أوجد مساحة المثلث باستخدام الضلع والوتر. كيفية العثور على مساحة المثلث
المثلث هو شكل هندسي مسطح له زاوية واحدة تساوي 90 درجة. علاوة على ذلك، في الهندسة غالبا ما يكون من الضروري حساب مساحة هذا الشكل. سنخبرك بكيفية القيام بذلك أكثر.
أبسط صيغة لتحديد مساحة المثلث القائم الزاوية
البيانات الأولية، حيث: a وb هما أضلاع المثلث الممتدة من الزاوية القائمة.
أي أن المساحة تساوي نصف حاصل ضرب الضلعين الممتدين من الزاوية القائمة. بالطبع، هناك صيغة هيرون المستخدمة لحساب مساحة المثلث المنتظم، ولكن لتحديد القيمة تحتاج إلى معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة. وفقا لذلك، سيتعين عليك حساب الوتر، وهذا وقت إضافي.
أوجد مساحة المثلث القائم باستخدام صيغة هيرون
هذه صيغة معروفة ومبتكرة، ولكن لهذا سيتعين عليك حساب الوتر على قدمين باستخدام نظرية فيثاغورس.
في هذه الصيغة: أ، ب، ج هي أضلاع المثلث، و ع هو نصف المحيط.
أوجد مساحة المثلث القائم باستخدام الوتر والزاوية
إذا لم تكن أي من الأرجل معروفة في مشكلتك، فلن تتمكن من استخدام أبسط طريقة. لتحديد القيمة التي تحتاجها لحساب طول الساقين. يمكن القيام بذلك ببساطة باستخدام الوتر وجيب التمام للزاوية المجاورة.
ب=ج×كوس(α)
بمجرد معرفة طول أحد الأرجل، يمكنك باستخدام نظرية فيثاغورس حساب الضلع الثاني الخارج من الزاوية القائمة.
ب 2 = ج 2 -أ 2
في هذه الصيغة، c وa هما الوتر والساق، على التوالي. الآن يمكنك حساب المساحة باستخدام الصيغة الأولى. بنفس الطريقة، يمكنك حساب أحد الساقين، مع مراعاة الثانية والزاوية. في هذه الحالة، أحد الجوانب المطلوبة سيكون مساوياً لمنتج الساق وظل الزاوية. هناك طرق أخرى لحساب المساحة، لكن بمعرفة النظريات والقواعد الأساسية، يمكنك بسهولة العثور على القيمة المطلوبة.
إذا لم يكن لديك أي من أضلاع المثلث، ولكن فقط الوسيط وإحدى الزوايا، فيمكنك حساب طول الجوانب. للقيام بذلك، استخدم خصائص الوسيط لتقسيم المثلث القائم إلى قسمين. وبناء على ذلك، يمكن أن يكون بمثابة الوتر إذا خرج من زاوية حادة. استخدم نظرية فيثاغورس وحدد أطوال أضلاع المثلث القادمة من الزاوية القائمة.
كما ترون، بمعرفة الصيغ الأساسية ونظرية فيثاغورس، يمكنك حساب مساحة المثلث القائم الزاوية، الذي يحتوي على زاوية واحدة فقط وطول أحد الجوانب.
يوجد مثلث قائم في الواقع في كل زاوية تقريبًا. إن معرفة خصائص هذا الشكل، وكذلك القدرة على حساب مساحته، ستكون بلا شك مفيدة لك ليس فقط لحل المشكلات الهندسية، ولكن أيضًا في مواقف الحياة.
هندسة المثلث
في الهندسة الأولية، المثلث القائم هو شكل يتكون من ثلاثة أجزاء متصلة تشكل ثلاث زوايا (اثنتان حادتان وواحدة مستقيمة). المثلث القائم هو شكل أصلي يتميز بعدد من الخصائص المهمة التي تشكل أساس علم المثلثات. على عكس المثلث العادي، فإن جوانب الشكل المستطيل لها أسماء خاصة بها:
- الوتر هو أطول ضلع في المثلث، مقابل الزاوية القائمة.
