طرق حل أنظمة المعادلات المنطقية في علوم الكمبيوتر. أنظمة المعادلات المنطقية في مشاكل امتحان الدولة الموحدة في علوم الكمبيوتر

موضوع الدرس: حل المعادلات المنطقية

تعليمية – دراسة طرق حل المعادلات المنطقية، وتطوير المهارات في حل المعادلات المنطقية وبناء تعبير منطقي باستخدام جدول الحقيقة؛

التنموية - تهيئة الظروف لتنمية الاهتمام المعرفي لدى الطلاب، وتعزيز تنمية الذاكرة والانتباه والتفكير المنطقي؛

التعليمية : تعزيز القدرة على الاستماع لآراء الآخرين،تعزيز الإرادة والمثابرة لتحقيق النتائج النهائية.

نوع الدرس: درس مشترك

معدات: الكمبيوتر، جهاز عرض الوسائط المتعددة، العرض 6.

خلال الفصول الدراسية

تكرار وتحديث المعرفة الأساسية. التحقق من الواجبات المنزلية (10 دقائق)

تعرفنا في الدروس السابقة على القوانين الأساسية للجبر المنطقي وتعلمنا كيفية استخدام هذه القوانين لتبسيط التعبيرات المنطقية.

دعونا نتحقق من واجبنا المنزلي حول تبسيط التعبيرات المنطقية:

1. أي الكلمات التالية تحقق الشرط المنطقي:

(الحرف الأول ساكن → الحرف الثاني ساكن)٨ (حرف العلة الأخير → حرف العلة قبل الأخير)؟ إذا كان هناك العديد من هذه الكلمات، فحدد أصغرها.

1) آنا 2) ماريا 3) أوليغ 4) ستيبان

دعونا نقدم التدوين التالي:

أ- الحرف الأول الساكن

ب – الحرف الثاني الساكن

س - حرف العلة الأخير

د – حرف العلة قبل الأخير

دعونا نجعل التعبير:

لنقم بعمل جدول:

2. حدد التعبير المنطقي الذي يعادل التعبير

دعونا نبسط تسجيل التعبير الأصلي والخيارات المقترحة:

3. بالنظر إلى جزء من جدول الحقيقة للتعبير F:

ما التعبير الذي يطابق F؟

دعونا نحدد قيم هذه التعبيرات لقيم الوسائط المحددة:

مقدمة لموضوع الدرس وعرض مادة جديدة (30 دقيقة)

نواصل دراسة أساسيات المنطق وموضوع درسنا اليوم هو "حل المعادلات المنطقية". بعد دراسة هذا الموضوع ستتعلم الطرق الأساسية لحل المعادلات المنطقية، وتكتسب مهارات حل هذه المعادلات باستخدام لغة الجبر المنطقي والقدرة على تكوين تعبير منطقي باستخدام جدول الحقيقة.

1. حل معادلة منطقية

(¬ك م) → (¬L م ن) =0

اكتب إجابتك كسلسلة من أربعة أحرف: قيم المتغيرات K وL وM وN (بهذا الترتيب). لذلك، على سبيل المثال، السطر 1101 يتوافق مع حقيقة أن K=1، L=1، M=0، N=1.

حل:

دعونا تحويل التعبير(¬ك  م) → (¬L  م  ن)

يكون التعبير خاطئًا عندما يكون كلا المصطلحين خاطئين. الحد الثاني يساوي 0 إذا كان M = 0، N = 0، L = 1. في الفصل الأول K = 0، حيث أن M = 0، و
.

الجواب: 0100

2. كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة (أشر فقط إلى الرقم في إجابتك)؟

الحل: تحويل التعبير

(أ +ب)*(ج +د)=1

أ + ب = 1 و ج + د = 1

الطريقة الثانية: رسم جدول الحقيقة

3 طريقة: بناء SDNF - الشكل الطبيعي المنفصل المثالي لوظيفة - انفصال عن أدوات الاقتران الأولية المنتظمة الكاملة.

دعونا نحول التعبير الأصلي، ونفتح الأقواس للحصول على انفصال أدوات العطف:

(أ+ب)*(ج+د)=أ*ج+ب*ج+أ*د+ب*د=

دعونا نكمل أدوات العطف لإكمال أدوات العطف (منتج جميع الوسائط)، افتح الأقواس:

لنأخذ بعين الاعتبار نفس الاقترانات:

ونتيجة لذلك، حصلنا على SDNF يحتوي على 9 اقترانات. ولذلك، فإن جدول الحقيقة لهذه الوظيفة له القيمة 1 في 9 صفوف من 2 4 = 16 مجموعة من القيم المتغيرة.

3. كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة (أشر فقط إلى الرقم في إجابتك)؟

دعونا نبسط التعبير:

3 طريقة: بناء SDNF

لنأخذ بعين الاعتبار نفس الاقترانات:

ونتيجة لذلك، نحصل على SDNF يحتوي على 5 اقترانات. ولذلك، فإن جدول الحقيقة لهذه الدالة له القيمة 1 على 5 صفوف من 2 4 = 16 مجموعة من القيم المتغيرة.

