Yan və hipotenuzdan istifadə edərək üçbucağın sahəsini tapın. Üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar

Üçbucaq bir bucağı 90°-yə bərabər olan düz həndəsi fiqurdur. Üstəlik, həndəsədə tez-tez belə bir rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır. Bunu daha sonra necə edəcəyinizi sizə xəbər verəcəyik.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini təyin etmək üçün ən sadə düstur

İlkin məlumatlar, burada: a və b üçbucağın düz bucaqdan uzanan tərəfləridir.

Yəni, sahə düz bucaqdan uzanan iki tərəfin məhsulunun yarısına bərabərdir. Əlbəttə ki, müntəzəm üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün istifadə edilən Heron düsturu var, lakin dəyəri müəyyən etmək üçün üç tərəfin uzunluğunu bilmək lazımdır. Buna görə hipotenuzanı hesablamalı olacaqsınız və bu əlavə vaxtdır.

Heron düsturundan istifadə edərək düzbucaqlı üçbucağın sahəsini tapın

Bu, tanınmış və orijinal bir düsturdur, lakin bunun üçün Pifaqor teoremindən istifadə edərək iki ayaq üzərində hipotenuzanı hesablamalı olacaqsınız.

Bu düsturda: a, b, c üçbucağın tərəfləri, p isə yarım perimetrdir.

Hipotenuza və bucaqdan istifadə edərək düzbucaqlı üçbucağın sahəsini tapın

Probleminizdə ayaqların heç biri məlum deyilsə, o zaman ən sadə üsuldan istifadə edə bilməyəcəksiniz. Dəyəri müəyyən etmək üçün ayaqların uzunluğunu hesablamaq lazımdır. Bu, sadəcə olaraq hipotenuza və qonşu bucağın kosinusundan istifadə etməklə edilə bilər.

b=c×cos(α)

Ayaqlardan birinin uzunluğunu bildikdən sonra Pifaqor teoremindən istifadə edərək düzgün bucaqdan çıxan ikinci tərəfi hesablaya bilərsiniz.

b 2 =c 2 -a 2

Bu düsturda c və a müvafiq olaraq hipotenuz və ayaqdır. İndi birinci düsturdan istifadə edərək sahəni hesablaya bilərsiniz. Eyni şəkildə, ikinci və bucağı nəzərə alaraq, ayaqlardan birini hesablaya bilərsiniz. Bu halda, tələb olunan tərəflərdən biri ayağın məhsuluna və bucağın tangensinə bərabər olacaqdır. Sahənin hesablanmasının başqa yolları da var, lakin əsas teoremləri və qaydaları bilməklə istədiyiniz dəyəri asanlıqla tapa bilərsiniz.

Əgər üçbucağın heç bir tərəfi yoxdursa, ancaq medianı və bucaqlarından biri varsa, onda tərəflərin uzunluğunu hesablaya bilərsiniz. Bunu etmək üçün düz üçbucağı ikiyə bölmək üçün medianın xüsusiyyətlərindən istifadə edin. Müvafiq olaraq, kəskin bucaqdan çıxdıqda hipotenuz kimi çıxış edə bilər. Pifaqor teoremindən istifadə edin və düz bucaqdan gələn üçbucağın tərəflərinin uzunluğunu təyin edin.

Gördüyünüz kimi, əsas düsturları və Pifaqor teoremini bilməklə, bucaqlardan yalnız birinə və tərəflərdən birinin uzunluğuna malik olan düzbucaqlı üçbucağın sahəsini hesablaya bilərsiniz.

Düzgün üçbucaq reallıqda demək olar ki, hər küncdə tapılır. Verilmiş fiqurun xüsusiyyətlərini bilmək, eləcə də onun sahəsini hesablamaq bacarığı, şübhəsiz ki, yalnız həndəsə problemlərini həll etmək üçün deyil, həm də həyat vəziyyətlərində faydalı olacaqdır.