- الأرجل هي الأجزاء التي تشكل زاوية قائمة. اعتمادًا على الزاوية قيد النظر، يمكن أن تكون الساق مجاورة لها (تشكل هذه الزاوية مع الوتر) أو معاكسة (تقع مقابل الزاوية). لا توجد أرجل للمثلثات غير القائمة.
إن نسبة الأضلاع والوتر هي التي تشكل أساس علم المثلثات: يتم تعريف الجيب والظل والقاطع على أنها نسبة أضلاع المثلث القائم الزاوية.
المثلث القائم في الواقع
وقد أصبح هذا الرقم واسع الانتشار في الواقع. تُستخدم المثلثات في التصميم والتكنولوجيا، لذا فإن حساب مساحة الشكل يجب أن يتم بواسطة المهندسين والمعماريين والمصممين. قواعد رباعيات السطوح أو المنشورات - وهي أشكال ثلاثية الأبعاد يسهل العثور عليها في الحياة اليومية - لها شكل مثلث. بالإضافة إلى ذلك، المربع هو أبسط تمثيل للمثلث القائم "المسطح" في الواقع. المربع عبارة عن أداة لتشغيل المعادن والرسم والبناء والنجارة يستخدمها كل من أطفال المدارس والمهندسين لبناء الزوايا.
مساحة المثلث
مساحة الشكل الهندسي هي تقدير كمي لمدى حدود المستوى من جوانب المثلث. يمكن العثور على مساحة المثلث العادي بخمس طرق، باستخدام صيغة هيرون أو باستخدام متغيرات مثل القاعدة والجانب والزاوية ونصف القطر للدائرة المنقوشة أو المقيدة. يتم التعبير عن أبسط صيغة للمنطقة على النحو التالي:
حيث a هو جانب المثلث، h هو ارتفاعه.
إن صيغة حساب مساحة المثلث الأيمن أبسط:
حيث a و b أرجل.
من خلال استخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا على الإنترنت، يمكنك حساب مساحة المثلث باستخدام ثلاثة أزواج من المعلمات:
- ساقين؛
- الساق والزاوية المجاورة.
- الساق والزاوية المقابلة.
في المسائل أو المواقف اليومية، سيتم إعطاؤك مجموعات مختلفة من المتغيرات، لذلك يتيح لك هذا الشكل من الآلة الحاسبة حساب مساحة المثلث بعدة طرق. دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة.
أمثلة من الحياة الحقيقية
قطعة سيراميك
لنفترض أنك تريد تغطية جدران المطبخ ببلاط السيراميك الذي له شكل مثلث قائم الزاوية. ومن أجل تحديد استهلاك البلاط يجب معرفة مساحة عنصر الكسوة الواحد والمساحة الإجمالية للسطح المراد معالجته. لنفترض أنك بحاجة إلى معالجة 7 أمتار مربعة. يبلغ طول أرجل العنصر الواحد 19 سم، فتكون مساحة البلاط تساوي:
وهذا يعني أن مساحة العنصر الواحد هي 24.5 سم مربع أو 0.01805 متر مربع. بمعرفة هذه المعلمات، يمكنك حساب أنه لإنهاء 7 أمتار مربعة من الجدار، ستحتاج إلى 7/0.01805 = 387 عنصرًا من البلاط المواجه.
مهمة المدرسة
لنفترض أنه في مشكلة هندسية مدرسية، تحتاج إلى إيجاد مساحة المثلث القائم الزاوية، مع العلم فقط أن جانب ساق واحدة يبلغ 5 سم، والزاوية المقابلة هي 30 درجة. تأتي الآلة الحاسبة الإلكترونية الخاصة بنا مزودة برسم توضيحي يوضح جوانب وزوايا المثلث القائم الزاوية. إذا كان الضلع أ = 5 سم، فإن الزاوية المقابلة لها هي الزاوية ألفا، وتساوي 30 درجة. أدخل هذه البيانات في نموذج الآلة الحاسبة واحصل على النتيجة:
وبالتالي، فإن الآلة الحاسبة لا تحسب مساحة مثلث معين فحسب، بل تحدد أيضًا طول الضلع المجاور والوتر، بالإضافة إلى قيمة الزاوية الثانية.
