Лекции по теория на еластичността и пластичността. Основни уравнения на теорията на еластичността. Видове задачи по теория на еластичността. Основното допускане на класическата теория на еластичността
ОСНОВИ НА ТЕОРИЯТА ЗА ЕЛАСТИЧНОСТТА
ОСЕСИМЕТРИЧНИ ПРОБЛЕМИ НА ТЕОРИЯТА НА ЕЛАСТИЧНОСТТА
ОСНОВИ НА ТЕОРИЯТА ЗА ЕЛАСТИЧНОСТТА
Основни положения, допускания и означения. Уравнения на равновесие за елементарен паралелепипед и елементарен тетраедър. Нормални и срязващи напрежения по наклонена платформа
Определяне на основните напрежения и най-големите тангенциални напрежения в точка. Напрежения по октаедрични области Понятие за премествания. Зависимости между деформации и премествания. Относително
линейна деформация в произволна посока. Уравнения на деформационна съвместимост. Закон на Хук за изотропно тяло Равнинен проблем в правоъгълни координати Равнинен проблем в полярни координати
Възможни решения на проблеми от теорията на еластичността. Решения на проблеми при премествания и напрежения. Наличие на температурно поле. Кратки изводи по раздела ПРОСТИ ОСЕСИМЕТРИЧНИ ЗАДАЧИ Уравнения в цилиндрични координати Уравнения в цилиндрични координати (продължение)
Деформация на дебелостенен сферичен съд Съсредоточена сила, действаща върху равнина
Специални случаи на натоварване на еластично полупространство: равномерно натоварване върху площта на окръжност, натоварване върху площта на окръжност над „полукълбо“, обратната задача за натискане на абсолютно твърда топка в еластична полусфера пространство. Проблемът с еластичния колапс на топките ДЕБЕЛОСТЕННИ ТРЪБИ
Обща информация. Уравнение на равновесие на тръбен елемент Изследване на напреженията под налягане върху една от веригите. Условия на якост при еластична деформация Напрежения в композитни тръби. Концепцията за изчисляване на многослойни тръби Примери за изчисления
ПЛОЧИ, МЕМБРАНИ Основни определения и хипотези
Диференциално уравнение на извитата средна повърхност на плоча в правоъгълни координати Цилиндрично и сферично огъване на плоча
Огъващи моменти при осесиметрично огъване на кръгла плоча. Диференциално уравнение на извитата средна повърхност на кръгла плоча. Гранични условия в кръгли плочи. Най-големите напрежения и деформации. Условия на якост. Температурни напрежения в плочите
Определяне на силите в мембраните. Верижни сили и напрежения. Приблизително определяне на деформации и напрежения в кръгли мембрани Примери за изчисления Примери за изчисления (продължение)
1.1 Основи, предположения и обозначения
Теорията на еластичността има за цел да изследва аналитично напрегнато-деформираното състояние на еластично тяло. Решенията, получени с помощта на предположения за съпротивление, могат да бъдат проверени с помощта на теорията на еластичността
материали и са установени границите на приложимост на тези решения. Понякога се наричат раздели на теорията на еластичността, в които, както при якостта на материалите, се разглежда въпросът за годността на дадена част, но с помощта на доста сложен математически апарат (изчисляване на плочи, черупки, масиви). приложната теория на еластичността.
Тази глава очертава основните концепции на математическата линейна теория на еластичността. Приложението на математиката за описанието на физическите явления изисква тяхното схематизиране. В математическата теория на еластичността проблемите се решават с възможно най-малко допускания, което усложнява математическите техники, използвани за решението. Линейната теория на еластичността предполага съществуването на линейна зависимост между компонентите на напрежението и деформацията. За редица материали (каучук, някои видове чугун) такава зависимост не може да се приеме дори при малки деформации: диаграмата σ - ε в диапазона на еластичност има едно и също очертание както при натоварване, така и при разтоварване, но и в двата случая тя е криволинейна. При изучаването на такива материали е необходимо да се използват зависимостите на нелинейната теория на еластичността.
IN Математическата линейна теория на еластичността се основава на следните предположения:
1. На непрекъснатостта (непрекъснатостта) на средата. В този случай атомната структура на веществото или присъствиетовсякакви кухини не се вземат предвид.
2. За естественото състояние, въз основа на което не се отчита първоначалното напрегнато (деформирано) състояние на тялото, възникнало преди прилагането на силови въздействия, т.е. приема се, че в момента на натоварване на тялото, деформациите и напреженията във всяка точка са равни на нула. При наличие на начални напрежения това предположение ще бъде валидно, ако към резултантните напрежения (сумата от началните и тези, произтичащи от въздействията) могат да се приложат само зависимостите на линейната теория на еластичността.
3. За хомогенността, въз основа на която се приема, че съставът на тялото е еднакъв във всички точки. Ако по отношение на металите това предположение не дава големи грешки, тогава по отношение на бетона при разглеждане на малки обеми може да доведе до значителни грешки.