بناء تعبير منطقي باستخدام جدول الحقيقة:

لكل صف من جدول الحقيقة يحتوي على 1، نقوم بتكوين منتج من الوسائط، ويتم تضمين المتغيرات التي تساوي 0 في المنتج مع النفي، ويتم تضمين المتغيرات التي تساوي 1 بدون نفي. سيتكون التعبير المطلوب F من مجموع المنتجات الناتجة. ثم، إذا كان ذلك ممكنا، ينبغي تبسيط هذا التعبير.

مثال: يتم إعطاء جدول الحقيقة للتعبير. بناء تعبير منطقي.

حل:

3. الواجب المنزلي (5 دقائق)

حل المعادلة:

كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة (أشر فقط إلى الرقم في إجابتك)؟

باستخدام جدول الحقيقة المحدد، قم ببناء تعبير منطقي و

تبسيطها.

استخدام المعادلات منتشر على نطاق واسع في حياتنا. يتم استخدامها في العديد من العمليات الحسابية وبناء الهياكل وحتى الألعاب الرياضية. استخدم الإنسان المعادلات في العصور القديمة، ومنذ ذلك الحين زاد استخدامها. في الرياضيات، هناك بعض المشاكل التي تتعامل مع المنطق الافتراضي. لحل هذا النوع من المعادلات، يجب أن يكون لديك قدر معين من المعرفة: معرفة قوانين المنطق الافتراضي، ومعرفة جداول الحقيقة للدوال المنطقية لمتغير واحد أو متغيرين، وطرق تحويل التعبيرات المنطقية. بالإضافة إلى ذلك، تحتاج إلى معرفة الخصائص التالية للعمليات المنطقية: الاقتران، والانفصال، والانعكاس، والتضمين، والتكافؤ.

يمكن تحديد أي دالة منطقية للمتغيرات - \بواسطة جدول الحقيقة.

دعونا نحل عدة معادلات منطقية:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

لنبدأ الحل بـ \[X1\] ونحدد القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير: 0 و1. بعد ذلك، سننظر في كل من القيم المذكورة أعلاه ونرى ما يمكن أن يكون عليه \[X2.\].

كما يتبين من الجدول، تحتوي المعادلة المنطقية على 11 حلًا.

أين يمكنني حل معادلة منطقية عبر الإنترنت؟

يمكنكم حل المعادلة على موقعنا https://site. سيسمح لك الحل المجاني عبر الإنترنت بحل المعادلات عبر الإنترنت بأي تعقيد في غضون ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو ببساطة إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كان لا يزال لديك أسئلة، يمكنك طرحها في مجموعة VKontakte الخاصة بنا http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا، نحن سعداء دائمًا بمساعدتك.

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0، حيث J، K، L، M، N هي متغيرات منطقية؟

حل.

التعبير (N ∨ ¬N) صحيح لأي N، وبالتالي

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

دعونا نطبق النفي على طرفي المعادلة المنطقية ونستخدم قانون دي مورغان ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. نحصل على ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.

المجموع المنطقي يساوي 1 إذا كانت إحدى العبارات المكونة له على الأقل تساوي 1. لذلك، يتم استيفاء المعادلة الناتجة بأي مجموعة من المتغيرات المنطقية باستثناء الحالة التي تكون فيها جميع الكميات المضمنة في المعادلة تساوي 0. كل من يمكن أن تكون المتغيرات الأربعة مساوية لـ 1 أو 0، وبالتالي فإن جميع المجموعات الممكنة هي 2·2·2·2 = 16. لذلك، تحتوي المعادلة على 16 −1 = 15 حلًا.

بقي أن نلاحظ أن الحلول الـ 15 التي تم العثور عليها تتوافق مع أي من القيمتين المحتملتين للمتغير المنطقي N، وبالتالي فإن المعادلة الأصلية لديها 30 حلاً.

الجواب: 30

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

حيث J، K، L، M، N هي متغيرات منطقية؟

لا تحتاج الإجابة إلى سرد جميع مجموعات القيم المختلفة J وK وL وM وN التي تنطبق عليها هذه المساواة. كإجابة، تحتاج إلى الإشارة إلى عدد هذه المجموعات.

حل.

نحن نستخدم الصيغ A → B = ¬A ∨ B و ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

دعونا نفكر في الصيغة الفرعية الأولى:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

دعونا نفكر في الصيغة الفرعية الثانية

(ي ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

دعونا نفكر في الصيغة الفرعية الثالثة

1) M → J = 1،

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L؛

(0 ∨ ك) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

دعونا نجمع:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 وبالتالي 4 حلول.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K؛

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

دعونا نجمع:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L وبالتالي 4 حلول.

ج) م = 0 ي = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

الجواب: 4 + 4 = 8.

الجواب: 8

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

حيث K، L، M، N هي متغيرات منطقية؟ لا تحتاج الإجابة إلى سرد جميع مجموعات القيم المختلفة K وL وM وN التي تنطبق عليها هذه المساواة. كإجابة تحتاج إلى الإشارة إلى عدد هذه المجموعات.

حل.

