كيفية العثور على مساحة مثلث متساوي الساقين. كيفية العثور على مساحة المثلث (الصيغ)

الرياضيات علم مذهل. ومع ذلك، فإن مثل هذا الفكر يأتي فقط عندما تفهمه. لتحقيق ذلك، تحتاج إلى حل المشكلات والأمثلة، ورسم المخططات والصور، وإثبات النظريات.

الطريق إلى فهم الهندسة يكمن في حل المشكلات. ومن الأمثلة الممتازة على ذلك المهام التي تحتاج فيها إلى العثور على مساحة مثلث متساوي الساقين.

ما هو المثلث متساوي الساقين، وكيف يختلف عن الآخرين؟

لكي لا تخاف من مصطلحات "الارتفاع"، "المساحة"، "القاعدة"، "مثلث متساوي الساقين" وغيرها، سوف تحتاج إلى البدء بالأسس النظرية.

أولا عن المثلث. هذا شكل مسطح يتكون من ثلاث نقاط - القمم بدورها متصلة بواسطة قطاعات. إذا كان اثنان منهم متساويين، يصبح المثلث متساوي الساقين. تم استدعاء هذه الجوانب الجانبية، والباقي أصبح القاعدة.

هناك حالة خاصة للمثلث متساوي الساقين - متساوي الأضلاع، عندما يكون الضلع الثالث مساويا لضلعين جانبيين.

خصائص الشكل

لقد تبين أنهم مساعدون مخلصون في حل المشكلات التي تتطلب إيجاد مساحة مثلث متساوي الساقين. لذلك، من الضروري معرفتها وتذكرها.

• أولها: زوايا المثلث المتساوي الساقين، الذي أحد أضلاعه القاعدة، تكون دائما متساوية مع بعضها البعض.
• الخاصية المتعلقة بالإنشاءات الإضافية مهمة أيضًا. يتطابق الارتفاع والوسيط والمنصف المرسوم على الجانب غير المقترن.
• نفس القطع المرسومة من زوايا قاعدة المثلث تكون متساوية في أزواج. وهذا أيضًا يسهل في كثير من الأحيان العثور على حل.
• دائمًا ما يكون للزاويتين المتساويتين قيمة أقل من 90 درجة.
• وأخيرًا: تم إنشاء الدوائر المنقوشة والمحددة بحيث يقع مركزها على ارتفاع قاعدة المثلث، وبالتالي الوسط والمنصف.

كيفية التعرف على مثلث متساوي الساقين في المشكلة؟

إذا، عند حل المهمة، يطرح السؤال حول كيفية العثور على مساحة مثلث متساوي الساقين، عليك أولاً أن تفهم أنه ينتمي إلى هذه المجموعة. وسوف تساعد بعض العلامات في هذا.

• زاويتان أو ضلعان في مثلث متساويان.
• المنصف هو أيضا الوسيط.
• تبين أن ارتفاع المثلث هو الوسيط أو المنصف.
• الارتفاعان أو المتوسطان أو المنصفان في الشكل متساويان.

تسميات الكميات المعتمدة في الصيغ قيد النظر

لتبسيط كيفية العثور على مساحة مثلث متساوي الساقين باستخدام الصيغ، تم تقديم استبدال عناصره بأحرف.

انتباه! من المهم عدم الخلط بين "أ" و"أ" و"ب" مع "ب". هذه كميات مختلفة.

الصيغ التي يمكن استخدامها في مهام مختلفة

أطوال الأضلاع معروفة، وتحتاج إلى إيجاد مساحة المثلث المتساوي الساقين.

في هذه الحالة، تحتاج إلى تربيع القيمتين. اضرب الرقم الذي تم الحصول عليه من تغيير الجانب بـ 4 واطرح منه الثاني. من الفرق الناتج استخرج الجذر التربيعي.اقسم طول القاعدة على 4. اضرب الرقمين. إذا كتبت هذه الإجراءات بالأحرف، فستحصل على الصيغة التالية:

دعها تسجل تحت رقم 1.

أوجد مساحة المثلث متساوي الساقين باستخدام القيم الجانبية. صيغة قد يجدها البعض أبسط من الأولى.

الخطوة الأولى هي العثور على نصف القاعدة. ثم أوجد مجموع هذا الرقم والفرق معه مع الجانب. اضرب القيمتين الأخيرتين وخذ الجذر التربيعي. الخطوة الأخيرة هي مضاعفة كل شيء في نصف القاعدة. ستبدو المساواة الحرفية كما يلي:

هذه هي الصيغة رقم 2.

