كيفية العثور على مساحة المستطيل عن طريق الضرب. كيفية حساب المساحة . النسب بين مساحة الأرضية والنافذة
بدءًا من الصف الخامس، يبدأ الطلاب في التعرف على مفهوم المساحات ذات الأشكال المختلفة. يتم إعطاء دور خاص لمساحة المستطيل، لأن هذا الشكل هو أحد أسهل الأشكال للدراسة.
مفاهيم المنطقة
أي شكل له مساحته الخاصة، وحساب المساحة يعتمد على مربع الوحدة، أي مربع ذو ضلع طويل 1 مم، أو 1 سم، 1 ديسيمتر، وهكذا. مساحة هذا الشكل تساوي $1*1 = 1mm^2$، أو $1cm^2$، وما إلى ذلك. وعادة ما يتم الإشارة إلى المنطقة بالحرف – S.
توضح المنطقة حجم جزء المستوى الذي يشغله الشكل الموضح بالقطاعات.
المستطيل هو شكل رباعي جميع زواياه لها نفس الدرجة وقياسها 90 درجة، والأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية في أزواج.
وينبغي إيلاء اهتمام خاص لوحدات قياس الطول والعرض. يجب أن تتطابق. إذا كانت الوحدات غير متطابقة، يتم تحويلها. كقاعدة عامة، يقومون بتحويل وحدة أكبر إلى وحدة أصغر، على سبيل المثال، إذا تم إعطاء الطول بالدم والعرض بالسم، فسيتم تحويل dm إلى سم، وستكون النتيجة $cm^2$.
صيغة مساحة المستطيل
من أجل العثور على مساحة المستطيل بدون صيغة، تحتاج إلى حساب عدد مربعات الوحدة التي تم تقسيم الشكل إليها.
أرز. 1. المستطيل مقسم إلى مربعات الوحدة
ينقسم المستطيل إلى 15 مربعا أي أن مساحته 15 سم2. تجدر الإشارة إلى أن الشكل يشغل 3 مربعات عرضًا و5 مربعات طولًا، لذا لحساب عدد مربعات الوحدات، عليك ضرب الطول في العرض. الجانب الأصغر من الشكل الرباعي هو العرض، وكلما زاد الطول. وهكذا يمكننا استخلاص صيغة مساحة المستطيل:
S = a · b، حيث a,b هما عرض الشكل وطوله.
على سبيل المثال، إذا كان طول المستطيل 5 سم وعرضه 4 سم، فإن المساحة ستكون 4 * 5 = 20 سم 2.
حساب مساحة المستطيل باستخدام قطره
من أجل حساب مساحة المستطيل من خلال القطر، تحتاج إلى تطبيق الصيغة:
$$S = (1\over(2)) ⋅ د^2 ⋅ خطيئة(α)$$
إذا كانت المهمة تعطي قيم الزاوية بين الأقطار، وكذلك قيمة القطر نفسه، فيمكنك حساب مساحة المستطيل باستخدام الصيغة العامة للأشكال الرباعية المحدبة التعسفية.
القطر هو القطعة المستقيمة التي تصل النقاط المتقابلة في الشكل. قطرا المستطيل متساويان، ونقطة التقاطع مقسمة إلى نصفين.
أرز. 2. مستطيل بأقطار مرسومة
أمثلة
لتعزيز الموضوع، فكر في أمثلة المهام:
رقم 1. أوجد مساحة قطعة أرض حديقة بنفس الشكل كما في الشكل.
أرز. 3. الرسم للمشكلة
حل:
من أجل طرح المساحة، تحتاج إلى تقسيم الشكل إلى مستطيلين. أبعاد إحداهما 10 م و 3 م والأخرى 5 م و 7 م ونجد مساحاتها بشكل منفصل:
$S_1 =3*10=30 م^2$;
وستكون هذه مساحة قطعة الحديقة $S = 65 م^2$.
رقم 2. اطرح مساحة المستطيل إذا كان قطره d = 6 سم والزاوية بين القطرين α = 30 0.
حل:
القيمة $sin 30 =(1\over(2)) $,
$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\فوق(2)) * 6^2 * (1\فوق(2)) =9 سم^2$
وبالتالي، $S=9 سم^2$.