دعونا نعيد كتابة المعادلة باستخدام تدوين أبسط للعمليات:

((ك + ل) → (ل م ن)) = 0

1) من جدول الحقيقة لعملية "التضمين" (انظر المشكلة الأولى) يترتب على ذلك أن هذه المساواة صحيحة إذا وفقط إذا كانت في نفس الوقت

ك + ل = 1 و ل م ن = 0

2) من المعادلة الأولى يتبع أن واحداً على الأقل من المتغيرين، K أو L، يساوي 1 (أو كليهما معًا)؛ لذلك دعونا ننظر في ثلاث حالات

3) إذا كانت K = 1 وL = 0، فإن المساواة الثانية تتحقق لأي M وN؛ نظرًا لوجود 4 مجموعات من متغيرين منطقيين (00 و01 و10 و11)، فلدينا 4 حلول مختلفة

4) إذا كان K = 1 وL = 1، فإن المساواة الثانية تنطبق على M · N = 0؛ هناك 3 مجموعات من هذا القبيل (00، 01 و10)، لدينا 3 حلول أخرى

5) إذا كان K = 0، فإن L = 1 (من المعادلة الأولى)؛ في هذه الحالة، تتحقق المساواة الثانية عندما يكون M · N = 0؛ هناك 3 مجموعات من هذا القبيل (00، 01 و10)، لدينا 3 حلول أخرى

6) في المجموع نحصل على 4 + 3 + 3 = 10 حلول.

الجواب: 10

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

(ك ∧ ل) ∨ (م ∧ ن) = 1

حل.

يكون التعبير صحيحًا في ثلاث حالات، عندما يكون (K ∧ L) و (M ∧ N) يساوي 01، 11، 10 على التوالي.

1) "01" K ∧ L = 0؛ M ∧ N = 1، => M، N يساوي 1، وK وL ليسا سوى 1 في نفس الوقت. لذلك، هناك 3 حلول.

2) "11" ك ∧ ل = 1؛ م ∧ ن = 1. => 1 حل.

3) "10" K ∧ L = 1؛ م ∧ ن = 0. => 3 حلول.

الجواب: 7.

الجواب: 7

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

(X ∧ Y ∨ Z) ← (Z ∨ P) = 0

حيث X، Y، Z، P هي متغيرات منطقية؟ لا تحتاج الإجابة إلى سرد جميع مجموعات القيم المختلفة التي تحملها هذه المساواة. كإجابة، ما عليك سوى الإشارة إلى عدد هذه المجموعات.

حل.

(X ∧ Y ∨ Z) ← (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0؛

المنطقية OR تكون خاطئة في حالة واحدة فقط: عندما يكون كلا التعبيرين خاطئين.

لذلك،

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0، P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; ص = 1.

ولذلك، هناك حل واحد فقط للمعادلة.

الجواب: 1

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

(ك ∨ ل) ∧ (م ∨ ن) = 1

حيث K، L، M، N هي متغيرات منطقية؟ لا تحتاج الإجابة إلى سرد جميع مجموعات القيم المختلفة K وL وM وN التي تنطبق عليها هذه المساواة. كإجابة، ما عليك سوى الإشارة إلى عدد هذه المجموعات.

حل.

منطقي ويكون صحيحًا فقط في حالة واحدة: عندما تكون جميع التعبيرات صحيحة.

ك ∨ ل = 1، م ∨ ن = 1.

كل معادلة تعطي 3 حلول.

خذ بعين الاعتبار المعادلة A ∧ B = 1، إذا أخذ كل من A و B قيمًا حقيقية في ثلاث حالات لكل منهما، فإن المعادلة في المجموع لها 9 حلول.

وبالتالي فإن الجواب هو 9.

الجواب: 9

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

((أ → ب)∧ ج) ∨ (د ∧ ¬د)= 1,

حيث A، B، C، D هي متغيرات منطقية؟

لا تحتاج الإجابة إلى سرد جميع مجموعات القيم المختلفة A، B، C، D التي تنطبق عليها هذه المساواة. كإجابة، تحتاج إلى الإشارة إلى عدد هذه المجموعات.

حل.

يكون "OR" المنطقي صحيحًا عندما تكون إحدى العبارات على الأقل صحيحة.

(D ∧ ¬D)= 0 لأي D.

لذلك،

(أ → ب)∧ ج) = 1 => ج = 1؛ A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1، مما يعطينا 3 حلول محتملة لكل D.

(D ∧ ¬ D)= 0 لأي D، مما يعطينا حلين (لـ D = 1، D = 0).

وبالتالي: مجموع الحلول 2*3 = 6.

مجموع 6 حلول.

الجواب: 6

كم عدد الحلول المختلفة التي تحتوي عليها المعادلة؟

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

حل.

دعونا نطبق النفي على طرفي المعادلة:

(ك ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

منطقي OR صحيح في ثلاث حالات.

الخيار 1.

K ∧ L ∧ M = 1، ثم K، L، M = 1، و¬L ∧ M ∧ N = 0. N عشوائي، أي حلان.

الخيار 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1، ثم N، M = 1؛ L = 0، K أي حلين.

وبالتالي فإن الجواب هو 4.

