Ako nájsť oblasť obdĺžnika vynásobením. Ako vypočítať plochu. Pomery medzi podlahou a plochou okna
Od 5. ročníka sa žiaci začínajú oboznamovať s pojmom plochy rôznych tvarov. Osobitná úloha sa venuje oblasti obdĺžnika, pretože tento obrázok je jedným z najjednoduchších na štúdium.
Oblastné koncepty
Každá figúrka má svoju vlastnú plochu a výpočet plochy je založený na jednotkovom štvorci, teda štvorci s dlhou stranou 1 mm alebo 1 cm, 1 dm atď. Plocha takéhoto čísla sa rovná $1*1 = 1mm^2$ alebo $1cm^2$ atď. Plocha sa spravidla označuje písmenom – S.
Oblasť ukazuje veľkosť časti roviny, ktorú zaberá obrazec načrtnutý segmentmi.
Obdĺžnik je štvoruholník, v ktorom sú všetky uhly rovnakej miery a rovnajú sa 90 stupňom a protiľahlé strany sú rovnobežné a rovnaké v pároch.
Osobitná pozornosť by sa mala venovať jednotkám merania dĺžky a šírky. Musia sa zhodovať. Ak sa jednotky nezhodujú, prevedú sa. Spravidla konvertujú väčšiu jednotku na menšiu, napríklad ak je dĺžka uvedená v dm a šírka je v cm, potom sa dm prepočíta na cm a výsledkom bude $cm^2$.
Vzorec oblasti obdĺžnika
Ak chcete nájsť oblasť obdĺžnika bez vzorca, musíte spočítať počet jednotkových štvorcov, na ktoré je obrázok rozdelený.
Ryža. 1. Obdĺžnik rozdelený na jednotkové štvorce
Obdĺžnik je rozdelený na 15 štvorcov, to znamená, že jeho plocha je 15 cm2. Stojí za zmienku, že obrázok zaberá 3 štvorce na šírku a 5 na dĺžku, takže na výpočet počtu jednotkových štvorcov je potrebné vynásobiť dĺžku šírkou. Menšia strana štvoruholníka je šírka, tým dlhšia je dĺžka. Môžeme teda odvodiť vzorec pre oblasť obdĺžnika:
S = a · b, kde a,b sú šírka a dĺžka obrázku.
Napríklad, ak je dĺžka obdĺžnika 5 cm a šírka 4 cm, potom sa plocha bude rovnať 4 * 5 = 20 cm2.
Výpočet plochy obdĺžnika pomocou jeho uhlopriečky
Ak chcete vypočítať plochu obdĺžnika cez uhlopriečku, musíte použiť vzorec:
$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Ak úloha udáva hodnoty uhla medzi uhlopriečkami, ako aj hodnotu samotnej uhlopriečky, potom môžete vypočítať plochu obdĺžnika pomocou všeobecného vzorca pre ľubovoľné konvexné štvoruholníky.
Uhlopriečka je úsečka, ktorá spája opačné body obrazca. Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké a priesečník je rozdelený na polovicu.
Ryža. 2. Obdĺžnik s nakreslenými uhlopriečkami
Príklady
Na posilnenie témy zvážte príklady úloh:
č. 1. Nájdite plochu záhradného pozemku rovnakého tvaru ako na obrázku.
Ryža. 3. Kreslenie problému
Riešenie:
Ak chcete odčítať plochu, musíte obrázok rozdeliť na dva obdĺžniky. Jeden z nich bude mať rozmery 10 ma 3 m, druhý 5 ma 7 m. Samostatne nájdeme ich plochy:
$S_1 = 3*10=30 m^2$;
Bude to plocha záhradného pozemku $S = 65 m^2 $.
č. 2. Odčítajte plochu obdĺžnika, ak je daná jeho uhlopriečka d = 6 cm a uhol medzi uhlopriečkami α = 30 0.
Riešenie:
Hodnota $sin 30 =(1\over(2)) $,
$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\nad(2)) * 6^2 * (1\nad(2)) =9 cm^2$
Teda $S=9 cm^2$.