4. На сферичната изотропия, въз основа на която се смята, чеМеханичните свойства на материала са еднакви във всички посоки. Металните кристали нямат това свойство, но за метала като цяло, състоящ се от голям брой малки кристали, можем да приемем, че тази хипотеза е валидна. За материали, които имат различни механични свойства в различни посоки, като ламинирани пластмаси, е разработена теорията за еластичността на ортотропните и анизотропните материали.
5. На идеална еластичност, въз основа на която се предполага пълното изчезване на деформацията след отстраняване на товара. Както е известно, остатъчна деформация възниква в реални тела при всяко натоварване. Следователно предположението
6. За линейната връзка между компонентите на деформациите инапрежения.
7. За малката деформация, въз основа на която се приема, че относителните линейни и ъглови деформации са малки в сравнение с единица. За материали като каучук или елементи като винтови пружини е разработена теория за големи еластични деформации.
При решаването на задачи от теорията на еластичността се използва теоремата за уникалността на решението: ако дадената външна повърхност и обемните сили са в равновесие, те съответстват на една единствена система от напрежения и премествания.Твърдението за уникалността на решението е валидно само ако е валидно предположението за естественото състояние на тялото (в противен случай са възможни безкраен брой решения) и предположението за линейна връзка между деформациите и външните сили.
При решаване на проблеми в теорията на еластичността често се използва принципът на Saint-Venant: Ако външните сили, приложени върху малка площ от еластично тяло, се заменят със статично еквивалентна система от сили, действащи върху същата област (със същия главен вектор и същия основен момент), тогава тази замяна ще доведе само до промяна в локални деформации.
В точки, достатъчно отдалечени от местата, където се прилагат външни натоварвания, напреженията зависят малко от метода на тяхното прилагане. Натоварването, което в хода на съпротивлението на материалите беше схематично изразено на базата на принципа на Сен-Венан под формата на сила или концентриран момент, всъщност представлява нормални и тангенциални напрежения, разпределени по един или друг начин върху определена площ от повърхността на тялото. В този случай една и съща сила или двойка сили може да съответства на различни разпределения на напрежението. Въз основа на принципа на Сен-Венан можем да предположим, че промяната на силите върху участък от повърхността на тялото почти няма ефект върху напреженията в точки, разположени на достатъчно голямо разстояние от мястото, където се прилагат тези сили (в сравнение с линейните размери на натовареното сечение).
Позицията на изследваната област, избрана в тялото (фиг. 1), се определя от насочващите косинуси на нормалата N към зоната в избраната система от правоъгълни координатни оси x, y и z.
Ако P е резултантната на вътрешните сили, действащи по протежение на елементарна област, изолирана в точка A, тогава общото напрежение p N в тази точка по продължение на област с нормален N се определя като границата на съотношението в
следната форма:
.
Вектор p N може да се разложи в пространството на три взаимно перпендикулярни компоненти.
2. На компонентите σ N, τ N s и τ N t в посоките на нормалата към площадката (нормално напрежение) и две взаимно перпендикулярни оси s и t (фиг. 1,b), лежащи в равнината на площадката (тангенциално напрежение). Съгласно фиг. 1, б
Ако сечение или област на тялото е успоредна на една от координатните равнини, например y0z (фиг. 2), тогава нормалата към тази област ще бъде третата координатна ос x и компонентите на напрежението ще бъдат обозначени като σ x, τ xy и τ xz.
Нормалното напрежение е положително, ако е на опън, и отрицателно, ако е на натиск. Знакът на напрежението на срязване се определя, като се използва следното правило: ако положително (на опън) нормално напрежение по протежение на зоната дава положителна проекция, тогава тангенциалната
напрежението по протежение на същата област се счита за положително, при условие че то също дава положителна проекция върху съответната ос; ако нормалното напрежение на опън дава отрицателна проекция, тогава положителното напрежение на срязване също трябва да дава отрицателна проекция на съответната ос.
На фиг. 3, например, всички компоненти на напрежението, действащи по стените на елементарен паралелепипед, съвпадащи с координатните равнини, са положителни.
За да се определи състоянието на напрежение в точка на еластично тяло, е необходимо да се знае общото напрежение p N върху три взаимно перпендикулярни области, минаващи през тази точка. Тъй като всяко общо напрежение може да се разложи на три компонента, състоянието на напрежение ще бъде определено, ако са известни девет компонента на напрежение. Тези компоненти могат да бъдат записани като матрица
,
наречена матрица на компонентите на тензора на напрежението в точка.
Всяка хоризонтална линия на матрицата съдържа три компонента на напрежение, действащи върху една област, тъй като първите икони (името на нормалата) са еднакви. Всяка вертикална колона на тензора съдържа три напрежения, успоредни на една и съща ос, тъй като техните втори икони (името на оста, успоредна на която действа напрежението) са еднакви.
