, ktorá riadi orbitálny pohyb planét, smeruje k Slnku.

Tretí Keplerov zákon (harmonický zákon)

Druhé mocniny periód rotácie planét okolo Slnka súvisia ako kocky hlavných polosí obežných dráh planét. To platí nielen pre planéty, ale aj pre ich satelity.

Kde a sú periódy revolúcie dvoch planét okolo Slnka a a sú dĺžky hlavných polosí ich obežných dráh.

Newton neskôr zistil, že tretí Keplerov zákon nie je úplne presný – zahŕňa aj hmotnosť planéty: , kde je hmotnosť Slnka a a sú hmotnosti planét.

Keďže sa zistilo, že pohyb a hmotnosť spolu súvisia, táto kombinácia Keplerovho harmonického zákona a Newtonovho gravitačného zákona sa používa na určenie hmotnosti planét a satelitov, ak sú známe ich dráhy a obežné doby.

Význam Keplerovych objavov v astronómii

Objavil ho Kepler tri zákony pohybu planétúplne a presne vysvetlil zjavnú nerovnomernosť týchto pohybov. Namiesto početných vymyslených epicyklov obsahuje Keplerov model iba jednu krivku – elipsu. Druhý zákon stanovil, ako sa mení rýchlosť planéty, keď sa vzďaľuje alebo približuje k Slnku, a tretí nám umožňuje vypočítať túto rýchlosť a dobu otáčania okolo Slnka.

Hoci historicky je svetový systém Keplerian založený na kopernikovskom modeli, v skutočnosti majú veľmi málo spoločného (iba dennú rotáciu Zeme). Kruhové pohyby gúľ nesúcich planéty zmizli a objavil sa koncept planétovej dráhy. V kopernikovskej sústave mala Zem ešte trochu zvláštne postavenie, keďže ako jediná nemala epicykly. Podľa Keplera je Zem obyčajná planéta, ktorej pohyb podlieha trom všeobecným zákonom. Všetky dráhy nebeských telies sú elipsy, spoločným ohniskom dráh je Slnko.

Kepler tiež odvodil „Keplerovu rovnicu“, ktorá sa používa v astronómii na určenie polohy nebeských telies.

Zákony objavené Keplerom neskôr slúžili Newtonovi základ pre vytvorenie teórie gravitácie. Newton matematicky dokázal, že všetky Keplerove zákony sú dôsledkom gravitačného zákona.

Kepler však neveril v nekonečnosť vesmíru a ako argument navrhol fotometrický paradox(tento názov vznikol neskôr): ak je počet hviezd nekonečný, potom v akomkoľvek smere by sa pohľad stretol s hviezdou a na oblohe by neboli žiadne tmavé oblasti. Kepler, podobne ako pytagorejci, považoval svet za realizáciu určitej číselnej harmónie, geometrickej aj hudobnej; odhalenie štruktúry tejto harmónie by poskytlo odpovede na najhlbšie otázky.

Ďalšie Keplerove úspechy

V matematike našiel spôsob, ako určiť objemy rôznych rotačných telies, navrhol prvé prvky integrálneho počtu, podrobne analyzoval symetriu snehových vločiek, Keplerove práce v oblasti symetrie neskôr našli uplatnenie v kryštalografii a teórii kódovania. Zostavil jednu z prvých tabuliek logaritmov a po prvýkrát predstavil najdôležitejší koncept nekonečne vzdialený bodpredstavil koncept ohnisko kužeľosečky a preskúmané projektívne transformácie kužeľosečiek vrátane tých, ktoré menia ich typ.

Vo fyzikezaviedol pojem zotrvačnosť ako vrodená vlastnosť telies odolávať aplikovanej vonkajšej sile, sa priblížil objavu gravitačného zákona, hoci sa ho nesnažil vyjadriť matematicky, prvý, takmer o sto rokov skôr ako Newton, predložil hypotézu, že príčinou prílivu a odlivu je vplyv Mesiaca na horné vrstvy oceánov.

V optike: optika ako veda začína jeho dielami. Opisuje lom svetla, lom svetla a pojem optický obraz, všeobecnú teóriu šošoviek a ich sústav. Kepler prišiel na úlohu šošovky a správne opísal príčiny krátkozrakosti a ďalekozrakosti.