Uhlopriečky rozdeľujú obdĺžnik na 4 tvary - 4 trojuholníky. V tomto prípade sú trojuholníky v pároch rovnaké. Ak nakreslíte uhlopriečku do obdĺžnika, rozdelí postavu na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky.
Uhlopriečky nie sú osy rohov obdĺžnika. A tiež, ak nakreslíte osy každého uhla, potom keď sa pretínajú, dostanete obdĺžnik.
Čo sme sa naučili?
Naučili sme sa, ako nájsť oblasť obdĺžnika. V závislosti od počiatočných údajov sa používa jeden alebo iný vzorec na nájdenie oblasti. Je tiež potrebné pripomenúť, že ak má úloha rôzne merné jednotky pre strany, je potrebné ich previesť na jednu.
Test na danú tému
Hodnotenie článku
Priemerné hodnotenie: 4.4. Celkový počet získaných hodnotení: 292.
Obdĺžnik je špeciálny prípad štvoruholníka. To znamená, že obdĺžnik má štyri strany. Jeho protiľahlé strany sú rovnaké: ak je napríklad jedna z jeho strán 10 cm, potom sa aj opačná strana bude rovnať 10 cm Špeciálnym prípadom obdĺžnika je štvorec. Štvorec je obdĺžnik so všetkými rovnakými stranami. Na výpočet plochy štvorca môžete použiť rovnaký algoritmus ako na výpočet plochy obdĺžnika.
Ako zistiť plochu obdĺžnika na dvoch stranách
Ak chcete nájsť plochu obdĺžnika, musíte vynásobiť jeho dĺžku jeho šírkou: Plocha = dĺžka × šírka. V prípade uvedenom nižšie: Plocha = AB × BC.
Ako zistiť plochu obdĺžnika vedľa seba a dĺžku uhlopriečky
Niektoré problémy vyžadujú, aby ste našli oblasť obdĺžnika pomocou dĺžky uhlopriečky a jednej zo strán. Uhlopriečka obdĺžnika ho rozdeľuje na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky. Preto môžeme určiť druhú stranu obdĺžnika pomocou Pytagorovej vety. Potom sa úloha zredukuje na predchádzajúci bod.
Ako zistiť plochu obdĺžnika podľa jeho obvodu a strany
Obvod obdĺžnika je súčtom všetkých jeho strán. Ak poznáte obvod obdĺžnika a jednu stranu (napríklad šírku), môžete vypočítať plochu obdĺžnika pomocou nasledujúceho vzorca:
Plocha = (Obvod × šírka – šírka^2)/2.
Oblasť obdĺžnika prechádzajúca sínusom ostrého uhla medzi uhlopriečkami a dĺžkou uhlopriečky
Uhlopriečky v obdĺžniku sú rovnaké, takže na výpočet plochy na základe dĺžky uhlopriečky a sínusu ostrého uhla medzi nimi by ste mali použiť nasledujúci vzorec: Plocha = Uhlopriečka^2 × sin(akútny uhol medzi uhlopriečkami )/2.
Oblasť obdĺžnika nemusí znieť arogantne, ale je to dôležitý koncept. V každodennom živote sa s tým stretávame neustále. Zistite veľkosť polí, zeleninových záhrad, vypočítajte množstvo farby potrebnej na vybielenie stropu, koľko tapiet bude potrebných na nalepenie
peniaze a ďalšie.
Geometrický obrazec
Najprv si povedzme o obdĺžniku. Toto je postava v rovine, ktorá má štyri pravé uhly a jej protiľahlé strany sú rovnaké. Jeho strany sa zvyčajne nazývajú dĺžka a šírka. Meria sa v milimetroch, centimetroch, decimetroch, metroch atď. Teraz odpovieme na otázku: "Ako nájsť oblasť obdĺžnika?" Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť dĺžku šírkou.
Plocha=dĺžka*šírka
Ale ešte jedno upozornenie: dĺžka a šírka musia byť vyjadrené v rovnakých merných jednotkách, to znamená meter a meter, a nie meter a centimeter. Oblasť je napísaná latinským písmenom S. Pre zjednodušenie označme dĺžku latinským písmenom b a šírku latinským písmenom a, ako je znázornené na obrázku. Z toho usudzujeme, že jednotka plochy je mm 2, cm 2, m 2 atď.