1.2 Уравнения на равновесие за елементарен паралелепипед
и елементарен тетраедър
Нека изберем елементарен паралелепипед с размери на ръба dx, dy и dz в изследваната точка A (с координати x, y и z) на напрегнато еластично тяло от три взаимно перпендикулярни двойки равнини (фиг. 2). По всяка от трите взаимно перпендикулярни стени, съседни на точка А (най-близка до координатните равнини), ще действат три компоненти на напрежението - нормална и две тангенциални. Приемаме, че по стените, съседни на точка А, те са положителни.
При преместване от лицето, преминаващо през точка А, към успоредното лице, напреженията се променят и получават увеличения. Например, ако по CAD лицето, минаващо през точка A, компонентите на напрежението σ x = f 1 (x,y,z), τ xy =f 2 (x,y,z,), τ xz =f 3 (x , y,z,), тогава по паралелното лице, поради нарастването само на една координата x при преминаване от едно лице към друго, ще действа
компоненти на напрежението Възможно е да се определят напреженията върху всички страни на елементарен паралелепипед, както е показано на фиг. 3.
В допълнение към напреженията, приложени към лицата на елементарен паралелепипед, върху него действат обемни сили: сили на тегло, инерционни сили. Нека означим проекциите на тези сили на единица обем върху координатните оси с X, Y и Z. Ако приравним към нула сумата от проекциите върху оста x на всички нормални, тангенциални и обемни сили,
действащ на елементарен паралелепипед, то след редукция с произведението dxdydz получаваме уравнението
.
След като съставихме подобни уравнения за проекциите на силите върху осите y и z, ще напишем три диференциални уравнения за равновесието на елементарен паралелепипед, получени от Коши,
Когато размерите на паралелепипеда се намалят до нула, той се превръща в точка, а σ и τ представляват компонентите на напрежението по три взаимно перпендикулярни области, минаващи през точка А.
Ако приравним към нула сумата от моментите на всички сили, действащи върху елементарен паралелепипед спрямо оста x c, успоредна на оста x и минаваща през неговия център на тежестта, получаваме уравнението
или, като се вземе предвид факта, че вторият и четвъртият член на уравнението от по-висок ред са малки в сравнение с останалите, след намаляване с dxdydz
τ yz - τ zy = 0 или τ yz = τ zy.
След като съставихме подобни уравнения на моменти спрямо централните оси y c и z c , получаваме три уравнения за закона за сдвояване на тангенциалните напрежения
τ xy = τ yx, τ yx = τ xy, τ zx = τ xz. (1.3)
Този закон е формулиран, както следва:тангенциалните напрежения, действащи по взаимно перпендикулярни области и насочени перпендикулярно на линията на пресичане на зоните, са равни по големина и еднакви по знак.
По този начин, от деветте компонента на напрежението на матрицата на тензора T σ, шест са по двойки равни един на друг и за да се определи състоянието на напрежение в точка, е достатъчно да се намерят само следните шест компонента на напрежение:
.
Но компилираните условия на равновесие ни дадоха само три уравнения (1.2), от които шест неизвестни не могат да бъдат намерени. Така пряката задача за определяне на напрегнатото състояние в дадена точка в общия случай е статически неопределима. За да се разкрие тази статична неопределеност, са необходими допълнителни геометрични и физически зависимости.
Нека разчленим елементарен паралелепипед в точка А с равнина, наклонена към лицата му; нека нормалата N към тази равнина има насочващи косинуси l, m и n, получената геометрична фигура (фиг. 4) е пирамида с триъгълна основа - елементарен тетраедър. Ще приемем, че точка А съвпада с началото на координатите, а три взаимно перпендикулярни стени на тетраедъра съвпадат с координатните равнини.
Ще бъдат разгледани компонентите на напрежението, действащи по тези стени на тетраедъра
положителен. Те са показани на фиг. 4. Нека означим с , и проекциите на общото напрежение p N, действащо по протежение на наклонената страна на тетраедъра BCD върху осите x, y и z. Нека означим площта на наклоненото лице BCD като dF. Тогава площта на лицето АВС ще бъде dFп, площта на лицето ACD - dFl и лицето АДВ - dFт.
Нека създадем уравнение на равновесие за тетраедър, като проектираме всички сили, действащи по протежение на лицата му върху оста x; проекцията на силата на тялото не е включена в уравнението на проекцията, така че
като величина от по-висок порядък на малкост в сравнение с проекциите на повърхностните сили:
След като съставихме уравнения за проекцията на силите, действащи върху тетраедъра по осите y и z, получаваме още две подобни уравнения. В резултат на това ще имаме три уравнения на равновесие за елементарен тетраедър
Нека разделим пространствено тяло с произволна форма чрез система от взаимно перпендикулярни равнини xOy, yOz и xOz (фиг. 5) на множество елементарни паралелепипеди. В същото време на повърхността на тялото се образуват елементарни елементи.
тетраедри (криволинейните участъци от повърхността, поради тяхната малка площ, могат да бъдат заменени с равнини). В този случай p N ще представлява натоварването на повърхността, а уравненията (1.4) ще свързват това натоварване с напреженията σ и τ в тялото, т.е. те ще представляват граничните условия на задачата на теорията на еластичността. Условията, определени от тези уравнения, се наричат условия на повърхността.