Üçbucaq həndəsəsi

Elementar həndəsədə düzbucaqlı üçbucaq üç bucaq (iki iti və bir düz) təşkil edən üç bağlı seqmentdən ibarət fiqurdur. Düzgün üçbucaq triqonometriyanın əsasını təşkil edən bir sıra vacib xüsusiyyətlərlə xarakterizə olunan orijinal bir fiqurdur. Adi üçbucaqdan fərqli olaraq, düzbucaqlı fiqurun tərəflərinin öz adları var:

Hipotenuz üçbucağın düz bucağın əksinə olan ən uzun tərəfidir.
Ayaqlar düz bucaq meydana gətirən seqmentlərdir. Baxılan bucaqdan asılı olaraq, ayaq ona bitişik ola bilər (hipotenuza ilə bu bucağı meydana gətirir) və ya əksinə (bucaq qarşısında uzanır). Düzgün olmayan üçbucaqlar üçün ayaqları yoxdur.

Triqonometriyanın əsasını təşkil edən ayaqların və hipotenuzanın nisbətidir: sinuslar, tangenslər və sekantlar düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin nisbəti kimi müəyyən edilir.

Reallıqda düz üçbucaq

Bu rəqəm reallıqda geniş yayılıb. Üçbucaqlar dizayn və texnologiyada istifadə olunur, buna görə də fiqurun sahəsini hesablamaq mühəndislər, memarlar və dizaynerlər tərəfindən aparılmalıdır. Tetraedrlərin və ya prizmaların əsasları - gündəlik həyatda asanlıqla rast gəlinən üçölçülü fiqurlar üçbucaq formasına malikdir. Bundan əlavə, kvadrat reallıqda "düz" düzbucaqlı üçbucağın ən sadə təsviridir. Kvadrat, həm məktəblilər, həm də mühəndislər tərəfindən bucaqların qurulması üçün istifadə olunan metal emalı, rəsm, tikinti və dülgərlik alətidir.

Üçbucağın sahəsi

Həndəsi fiqurun sahəsi təyyarənin nə qədər hissəsinin üçbucağın tərəfləri ilə məhdudlaşdığının kəmiyyət təxminidir. Adi bir üçbucağın sahəsini Heron düsturundan istifadə etməklə və ya yazılmış və ya məhdud dairənin əsası, tərəfi, bucağı və radiusu kimi dəyişənlərdən istifadə etməklə beş yolla tapmaq olar. Sahə üçün ən sadə düstur aşağıdakı kimi ifadə edilir:

burada a üçbucağın tərəfi, h hündürlüyü.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün formula daha sadədir:

burada a və b ayaqlarıdır.

Onlayn kalkulyatorumuzla işləyərək üç cüt parametrdən istifadə edərək üçbucağın sahəsini hesablaya bilərsiniz:

iki ayaq;
ayaq və bitişik bucaq;
ayaq və əks bucaq.

Problemlərdə və ya gündəlik vəziyyətlərdə sizə dəyişənlərin müxtəlif birləşmələri veriləcək, buna görə də kalkulyatorun bu forması üçbucağın sahəsini bir neçə yolla hesablamağa imkan verir. Gəlin bir neçə misala baxaq.

Real həyat nümunələri

Seramik kafel

Tutaq ki, mətbəxin divarlarını düz üçbucaq şəklində olan keramik plitələrlə örtmək istəyirsiniz. Plitələrin istehlakını müəyyən etmək üçün bir örtük elementinin sahəsini və işlənən səthin ümumi sahəsini öyrənməlisiniz. Tutaq ki, 7 kvadrat metr emal etməlisiniz. Bir elementin ayaqlarının uzunluğu 19 sm-dir, onda kafel sahəsi bərabər olacaq:

Bu o deməkdir ki, bir elementin sahəsi 24,5 kvadrat santimetr və ya 0,01805 kvadratmetrdir. Bu parametrləri bilməklə hesablaya bilərsiniz ki, 7 kvadrat metr divarı bitirmək üçün 7/0,01805 = 387 üzlük plitə elementinə ehtiyacınız olacaq.