خاتمة
توجد المثلثات القائمة في حياتنا حرفيًا في كل زاوية. تحديد مساحة هذه الأشكال سيكون مفيدًا لك ليس فقط عند حل الواجبات المدرسية في الهندسة، ولكن أيضًا في الأنشطة اليومية والمهنية.
اعتمادًا على نوع المثلث، هناك عدة خيارات للعثور على مساحته. على سبيل المثال، لحساب مساحة المثلث القائم الزاوية، استخدم الصيغة S= a * b / 2، حيث a و b هما ساقيه. إذا كنت تريد معرفة مساحة مثلث متساوي الساقين، فأنت بحاجة إلى تقسيم منتج قاعدته وارتفاعه على اثنين. أي أن S= b*h / 2، حيث b هي قاعدة المثلث، وh هو ارتفاعه.
بعد ذلك، قد تحتاج إلى حساب مساحة المثلث القائم متساوي الساقين. هنا تأتي الصيغة التالية للإنقاذ: S = a* a / 2، حيث يجب أن يكون للساقين "a" و "a" بالضرورة نفس القيم.
وأيضًا، غالبًا ما يتعين علينا حساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع. يتم إيجاده بالصيغة: S= a * h/ 2، حيث a هو ضلع المثلث، وh هو ارتفاعه. أو حسب هذه الصيغة: S= √3/ 4 *a^2، حيث a هو الضلع.
كيفية العثور على مساحة المثلث الأيمن
هل تحتاج إلى إيجاد مساحة مثلث قائم الزاوية، ولكن بيان المشكلة لا يشير إلى أبعاد اثنين من أرجله في وقت واحد؟ إذن لا يمكننا استخدام هذه الصيغة (S=a*b/2) مباشرة.
دعونا نفكر في العديد من الحلول الممكنة:
- إذا كنت لا تعرف طول ساق واحدة، ولكن أبعاد الوتر والساق الثانية معطاة، فإننا ننتقل إلى فيثاغورس العظيم، وباستخدام نظريته (a^2+b^2=c^2)، نحسب طول الضلع المجهول، ثم نستخدمه لحساب مساحة المثلث.
- إذا تم إعطاء طول أحد الساقين ودرجة ميل الزاوية المقابلة لها: فإننا نجد طول الساق الثانية باستخدام الصيغة - a=b*ctg(C).
- بالنظر إلى: طول ساق واحدة ودرجة ميل الزاوية المجاورة لها: للعثور على طول الساق الثانية، نستخدم الصيغة - a=b*tg(C).
- وأخيرًا، بالنظر إلى: زاوية الوتر وطوله: نحسب طول كلا ساقيه باستخدام الصيغ التالية - b=c*sin(C) وa=c*cos(C).
كيفية العثور على مساحة مثلث متساوي الساقين
يمكن العثور على مساحة المثلث المتساوي الساقين بسهولة وسرعة باستخدام الصيغة S= b*h / 2، ولكن إذا كان أحد المؤشرات مفقودًا، تصبح المهمة أكثر تعقيدًا. بعد كل شيء، فمن الضروري تنفيذ إجراءات إضافية.
خيارات المهمة الممكنة:
- المعطى: طول أحد الجوانب وطول القاعدة. وباستخدام نظرية فيثاغورس، نجد الارتفاع، أي طول الرجل الثانية. على أن يكون طول القاعدة مقسوماً على اثنين هو الساق، والضلع المعروف أصلاً هو الوتر.
- المعطى: القاعدة والزاوية الواقعة بين الضلع والقاعدة. نحسب الارتفاع باستخدام الصيغة h=c*ctg(B)/2 (لا تنس قسمة الضلع "c" على اثنين).