Трябва да се отбележи, че в теорията на еластичността външните натоварвания се представят чрез нормални и тангенциални напрежения, приложени по някакъв закон към области, съвпадащи с повърхността на тялото.
1.3 Нормални и срязващи напрежения по наклонен склон
сайт
Да разгледаме елементарен тетраедър ABCD, три от чиито стени са успоредни на координатните равнини, а нормалата N към четвъртата стена сключва ъгли с координатните оси, косинусите на които са равни на l, m и n (фиг. 6). ). Ще приемем, че са дадени нормалните и тангенциалните компоненти на напрежение, действащи по протежение на области, лежащи в координатните равнини, и ще определим напреженията върху зоната BCD. Нека изберем нова система от правоъгълни координатни оси x 1, y 1 и z 1, така че оста x 1 да съвпада с нормалното N,
Осесиметрични задачи от теорията на еластичността (лекции)
Ролята на изчисленията на якост и коравина в съвременното машиностроене става все по-важна, а самите изчисления стават все по-сложни. Решението на повечето от възникващите проблеми е достъпно само за висококвалифицирани специалисти.
Въпросите, свързани с изчисленията на структурни елементи, се разглеждат в такива традиционни дисциплини като „Съпротивление на материалите“, „Строителна механика“, „Теория на еластичността“, в различни комбинации и обеми, представени в учебната програма на механичните специалности на университетите. Съответните материали са разпръснати из множество литературни източници и са силно претоварени с теоретичната част, представена на ниво читател с висока математическа подготовка. Те често не подчертават методологичната основа за решаване на проблеми и също така не предоставят достатъчен брой примери от изчислителната инженерна практика.
Една от целите на този лекционен курс е компактно представяне на основите на математическата линейна теория на еластичността с акцент върху нейните методи, използвани в практически приложения. Друга цел е да се покаже на конкретни примери за машинни елементи (дебелостенни тръби, плочи, черупки) как се прилага математическият апарат на тази теория при изучаване на изчислителните формули и как последните се използват в конкретни примери. Това беше направено в статична еластична формулировка за най-често срещания клас осесиметрични задачи, които са най-прости по отношение на влиянието върху този апарат на геометрията и характера на натоварването на изследваните обекти.
Запознаването с този курс значително ще улесни по-нататъшното изучаване на методите за проектиране и изчисляване на сложни машини и конструкции, които изобилстват в съвременната технология. Тези методи понастоящем се стремят да отразяват такива характеристики на изчисленията на структурни елементи като нестационарни температурни условия, променливи параметри на еластичност, възможна слоеста или подсилена структура, пластични деформации и деформации на пълзене, и с възможно най-пълно отчитане на параметрите както на движението, така и геометрията на изследваните обекти. В повечето случаи това се извършва само с помощта на съвременни числени методи с последващото им внедряване на компютър.
|
№ |
Раздели |
Основно съдържание |
|
Основи на теорията на еластичността |
Основни положения, предположения и обозначения. Уравнения на равновесие за елементарен паралелепипед и елементарен тетраедър. Нормални и срязващи напрежения по наклонена платформа. Определяне на основните напрежения и най-големите тангенциални напрежения в точка. Напрежения по октаедрични места. Концепцията за движение. Зависимости между деформации и премествания. Относителна линейна деформация в произволна посока. Уравнения за деформационна съвместимост. Равнинна задача в правоъгълни координати. Равнинна задача в полярни координати. Възможни решения на проблеми в теорията на еластичността. Решаване на задачи по движения. Решаване на проблеми при стрес. Случаят на температурно поле. |
|
|
Най-простите осесиметрични задачи |
Уравнения в цилиндрични координати. Деформация на дебелостенен сферичен съд. Концентрирана сила, действаща върху равнина. Специални случаи на натоварване на еластично полупространство. Натискане на абсолютно твърда топка в еластично полупространство. Проблемът с еластичното смачкване на топки. |
|
|
Дебелостенни тръби |
Обща информация. Уравнение на равновесие за тръбен елемент. Изследване на напреженията под налягане върху една от веригите. Условия на якост при еластична деформация. Напрежения в композитни тръби. Концепцията за изчисляване на многослойни тръби. Примери. |
|
|
Плочи, мембрани |
Основни дефиниции и допускания. Диференциални уравнения на извитата средна повърхност на плоча в правоъгълни координати. Цилиндрично и сферично огъване на плочата. Огъващи моменти при осесиметрично огъване на кръгла плоча. Диференциално уравнение за извитата средна повърхност на кръгла плоча. Гранични условия. Най-големите напрежения и деформации. Условия на якост. Температурни напрежения в плочите. Определяне на силите в мембраните. Верижни сили и напрежения. Примери. |
|
|
Приблизително определяне на деформация и напрежение в кръгла мембрана. |
Черупки Обща информация за черупките. Понятия за изчисляване на черупка с произволна форма. Черупка на въртене, натоварена с нормално налягане. Огъване на цилиндрична кръгла черупка. Определяне на сили и премествания в дълга цилиндрична обвивка. Дълга цилиндрична черупка, подсилена с пръстени. |
Локални напрежения в интерфейса на черупките.ТЕОРИЯ ЗА ЕЛАСТИЧНОСТТА
Броят на възможните примери е неограничен - от определяне на деформациите и напреженията в греда, лежаща върху опори и натоварена със сили, до изчисляване на същите стойности в конструкцията на самолет, кораб, подводница, в колело на карета, в броня при удар от снаряд, в планинска верига при преминаване през навес, в рамката на висока сграда и др. Тук трябва да се направи едно предупреждение: структурите, състоящи се от тънкостенни елементи, се изчисляват с помощта на опростени теории, логически базирани на теорията на еластичността; Тези теории включват: теорията на устойчивостта на материалите към натоварвания (известната „съпротивление на якост“), чиято задача е главно да изчислява пръти и греди; строителна механика – изчисляване на прътови системи (например мостове); и накрая, теорията на черупките е по същество самостоятелна и много силно развита област на науката за деформациите и напреженията, обект на изследване на които са най-важните конструктивни елементи - тънкостенни черупки - цилиндрични, конични, сфероидни и имащи по-сложни форми. Следователно в теорията на еластичността обикновено се разглеждат тела, чиито основни размери не се различават твърде много. Така се разглежда еластично тяло с дадена форма, върху което действат известни сили.