Pozrime sa na konkrétny príklad, ako nájsť oblasť obdĺžnika. Dĺžka b = 10 jednotiek. Šírka a = 6 jednotiek. Riešenie: S=a*b, S=10 jednotiek*6 jednotiek, S=60 jednotiek 2. Úloha. Ako zistiť plochu obdĺžnika, ak je dĺžka 2-krát väčšia ako šírka a je 18 m? Riešenie: ak b=18 m, potom a=b/2, a=9 m. Ako nájsť plochu obdĺžnika, ak sú známe obe strany? Správne, dosaďte to do vzorca. S=a*b, S=18*9, S=162 m2. Odpoveď: 162 m2. Úloha. Koľko roliek tapety je potrebné kúpiť do miestnosti, ak jej rozmery sú: dĺžka 5,5 m, šírka 3,5 a výška 3 m? Rozmery rolky tapety: dĺžka 10 m, šírka 50 cm Riešenie: urobte nákres miestnosti.
Plochy protiľahlých strán sú rovnaké. Vypočítajme plochu steny s rozmermi 5,5 m a 3 m. S stena 1 = 5,5 * 3,
S stena 1 = 16,5 m 2. Preto má protiľahlá stena plochu 16,5 m2. Nájdite oblasť nasledujúcich dvoch stien. Ich strany sú 3,5 ma 3 m. S stena 2 = 3,5 * 3, S stena 2 = 10,5 m2. To znamená, že aj opačná strana sa rovná 10,5 m2. Sčítajme všetky výsledky. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Ako vypočítať plochu obdĺžnika, ak sú strany vyjadrené v rôznych meracích jednotkách. Predtým sme počítali plochy v m2 a v tomto prípade použijeme merače. Potom sa šírka role tapety bude rovnať 0,5 m. S roll = 10 * 0,5, S roll = 5 m2. Teraz zistíme, koľko roliek je potrebných na pokrytie miestnosti. 54:5 = 10,8 (valce). Keďže sa merajú v celých číslach, musíte si kúpiť 11 roliek tapiet. Odpoveď: 11 roliek tapety. Úloha. Ako vypočítať plochu obdĺžnika, ak je známe, že šírka je o 3 cm kratšia ako dĺžka a súčet strán obdĺžnika je 14 cm? Riešenie: nech je dĺžka x cm, potom šírka (x-3) cm. x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm - dĺžka obdĺžnika, 5-3=2 cm - šírka obdĺžnika, S=5*2, S=10 cm 2 Odpoveď: 10 cm 2.
Zhrnutie
Po pohľade na príklady dúfam, že je jasné, ako nájsť oblasť obdĺžnika. Dovoľte mi pripomenúť, že jednotky merania dĺžky a šírky sa musia zhodovať, inak dostanete nesprávny výsledok. Aby ste sa vyhli chybám, pozorne si prečítajte úlohu. Niekedy môže byť strana vyjadrená cez druhú stranu, nebojte sa. Pozrite si naše vyriešené problémy, je celkom možné, že vám môžu pomôcť. Ale aspoň raz v živote čelíme nájdeniu oblasti obdĺžnika.
je rovnobežník, v ktorom sú všetky uhly rovné 90° a protiľahlé strany sú rovnobežné a rovnaké v pároch.
Obdĺžnik má niekoľko nevyvrátiteľných vlastností, ktoré sa používajú pri riešení mnohých problémov, vo vzorcoch pre oblasť obdĺžnika a jeho obvodu. Tu sú:
Dĺžka neznámej strany alebo uhlopriečky obdĺžnika sa vypočíta pomocou alebo pomocou Pytagorovej vety. Oblasť obdĺžnika možno nájsť dvoma spôsobmi - súčinom jeho strán alebo vzorcom pre oblasť obdĺžnika cez uhlopriečku. Prvý a najjednoduchší vzorec vyzerá takto:
Príklad výpočtu plochy obdĺžnika pomocou tohto vzorca je veľmi jednoduchý. Keď poznáme dve strany, napríklad a = 3 cm, b = 5 cm, môžeme ľahko vypočítať plochu obdĺžnika:
Zistíme, že v takomto obdĺžniku bude plocha rovná 15 metrom štvorcovým. cm.