الجواب: 4

A وB وC هي أعداد صحيحة تكون العبارة صحيحة فيها

¬ (أ = ب) ∧ ((أ > ب)→(ب > ج)) ∧ ((ب > أ)←(ج > ب)).

ما قيمة B إذا كانت A = 45 و C = 43؟

حل.

يرجى ملاحظة أن هذا البيان المعقد يتكون من ثلاثة عبارات بسيطة

1) ¬(أ = ب); (أ > ب)→(ب > ج)؛ (ب > أ)→(ج > ب)؛

2) ترتبط هذه العبارات البسيطة بالعملية ∧ (AND، اقتران)، أي أنه يجب تنفيذها في وقت واحد؛

3) من ¬(A = B)=1 يتبع ذلك مباشرة A B؛

4) لنفترض أن A > B، ثم من الشرط الثاني حصلنا على 1→(B > C)=1؛ يمكن أن يكون هذا التعبير صحيحًا فقط إذا كان B > C = 1؛

5) وبالتالي لدينا A > B > C، فقط الرقم 44 هو الذي يتوافق مع هذا الشرط؛

6) تحسبًا، دعونا أيضًا نتحقق من الخيار A 0 →(B > C)=1;

وهذا التعبير صحيح بالنسبة لأي B؛ الآن ننظر إلى الشرط الثالث ونحصل عليه

يمكن أن يكون هذا التعبير صحيحًا إذا وفقط إذا كان C > B، وهنا لدينا تناقض، لأنه لا يوجد رقم B يمكن أن يكون له C > B > A.

الجواب: 44.

الجواب: 44

بناء جدول الحقيقة للدالة المنطقية

X = (أ ↔ ب) ∨ ¬(أ → (ب ∨ ج))

حيث عمود قيم الوسيطة A هو التمثيل الثنائي للرقم 27، وعمود قيم الوسيطة B هو الرقم 77، وعمود قيم الوسيطة C هو الرقم 120. الرقم في العمود مكتوب من الأعلى إلى الأسفل من الأكثر أهمية إلى الأقل أهمية (بما في ذلك المجموعة الصفرية). تحويل التمثيل الثنائي الناتج لقيم الدالة X إلى نظام الأرقام العشري.

حل.

لنكتب المعادلة باستخدام تدوين أبسط للعمليات:

1) هذا تعبير بثلاثة متغيرات، لذلك سيكون هناك خطوط في جدول الحقيقة؛ لذلك، يجب أن يتكون التمثيل الثنائي للأرقام المستخدمة في إنشاء أعمدة الجدول A وB وC من 8 أرقام

2) تحويل الأرقام 27 و 77 و 120 إلى النظام الثنائي، مع إضافة ما يصل إلى 8 أرقام من الأصفار على الفور في بداية الأرقام

3) من غير المحتمل أن تتمكن من كتابة قيم الدالة X على الفور لكل مجموعة، لذلك من الملائم إضافة أعمدة إضافية إلى الجدول لحساب النتائج المتوسطة (انظر الجدول أدناه)

أ	في	مع
0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

4) املأ أعمدة الجدول:

أ	في	مع					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

القيمة هي 1 فقط في تلك السطور حيث A = B

القيمة هي 1 في تلك السطور حيث إما B أو C = 1

القيمة هي 0 فقط في تلك السطور حيث A = 1 و B + C = 0

القيمة هي عكس العمود السابق (يتم استبدال 0 بـ 1، ويتم استبدال 1 بـ 0)

نتيجة X (العمود الأخير) هي المجموع المنطقي للعمودين و

5) للحصول على الإجابة، اكتب البتات من العمود X من الأعلى إلى الأسفل:

6) تحويل هذا الرقم إلى النظام العشري:

الجواب: 171

ما هو أكبر عدد صحيح X الذي تكون العبارة (10 (X+1)·(X+2)) صحيحة؟

حل.

المعادلة هي عملية ضمنية بين علاقتين:

1) بالطبع، يمكنك هنا تطبيق نفس الطريقة كما في المثال 2208، لكنك ستحتاج إلى حل المعادلات التربيعية (لا أريد ذلك...)؛

2) لاحظ أنه حسب الشرط نحن مهتمون فقط بالأعداد الصحيحة، حتى نتمكن من محاولة تحويل التعبير الأصلي بطريقة أو بأخرى، والحصول على عبارة مكافئة (لسنا مهتمين على الإطلاق بالقيم الدقيقة للجذور!)

3) خذ بعين الاعتبار المتباينة: من الواضح أنها يمكن أن تكون عددًا موجبًا أو سالبًا؛

4) من السهل التحقق من أن العبارة في المجال صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة، وفي المجال - لجميع الأعداد الصحيحة (حتى لا يتم الخلط بينك وبينه، فمن الملائم أكثر استخدام عدم المساواة غير الصارمة، و بدلاً من ذلك و )؛

5) لذلك، بالنسبة للأعداد الصحيحة، يمكن استبدالها بتعبير مكافئ

6) مجال حقيقة التعبير هو اتحاد فترتين لا نهائيتين؛

7) الآن فكر في المتباينة الثانية: من الواضح أنها يمكن أن تكون أيضًا عددًا موجبًا أو سالبًا؛

8) في المنطقة، يكون البيان صحيحًا لجميع الأعداد الصحيحة، وفي المنطقة - لجميع الأعداد الصحيحة، لذلك يمكن استبدال الأعداد الصحيحة بتعبير مكافئ

9) مجال صدق التعبير هو فترة مغلقة.