Основните понятия на теорията на еластичността са напреженията, действащи върху малки площи, които могат да бъдат мислено начертани в тялото през дадена точка М, деформации на малка околност на точка Ми преместване на самата точка М. По-точно, въвеждат се тензори на напрежение s ij, тензор на малка деформация e ijи вектор на изместване u i.
Кратко обозначение s ij, където индексите аз, йвземете стойности 1, 2, 3 трябва да се разбира като матрица от формата:
Кратката нотация за тензора e трябва да се разбира по подобен начин ij.
Ако физическа точка на тялото Мпоради деформация зае нова позиция в пространството М´, тогава векторът на изместване е вектор с компоненти ( u x u y u z), или накратко u i. В теорията на малките деформации компонентите u iи д азсе считат за малки количества (стриктно погледнато, безкрайно малки). Компоненти на тензора e ijи вектор u ijса свързани с формули на Коши, които имат формата:
Ясно е, че e xy= д yxи, най-общо казано, напр ij= д джи, така че тензорът на деформацията е симетричен по дефиниция.
Ако еластичното тяло е в равновесие под действието на външни сили (т.е. скоростите на всички негови точки са равни на нула), тогава всяка част от тялото, която може да бъде психически изолирана от него, също е в равновесие. Малък (строго погледнато, безкрайно малък) правоъгълен паралелепипед се откроява от тялото, чиито краища са успоредни на координатните равнини на декартовата система Oxyz(фиг. 1).
Нека ръбовете на паралелепипеда имат дължини dx, dy, дзсъответно (тук, както обикновено dxима диференциал хи т.н.). Според теорията на напрежението компонентите на тензора на напрежението действат върху лицата на паралелепипед, които се означават:
на ръба OADG:с xx, s xy, s xz
на ръба OABC:с yx, s yy, s yz
на ръба ДАБЕ:с zx, s зи, s zz
в този случай компоненти със същите индекси (например s xx) действат перпендикулярно на лицето, а с различни индекси - в равнината на площадката.
На противоположните страни стойностите на едни и същи компоненти на тензора на напрежението са малко по-различни, това се дължи на факта, че те са функции на координати и се променят от точка на точка (винаги, освен в известните най-прости случаи) и малката промяна е свързана с малките размери на паралелепипеда, така че можем да приемем, че ако на ръба OABCсе прилага напрежение s yy, тогава на ръба GDEFсе прилага напрежение s yy+ds yyи малка стойност на ds yyточно поради своята малка част, тя може да бъде определена с помощта на разширение в редица на Тейлър:
(тук се използват частни производни, тъй като компонентите на тензора на напрежението зависят от х, г, z).