تقسم الأقطار المستطيل إلى 4 أشكال - 4 مثلثات. في هذه الحالة، المثلثان متساويان في أزواج. إذا قمت برسم قطري في مستطيل، فإنه يقسم الشكل إلى مثلثين متساويين قائمي الزاوية.
الأقطار ليست منصفات لزوايا المستطيل. وأيضًا إذا قمت برسم منصفات كل زاوية، فعندما تتقاطع، ستحصل على مستطيل.
ماذا تعلمنا؟
لقد تعلمنا كيفية إيجاد مساحة المستطيل. يتم استخدام صيغة أو أخرى للعثور على المنطقة اعتمادًا على البيانات الأولية. ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه إذا كانت المهمة تحتوي على وحدات قياس مختلفة للجوانب، فمن الضروري تحويلها إلى وحدة واحدة.
اختبار حول الموضوع
تصنيف المادة
متوسط تقييم: 4.4. إجمالي التقييمات المستلمة: 292.
المستطيل هو حالة خاصة من الشكل الرباعي. وهذا يعني أن المستطيل له أربعة جوانب. أضلاعه المتقابلة متساوية: فمثلاً إذا كان طول أحد أضلاعه 10 سم فإن طول الضلع المقابل له أيضاً يساوي 10 سم، وحالة خاصة للمستطيل هو المربع. المربع هو مستطيل جميع جوانبه متساوية. لحساب مساحة المربع، يمكنك استخدام نفس الخوارزمية لحساب مساحة المستطيل.
كيفية معرفة مساحة المستطيل على أساس الجانبين
للعثور على مساحة المستطيل، عليك ضرب طوله في عرضه: المساحة = الطول × العرض. في الحالة الموضحة أدناه: المساحة = AB × BC.
كيفية معرفة مساحة المستطيل من الجانبين وطول قطره
تتطلب بعض المسائل إيجاد مساحة المستطيل باستخدام طول القطر وأحد أضلاعه. قطر المستطيل يقسمه إلى مثلثين متساويين قائمي الزاوية. ومن ثم، يمكننا تحديد الضلع الثاني للمستطيل باستخدام نظرية فيثاغورس. بعد ذلك، يتم تقليل المهمة إلى النقطة السابقة.
كيفية معرفة مساحة المستطيل من محيطه وضلعه
محيط المستطيل هو مجموع جميع أضلاعه. إذا كنت تعرف محيط المستطيل وأحد أضلاعه (مثل العرض)، فيمكنك حساب مساحة المستطيل باستخدام الصيغة التالية:
المساحة = (المحيط × العرض – العرض ^ 2) / 2.
مساحة المستطيل من خلال جيب الزاوية الحادة بين الأقطار وطول القطر
الأقطار في المستطيل متساوية، لذا لحساب المساحة بناءً على طول القطر وجيب الزاوية الحادة بينهما، يجب عليك استخدام الصيغة التالية: المساحة = القطر ^ 2 × الخطيئة (الزاوية الحادة بين الأقطار )/2.
قد لا تبدو مساحة المستطيل متعجرفة، لكنها مفهوم مهم. في الحياة اليومية نواجهها باستمرار. تعرف على حجم الحقول والحدائق واحسب كمية الطلاء اللازمة لتبييض السقف ومقدار ورق الحائط المطلوب للصق
المال وأكثر.
الشكل الهندسي
أولا، دعونا نتحدث عن المستطيل. هذا شكل على مستوى له أربع زوايا قائمة وأضلاعه المتقابلة متساوية. عادة ما تسمى جوانبها بالطول والعرض. يتم قياسها بالملليمتر والسنتيمترات والديسيمترات والأمتار وما إلى ذلك. والآن سنجيب على السؤال: "كيف تجد مساحة المستطيل؟" للقيام بذلك، تحتاج إلى مضاعفة الطول بالعرض.
المساحة = الطول * العرض
ولكن هناك تحذير آخر: يجب التعبير عن الطول والعرض بنفس وحدات القياس، أي المتر والمتر، وليس المتر والسنتيمتر. المنطقة مكتوبة بالحرف اللاتيني S. وللتيسير، دعنا نشير إلى الطول بالحرف اللاتيني b، والعرض بالحرف اللاتيني a، كما هو موضح في الشكل. ومن هذا نستنتج أن وحدة المساحة هي مم 2، سم 2، م 2، إلخ.