TO astrológia Kepler mal ambivalentný postoj. V tejto veci sa citujú dve jeho vyjadrenia. Najprv: " Samozrejme, táto astrológia je hlúpa dcéra, ale môj bože, kam by sa podela jej matka, veľmi múdra astronómia, keby nemala hlúpu dcéru! Svet je ešte oveľa hlúpejší a taký hlúpy, že v prospech tejto starej rozumnej matky musí hlúpa dcéra klebetiť a klamať. A plat matematikárov je taký mizivý, že matka by asi hladovala, keby jej dcéra nič nezarábala" A po druhé: „ Ľudia sa mýlia, keď si myslia, že pozemské záležitosti závisia od nebeských telies" Kepler však zostavil horoskopy pre seba a svojich blízkych.

„Žil v dobe, keď ešte neexistovala dôvera v existenciu nejakého všeobecného vzorca pre všetky prírodné javy...

Tycho Brahe (1546-1601)

Čoskoro bol Uraniborg a všetky budovy s ním spojené úplne zničené (v našej dobe boli čiastočne obnovené).

Po starostlivom preštudovaní údajov Tycha Braheho objavil Kepler zákony pohybu planét.

Keplerove zákony pohybu planét

Prvý Keplerov zákon (zákon elipsy)

Každá planéta v slnečnej sústave sa točí po elipse, pričom Slnko je v jednom z ohniskov.

Druhý Keplerov zákon (zákon oblastí)

Každá planéta sa pohybuje v rovine prechádzajúcej stredom Slnka a v rovnakých časových úsekoch vektor polomeru spájajúceho Slnko a planétu opisuje rovnaké oblasti.

Tretí Keplerov zákon (harmonický zákon)

Druhé mocniny periód rotácie planét okolo Slnka súvisia ako kocky hlavných polosí obežných dráh planét. To platí nielen pre planéty, ale aj pre ich satelity.

Kde a sú periódy revolúcie dvoch planét okolo Slnka a a sú dĺžky hlavných polosí ich obežných dráh.

Newton neskôr zistil, že tretí Keplerov zákon nie je úplne presný – zahŕňa aj hmotnosť planéty: , kde je hmotnosť Slnka a a sú hmotnosti planét.

Význam Keplerovych objavov v astronómii

Kepler tiež odvodil „Keplerovu rovnicu“, ktorá sa používa v astronómii na určenie polohy nebeských telies.

Ďalšie Keplerove úspechy

Dvaja najväčší vedci, ktorí ďaleko predbehli svoju dobu, vytvorili vedu nazývanú nebeská mechanika, to znamená, že objavili zákony pohybu nebeských telies pod vplyvom gravitácie, a aj keby sa ich úspechy obmedzili na toto, stále by mali vstúpil do panteónu velikánov tohto sveta. Stalo sa, že sa nepretínali v čase. Iba trinásť rokov po Keplerovej smrti sa narodil Newton. Obaja boli zástancami heliocentrického kopernikovského systému. Po mnohoročnom štúdiu pohybu Marsu Kepler experimentálne objavil tri zákony pohybu planét, viac ako päťdesiat rokov predtým, ako Newton objavil zákon univerzálnej gravitácie. Ešte nerozumiem, prečo sa planéty pohybujú tak, ako sa pohybujú. Bola to tvrdá práca a brilantná predvídavosť. Ale Newton použil Keplerove zákony na testovanie svojho gravitačného zákona. Všetky tri Keplerove zákony sú dôsledkom zákona gravitácie. A Newton to objavil vo veku 23 rokov. V tomto čase, 1664 - 1667, zúril v Londýne mor. Trinity College, kde Newton učil, bola na neurčito rozpustená, aby sa epidémia nezhoršila. Newton sa vracia do svojej vlasti a o dva roky robí revolúciu vo vede, pričom robí tri dôležité objavy: diferenciálny a integrálny počet, vysvetlenie podstaty svetla a zákon univerzálnej gravitácie. Isaac Newton bol slávnostne pochovaný vo Westminsterskom opátstve. Nad jeho hrobom stojí pomník s bustou a epitafom „Tu leží Sir Isaac Newton, šľachtic, ktorý s pochodňou matematiky v ruke ako prvý dokázal s pochodňou matematiky v ruke pohyb planéty, dráhy komét a príliv a odliv oceánov... Nech sa smrteľníci tešia, že takáto ozdoba ľudskej rasy existuje.“

Za objavenie zákonov pohybu planét sa zaslúžil vynikajúci nemecký vedec, astronóm a matematik, Johannes Kepler(1571 – 1630) – muž veľkej odvahy a mimoriadnej lásky k vede.