По подобен начин можем да изразим ударенията върху всички лица чрез s ijи ds ij. След това, за да преминете от напрежения към сили, трябва да умножите големината на напрежението по площта на зоната, върху която действа (например s yy+ds yyумножете по dx dz). Когато се определят всички сили, действащи върху паралелепипеда, е възможно, както се прави в статиката, да се запише уравнението на равновесието на тялото, докато във всички уравнения за главния вектор ще останат само членове с производни, тъй като самите напрежения взаимно се отменят и факторите dx dy dzса намалени и в резултат на това
По същия начин се получават уравнения на равновесие, изразяващи равенството на нула на главния момент на всички сили, действащи върху паралелепипеда, които се свеждат до вида:
Тези равенства означават, че тензорът на напрежението е симетричен тензор. Така за 6 неизвестни компонента s ijима три равновесни уравнения, т.е. уравненията на статиката не са достатъчни за решаване на проблема. Изходът е да се изразят напреженията s ijчрез деформации e ijизползвайки уравненията на закона на Хук и след това деформацията e ijизразяват чрез движения u iкато използвате формулите на Коши и заменете резултата в уравненията на равновесието. Това създава три диференциални равновесни уравнения за три неизвестни функции u x u y u z, т.е. броят на неизвестните е равен на броя на уравненията. Тези уравнения се наричат уравнения на Ламе
масовите сили (тегло и т.н.) не се вземат предвид
D – оператор на Лаплас, т.е
Сега трябва да зададете гранични условия на повърхността на тялото;
Основните видове тези състояния са следните:
1. На известна част от повърхността на тялото S 1 са посочени премествания, т.е. векторът на изместване е равен на известния вектор с компоненти ( f x; f y ; f z ):
u x = f(xyz)
u y= f(xyz)
u z = f(xyz)
(f x, f y, f z– известни координатни функции)
2. На останалата повърхност СПосочени са 2 повърхностни сили. Това означава, че разпределението на напрежението вътре в тялото е такова, че стойностите на напрежението в непосредствена близост до повърхността и в границата, на повърхността във всяка елементарна зона, създават вектор на напрежение, равен на известния вектор на външно натоварване с компоненти ( Fx ;Fy ; Fz) повърхностни сили. Математически се записва така: ако в точка Аповърхност, единичният нормален вектор към тази повърхност има компонентите n x, n y, n zтогава в тази точка равенствата трябва да бъдат изпълнени по отношение на (неизвестните) компоненти s ij: д ij, тогава за три неизвестни получаваме шест уравнения, тоест свръхопределена система. Тази система ще има решение само ако са изпълнени допълнителни условия относно e ij. Тези условия са уравненията на съвместимостта.
Тези уравнения често се наричат условия на непрекъснатост, което означава, че те осигуряват непрекъснатостта на тялото след деформация. Този израз е фигуративен, но неточен: тези условия осигуряват съществуването на непрекъснато поле от премествания, ако вземем компонентите на деформациите (или напреженията) като неизвестни. Неизпълнението на тези условия не води до нарушаване на непрекъснатостта, а до липса на решение на проблема.
По този начин теорията на еластичността предоставя диференциални уравнения и гранични условия, които позволяват да се формулират гранични задачи, чието решение предоставя пълна информация за разпределението на напреженията, деформациите и преместванията в разглежданите тела. Методите за решаване на такива проблеми са много сложни и най-добри резултати се получават чрез комбиниране на аналитични методи с числени с помощта на мощни компютри.
Владимир Кузнецов
Създаването на теорията за еластичността и пластичността като самостоятелен клон на механиката е предшествано от работата на учените от 17-ти и 18-ти век дори в началото на 17-ти век. Г. Галилей (1564-1642) прави опит да реши проблемите с разтягане и огъване на греда. Той беше един от първите, които се опитаха да приложат изчисления към проблемите на гражданското инженерство.
Теорията за огъване на тънки еластични пръти е изучавана от такива изключителни учени като Е. Мариот, Дж. Бернули старши, С.О. Кулон, Л. Ойлер, а формирането на теорията за еластичността като наука може да се свърже с трудовете на Р. Гун, Т. Юнг, Дж.Л. Лагранж, С. Жермен.
Робърт Хук (1635-1703) полага основите на механиката на еластичните тела, като публикува през 1678 г. r. работа, в която описва установения от него закон за пропорционалност между натоварването и деформацията на опън. Томас Йънг (1773-1829) в самото начало на 19 век. въвежда понятието модул на еластичност при опън и компресия. Той също така установи разграничение между деформация на опън или натиск и деформация на срязване. От това време датират творбите на Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) и Софи Жермен (1776-1831). Те намериха решение на проблема с огъването и вибрациите на еластичните плочи. Впоследствие теорията на плочите е подобрена от S. Poisson и 781-1840) и L. Navier (1785-1836).
И така, в края на 18-ти и началото на 19-ти век. са положени основите на якостта на материалите и е създадена почвата за възникването на теорията за еластичността. Бързото развитие на технологиите постави огромен брой практически проблеми пред математиката, което доведе до бързото развитие на теорията. Един от многото важни проблеми беше проблемът с изучаването на свойствата на еластичните материали. Решението на този проблем направи възможно по-задълбочено и пълно изследване на вътрешните сили и деформации, които възникват в еластично тяло под въздействието на външни сили.
Датата на възникване на математическата теория на еластичността трябва да се счита за 1821 г., когато е публикувана работата на L. Navier, в която са формулирани основните уравнения.
Големите математически трудности при решаването на проблеми в теорията на еластичността привлякоха вниманието на много изключителни математици от 19 век: Ламе, Клапейрон, Поасон и др. Теорията на еластичността беше доразвита в трудовете на френския математик О. Коши ( 1789-1857), който въвежда концепцията за деформация и напрежение, като по този начин опрости извеждането на общи уравнения.