10) التعبير المعطى صحيح في كل مكان، باستثناء المناطق التي فيها و؛

11) يرجى ملاحظة أن القيمة لم تعد مناسبة، لأنه هناك و، أي أن المعنى الضمني يعطي 0؛

12) عند التعويض بـ 2 أو (10 (2+1) · (2+2)) أو 0 → 0 مما يحقق الشرط.

لذا فإن الجواب هو 2.

الجواب: 2

ما هو أكبر عدد صحيح X الذي تكون العبارة صحيحة؟

(50 (X+1)·(X+1))؟

حل.

دعونا نطبق التحويل الضمني ونحول التعبير:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

المنطقية OR تكون صحيحة عندما تكون عبارة منطقية واحدة على الأقل صحيحة. بعد حل المتباينتين ومراعاة أننا نرى أن أكبر عدد صحيح يرضي أحدهما على الأقل هو 7 (في الشكل، يظهر الحل الإيجابي للمتباينة الثانية باللون الأصفر، والأول باللون الأزرق).

الجواب: 7

وضح قيم المتغيرات K، L، M، N، التي عندها التعبير المنطقي

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

خطأ شنيع. اكتب الإجابة على شكل سلسلة مكونة من 4 أحرف: قيم المتغيرات K وL وM وN (بهذا الترتيب). لذلك، على سبيل المثال، السطر 1101 يتوافق مع حقيقة أن K=1، L=1، M=0، N=1.

حل.

تكرار المهمة 3584.

الجواب: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

حل.

دعونا نطبق التحول الضمني:

(ك ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

دعونا نطبق النفي على طرفي المعادلة:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

دعونا تحويل:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

لذلك، M = 0، N = 0، فكر الآن في (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

من حقيقة أن M = 0، N = 0، يتبع ذلك M ∧ L = 0، ثم ¬K ∧ L = 1، أي K = 0، L = 1.

الجواب: 0100

حدد قيم المتغيرات K، L، M، N التي يتم عندها التعبير المنطقي

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

خطأ شنيع. اكتب إجابتك كسلسلة من أربعة أحرف: قيم المتغيرات K وL وM وN (بهذا الترتيب). لذلك، على سبيل المثال، السطر 1101 يتوافق مع حقيقة أن K=1، L=1، M=0، N=1.

حل.

لنكتب المعادلة باستخدام تدوين أبسط للعمليات (الشرط "التعبير خاطئ" يعني أنه يساوي الصفر المنطقي):

1) من صياغة الشرط يترتب على ذلك أن التعبير يجب أن يكون خطأ لمجموعة واحدة فقط من المتغيرات

2) من جدول الحقيقة لعملية "التضمين" يترتب على ذلك أن هذا التعبير خاطئ إذا وفقط إذا كان في نفس الوقت

3) تتحقق المساواة الأولى (المنتج المنطقي يساوي 1) إذا وفقط إذا و ؛ ويترتب على ذلك (المجموع المنطقي يساوي صفر)، وهو ما يمكن أن يحدث فقط عندما ؛ وهكذا، قمنا بالفعل بتحديد ثلاثة متغيرات

4) من الشرط الثاني نحصل على .

يكرر المهمة

الجواب: 1000

تحديد قيم المتغيرات المنطقية P، Q، S، T، التي يتم عندها التعبير المنطقي

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) خطأ.

اكتب الإجابة على شكل سلسلة من أربعة أحرف: قيم المتغيرات P، Q، S، T (بهذا الترتيب).

حل.

(1) (ف ∨ ¬س) = 0

(2) (س → (س ∨ تي)) = 0

(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0، Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 دعونا نطبق التحويل الضمني:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0، T = 0.

الجواب: 0100

حدد قيم المتغيرات K، L، M، N التي يتم عندها التعبير المنطقي

(ك → م) ∨ (ل ∧ ك) ∨ ¬N

حل.

المنطقية OR تكون خاطئة إذا وفقط إذا كانت كلا العبارتين خاطئتين.

(K → M) = 0، (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

دعونا نطبق التحويل الضمني للتعبير الأول:

¬K ∨ M = 0 => K = 1، M = 0.

خذ بعين الاعتبار التعبير الثاني:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (انظر نتيجة التعبير الأول) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

الجواب: 1001.

الجواب: 1001

حدد قيم المتغيرات K، L، M، N التي يتم عندها التعبير المنطقي

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

حقيقي. اكتب إجابتك كسلسلة من أربعة أحرف: قيم المتغيرات K وL وM وN (بهذا الترتيب). لذلك، على سبيل المثال، السطر 1101 يتوافق مع حقيقة أن K=1، L=1، M=0، N=1.

حل.

يكون "AND" المنطقي صحيحًا إذا وفقط إذا كانت كلا العبارتين صحيحتين.