Ukázal sa ako horlivý zástanca kopernikovského systému sveta a rozhodol sa objasniť štruktúru slnečnej sústavy. Potom to znamenalo: poznať zákony pohybu planét, alebo, ako to povedal, „sledovať Boží plán počas stvorenia sveta“. Začiatkom 17. stor. Kepler, ktorý študoval revolúciu Marsu okolo Slnka, stanovil tri zákony pohybu planét.

Prvý Keplerov zákon:Každá planéta sa točí okolo Slnka v elipse, pričom Slnko je v jednom ohnisku.

Vplyvom gravitácie sa jedno nebeské teleso pohybuje v gravitačnom poli iného nebeského telesa po jednej z kužeľosečiek – kružnici, elipse, parabole alebo hyperbole.

Elipsa je plochá uzavretá krivka, ktorá má tú vlastnosť, že súčet vzdialeností každého bodu od dvoch bodov, nazývaných ohniská, zostáva konštantný. Tento súčet vzdialeností sa rovná dĺžke hlavnej osi elipsy. Bod O je stred elipsy, F1 a F2 sú ohniská. Slnko je v tomto prípade v ohnisku F1.

Bod dráhy najbližšie k Slnku sa nazýva perihélium, najvzdialenejší bod sa nazýva afélium. Čiara spájajúca ľubovoľný bod elipsy s ohniskom sa nazýva vektor polomeru. Pomer vzdialenosti medzi ohniskami k hlavnej osi (k najväčšiemu priemeru) sa nazýva excentricita e. Čím väčšia je excentricita, tým je elipsa predĺženejšia. Hlavná poloos elipsy a je priemerná vzdialenosť planéty od Slnka.

Kométy a asteroidy sa tiež pohybujú po eliptických dráhach. Pre kružnicu e = 0, pre elipsu 0< е < 1, у параболы е = 1, у гиперболы е > 1.

Dráhy planét sú elipsy, málo sa líšia od kružníc; ich výstrednosti sú malé. Napríklad excentricita obežnej dráhy Zeme je e = 0,017.

Druhý Keplerov zákon: Vektor polomeru planéty opisuje rovnaké oblasti v rovnakých časových úsekoch (určuje rýchlosť obežnej dráhy planéty). Čím je planéta bližšie k Slnku, tým je rýchlejšia.

Planéta cestuje z bodu A do A1 az B do B1 v rovnakom čase. Inými slovami, planéta sa pohybuje najrýchlejšie v perihéliu a najpomalšie, keď je v najväčšej vzdialenosti (v aféliu). Rýchlosť Halleyovej kométy v perihéliu je teda 55 km/s a v aféliu 0,9 km/s.

Merkúr, ktorý je najbližšie k Slnku, obehne Slnko za 88 dní. Venuša sa pohybuje za ňou a rok na nej trvá 225 pozemských dní. Zem obehne okolo Slnka za 365 dní, teda presne jeden rok. Marťanský rok je takmer dvakrát dlhší ako ten Zemský. Jupiterov rok sa rovná takmer 12 pozemským rokom a vzdialený Saturn obehne svoju obežnú dráhu za 29,5 roka! Stručne povedané, čím ďalej je planéta od Slnka, tým dlhší je rok na planéte. A Kepler sa pokúsil nájsť vzťah medzi veľkosťou obežných dráh rôznych planét a časom ich obehu okolo Slnka.

15. mája 1618, po mnohých neúspešných pokusoch, Kepler konečne nadviazal veľmi dôležitý vzťah, tzv.

Tretí Keplerov zákon:Druhé mocniny periód rotácie planét okolo Slnka sú úmerné kockám ich priemerných vzdialeností od Slnka.

Ak sú obežné doby ľubovoľných dvoch planét, napríklad Zeme a Marsu, označené Tz a Tm a ich priemerné vzdialenosti od Slnka sú az a m, potom tretí Keplerov zákon možno zapísať ako rovnosť:

T2m/T2z = a3m/a3z.