طريقة إيجاد مساحة المثلث متساوي الساقين إذا كانت قاعدته وارتفاعه معروفين.

واحدة من أقصر الصيغ. ستحتاج فيه إلى ضرب الكميتين المعطاتين وتقسيمهما على 2. وهذه هي الطريقة التي سيتم كتابتها بها:

رقم هذه الصيغة هو 3.

في المهمة، تُعرف أضلاع المثلث وقيمة الزاوية الواقعة بين القاعدة والجانب.

هنا، من أجل معرفة ما ستكون مساحة المثلث متساوي الساقين، ستتكون الصيغة من عدة عوامل. الأول هو قيمة جيب الزاوية. والثاني يساوي حاصل ضرب الضلع والقاعدة. والثالث هو جزء من ½. التدوين الرياضي العام:

الرقم التسلسلي للصيغة هو 4.

يتم إعطاء المشكلة: الجانب الجانبي للمثلث متساوي الساقين والزاوية الواقعة بين جوانبه الجانبية.

كما في الحالة السابقة، يتم إيجاد المساحة باستخدام ثلاثة عوامل. الأول يساوي قيمة جيب الزاوية المحددة في الشرط. والثاني هو مربع الجانب. والواحد الأخير يساوي أيضًا نصفًا واحدًا. ونتيجة لذلك، سيتم كتابة الصيغة على النحو التالي:

رقمها هو 5.

صيغة تسمح لك بإيجاد مساحة مثلث متساوي الساقين إذا كانت قاعدته والزاوية المقابلة له معروفة.

تحتاج أولاً إلى حساب ظل نصف الزاوية المعروفة. اضرب الرقم الناتج في 4. قم بتربيع طول الضلع ثم قسمته على القيمة السابقة. وهكذا نحصل على الصيغة التالية:

رقم الصيغة الأخير هو 6.

مشاكل العينة

المهمة الأولى: من المعروف أن قاعدة المثلث المتساوي الساقين 10 سم وارتفاعه 5 سم، وعلينا تحديد مساحته.

لحلها من المنطقي اختيار الصيغة رقم 3. كل شيء فيها معروف. قم بتوصيل الأرقام والعد. اتضح أن المساحة 10 * 5 / 2 أي 25 سم 2.

المهمة الثانية: مثلث متساوي الساقين له ضلع وقاعدة يساويان 5 و 8 سم على التوالي، أوجد مساحته.

الطريقة الأولى. حسب الصيغة رقم 1. عند تربيع القاعدة تكون النتيجة 64 ومربع الضلع الرباعي 100. وبطرح الأول من الثاني تكون النتيجة 36. ويتم استخراج الجذر بشكل مثالي من هذا، وهو يساوي 6. القاعدة مقسومة على 4 يساوي 2. ويتم تحديد القيمة النهائية على أنها حاصل ضرب 2 و 6، أي 12. وهذا هو الجواب: المساحة المطلوبة هي 12 سم2.

الطريقة الثانية. حسب الصيغة رقم 2. نصف القاعدة يساوي 4. مجموع الضلع والرقم الموجود يعطي 9، الفرق بينهما هو 1. بعد الضرب، اتضح 9. استخراج الجذر التربيعي يعطي 3. والإجراء الأخير، ضرب 3 في 4 مما يعطي نفس 12 سم2 .

من خلال حل المسائل الهندسية وتحديد كيفية العثور على مساحة مثلث متساوي الساقين، يمكنك اكتساب خبرة لا تقدر بثمن. كلما تم إكمال أنواع مختلفة من المهام، أصبح من الأسهل العثور على الإجابة في موقف جديد. لذلك، فإن إكمال جميع المهام بشكل منتظم ومستقل هو الطريق إلى التعلم الناجح للمادة.

تعليمات

فيديو حول الموضوع

ملحوظة

مصادر:

أولا، دعونا نتفق على التدوين. الساق هي جانب المثلث القائم المجاور لزاوية قائمة (أي تشكل زاوية قياسها 90 درجة مع الجانب الآخر). نحن نتفق على الإشارة إلى أطوال الساقين بـ a وb. سوف نسمي قيم الزوايا الحادة للمثلث القائم مقابل الساقين A و B، على التوالي. الوتر هو جانب المثلث القائم المقابل للزاوية القائمة (أي أنه مقابل الزاوية القائمة ويشكل زوايا حادة مع الجوانب الأخرى للمثلث). نشير إلى طول الوتر بـ c. دعونا نشير إلى المنطقة المطلوبة بواسطة S.