През 1828 г. основният апарат на математическата теория на еластичността намира своето завършване в трудовете на френските учени и инженери Г. Ламе (1795-1870) и Б. Клапейрон (1799-1864), които по това време преподават в института на железопътните инженери в Санкт Петербург. Тяхната съвместна работа осигури приложение на общи уравнения за решаване на практически задачи.
Решаването на много проблеми в теорията на еластичността става възможно след като френският механик Б. Сен-Венан (1797-1886) излага принципа, който носи неговото име, и предлага ефективен метод за решаване на проблеми в теорията на еластичността. Неговата заслуга, според известния английски учен А. Лав (1863-1940), се състои и в това, че той свързва проблемите на усукване и огъване на греди с общата теория.
Ако френските математици се занимаваха главно с общи проблеми на теорията, тогава руските учени направиха голям принос за развитието на науката за силата, като решиха много неотложни практически проблеми. От 1828 до 1860 г. изключителният учен М. В. Остроградски (1801-1861) преподава математика и механика в техническите университети в Санкт Петербург. Неговите изследвания върху вибрациите, възникващи в еластична среда, са важни за развитието на теорията на еластичността. Остроградски обучи цяла плеяда учени и инженери. Сред тях трябва да се нарече D.I. за тангенциални напрежения в огъваща греда.
A. V. Gadolin (1828-1892) прилага проблема на Lame за осесиметрична деформация на дебелостенна тръба за изследване на напреженията, възникващи в дулата на артилерийските оръдия, като е един от първите, които прилагат теорията на еластичността към конкретен инженерен проблем.
Сред другите проблеми, решени в края на 19-ти век, заслужава да се отбележи работата на Х. С. Головин (1844-1904), който извършва точно изчисление на извита греда, използвайки методите на теорията на еластичността, което прави възможно определяне на степента на точност на приблизителните решения.
Голяма заслуга за развитието на науката за силата принадлежи на В. Л. Кирпичев (1845-1913). Той успя значително да опрости различни методи за изчисляване на статично неопределени структури. Той е първият, който прилага оптичния метод за експериментално определяне на напреженията и създава метода на подобието.
Тясната връзка със строителната практика, почтеността и дълбочината на анализа характеризират съветската наука. И. Г. Бубнов (1872-1919) разработи нов приближен метод за интегриране на диференциални уравнения, блестящо разработен от Б. Г. Галеркин (1871-1945). Понастоящем широко се използва вариационният метод на Бубнов-Галеркин. Трудовете на тези учени в теорията на огъването на плочите са от голямо значение. Продължавайки изследванията на Галеркин, P.F. получи нови важни резултати. Папкович (1887-1946).
Метод за решаване на равнинна задача в теорията на еластичността, основан на прилагането на теорията на функциите на комплексна променлива, е предложен от G.V. Колосов (1867-1936). Впоследствие този метод е разработен и обобщен от N.I. Мусхелишвили (1891-1976). Редица проблеми за стабилността на пръти и плочи, вибрации на пръти и дискове и теорията на удара и компресията на еластични тела бяха решени от A.N. Динник (1876-1950). Трудовете на L.S. Лейбензон (1879-1951) за стабилността на еластичното равновесие на дълги усукани пръти, за устойчивостта на сферични и цилиндрични черупки. Основните трудове на В. З. Власов (1906-1958) по общата теория на тънкостенните пространствени пръти, сгънати системи и черупки са от голямо практическо значение.
Теорията на пластичността има по-кратка история. Първата математическа теория за пластичността е създадена от Сен-Венан през 70-те години на 19 век. въз основа на опитите на френския инженер Г. Треска. В началото на 20в. Р. Мизес работи върху проблемите на пластичността. Г. Генки, Л. Прандтл, Т. Карман. От 30-те години на 20-ти век теорията за пластичността привлича вниманието на широк кръг видни чуждестранни учени (А. Надаи, Р. Хил, В. Прагер, Ф. Ходж, Д. Дракър и др.). Широко известни са трудовете по теория на пластичността на съветските учени В.В. Соколовски, А.Ю. Ишлинский, Г.А. Смирнова-Аляева, Л. М. Качанова. Фундаментален принос за създаването на деформационната теория на пластичността е направен от A.A. Илюшин. А.А. Гвоздев разработи теория за изчисляване на плочи и черупки на базата на разрушителни натоварвания. Тази теория беше успешно развита от A.R. Ржаницин.
Теорията на пълзенето като клон на механиката на деформируемото тяло се формира сравнително наскоро. Първите изследвания в тази област датират от 20-те години на 20 век. Общият им характер се определя от факта, че проблемът за пълзенето е бил от голямо значение за енергетиката и инженерите са били принудени да търсят прости и бързо водещи до целта методи за решаване на практически проблеми. При създаването на теорията на пълзенето голяма роля принадлежи на онези автори, които имат значителен принос за създаването на съвременната теория на пластичността. оттук и общността на много идеи и подходи. В нашата страна първите работи по механичната теория на пълзенето принадлежат на Н.М. Беляев (1943), К.Д. Миртов (1946 г.), първите изследвания на Н. Н. Малинин, Ю. Н. датират от края на 40-те години. Работнова.