دعونا نلقي نظرة على مثال محدد لكيفية العثور على مساحة المستطيل. الطول ب=10 وحدات. العرض أ = 6 وحدات. الحل: S=a*b، S=10 وحدات*6 وحدات، S=60 وحدة 2. مهمة. كيف تعرف مساحة المستطيل إذا كان الطول ضعف العرض و 18 م؟ الحل: إذا كانت ب=18 م، فإن أ=ب/2، أ=9 م، كيف تجد مساحة المستطيل إذا كان كلا الجانبين معروفين؟ هذا صحيح، استبدله في الصيغة. S=a*b، S=18*9، S=162 م2. الجواب: 162 م2. مهمة. ما عدد لفات ورق الحائط التي يجب شراؤها لغرفة إذا كانت أبعادها: الطول 5.5 م، العرض 3.5، الارتفاع 3 م؟ أبعاد لفة ورق الحائط: الطول 10 م العرض 50 سم الحل: عمل رسم للغرفة.
مساحات الجانبين المتقابلين متساوية. لنحسب مساحة جدار بأبعاد 5.5 م و 3 م.س الجدار 1 = 5.5 * 3،
الجدار S 1 = 16.5 م2. لذلك تبلغ مساحة الجدار المقابل 16.5 م2. دعونا نجد مساحة الجدارين التاليين. جوانبها على التوالي 3.5 م و 3 م جدار S 2 = 3.5 * 3 جدار S 2 = 10.5 م 2. وهذا يعني أن الجانب الآخر يساوي أيضًا 10.5 مترًا مربعًا. دعونا نجمع كل النتائج. 16.5+16.5+10.5+10.5=54 م2. كيفية حساب مساحة المستطيل إذا تم التعبير عن الجوانب بوحدات قياس مختلفة. في السابق، قمنا بحساب المساحات بالمتر المربع، وفي هذه الحالة سنستخدم الأمتار. بعد ذلك سيكون عرض لفة ورق الحائط مساوياً لـ 0.5 م لفة S = 10 * 0.5 لفة S = 5 م 2. الآن سنكتشف عدد اللفات اللازمة لتغطية الغرفة. 54:5=10.8 (لفات). نظرًا لأنه يتم قياسها بأعداد صحيحة، فأنت بحاجة إلى شراء 11 لفة من ورق الحائط. الجواب: 11 لفة من ورق الحائط. مهمة. كيف تحسب مساحة المستطيل إذا علم أن العرض أقصر من الطول بـ 3 سم، ومجموع أضلاع المستطيل 14 سم؟ الحل: ليكن الطول x سم، فالعرض هو (x-3) سم x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 سم - طول المستطيل 5-3=2 سم - عرض المستطيل ق=5*2، ق=10 سم2 الجواب: 10 سم2.
ملخص
بعد الاطلاع على الأمثلة، أرجو أن تكون قد أصبحت واضحة كيفية إيجاد مساحة المستطيل. اسمحوا لي أن أذكرك أن وحدات قياس الطول والعرض يجب أن تتطابق، وإلا فإنك سوف تحصل على نتيجة غير صحيحة، لتجنب الأخطاء، اقرأ المهمة بعناية. في بعض الأحيان يمكن التعبير عن جانب ما من خلال الجانب الآخر، فلا تخف. يرجى الرجوع إلى المشاكل التي تم حلها لدينا، فمن الممكن جدًا أن يتمكنوا من مساعدتك. لكن مرة واحدة على الأقل في حياتنا نواجه مسألة إيجاد مساحة المستطيل.
هو متوازي أضلاع تكون فيه جميع الزوايا تساوي 90 درجة، والأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية في أزواج.
للمستطيل عدة خصائص لا يمكن دحضها تستخدم في حل العديد من المسائل، في صيغ مساحة المستطيل ومحيطه. ها هم:
يتم حساب طول الضلع أو القطر المجهول للمستطيل باستخدام أو باستخدام نظرية فيثاغورس. يمكن إيجاد مساحة المستطيل بطريقتين - بضرب أضلاعه أو بصيغة مساحة المستطيل من خلال القطر. تبدو الصيغة الأولى والأبسط كما يلي:
مثال لحساب مساحة المستطيل باستخدام هذه الصيغة بسيط للغاية. بمعرفة الضلعين، مثلاً أ = 3 سم، ب = 5 سم، يمكننا بسهولة حساب مساحة المستطيل:
نجد أن المساحة في هذا المستطيل تساوي 15 مترًا مربعًا. سم.