- بالنظر إلى: الارتفاع والزاوية التي شكلتها القاعدة والضلع: نستخدم الصيغة c=h*tg(B)*2 لإيجاد الارتفاع، ونضرب النتيجة في اثنين. التالي نحسب المنطقة.
- المعروف: طول الضلع والزاوية المتكونة بينه وبين الارتفاع. الحل: نستخدم الصيغتين - c=a*sin(C)*2 وh=a*cos(C) للعثور على القاعدة والارتفاع، وبعد ذلك نحسب المساحة.
كيفية العثور على مساحة المثلث متساوي الساقين
إذا كانت جميع البيانات معروفة، فباستخدام الصيغة القياسية S= a* a / 2 نحسب مساحة المثلث القائم متساوي الساقين، ولكن إذا لم تتم الإشارة إلى بعض المؤشرات في المشكلة، فسيتم تنفيذ إجراءات إضافية.
على سبيل المثال: نحن لا نعرف أطوال كلا الجانبين (نتذكر أنهما متساويان في المثلث القائم الزاوية)، لكن طول الوتر معلوم. دعونا نطبق نظرية فيثاغورس لإيجاد نفس الجانبين "أ" و"أ". صيغة فيثاغورس: أ^2+ب^2=ج^2. في حالة المثلث القائم متساوي الساقين، فإنه يتحول إلى هذا: 2a^2 = c^2. اتضح أنه للعثور على الضلع "أ"، تحتاج إلى تقسيم طول الوتر على جذر 2. وستكون نتيجة الحل هي طول ساقي المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين. التالي نجد المنطقة.
كيفية العثور على مساحة مثلث متساوي الأضلاع
باستخدام الصيغة S= √3/ 4*a^2 يمكنك بسهولة حساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع. إذا كان نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث معروفًا، فيمكن إيجاد المساحة باستخدام الصيغة: S= 3√3/ 4*R^2، حيث R هو نصف قطر الدائرة.
المثلث القائم هو مثلث تكون إحدى زواياه 90 درجة. ويمكن معرفة مساحتها إذا عرف الجانبان. يمكنك بالطبع اتخاذ الطريق الطويل - العثور على الوتر وحساب المساحة باستخدام ، ولكن في معظم الحالات لن يستغرق ذلك سوى وقت إضافي. ولهذا السبب تبدو صيغة مساحة المثلث القائم كما يلي:
مساحة المثلث القائم تساوي نصف منتج الساقين.
مثال لحساب مساحة المثلث القائم الزاوية.
إعطاء مثلث قائم الزاوية مع الساقين أ= 8 سم، ب= 6 سم.
نحسب المساحة: 
المساحة : 24 سم2
تنطبق نظرية فيثاغورس أيضًا على المثلث القائم الزاوية. – مجموع مربعي الساقين يساوي مربع الوتر.
يتم حساب صيغة مساحة المثلث القائم متساوي الساقين بنفس طريقة حساب المثلث القائم العادي.
مثال لحساب مساحة المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين:
إعطاء مثلث مع الساقين أ= 4 سم، ب= 4 سم احسب المساحة :
أحسب المساحة : = 8 سم2
يمكن استخدام صيغة مساحة المثلث القائم بواسطة الوتر إذا تم إعطاء الشرط لساق واحدة. ومن نظرية فيثاغورس نجد طول الساق المجهولة. على سبيل المثال، نظرا للوتر جوالساق أ، رجل بسيكون مساوياً لـ:
بعد ذلك، احسب المساحة باستخدام الصيغة المعتادة. مثال لحساب صيغة مساحة المثلث القائم على أساس الوتر مطابق لتلك الموصوفة أعلاه.
دعونا نفكر في مشكلة مثيرة للاهتمام من شأنها أن تساعد في تعزيز المعرفة بصيغ حل المثلث.
مهمة: مساحة المثلث القائم الزاوية 180 مترا مربعا. انظر، ابحث عن الضلع الأصغر للمثلث إذا كان أقل من الثاني بمقدار 31 سم.