1) (K → M) = 1 قم بتطبيق التحويل الضمني: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 قم بتطبيق التحويل الضمني: ¬K ∨ ¬M = 1

ويترتب على ذلك أن ك = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 دعونا نطبق التحويل الضمني: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 من حقيقة أن K = 0 نحصل عليها.

هناك طرق مختلفة لحل أنظمة المعادلات المنطقية. هذا هو الاختزال إلى معادلة واحدة، وبناء جدول الحقيقة والتحليل.

مهمة:حل نظام المعادلات المنطقية:

دعونا نفكر طريقة الاختزال إلى معادلة واحدة . تتضمن هذه الطريقة تحويل المعادلات المنطقية بحيث يكون طرفها الأيمن مساويًا لقيمة الحقيقة (أي 1). للقيام بذلك، استخدم عملية النفي المنطقية. ثم، إذا كانت المعادلات تحتوي على عمليات منطقية معقدة، فإننا نستبدلها بعمليات أساسية: "AND"، "OR"، "NOT". الخطوة التالية هي دمج المعادلات في واحدة مكافئة للنظام باستخدام العملية المنطقية "AND". بعد ذلك، يجب عليك تحويل المعادلة الناتجة بناءً على قوانين الجبر المنطقي والحصول على حل محدد للنظام.

الحل 1:قم بتطبيق الانقلاب على طرفي المعادلة الأولى:

دعونا نتخيل المعنى الضمني من خلال العمليتين الأساسيتين "OR" و"NOT":

بما أن الأطراف اليسرى للمعادلتين تساوي 1، يمكننا دمجهما باستخدام العملية "AND" في معادلة واحدة تعادل النظام الأصلي:

نفتح القوس الأول حسب قانون دي مورغان ونحول النتيجة التي تم الحصول عليها:

المعادلة الناتجة لها حل واحد: A = 0، B = 0، C = 1.

الطريقة التالية هي بناء جداول الحقيقة . نظرًا لأن الكميات المنطقية لها قيمتان فقط، يمكنك ببساطة استعراض جميع الخيارات والعثور من بينها على تلك التي يرضيها نظام معين من المعادلات. أي أننا نبني جدول حقيقة مشتركًا واحدًا لجميع معادلات النظام ونجد خطًا بالقيم المطلوبة.

الحل 2:لنقم بإنشاء جدول الحقيقة للنظام:








0	0	1	1	0	1

يتم تمييز السطر الذي يتم استيفاء شروط المهمة له بالخط العريض. إذًا أ=0، ب=0، ج=1.

طريق تقسيم . تتمثل الفكرة في تثبيت قيمة أحد المتغيرات (تسويتها بـ 0 أو 1) وبالتالي تبسيط المعادلات. ومن ثم يمكنك تثبيت قيمة المتغير الثاني، وهكذا.

الحل 3:دع A = 0، ثم:

من المعادلة الأولى نحصل على B = 0، ومن الثانية - C = 1. حل النظام: A = 0، B = 0، C = 1.

في امتحان الدولة الموحدة في علوم الكمبيوتر، غالبًا ما يكون من الضروري تحديد عدد الحلول لنظام المعادلات المنطقية، دون العثور على الحلول نفسها، وهناك أيضًا طرق معينة لذلك. الطريقة الرئيسية لإيجاد عدد الحلول لنظام المعادلات المنطقية هياستبدال المتغيرات. أولاً، تحتاج إلى تبسيط كل من المعادلات قدر الإمكان بناءً على قوانين الجبر المنطقي، ثم استبدال الأجزاء المعقدة من المعادلات بمتغيرات جديدة وتحديد عدد حلول النظام الجديد. بعد ذلك، ارجع إلى الاستبدال وحدد عدد الحلول له.

مهمة:ما عدد حلول المعادلة (A →B) + (C →D) = 1؟ حيث A، B، C، D هي متغيرات منطقية.

حل:دعونا نقدم متغيرات جديدة: X = A →B وY = C →D. وبأخذ المتغيرات الجديدة في الاعتبار، سيتم كتابة المعادلة على النحو التالي: X + Y = 1.

ويكون الانفصال صحيحاً في ثلاث حالات: (0;1)، (1;0) و(1;1)، في حين أن X وY هما مضامين، أي أنه صحيح في ثلاث حالات، وكاذب في حالة واحدة. ولذلك، فإن الحالة (0;1) ستتوافق مع ثلاث مجموعات محتملة من المعلمات. الحالة (1؛1) - ستتوافق مع تسع مجموعات محتملة من معلمات المعادلة الأصلية. هذا يعني أن مجموع الحلول الممكنة لهذه المعادلة هو 3+9=15.

الطريقة التالية لتحديد عدد الحلول لنظام من المعادلات المنطقية هي شجرة ثنائية. دعونا نلقي نظرة على هذه الطريقة باستخدام مثال.

مهمة:ما عدد الحلول المختلفة لنظام المعادلات المنطقية:

نظام المعادلات المعطى يعادل المعادلة:

(س 1 → س 2 )*(س 2 → س 3 )*…*(س م -1 → س م) = 1.