تعليمات

قم بتطبيق الصيغة S = (a^2)/(2*tg(A)) إذا أعطيت أحد الساقين (a) فقط، ولكن الزاوية (A) المقابلة لهذا الساق معروفة أيضًا. تشير العلامة "^2" إلى التربيع.

استخدم الصيغة S=(a^2)*tg(B)/2 d إذا كان لديك ساق واحدة فقط (a)، ولكن الزاوية (B) المجاورة لهذا الساق معروفة أيضًا.

فيديو حول الموضوع

مصادر:

• "دليل الرياضيات للملتحقين بالجامعات"، أد. ج.ن. ياكوفليفا، 1982.

المثلث متساوي الساقين هو المثلث الذي يكون فيه ضلعان متساويان. يمكن حساب مساحة هذا المثلث باستخدام عدة طرق.

تعليمات

فيديو حول الموضوع

ملحوظة

هناك علامات على وجود مثلث متساوي الساقين:
1) المثلث متساوي الساقين له زاويتان متساويتان؛
2) ارتفاع المثلث يتطابق مع متوسطه.
3) ارتفاع المثلث يتطابق مع منصفه.
4) منصف المثلث يتطابق مع متوسطه.
5) المثلث متساوي الساقين له متوسطان متساويان؛
6) المثلث متساوي الساقين له ارتفاعان متساويان؛
7) المثلث متساوي الساقين له منصفان متساويان.

مصادر:

• مساحة المثلث متساوي الساقين

أحد الأشكال التي تمت مناقشتها في دروس الرياضيات والهندسة هو المثلث. المثلث هو مضلع له 3 رؤوس (زوايا) و 3 جوانب؛ جزء من المستوى محدود بثلاث نقاط، متصل في أزواج بثلاثة أجزاء. هناك العديد من المشاكل المتعلقة بإيجاد كميات مختلفة من هذا الرقم. واحد منهم - مربع. اعتمادا على البيانات الأولية للمشكلة، هناك عدة صيغ لتحديد المنطقة مثلث.

تعليمات

إذا علمت طول الضلع a والارتفاع h المرسوم عليه مثلث، استخدم الصيغة S= ?h*a.

إذا كان طول أحد أضلاع المثلث وارتفاعه إلى هذا الضلع معروفا، فاضرب طول الضلع في الارتفاع، واقسم الناتج على اثنين.

إذا كان أمامك مثلث قائم الزاوية، استخدم المسطرة لقياس طول أرجله، أي الأضلاع المجاورة للزاوية القائمة. اضرب أطوال الساقين واقسم النتيجة على اثنين.

إذا كانت لديك بيانات عن حجم الزاوية المحصورة بين مثلثين، وتعرف أطوال هذه الأضلاع، فأوجد مساحة المثلث باستخدام الصيغة:

St = ½ * A * B * sinα، حيث St هي مساحة المثلث؛ A وB هما أطوال أضلاع المثلث؛ α هي الزاوية الواقعة بين هذه الجوانب.

S = 1/2 (AB + BC + AC) = ص ص.

حساب نصف المحيط:

ع = (5 + 7 + 10) = 11.

احسب القيمة المطلوبة:

ص = √(11 (11-5) (11-7) (11-10)) ≈ 16.2.

النقاط الثلاث التي تحدد المثلث بشكل فريد في نظام الإحداثيات الديكارتية هي رؤوس المثلث. بمعرفة موقعها بالنسبة لكل محور من محاور الإحداثيات، يمكنك حساب أي معلمات لهذا الشكل المسطح، بما في ذلك تلك المحددة بمحيطه مربع. ويمكن القيام بذلك بعدة طرق.