Məktəb tapşırığı

Tutaq ki, məktəb həndəsə problemində bir ayağın tərəfinin 5 sm, əks bucağın isə 30 dərəcə olduğunu bilə-bilə düz üçbucağın sahəsini tapmalısınız. Onlayn kalkulyatorumuz düzbucaqlı üçbucağın tərəflərini və bucaqlarını göstərən illüstrasiya ilə gəlir. Əgər a tərəfi = 5 sm-dirsə, onun əks bucağı 30 dərəcəyə bərabər olan alfa bucağıdır. Bu məlumatları kalkulyator formasına daxil edin və nəticəni əldə edin:

Beləliklə, kalkulyator yalnız verilmiş üçbucağın sahəsini hesablamır, həm də bitişik ayağın və hipotenuzun uzunluğunu, həmçinin ikinci bucağın dəyərini təyin edir.

Nəticə

Düzgün üçbucaqlar həyatımızda sözün hər küncündə olur. Bu cür rəqəmlərin sahəsini təyin etmək yalnız həndəsədən məktəb tapşırıqlarını həll edərkən deyil, həm də gündəlik və peşəkar fəaliyyətlərdə faydalı olacaqdır.

Üçbucağın növündən asılı olaraq, onun sahəsini tapmaq üçün bir neçə variant var. Məsələn, düzbucaqlı üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün S= a * b / 2 düsturundan istifadə edin, burada a və b onun ayaqlarıdır. Bir ikitərəfli üçbucağın sahəsini tapmaq istəyirsinizsə, onda onun əsasının və hündürlüyünün məhsulunu ikiyə bölmək lazımdır. Yəni, S= b*h / 2, burada b üçbucağın əsası, h isə hündürlüyüdür.

Sonra, ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın sahəsini hesablamağınız lazım ola bilər. Burada xilasetmə üçün aşağıdakı düstur gəlir: S = a* a / 2, burada "a" və "a" ayaqları mütləq eyni dəyərlərə sahib olmalıdır.

Həm də tez-tez bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini hesablamalıyıq. Bu düsturla tapılır: S= a * h/ 2, burada a üçbucağın tərəfi, h isə hündürlüyüdür. Və ya bu düstura görə: S= √3/ 4 *a^2, burada a tərəfdir.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini tapmaq lazımdır, lakin problemin ifadəsi onun iki ayağının ölçülərini bir anda göstərmir? Onda biz bu düsturdan (S= a * b / 2) birbaşa istifadə edə bilmərik.

Bir neçə mümkün həlli nəzərdən keçirək:

Əgər bir ayağın uzunluğunu bilmirsinizsə, lakin hipotenuzanın və ikinci ayağın ölçüləri verilmişdirsə, onda biz böyük Pifaqora müraciət edirik və onun teoremindən (a^2+b^2=c^2) istifadə edirik. naməlum ayağın uzunluğunu hesablayırıq, sonra üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün istifadə edirik.
Bir ayağın uzunluğu və ona qarşı olan bucağın dərəcə mailliyi verilərsə: a=b*ctg(C) düsturundan istifadə edərək ikinci ayağın uzunluğunu tapırıq.
Verilmişdir: bir ayağın uzunluğu və ona bitişik bucağın dərəcə mailliyi: ikinci ayağın uzunluğunu tapmaq üçün - a=b*tg(C) düsturundan istifadə edirik.
Və nəhayət, verilmişdir: hipotenuzanın bucağı və uzunluğu: onun hər iki ayağının uzunluğunu aşağıdakı düsturlardan istifadə edərək hesablayırıq - b=c*sin(C) və a=c*cos(C).

İkitərəfli üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar

İkitərəfli üçbucağın sahəsi S= b*h / 2 düsturundan istifadə edərək çox asanlıqla və tez tapıla bilər, lakin göstəricilərdən biri əskik olarsa, tapşırıq daha mürəkkəbləşir. Axı, əlavə hərəkətlər etmək lazımdır.

Mümkün tapşırıq variantları:

Verilmişdir: tərəflərdən birinin uzunluğu və əsasın uzunluğu. Pifaqor teoremindən istifadə edərək ikinci ayağın hündürlüyünü, yəni uzunluğunu tapırıq. Bir şərtlə ki, əsasın ikiyə bölünən uzunluğu ayaq, ilkin məlum olan tərəf isə hipotenuz olsun.
Verilmişdir: əsas və yan və əsas arasındakı bucaq. H=c*ctg(B)/2 düsturu ilə hündürlüyü hesablayırıq (“c” tərəfini ikiyə bölməyi unutmayın).
Verilmiş: hündürlük və əsas və tərəfin yaratdığı bucaq: hündürlüyü tapmaq üçün c=h*tg(B)*2 düsturundan istifadə edirik və nəticəni ikiyə vururuq. Sonra ərazini hesablayırıq.
Məlumdur: tərəfin uzunluğu və onunla hündürlük arasında yaranan bucaq. Həlli: baza və hündürlüyü tapmaq üçün - c=a*sin(C)*2 və h=a*cos(C) düsturlarından istifadə edirik, bundan sonra sahəni hesablayırıq.