Oblasť obdĺžnika cez uhlopriečky
Niekedy musíte použiť vzorec pre oblasť obdĺžnika cez uhlopriečky. Vyžaduje si to nielen zistiť dĺžku uhlopriečok, ale aj uhol medzi nimi:
Pozrime sa na príklad výpočtu plochy obdĺžnika pomocou uhlopriečok. Nech je daný obdĺžnik s uhlopriečkou d = 6 cm a uhlom = 30°. Údaje dosadíme do už známeho vzorca:
Takže príklad výpočtu plochy obdĺžnika cez uhlopriečku nám ukázal, že nájsť plochu týmto spôsobom, ak je daný uhol, je celkom jednoduché.
Pozrime sa na ďalší zaujímavý problém, ktorý nám pomôže trochu natiahnuť mozog.
Úloha: Daný štvorec. Jeho rozloha je 36 metrov štvorcových. cm Nájdite obvod obdĺžnika, ktorého dĺžka jednej strany je 9 cm a ktorého obsah je rovnaký ako vyššie uvedený štvorec.
Takže máme niekoľko podmienok. Pre prehľadnosť si ich zapíšme, aby sme videli všetky známe aj neznáme parametre: 
Strany obrázku sú rovnobežné a v pároch rovnaké. Preto sa obvod obrázku rovná dvojnásobku súčtu dĺžok strán:
Zo vzorca pre oblasť obdĺžnika, ktorá sa rovná súčinu dvoch strán obrázku, nájdeme dĺžku strany b
Odtiaľ:
Dosadíme známe údaje a zistíme dĺžku strany b:
Vypočítajte obvod obrázku: 
Takto môžete na základe niekoľkých jednoduchých vzorcov vypočítať obvod obdĺžnika a poznať jeho plochu.
S konceptom sme sa už zoznámili oblasť postavy, naučil sa jednu z jednotiek merania plochy - štvorcový centimeter. V tejto lekcii odvodíme pravidlo, ako vypočítať plochu obdĺžnika.
Už vieme, ako nájsť oblasť čísel, ktoré sú rozdelené na centimetre štvorcové.
Napríklad:
Môžeme určiť, že plocha prvého obrázku je 8 cm 2, plocha druhého obrázku je 7 cm 2.
Ako nájsť oblasť obdĺžnika, ktorého strany sú dlhé 3 cm a 4 cm?
Aby sme problém vyriešili, rozdelíme obdĺžnik na 4 pásy po 3 cm 2 .
Potom sa plocha obdĺžnika bude rovnať 3 * 4 = 12 cm 2.
Rovnaký obdĺžnik je možné rozdeliť na 3 pásy po 4 cm 2 .
Potom sa plocha obdĺžnika bude rovnať 4 * 3 = 12 cm 2.
V oboch prípadoch Na nájdenie plochy obdĺžnika sa vynásobia čísla vyjadrujúce dĺžky strán obdĺžnika.
Nájdite oblasť každého obdĺžnika.
Zvážte obdĺžnik AKMO.
V jednom prúžku je 6 cm 2 a v tomto obdĺžniku sú takéto prúžky 2. To znamená, že môžeme vykonať nasledujúcu akciu:
Číslo 6 predstavuje dĺžku obdĺžnika a 2 predstavuje šírku obdĺžnika. Takže sme vynásobili strany obdĺžnika, aby sme našli oblasť obdĺžnika.
Zoberme si obdĺžnik KDCO.
V obdĺžniku KDCO je v jednom páse 2 cm 2 a takéto pásy sú 3. Preto môžeme vykonať akciu
Číslo 3 označuje dĺžku obdĺžnika a 2 šírku obdĺžnika. Vynásobili sme ich a zistili sme plochu obdĺžnika.
Môžeme skonštatovať: Ak chcete nájsť oblasť obdĺžnika, nemusíte obrázok zakaždým rozdeliť na centimetre štvorcové.