تعليمات

استخدم صيغة هيرون لحساب المساحة مثلث. إنه يتضمن أبعاد الجوانب الثلاثة للشكل، لذا ابدأ حساباتك بـ . يجب أن يكون طول كل ضلع مساوياً لجذر مجموع مربعات أطوال إسقاطاته على محاور الإحداثيات. إذا أشرنا إلى الإحداثيات A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) وC(X₃,Y₃,Z₃)، يمكن التعبير عن أطوال جوانبها على النحو التالي: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²)، BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²)، AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

لتبسيط الحسابات، قم بإدخال متغير مساعد - نصف المحيط (P). من حقيقة أن هذا هو نصف مجموع أطوال جميع الجوانب: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

احسب مربع(س) باستخدام صيغة هيرون - خذ جذر حاصل ضرب نصف المحيط والفرق بينه وبين طول كل ضلع. وبشكل عام يمكن كتابتها على النحو التالي: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + ( Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√( (X₁ -X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).

بالنسبة للحسابات العملية، من الملائم استخدام الآلات الحاسبة المتخصصة. هذه هي البرامج النصية المستضافة على خوادم بعض المواقع والتي ستقوم بجميع الحسابات اللازمة بناءً على الإحداثيات التي أدخلتها في النموذج المناسب. الخدمة الوحيدة من هذا القبيل هي أنها لا تقدم تفسيرات ومبررات لكل خطوة من خطوات الحسابات. لذلك، إذا كنت مهتما فقط بالنتيجة النهائية، وليس بالحسابات العامة، فانتقل، على سبيل المثال، إلى الصفحة http://planetcalc.ru/218/.

في حقول النموذج، أدخل كل إحداثيات كل قمة مثلث- إنهم هنا مثل Ax، وAy، وAz، وما إلى ذلك. إذا تم تحديد المثلث بإحداثيات ثنائية الأبعاد، فاكتب صفرًا في الحقول Az وBz وCz. في حقل "دقة الحساب"، قم بتعيين العدد المطلوب من المنازل العشرية عن طريق النقر بالماوس

تعرف على كيفية العثور على مساحة متوازي الأضلاع.المربعات والمستطيلات عبارة عن متوازيات أضلاع، مثل أي شكل رباعي الأضلاع تكون فيه الأضلاع المتقابلة متوازية. يتم حساب مساحة متوازي الأضلاع بالصيغة: س = ب، حيث "b" هي القاعدة (الجانب السفلي من متوازي الأضلاع)، "h" هو الارتفاع (المسافة من الجانب العلوي إلى الجانب السفلي؛ الارتفاع يتقاطع دائمًا مع القاعدة بزاوية 90 درجة).

• في المربعات والمستطيلات يكون الارتفاع مساويًا للضلع لأن الجوانب تتقاطع مع الأعلى والأسفل بزاوية قائمة.

1. قارن بين المثلثات ومتوازيات الأضلاع.هناك علاقة بسيطة بين هذه الأرقام. إذا تم قطع أي متوازي أضلاع قطريًا، فستحصل على مثلثين متساويين. وبالمثل، إذا قمت بإضافة مثلثين متساويين معًا، فستحصل على متوازي الأضلاع. لذلك يتم حساب مساحة أي مثلث بالصيغة: س = ½ب، وهي نصف مساحة متوازي الأضلاع.

   أوجد قاعدة المثلث متساوي الساقين.الآن أنت تعرف صيغة حساب مساحة المثلث؛ يبقى معرفة ما هي "القاعدة" و "الارتفاع". القاعدة (المشار إليها بـ "b") هي الضلع الذي لا يساوي الضلعين الآخرين (المتساويين).

2. خفض عمودي على القاعدة.اصنع هذا من رأس المثلث المقابل للقاعدة. تذكر أن العمودي يتقاطع مع القاعدة بزاوية قائمة. هذا العمودي هو ارتفاع المثلث (يشار إليه بـ "h"). بمجرد العثور على قيمة "h"، يمكنك حساب مساحة المثلث.

   • في المثلث متساوي الساقين، يتقاطع الارتفاع مع القاعدة في المنتصف تمامًا.

3. انظر إلى نصف مثلث متساوي الساقين.لاحظ أن الارتفاع قسم المثلث متساوي الساقين إلى مثلثين متساويين قائمي الزاوية. انظر إلى إحداها وابحث عن جوانبها:

   • الضلع القصير يساوي نصف القاعدة: ب 2 (\displaystyle (\frac (b)(2))).
   • الجانب الثاني هو الارتفاع "ح".
   • الوتر في المثلث القائم هو الجانب الجانبي لمثلث متساوي الساقين. دعنا نشير إليها بـ "s".