دعونا نتظاهر بذلك س 1 - صحيح، فمن المعادلة الأولى نحصل على ذلك س 2 صحيح أيضًا ، من الثاني - س 3 =1 وهكذا حتى س م= 1. هذا يعني أن المجموعة (1؛ 1؛ …؛ 1) من وحدات m هي حل للنظام. دعها الآن س 1 =0 ثم من المعادلة الأولى التي لدينا س 2 =0 أو س 2 =1.

متى س 2 صحيح أننا حصلنا على أن المتغيرات المتبقية صحيحة أيضًا، أي أن المجموعة (0; 1; ...; 1) هي حل للنظام. في س 2 =0 لقد حصلنا على ذلك س 3 =0 أو س 3 =، وهكذا. وبالاستمرار إلى المتغير الأخير نجد أن حلول المعادلة هي مجموعات المتغيرات التالية (م +1 حل، كل حل يحتوي على قيم م للمتغيرات):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

تم توضيح هذا النهج بشكل جيد من خلال بناء شجرة ثنائية. عدد الحلول الممكنة هو عدد الفروع المختلفة للشجرة المبنية. من السهل أن نرى أنها تساوي m +1.

	شجرة	عدد الحلول
× 1
× 2
× 3
		…

في حالة وجود صعوبات في التفكير البحث والبناءمن الحلول التي يمكنك البحث عن حل بهااستخدام جداول الحقيقةلمعادلة واحدة أو معادلتين.

دعنا نعيد كتابة نظام المعادلات بالشكل:

ولنقم بإنشاء جدول الحقيقة بشكل منفصل لمعادلة واحدة:

× 1	× 2	(× 1 → × 2)

لنقم بإنشاء جدول الحقيقة لمعادلتين:

× 1	× 2	× 3	× 1 → × 2	× 2 → × 3	(× 1 → × 2) (× 2 → × 3)*

الغرض من الخدمة. تم تصميم الآلة الحاسبة عبر الإنترنت من أجل بناء جدول الحقيقة للتعبير المنطقي.
جدول الحقيقة – جدول يحتوي على جميع المجموعات الممكنة لمتغيرات الإدخال وقيم المخرجات المقابلة لها.
يحتوي جدول الحقيقة على صفين، حيث n هو عدد متغيرات الإدخال، وn+m عبارة عن أعمدة، حيث m هي متغيرات الإخراج.

تعليمات. عند الدخول من لوحة المفاتيح، استخدم الاصطلاحات التالية:

على سبيل المثال، يجب إدخال التعبير المنطقي abc+ab~c+a~bc على النحو التالي: a*b*c+a*b=c+a=b*c
لإدخال البيانات على شكل رسم تخطيطي منطقي، استخدم هذه الخدمة.

قواعد لإدخال وظيفة منطقية

بدلاً من رمز v (الانفصال، OR)، استخدم علامة +.
ليست هناك حاجة لتحديد تعيين وظيفة قبل وظيفة منطقية. على سبيل المثال، بدلاً من F(x,y)=(x|y)=(x^y) تحتاج ببساطة إلى إدخال (x|y)=(x^y) .
الحد الأقصى لعدد المتغيرات هو 10.

يتم تصميم وتحليل الدوائر المنطقية للكمبيوتر باستخدام فرع خاص من الرياضيات - الجبر المنطقي. في جبر المنطق، يمكن التمييز بين ثلاث وظائف منطقية رئيسية: "NOT" (النفي)، "AND" (الربط)، "OR" (الانفصال).
لإنشاء أي جهاز منطقي، من الضروري تحديد اعتماد كل من متغيرات الإخراج على متغيرات الإدخال الموجودة؛ ويسمى هذا الاعتماد وظيفة التبديل أو وظيفة الجبر المنطقي.
تسمى دالة الجبر المنطقي معرفة كاملة إذا تم إعطاء جميع قيمها 2n، حيث n هو عدد متغيرات الإخراج.
إذا لم يتم تعريف كافة القيم، تسمى الوظيفة محددة جزئيا.
يُسمى الجهاز منطقيًا إذا تم وصف حالته باستخدام دالة الجبر المنطقي.
يتم استخدام الطرق التالية لتمثيل دالة الجبر المنطقي:
في الصورة الجبرية، يمكنك بناء دائرة لجهاز منطقي باستخدام عناصر منطقية.

الشكل 1 - مخطط الجهاز المنطقي

يتم تعريف كافة عمليات الجبر المنطق جداول الحقيقةقيم. يحدد جدول الحقيقة نتيجة العملية الجميع ممكن x القيم المنطقية للعبارات الأصلية. يعتمد عدد الخيارات التي تعكس نتيجة تطبيق العمليات على عدد العبارات في التعبير المنطقي. إذا كان عدد العبارات في التعبير المنطقي هو N، فسيحتوي جدول الحقيقة على صفين من N، نظرًا لوجود 2 N من مجموعات مختلفة من قيم الوسيطات المحتملة.