مساحة المستطيل من خلال الأقطار
في بعض الأحيان تحتاج إلى تطبيق صيغة مساحة المستطيل من خلال الأقطار. لا يتطلب الأمر معرفة طول الأقطار فحسب، بل يتطلب أيضًا معرفة الزاوية بينهما:
دعونا نلقي نظرة على مثال لحساب مساحة المستطيل باستخدام الأقطار. افترض أن لدينا مستطيلًا قطره d = 6 سم وزاويته = 30 درجة. نقوم باستبدال البيانات في الصيغة المعروفة بالفعل:
لذلك، أظهر لنا مثال حساب مساحة المستطيل من خلال القطر أن إيجاد المساحة بهذه الطريقة، إذا أعطيت زاوية، هو أمر بسيط للغاية.
دعونا نلقي نظرة على مشكلة أخرى مثيرة للاهتمام ستساعدنا على توسيع أدمغتنا قليلاً.
مهمة:نظرا لمربع. مساحتها 36 مترا مربعا. سم أوجد محيط المستطيل الذي طول ضلعه ٩ سم ومساحته هي نفس المربع الموضح أعلاه.
لذلك لدينا عدة شروط. من أجل الوضوح، دعونا نكتبها لرؤية جميع المعلمات المعروفة وغير المعروفة: 
جوانب الشكل متوازية ومتساوية في أزواج. وبالتالي فإن محيط الشكل يساوي ضعف مجموع أطوال أضلاعه:
من صيغة مساحة المستطيل، والتي تساوي حاصل ضرب ضلعي الشكل، نجد طول الضلع ب
من هنا:
نعوض بالبيانات المعروفة ونجد طول الضلع b:
احسب محيط الشكل: 
هذه هي الطريقة، بمعرفة بعض الصيغ البسيطة، يمكنك حساب محيط المستطيل بمعرفة مساحته.
لقد أصبحنا بالفعل على دراية بهذا المفهوم مساحة الشكلتعلمت إحدى وحدات قياس المساحة - سنتيمتر مربع. سنستمد في هذا الدرس قاعدة حول كيفية حساب مساحة المستطيل.
نحن نعرف بالفعل كيفية العثور على مساحة الأشكال المقسمة إلى سنتيمترات مربعة.
على سبيل المثال:
يمكننا أن نحدد أن مساحة الشكل الأول هي 8 سم2، ومساحة الشكل الثاني هي 7 سم2.
كيف تجد مساحة المستطيل الذي طول ضلعيه 3 سم و 4 سم؟
لحل المشكلة نقسم المستطيل إلى 4 شرائح مساحة كل منها 3 سم2.
إذن مساحة المستطيل ستكون 3 * 4 = 12 سم2.
ويمكن تقسيم نفس المستطيل إلى 3 شرائح مساحة كل منها 4 سم2.
إذن مساحة المستطيل ستكون 4 * 3 = 12 سم2.
في كلتا الحالتين للعثور على مساحة المستطيل، يتم ضرب الأرقام التي تعبر عن أطوال أضلاع المستطيل.
أوجد مساحة كل مستطيل.
خذ بعين الاعتبار المستطيل AKMO.
يوجد 6 سم 2 في الشريط الواحد، ويوجد شريطان من هذا القبيل في هذا المستطيل، وهذا يعني أنه يمكننا القيام بالإجراء التالي:
الرقم 6 يمثل طول المستطيل، و 2 يمثل عرض المستطيل. لذلك قمنا بضرب أضلاع المستطيل لإيجاد مساحة المستطيل.
خذ بعين الاعتبار المستطيل KDCO.
في المستطيل KDCO يوجد 2 سم2 في شريط واحد ويوجد 3 شرائح من هذا القبيل لذلك يمكننا تنفيذ الإجراء
يشير الرقم 3 إلى طول المستطيل، و2 إلى عرض المستطيل. لقد ضربناها ووجدنا مساحة المستطيل.