4. استخدم نظرية فيثاغورس.إذا كان ضلعان في مثلث قائم الزاوية معروفين، فيمكن حساب الضلع الثالث باستخدام نظرية فيثاغورس: (الضلع 1) 2 + (الضلع 2) 2 = (الوتر) 2. في مثالنا، سيتم كتابة نظرية فيثاغورس على النحو التالي: .

   • على الأرجح أنك تعرف نظرية فيثاغورس بالترميز التالي: أ 2 + ب 2 = ج 2 (\displaystyle a^(2)+b^(2)=c^(2)). نحن نستخدم كلمات الجانب 1، والضلع 2، والوتر لمنع الخلط مع متغيرات المثال.

5. احسب قيمة "ح".تذكر أنه في صيغة حساب مساحة المثلث يوجد متغيران "b" و"h"، لكن قيمة "h" غير معروفة. أعد كتابة الصيغة لحساب "h":

   • (ب 2) 2 + ح 2 = ق 2 (\displaystyle ((\frac (b)(2)))^(2)+h^(2)=s^(2))
     ح 2 = ق 2 − (ب 2) 2 (\displaystyle h^(2)=s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2))
     .

6. استبدل القيم المعروفة في الصيغة واحسب "h".يمكن تطبيق هذه الصيغة على أي مثلث متساوي الساقين معروف أضلاعه. عوض بقيمة الأساس عن "b" وقيمة الضلع عن "s" لإيجاد قيمة "h".

   • في مثالنا: ب = 6 سم؛ ق = 5 سم.
   • استبدل القيم في الصيغة:
     h = (s 2 − (b 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())s^(2)-((\frac (b)(2)))^(2)))
     h = (5 2 − (6 2) 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())5^(2)-((\frac (6)(2)))^(2)))
     ح = (25 − 3 2) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-3^(2)))
     ح = (25 − 9) (\displaystyle h=(\sqrt (())25-9))
     ح = (16) (\displaystyle h=(\sqrt (())16))
     ح = 4 (\displaystyle h=4)سم.

7. قم بتوصيل قيم القاعدة والارتفاع في الصيغة لحساب مساحة المثلث.الصيغة: S = ½bh؛ استبدل قيم "b" و "h" فيه واحسب المساحة. تأكد من كتابة الوحدات المربعة في إجابتك.

   • في مثالنا، القاعدة 6 سم والارتفاع 4 سم.
   • س = ½ب
     ق = ½(6 سم)(4 سم)
     ق = 12 سم2.

8. دعونا ننظر إلى مثال أكثر تعقيدا.في معظم الحالات، سيتم تكليفك بمهمة أكثر صعوبة من تلك التي تمت مناقشتها في مثالنا. لحساب الارتفاع، عليك أن تأخذ الجذر التربيعي، والذي، كقاعدة عامة، لا يؤخذ بالكامل. في هذه الحالة، اكتب قيمة الارتفاع كجذر تربيعي مبسط. إليك مثال جديد:

   • احسب مساحة المثلث المتساوي الساقين الذي أطوال أضلاعه 8 سم، 8 سم، 4 سم.
   • بالنسبة للقاعدة "b"، حدد الجانب الذي يبلغ طوله 4 سم.
   • ارتفاع: ح = 8 2 − (4 2) 2 (\displaystyle h=(\sqrt (8^(2)-((\frac (4)(2))))^(2))))
     = 64 − 4 (\displaystyle =(\sqrt (64-4)))
     = 60 (\displaystyle =(\sqrt (60)))
   • تبسيط الجذر التربيعي باستخدام العوامل: ح = 60 = 4 ∗ 15 = 4 15 = 2 15 . (\displaystyle h=(\sqrt (60))=(\sqrt (4*15))=(\sqrt (4))(\sqrt (15))=2(\sqrt (15)).)
   • س = 1 2 ب ح (\displaystyle =(\frac (1)(2))bh)
     = 1 2 (4) (2 15) (\displaystyle =(\frac (1)(2))(4)(2(\sqrt (15))))
     = 4 15 (\displaystyle =4(\sqrt (15)))
   • يمكن كتابة الإجابة مع الجذر أو استخراج الجذر على الآلة الحاسبة وكتابة الإجابة في صورة كسر عشري (S ≈ 15.49 سم2).