Obdobie obehu Zeme okolo Slnka sa však rovná jednému roku (Тз = 1) a priemerná vzdialenosť medzi Zemou a Slnkom sa berie ako jedna astronomická jednotka (аз = 1 AU). Potom bude mať táto rovnosť jednoduchšiu formu:

T2m = a 3 m

Obežnú dobu planéty (v našom príklade Marsu) možno určiť z pozorovaní. Je to 687 pozemských dní alebo 1,881 roka. Keď to vieme, nie je ťažké vypočítať priemernú vzdialenosť planéty od Slnka v astronomických jednotkách:

Tie. Mars je v priemere 1 524-krát ďalej od Slnka ako naša Zem. V dôsledku toho, ak je známy obežný čas planéty, potom z nej možno zistiť jej priemernú vzdialenosť od Slnka. Týmto spôsobom bol Kepler schopný určiť vzdialenosti všetkých vtedy známych planét:

Ortuť – 0,39,

Venuša - 0,72,

Zem – 1.00

Mars – 1,52,

Jupiter – 5.20,

Saturn - 9,54.

Len to boli relatívne vzdialenosti – čísla, ktoré ukazovali, koľkokrát je konkrétna planéta ďalej od Slnka alebo bližšie k Slnku ako Zem. Skutočné hodnoty týchto vzdialeností, vyjadrené v pozemských mierach (v km), zostali neznáme, pretože ešte nebola známa dĺžka astronomickej jednotky - priemerná vzdialenosť Zeme od Slnka.

Tretí Keplerov zákon spojil celú slnečnú rodinu do jedného harmonického systému. Hľadanie trvalo deväť ťažkých rokov. Vytrvalosť vedca zvíťazila!

Záver: Keplerove zákony teoreticky rozvinuli heliocentrickú doktrínu a tým posilnili pozíciu novej astronómie. Kopernikova astronómia je najmúdrejšia zo všetkých diel ľudskej mysle.

Následné pozorovania ukázali, že Keplerove zákony platia nielen pre planéty Slnečnej sústavy a ich satelity, ale aj pre hviezdy navzájom fyzicky prepojené a otáčajúce sa okolo spoločného ťažiska. Tvorili základ praktickej astronautiky, pretože všetky umelé nebeské telesá sa pohybujú podľa Keplerovych zákonov, počnúc prvým sovietskym satelitom a končiac modernými kozmickými loďami. Nie je náhoda, že v histórii astronómie sa Johannes Kepler nazýva „zákonodarcom neba“.

Keplerova formulácia:

Planéta sa pohybuje pozdĺž elipsy, v jednom z ohniskov, v ktorom sa nachádza Slnko.

Newton to zovšeobecňuje: po prvé možno uvažovať o sústave hviezda – hviezda (dvojhviezda), planéta – satelit; po druhé, menšie teleso sa môže pohybovať po parabole alebo hyperbole (obr. 33).

Moderné znenie:

V gravitačne viazanom systéme telo B sa pohybuje po elipse, v jednom z ohniskov ktorej je teleso A. Excentricita elipsy je určená číselnou hodnotou celkovej energie sústavy. V gravitačne neviazanom systéme sa teleso B pohybuje pozdĺž paraboly ( E= 0) alebo hyperbolou ( E> 0), ktorých ohniskami sú telo A.

Elipsa

Elipsa (obr. 33) je pretiahnutý kruh s vlastnosťou, že existujú dva body (ohniská elipsy F 1 A F 2, pre ktorú je splnená podmienka: súčet vzdialeností ohnísk od ktoréhokoľvek bodu elipsy je konštantný ( F 1C + F 2C = F 1E + F 2E= const), t.j. nezávisí od zvoleného bodu na elipse).

Úsečka AB sa nazýva hlavná os, respektíve segment A.O. = O.B.- hlavná os (akceptované označenie a), segmenty CD A O.C.- vedľajšia os a poloos b. Veľkosť elipsy je určená hlavnou poloosou, tvar je určený excentricitou e = √(1 - b 2 / a 2). O e= 0 sa elipsa zvrhne do kruhu, keď e= 1 - do paraboly, s e> 1 - do hyperboly, ktorá je lepšie znázornená ako graf funkcie r = 1 / X, otočené o 45°. Elipsa má hlavnú poloos a> 0, blízko paraboly a= ∞ pre hyperbolu a < 0, что, конечно, только математиче-ская абстракция.