Ak chcete vypočítať plochu obdĺžnika, musíte nájsť jeho dĺžku a šírku (dĺžky strán obdĺžnika musia byť vyjadrené v rovnakých meracích jednotkách) a potom vypočítať súčin výsledných čísel (plocha budú vyjadrené v zodpovedajúcich jednotkách plochy)
Poďme si to zhrnúť: Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho dĺžky a šírky.
Vyrieš ten problém.
Vypočítajte plochu obdĺžnika, ak je dĺžka obdĺžnika 9 cm a šírka 2 cm.
Uvažujme takto. V tomto probléme je známa dĺžka aj šírka obdĺžnika. Preto sa riadime pravidlom: plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho dĺžky a šírky.
Zapíšme si riešenie.
odpoveď: plocha obdĺžnika 18 cm 2
Aké ďalšie dĺžky strán obdĺžnika s takouto plochou si myslíte?
Môžete uvažovať takto. Keďže plocha je súčinom dĺžok strán obdĺžnika, musíte si zapamätať tabuľku násobenia. Aké čísla vynásobíme, aby sme dostali odpoveď 18?
Presne tak, keď vynásobíte 6 a 3, dostanete aj 18. To znamená, že obdĺžnik môže mať strany 6 cm a 3 cm a jeho plocha sa bude rovnať aj 18 cm2.
Vyrieš ten problém.
Dĺžka obdĺžnika je 8 cm a šírka 2 cm. Nájdite jeho plochu a obvod.
Poznáme dĺžku a šírku obdĺžnika. Je potrebné mať na pamäti, že na nájdenie oblasti musíte nájsť súčin jej dĺžky a šírky a na nájdenie obvodu musíte vynásobiť súčet dĺžky a šírky dvoma.
Zapíšme si riešenie.
odpoveď: Plocha obdĺžnika je 16 cm2 a obvod obdĺžnika je 20 cm.
Vyrieš ten problém.
Dĺžka obdĺžnika je 4 cm a šírka je 3 cm. Aká je plocha trojuholníka? (pozri obrázok)
Ak chcete odpovedať na otázku v probléme, musíte najprv nájsť oblasť obdĺžnika. Vieme, že na to potrebujeme vynásobiť dĺžku šírkou.
Pozrite sa na výkres. Všimli ste si, ako uhlopriečka rozdelila obdĺžnik na dva rovnaké trojuholníky? Preto je plocha jedného trojuholníka 2-krát menšia ako plocha obdĺžnika. To znamená, že 12 je potrebné znížiť na polovicu.
odpoveď: Plocha trojuholníka je 6 cm2.
Dnes sme sa v triede dozvedeli o pravidle na výpočet plochy obdĺžnika a naučili sme sa toto pravidlo aplikovať pri riešení problémov pri hľadaní plochy obdĺžnika.
1. M.I.Moro, M.A.Bantova a ďalší.Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, 1. časť. M., “Osveta”, 2012.
2. M.I.Moro, M.A.Bantova a iní Matematika: Učebnica. 3. ročník: v 2 častiach, časť 2. M., “Osveta”, 2012.
3. M.I.Moro. Hodiny matematiky: Metodické odporúčania pre učiteľov. 3. trieda. - M.: Vzdelávanie, 2012.
4. Regulačný dokument. Monitorovanie a hodnotenie výsledkov vzdelávania. M., „Osvietenie“, 2011.
5. „Ruská škola“: Programy pre základné školy. - M.: „Osvietenie“, 2011.
6. S.I.Volkova. Matematika: test papiere. 3. trieda. - M.: Vzdelávanie, 2012.
7. V.N.Rudnitskaya. Testy. M., „Skúška“, 2012 (127 strán)
2. Vydavateľstvo "Prosveshcheniye" ()
1. Dĺžka obdĺžnika je 7 cm, šírka je 4 cm. Nájdite plochu obdĺžnika.
2. Strana štvorca je 5 cm. Nájdite plochu štvorca.
3. Nakreslite možné možnosti pre obdĺžniky s plochou 18 cm 2.
4. Vytvorte zadanie na tému hodiny pre svojich priateľov.