ستتحدث هذه المقالة عن كيفية العثور عليها مساحة المثلث متساوي الساقين والصيغللحلول.
المثلث متساوي الساقين هو مثلث يكون فيه الضلعان المتوازيان للقاعدة متساويين . هو موضح في الصورة.

ومن الجدير بالذكر أن الحروف التي تشير إلى الجوانب والزوايا تستخدم في الصيغ لراحتك.
ملاحظة: إذا كنت بحاجة إلى دورات أو اختبارات عالية الجودة، دون وسطاء. ثم عليك زيارة موقع tvoi5.ru. يمكنك أيضًا اتباع الرابط الخاص بالدورات الدراسية لطلبها (http://tvoi5.ru/zakazat-kursovuyu-rabotu.html) وجميع التفاصيل.

مساحة صيغة المثلث متساوي الساقين.

الصيغة الأولى تقول أن المنطقة هي، إذا كنا نعرف فقط جانب واحد وقاعدة المثلث. لقد حصلنا على هذه الصيغة باستخدام الصيغة العامة. عندما تكون صيغة هيرون هي الصيغة الرئيسية وجوانب الشكل متساوية، فإنها في حد ذاتها ستبدو أبسط.

تنص الصيغة الثانية على أنه تم العثور على المنطقة من خلال الجانبين والزاوية بينهما. أو جيب الزاوية المحصورة بين الضلعين مضروبًا في نصف مربع أحد الضلعين. عندما نرسم الارتفاع على الجانب فإن طوله يساوي خطيئة؟. وبما أننا نعرف طول الضلع، فإننا نعرف ارتفاعه أيضًا. وعليه فإن مساحة المثلث متساوي الساقين ستكون نصف تعبيرهما. كي تكون اكثر دقة. ثم القيمة الصحيحة تجعل مساحة المثلث. بقسمة ارتفاع المستطيل، نحصل على مثلثين صغيرين قائمين الزاوية. سيكون القطر هو جانب المثلث، والذي بدوره يقسم الشكل إلى جزأين متساويين. ويترتب على ذلك أن القيمة التي نبحث عنها موجودة على أنها نصف قيمة أحد الأضلاع مضروبة في الارتفاع.

في الصيغة الثالثة، يتم إيجاد المساحة باستخدام جانب واحد متوازي وقاعدة وزاوية تقع في القمة. بمعنى آخر، يمكننا أن نقول هذا: عندما تكون هناك زاوية واحدة على الأقل في مثلث متساوي الساقين معروفة، يمكنك استخدامها لمعرفة الزاويتين الأخريين. هذه الصيغة مشابهة للصيغة الثانية، يمكنك استخدام وتذكر أي منها. لكن هذه الصيغة ستنتج الخمس الذي سأصفه أدناه.

توضح الصيغة الرابعة أنه يمكنك العثور على المنطقة معرفة حجم القاعدة والزاوية الواقعة عليها. جميع زوايا القاعدة متساوية، ومربع جانب القاعدة مقسم إلى 4 تيراجرام أنصاف زوايا تظهر من جوانبها. عندما تنظر عن كثب، يمكنك أن تفهم أن أرضية جانب القاعدة هي b/2، عند ضرب tg (؟/2) يعطي الارتفاع. والذي بدوره يلعب دور الوسيط والمنصف، وهو ما يعني tg (؟ /2)= (b/2)/h، ومنها h=b/(2tg (؟ /2)) ويختزل إلى الصيغة المبسطة رقم 5 .

إذن، الصيغة الخامسة تنص على أنه يمكنك إيجاد المساحة باستخدام الارتفاعوالذي يبدأ من رأس المثلث وينتهي عند قاعدته، مع تقسيمه إلى مثلثات قائمة. ثم كما في الصيغتين الثالثة والرابعة. الكلمة هي الارتفاع مضروبا في القاعدة.

الصيغة السادسة والأخيرة. يظهر عند حل مساحة المثلث من خلال نظرية فيثاغورس. نحن بحاجة إلى الارتفاع الموجود في الصيغة السابقة. وهو أيضًا أحد ساقي المثلث القائم الزاوية الناتج عن الضلع ونصف القاعدة بالإضافة إلى الارتفاع. سيكون الوتر هو الجانب الجانبي، من مربع الوتر (أ) نطرح الساق الثانية في المربع. بما أنها تساوي الأرضية - القاعدة (ب/2) تعني المربع = ب2/4. وبأخذ جذر النتيجة، نجد الارتفاع.