Vektor polomeru planéty opisuje rovnaké oblasti v rovnakých časových úsekoch (obr. 34).

Toto tvrdenie je podobné tomu, že rýchlosť pohybu klesá so vzdialenosťou od Slnka, respektíve ide o zákon zachovania momentu hybnosti.

Ak spočítate počet dní od jarnej rovnodennosti (21. marca) do jesennej rovnodennosti (23. septembra) a od 23. septembra do 21. marca budúceho roka, vyjde vám, že prvé obdobie je 7 dní. dlhšia ako tá druhá. Inými slovami, Zem sa v zime pohybuje rýchlejšie ako v lete, preto je v zime bližšie k Slnku. Zem prejde najbližším bodom svojej obežnej dráhy k Slnku – perihéliom – 6. januára.

Zákon zachovania momentu hybnosti

Spád ( K = mvr) je fyzikálna veličina vhodná na opísanie pohybu bodu po kružnici alebo elipse, parabole, hyperbole, ako aj na opísanie rotácie tuhého telesa. Zákon zachovania momentu hybnosti(ako zákony zachovania hybnosti a energie) je jedným z troch základných prírodných zákonov. Podľa Noetherovej vety je tento zákon dôsledkom izotropie (rovnosti všetkých smerov) Vesmíru.

Pomer tretej polomery hlavnej osi planétovej dráhy k tretej mocnine periódy rotácie planéty okolo Slnka sa rovná súčtu hmotností Slnka a planéty (v Newtonovej formulácii):

a 3 / T 2 = (G/ 4π 2) . ( M + m),Materiál zo stránky

Kde M A m— hmotnosti telies systému; a A T— hlavná poloos a perióda otáčania menšieho telesa (planéta, satelit); G- gravitačná konštanta.

Je potrebné dávať pozor na konštantný faktor na pravej strane. Vo vzorci sa uvádza v jednotkách SI, ale v astronómii sa používa astronomická jednotka dĺžky (namiesto metra), rok (namiesto sekundy) a hmotnosť Slnka (namiesto kilogramu). Potom, ako je ľahké vidieť, ak zanedbáme hmotnosť planéty vo vzťahu k hmotnosti Slnka, konštantný faktor v tomto vzorci sa rovná jednej.

Tretí Keplerov zákon poskytuje jedinú možnosť priamo určiť hmotnosť nebeského telesa (napr.

Dá sa ukázať, že , kde s- sektorová rýchlosť, t.j. plocha opísaná vektorom polomeru pohybujúceho sa telesa za jednotku času.

teda sektorová rýchlosť pre pohybujúce sa teleso je konštantná hodnota- toto je znenie Druhý zovšeobecnený Keplerov zákon , a vzťah (3.11) je matematickým vyjadrením tohto zákona.

Nechajte nejaké teleso hmoty m sa pohybuje okolo centrálneho telesa hmoty M pozdĺž elipsy. Potom je sektorová rýchlosť , kde je plocha elipsy, T je doba otáčania tela, a A b sú hlavné a vedľajšie poloosi elipsy. Poloosi elipsy spolu súvisia vzťahom: , kde e- excentricita elipsy. Ak to vezmeme do úvahy, ako aj vzorec (3.8), dostaneme: , Kde . Po transformáciách teda máme:

Je to tam druhý záznamový formulár Tretí zovšeobecnený Keplerov zákon.

Ak uvažujeme o pohybe dvoch planét okolo Slnka, t.j. okolo toho istého tela ( M 1 ==M 2) a zanedbávať hmotnosti planét ( T 1 =m 2 = 0) v porovnaní s hmotnosťou Slnka získame vzorec (2.7), odvodený Keplerom z pozorovaní. Keďže hmotnosti planét sú v porovnaní s hmotnosťou Slnka zanedbateľné, Keplerov vzorec celkom dobre súhlasí s pozorovaniami.

Vzorce (3.12) a (3.13) hrajú v astronómii veľkú úlohu: umožňujú určiť hmotnosti nebeských telies (pozri § 3.6).