العملية NOT - النفي المنطقي (الانعكاس)

لا يتم تطبيق العملية المنطقية على وسيطة واحدة، والتي يمكن أن تكون تعبيرًا منطقيًا بسيطًا أو معقدًا. نتيجة العملية ليست كما يلي:

فإذا كان التعبير الأصلي صحيحاً، كانت نتيجة نفيه كاذبة؛
فإذا كان التعبير الأصلي خطأ كانت نتيجة نفيه صحيحة.

لا يتم قبول الاتفاقيات التالية لعملية النفي:
ليس أ، Ā، وليس أ، ¬أ، !أ
لا يتم تحديد نتيجة عملية النفي من خلال جدول الحقيقة التالي:

أ	ليس أ
0	1
1	0

تكون نتيجة عملية النفي صحيحة عندما تكون العبارة الأصلية خاطئة، والعكس صحيح.

عملية OR - إضافة منطقية (انفصال، اتحاد)

تؤدي العملية المنطقية OR وظيفة الجمع بين عبارتين، والتي يمكن أن تكون تعبيرًا منطقيًا بسيطًا أو معقدًا. تسمى البيانات التي تمثل نقطة البداية لعملية منطقية بالوسائط. نتيجة العملية OR هي تعبير سيكون صحيحًا فقط إذا كان أحد التعبيرات الأصلية على الأقل صحيحًا.
التسميات المستخدمة: A أو B، A V B، A أو B، A||B.
يتم تحديد نتيجة العملية OR من خلال جدول الحقيقة التالي:
تكون نتيجة العملية OR صحيحة عندما يكون A صحيحًا، أو B صحيحًا، أو يكون كل من A وB صحيحًا، وخطأ عندما تكون الوسيطتان A وB خطأ.

العملية AND - الضرب المنطقي (الارتباط)

العملية المنطقية AND تؤدي وظيفة تقاطع عبارتين (وسائط)، والتي يمكن أن تكون إما تعبيرًا منطقيًا بسيطًا أو معقدًا. نتيجة العملية AND هي تعبير سيكون صحيحًا فقط إذا كان كلا التعبيرين الأصليين صحيحين.
التسميات المستخدمة: A وB، A Λ B، A & B، A وB.
يتم تحديد نتيجة العملية AND من خلال جدول الحقيقة التالي:

أ	ب	أ و ب
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

تكون نتيجة العملية AND صحيحة إذا وفقط إذا كانت العبارتان A وB صحيحتين وكاذبتين في جميع الحالات الأخرى.

عملية "IF-THEN" - النتيجة المنطقية (ضمنا)

تربط هذه العملية بين تعبيرين منطقيين بسيطين، الأول عبارة عن شرط، والثاني نتيجة لهذا الشرط.
التسميات المستخدمة:
إذا كان أ، ثم ب؛ أ يستلزم ب؛ إذا كان أ ثم ب؛ أ → ب.
جدول الحقيقة:

أ	ب	أ → ب
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

تكون نتيجة عملية التضمين خاطئة فقط إذا كانت الفرضية A صحيحة والاستنتاج B (النتيجة) خاطئًا.

العملية "أ إذا وفقط إذا ب" (التكافؤ، التكافؤ)

التسمية المستخدمة: A ↔ B، A ~ B.
جدول الحقيقة:

أ	ب	أ↔ب
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

عملية "وحدة الإضافة 2" (XOR، الانفصال الحصري أو الصارم)

الترميز المستخدم: A XOR B، A ⊕ B.
جدول الحقيقة:

أ	ب	أ⊕ب
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

تكون نتيجة عملية التكافؤ صحيحة فقط إذا كان A وB صحيحين أو خاطئين في نفس الوقت.

أولوية العمليات المنطقية

الإجراءات بين قوسين
الانقلاب
اِقتِران (&)
الانفصال (V)، الحصري أو (XOR)، مجموع الوحدة 2
التضمين (←)
التكافؤ (↔)

الشكل الطبيعي المنفصل المثالي

الشكل الطبيعي المنفصل المثالي للصيغة(SDNF) هي صيغة مكافئة، وهي عبارة عن انفصال عن أدوات العطف الأولية ولها الخصائص التالية:

يحتوي كل مصطلح منطقي للصيغة على كافة المتغيرات المضمنة في الدالة F(x 1,x 2,...x n).
جميع المصطلحات المنطقية للصيغة مختلفة.
لا يوجد مصطلح منطقي واحد يحتوي على متغير ونفيه.
لا يوجد مصطلح منطقي في صيغة يحتوي على نفس المتغير مرتين.

يمكن الحصول على SDNF إما باستخدام جداول الحقيقة أو باستخدام تحويلات مكافئة.
لكل وظيفة، يتم تعريف SDNF وSCNF بشكل فريد حتى التقليب.

الشكل الطبيعي المقترن المثالي

الصيغة العادية الملتصقة المثالية (SCNF)وهذه صيغة مكافئة لها، وهي عبارة عن اقتران للانفصالات الأولية وتفي بالخصائص:

تحتوي جميع الانفصالات الأولية على جميع المتغيرات المضمنة في الدالة F(x 1 ,x 2 ,...x n).
جميع الانفصالات الأولية مختلفة.
يحتوي كل انفصال أولي على متغير مرة واحدة.
لا يوجد انفصال أولي واحد يحتوي على متغير ونفيه.