حل: دعونا نعين الساقين أو ب. والآن لنعوض بالبيانات في صيغة المساحة: نعلم أيضًا أن إحدى الساقين أصغر من الأخرى أ – ب= 31 سم
ومن الشرط الأول نحصل على ذلك
ونعوض بهذا الشرط في المعادلة الثانية: 
وبما أننا وجدنا الجوانب، فإننا نزيل علامة الطرح.
اتضح أن الساق أ= 40 سم، أ ب= 9 سم.
في الهندسة الأولية، المثلث القائم هو شكل يتكون من ثلاثة أجزاء متصلة عند نقاط، بزوايا اثنتان منها حادة وواحدة مستقيمة (أي تساوي 90 درجة). مثلث قائميتميز بعدد من الخصائص المهمة، والتي يشكل الكثير منها أساس علم المثلثات (على سبيل المثال، العلاقة بين أضلاعه وزواياه). منذ المدرسة، ونحن جميعا نعرف كيفية الحساب مساحة المثلث الأيمن، وفي الحياة اليومية نواجه هذا الشكل الهندسي في كثير من الأحيان، وأحيانًا دون أن نلاحظه. إنه يجد تطبيقًا واسعًا جدًا في التكنولوجيا وبالتالي غالبًا ما يتعين على المهندسين والمصممين والمهندسين المعماريين حل مثل هذه المشكلة.
يحتاج المهندسون المعماريون إلى تحديد هذه القيمة عندما يقومون بتصميم المباني ذات الأقواس، وهي استكمال الواجهات ولها شكل مثلثيحدها كورنيش ومن الجوانب منحدرات السقف. غالبًا ما تكون الزاوية بين المنحدرات مستقيمة، وفي مثل هذه الحالات يكون للتلع شكل مثلث قائم الزاوية. من الضروري تحديد مساحتها لسبب بسيط وهو أنه من الضروري معرفة كمية مواد البناء المطلوبة لترتيبها بالضبط. تجدر الإشارة إلى أن الجملونات هي عناصر إلزامية للمباني منخفضة الارتفاع (المنازل الريفية والبيوت والداشا).
إيجاد مساحة المثلث القائم الزاوية
| س | أب |
أ- رجل
ب- رجل
س- مساحة المثلث الأيمن
استمارة مثلث قائمتحتوي على الكثير من التفاصيل التي يصنع منها الأثاث الحديث. كما تعلم، من أجل تحقيق أقصى استفادة من مساحة الغرفة، يجب وضع جميع عناصر المفروشات فيها بالطريقة المثلى. يمكنك الاستفادة بشكل جيد من مناطق مثل الزوايا باستخدام طاولات مثلثة الشكل، تكون قممها في معظم الحالات مثلثات قائمة الزاوية ذات أرجل مجاورة للجدران. عند تصميم وحساب هذه العناصر، يستخدم مصممو إنتاج الأثاث الصيغة التي بموجبها العثور على مساحة المثلث الأيمنيتم تنفيذه على أساس طول جوانبه. بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يتعين عليهم تطوير تصميمات للطاولات الملحقة مباشرة بالجدران، والتي تتضمن عناصر داعمة تمثل أيضًا المثلثات الصحيحة.
يتعين على البناة الذين يعملون في مواجهة الأعمال في كثير من الأحيان في أنشطتهم المهنية استخدام بلاط السيراميك على شكل مثلث قائم بأرجل بنفس الطول أو بأطوال مختلفة. وعليهم أيضًا تحديد مساحة هذه العناصر لمعرفة العدد المطلوب.
استمارة مثلث قائمكما أن لديها أداة قياس مهمة وضرورية مثل المربع. يتم استخدامه لبناء الزوايا القائمة والتحكم فيها، ويتم استخدامه على نطاق واسع جدًا ومن قبل الكثيرين: بدءًا من تلاميذ المدارس العاديين في دروس الهندسة وحتى مصممي التكنولوجيا المتطورة.