بإمكاننا أن نستنتج: للعثور على مساحة المستطيل، لا تحتاج إلى تقسيم الشكل إلى سنتيمترات مربعة في كل مرة.
لحساب مساحة المستطيل، تحتاج إلى إيجاد طوله وعرضه (يجب التعبير عن أطوال جوانب المستطيل بنفس وحدات القياس)، ثم حساب حاصل ضرب الأرقام الناتجة (المساحة سيتم التعبير عنها بوحدات المساحة المقابلة)
دعونا نلخص: مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب طوله وعرضه.
حل المشكلة.
احسب مساحة المستطيل إذا كان طول المستطيل 9 سم وعرضه 2 سم.
دعونا نفكر مثل هذا. في هذه المسألة، يكون طول المستطيل وعرضه معروفين. لذلك نتبع القاعدة: مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب طوله وعرضه.
دعونا نكتب الحل.
إجابة:مساحة المستطيل 18سم2
ما هي الأطوال الأخرى لجوانب المستطيل بهذه المساحة في رأيك؟
يمكنك التفكير بهذه الطريقة. بما أن المساحة هي حاصل ضرب أطوال أضلاع المستطيل، عليك أن تتذكر جدول الضرب. ما هي الأرقام التي يتم ضربها للحصول على الإجابة 18؟
هذا صحيح، عندما تضرب 6 في 3، تحصل أيضًا على 18. هذا يعني أن المستطيل يمكن أن يكون طول أضلاعه 6 سم و3 سم وستكون مساحته أيضًا 18 سم2.
حل المشكلة.
طول المستطيل 8 سم وعرضه 2 سم. أوجد مساحتها ومحيطها.
نحن نعرف طول المستطيل وعرضه. من الضروري أن تتذكر أنه للعثور على المساحة التي تحتاجها لإيجاد حاصل ضرب طولها وعرضها، ولإيجاد المحيط، عليك ضرب مجموع الطول والعرض في اثنين.
دعونا نكتب الحل.
إجابة:مساحة المستطيل 16 سم2 ومحيط المستطيل 20 سم.
حل المشكلة.
طول المستطيل 4 سم، وعرضه 3 سم. ما هي مساحة المثلث؟ (انظر الصورة)
للإجابة على السؤال الموجود في المشكلة، عليك أولاً إيجاد مساحة المستطيل. نحن نعلم أنه لهذا علينا ضرب الطول في العرض.
انظر إلى الرسم. هل لاحظت كيف قسم القطر المستطيل إلى مثلثين متساويين؟ ولذلك فإن مساحة المثلث الواحد أقل مرتين من مساحة المستطيل. وهذا يعني أن العدد 12 يجب أن يُقسم إلى النصف.
إجابة:مساحة المثلث 6 سم2 .
تعلمنا اليوم في الفصل عن قاعدة حساب مساحة المستطيل وتعلمنا كيفية تطبيق هذه القاعدة عند حل المسائل المتعلقة بإيجاد مساحة المستطيل.
1. ميمورو، إم إيه بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف الثالث: في جزأين، الجزء الأول.م، “التنوير”، 2012.
2. ميمورو، إم إيه بانتوفا وآخرون الرياضيات: كتاب مدرسي. الصف الثالث: في جزأين، الجزء الثاني.م، “التنوير”، 2012.
3. إم آي مورو. دروس الرياضيات: توصيات منهجية للمعلمين. الصف 3RD. - م: التربية، 2012.
4. الوثيقة التنظيمية. مراقبة وتقييم نتائج التعلم. م، "التنوير"، 2011.
5. "مدرسة روسيا": برامج للمدارس الابتدائية. - م: «التنوير»، 2011.
6. سي فولكوفا. الرياضيات: أوراق الاختبار. الصف 3RD. - م: التربية، 2012.
7. في إن رودنيتسكايا. الاختبارات. م.، "الامتحان"، 2012 (127 صفحة)
2. دار النشر "Prosveshcheniye" ()
1. طول المستطيل 7 سم وعرضه 4 سم أوجد مساحة المستطيل.
2. طول ضلع المربع 5 سم أوجد مساحة المربع.
3. ارسم الخيارات الممكنة لمستطيلات بمساحة 18 سم2.
4. قم بإنشاء مهمة حول موضوع الدرس لأصدقائك.