Изследванията в областта на еластично-вискозните тела са извършени в трудовете на A.Yu. Ишлинский, А.Н. Герасимова, А.Р. Ржаницина, Ю.Н. Работнова. Приложението на тази теория към стареещи материали, предимно бетон, е дадено в трудовете на N.X. Арутюнян, А.А. Гвоздева, Г.Н.Маслова. Голямо количество изследвания на пълзенето на полимерни материали са извършени от изследователски екипи, ръководени от A.A. Илюшина, А.К. Малмайстър, М.И. Розовски, Г.Н. Савина.
Съветската държава обръща голямо внимание на науката. Организацията на изследователски институти и участието на големи екипи от учени в разработването на актуални проблеми позволиха да се издигне съветската наука на по-високо ниво.
В кратък преглед не е възможно да се спрем по-подробно на работата на всички учени, допринесли за развитието на теорията за еластичността и пластичността. Тези, които желаят да се запознаят подробно с историята на развитието на тази наука, могат да се обърнат към учебника на Н.И. Безухов, където е даден подробен анализ на основните етапи в развитието на теорията на еластичността и пластичността, както и обширна библиография.
1.1.Основни хипотези, принципи и определения
Теорията на напрежението като клон на механиката на континуума се основава на редица хипотези, основната от които трябва да се нарече хипотеза за непрекъснатост и естествено (фоново) състояние на напрежение.
Съгласно хипотезата за непрекъснатост всички тела се приемат за напълно непрекъснати както преди прилагането на натоварването (преди деформацията), така и след неговото действие. В този случай всеки обем на тялото остава твърд (непрекъснат), включително елементарният обем, т.е. безкрайно малкият. В тази връзка деформациите на тялото се считат за непрекъснати функции на координатите, когато материалът на тялото се деформира без образуване на пукнатини или прекъснати гънки в него.
Хипотезата за естествено състояние на стрес предполага наличието на първоначално (фоново) ниво на напрежение в тялото, обикновено приемано за нула, а действителните напрежения, причинени от външно натоварване, се считат за нарастване на напрежението над естественото ниво.
Наред с горепосочените основни хипотези, в теорията на напрежението се възприемат и редица фундаментални принципи, сред които на първо място е необходимо да се спомене придаването на телата на идеална еластичност, сферична изотропия, перфектна хомогенност и линейна връзка между напреженията и деформациите.
Идеалната еластичност е способността на материалите, подложени на деформация, да възстановят първоначалната си форма (размер и обем) след отстраняване на външното натоварване (външно въздействие). Почти всички скали и повечето строителни материали имат известна степен на еластичност; тези материали включват както течности, така и газове.
Сферичната изотропия предполага едни и същи свойства на материалите във всички посоки на действие на товара; нейният антипод е анизотропията, т.е. различията в свойствата в различни посоки (някои кристали, дърво и др.). В същото време понятията сферична изотропия и хомогенност не трябва да се бъркат: например, хомогенната структура на дървото се характеризира с анизотропия - разликата в здравината на дървото по протежение и напречно на влакната. Еластични, изотропни и хомогенни материали се характеризират с линейна връзка между напреженията и деформациите, описана от закона на Хук, който е разгледан в съответния раздел на учебника.
Основният принцип в теорията на напрежението (и деформацията, наред с други неща) е принципът на локалното действие на самоуравновесени външни натоварвания - принципът на Сен-Венан. Съгласно този принцип, балансирана система от сили, приложени към тялото във всяка точка (линия), причинява напрежение в материала, което бързо намалява с разстоянието от мястото, където се прилага натоварването, например според експоненциален закон. Пример за такова действие би било рязане на хартия с ножица, което деформира (отрязва) безкрайно малка част от листа (линия), докато останалата част от листа хартия няма да бъде нарушена, тоест ще се появи локална деформация. Прилагането на принципа на Saint-Venant спомага за опростяване на математическите изчисления при решаване на проблеми с определянето на ДДС, като замества дадено натоварване, което е трудно да се опише математически, с по-просто, но еквивалентно.
Говорейки за предмета на изследване в теорията на стреса, е необходимо да се даде дефиниция на самото напрежение, което се разбира като мярка на вътрешните сили в тялото, в рамките на определен участък от него, разпределени в разглеждания участък и противодействие на външното натоварване. В този случай напреженията, действащи върху напречната област и перпендикулярни на нея, се наричат нормални; Съответно напреженията, успоредни на тази област или докосващи я, ще бъдат тангенциални.
Разглеждането на теорията на напрежението се опростява чрез въвеждане на следните допускания, които практически не намаляват точността на получените решения:
Относителните удължения (съкращения), както и относителните измествания (ъгли на срязване) са много по-малки от единица;
Преместванията на точките на тялото по време на неговата деформация са малки в сравнение с линейните размери на тялото;
Ъглите на въртене на секциите по време на огъваща деформация на тялото също са много малки в сравнение с единица и техните квадрати са незначителни в сравнение със стойностите на относителните линейни и ъглови деформации.