İkitərəfli düzbucaqlı üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar

Bütün məlumatlar məlumdursa, standart S= a* a / 2 düsturundan istifadə edərək, bir düzbucaqlı düzbucaqlı üçbucağın sahəsini hesablayırıq, lakin problemdə bəzi göstəricilər göstərilmirsə, əlavə hərəkətlər edilir.

Məsələn: hər iki tərəfin uzunluqlarını bilmirik (biz xatırlayırıq ki, ikitərəfli düzbucaqlı üçbucaqda onlar bərabərdir), lakin hipotenuzanın uzunluğu verilmişdir. Eyni "a" və "a" tərəflərini tapmaq üçün Pifaqor teoremini tətbiq edək. Pifaqor düsturu: a^2+b^2=c^2. İkitərəfli düzbucaqlı üçbucaq vəziyyətində o, buna çevrilir: 2a^2 = c^2. Belə çıxır ki, “a” ayağını tapmaq üçün hipotenuzanın uzunluğunu 2-nin kökünə bölmək lazımdır. Həllin nəticəsi ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın hər iki ayağının uzunluğu olacaq. Sonra ərazini tapırıq.

Bərabər üçbucağın sahəsini necə tapmaq olar

S= √3/ 4*a^2 düsturundan istifadə edərək bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini asanlıqla hesablaya bilərsiniz. Üçbucağın çevrəsinin radiusu məlumdursa, onda sahəni aşağıdakı düsturla tapmaq olar: S= 3√3/ 4*R^2, burada R dairənin radiusudur.

Düzbucaqlı üçbucaq bucaqlarından biri 90° olan üçbucaqdır. Onun sahəsi iki tərəfi məlum olduqda tapıla bilər. Siz, əlbəttə ki, uzun marşrutu seçə bilərsiniz - hipotenuzu tapın və istifadə edərək ərazini hesablayın, lakin əksər hallarda bu, yalnız əlavə vaxt aparacaq. Buna görə düzbucaqlı üçbucağın sahəsi üçün düstur belə görünür:

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi ayaqların məhsulunun yarısına bərabərdir.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsinin hesablanması nümunəsi.
Ayaqları olan düzbucaqlı üçbucaq verilir a= 8 sm, b= 6 sm.
Sahəni hesablayırıq:
Sahəsi: 24 sm 2

Pifaqor teoremi düzbucaqlı üçbucağa da aiddir. – iki ayağın kvadratlarının cəmi hipotenuzanın kvadratına bərabərdir.
İkitərəfli düzbucaqlı üçbucağın sahəsi üçün düstur müntəzəm düzbucaqlı üçbucaq üçün olduğu kimi hesablanır.

İkitərəfli düzbucaqlı üçbucağın sahəsinin hesablanmasına bir nümunə:
Ayaqları olan üçbucaq verilir a= 4 sm, b= 4 sm Sahəni hesablayın:
Sahəni hesablayın: = 8 sm 2

Düzgün üçbucağın hipotenuza ilə sahəsi üçün düstur, şərt bir ayaq verildiyi təqdirdə istifadə edilə bilər. Pifaqor teoremindən naməlum ayağın uzunluğunu tapırıq. Məsələn, hipotenuza verilir c və ayaq a, ayaq b bərabər olacaq:
Sonra, adi düsturdan istifadə edərək sahəni hesablayın. Hipotenuzaya əsaslanan düzbucaqlı üçbucağın sahəsi üçün düsturun hesablanması nümunəsi yuxarıda təsvir edilənlə eynidir.

Üçbucağın həlli üçün düsturlar haqqında bilikləri möhkəmləndirməyə kömək edəcək maraqlı bir problemi nəzərdən keçirək.
Tapşırıq: Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi 180 kvadratmetrdir. bax, ikincidən 31 sm kiçik olan üçbucağın kiçik ayağını tapın.
Həll: ayaqları təyin edək a Və b. İndi verilənləri sahə düsturu ilə əvəz edək: bir ayağın digərindən kiçik olduğunu da bilirik a – b= 31 sm
Birinci şərtdən bunu əldə edirik
Bu şərti ikinci tənliyə əvəz edirik:

Tərəfləri tapdığımız üçün mənfi işarəni çıxarırıq.
Ayağın olduğu ortaya çıxdı a= 40 sm, a b= 9 sm.

Elementar həndəsədə düzbucaqlı üçbucaq ikisi iti və biri düz olan (yəni 90°-yə bərabər) bucaqları olan, nöqtələrdə birləşdirilmiş üç seqmentdən ibarət fiqurdur. Sağ üçbucaq bir sıra mühüm xassələrlə xarakterizə olunur ki, onların da çoxu triqonometriyanın əsasını təşkil edir (məsələn, onun tərəfləri və bucaqları arasındakı əlaqə). Məktəbdən bəri hamımız hesablamağı bilirik düzbucaqlı üçbucağın sahəsi, və gündəlik həyatda bu həndəsi fiqurla tez-tez, bəzən hətta fərqinə varmadan qarşılaşırıq. Texnologiyada olduqca geniş tətbiq tapır və buna görə də mühəndislər, dizaynerlər və memarlar tez-tez belə bir problemi həll etməli olurlar.

Memarlar fasadların tamamlayıcısı olan və önlükləri olan binaları layihələndirərkən bu dəyəri müəyyən etməlidirlər. üçbucaqlı forma kornişlə və yanlardan dam yamacları ilə əhatə olunmuşdur. Tez-tez yamaclar arasındakı bucaq düzdür və belə hallarda pediment düz üçbucaq formasına malikdir. Sadə bir səbəbdən onun sahəsini müəyyən etmək lazımdır ki, onun təşkili üçün lazım olan tikinti materialının miqdarını dəqiq bilmək lazımdır. Qeyd etmək lazımdır ki, gables aşağı mərtəbəli binaların (kənd evləri, kotteclər, kotteclər) məcburi elementləridir.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsinin tapılması

a- ayaq

b- ayaq

S- düzbucaqlı üçbucağın sahəsi

forma düz üçbucaq müasir mebellərin hazırlandığı bir çox detala malikdir. Bildiyiniz kimi, otaq sahəsindən ən səmərəli istifadə etmək üçün orada mebelin bütün elementləri optimal şəkildə yerləşdirilməlidir. Üçbucaqlı formalı masalardan istifadə edərək künclər kimi sahələrdən yaxşı istifadə edə bilərsiniz, üstləri əksər hallarda divarlara bitişik ayaqları olan düzbucaqlı üçbucaqlardır. Bu elementləri tərtib edərkən və hesablayarkən, mebel istehsalı dizaynerləri hansı düsturdan istifadə edirlər düzbucaqlı üçbucağın sahəsini tapmaq onun tərəflərinin uzunluğuna əsasən həyata keçirilir. Bundan əlavə, onlar tez-tez birbaşa divarlara bərkidilmiş masalar üçün dizaynlar hazırlamalı olurlar ki, bunlara dəstəkləyici elementlər də daxildir. düz üçbucaqlar.

Peşəkar fəaliyyətlərində tez-tez üzlük işləri ilə məşğul olan inşaatçılar eyni və ya müxtəlif uzunluqlu ayaqları olan düz üçbucaq şəklində keramik plitələrdən istifadə etməlidirlər. Lazım olan sayını tapmaq üçün bu elementlərin sahəsini də müəyyən etməlidirlər.

forma düz üçbucaq Onun da kvadrat kimi vacib və zəruri ölçü aləti var. Düz bucaqları qurmaq və idarə etmək üçün istifadə olunur və çox geniş və çoxları tərəfindən istifadə olunur: həndəsə dərslərində adi məktəblilərdən tutmuş ən müasir texnologiyanın dizaynerlərinə qədər.