تعليمات

ملحوظة:π مكتوب كـ pi؛ الجذر التربيعي كـ sqrt().

الخطوة 1.أدخل مثالا محددا يتكون من الكسور.

الخطوة 2.انقر فوق الزر "حل".

الخطوه 3.الحصول على نتائج مفصلة.

للتأكد من أن الآلة الحاسبة تحسب الكسور بشكل صحيح، أدخل الكسر مفصولاً بعلامة "/". على سبيل المثال: . ستقوم الآلة الحاسبة بحساب المعادلة وستظهر على الرسم البياني سبب الحصول على هذه النتيجة.

ما هي المعادلة مع الكسور

المعادلة الكسرية هي معادلة تكون فيها المعاملات أرقامًا كسرية. يتم حل المعادلات الخطية ذات الكسور وفقًا للمخطط القياسي: يتم نقل المجهول إلى جانب والمعروف إلى الجانب الآخر.

لنلقي نظرة على مثال:

يتم نقل الكسور ذات المجهولات إلى اليسار، ويتم نقل الكسور الأخرى إلى اليمين. عندما تنتقل الأرقام إلى ما بعد علامة التساوي فإن إشارة الأرقام تتغير إلى العكس:

الآن ما عليك سوى تنفيذ الإجراءات على جانبي المساواة:

والنتيجة هي معادلة خطية عادية. أنت الآن بحاجة إلى تقسيم الجانبين الأيسر والأيمن على معامل المتغير.

حل المعادلات بالكسور عبر الإنترنتتم التحديث: 7 أكتوبر 2018 بواسطة: المقالات العلمية.Ru

دعونا نحلل نوعين من الحلول لأنظمة المعادلات:

1. حل النظام باستخدام طريقة الاستبدال.
2. حل النظام عن طريق الجمع (الطرح) لمعادلات النظام حدًا تلو الآخر.

من أجل حل نظام المعادلات بطريقة الاستبدالتحتاج إلى اتباع خوارزمية بسيطة:
1. اكسبريس. من أي معادلة نعبر عن متغير واحد.
2. بديل. نعوض بالقيمة الناتجة في معادلة أخرى بدلاً من المتغير المعبر عنه.
3. حل المعادلة الناتجة بمتغير واحد. نجد حلا للنظام.

لتحل النظام عن طريق طريقة الجمع (الطرح) مصطلحًا تلو الآخربحاجة ل:
1. حدد المتغير الذي سنعمل له معاملات متطابقة.
2. نقوم بجمع أو طرح المعادلات، مما ينتج عنه معادلة ذات متغير واحد.
3. حل المعادلة الخطية الناتجة. نجد حلا للنظام.

حل النظام هو نقاط تقاطع الرسوم البيانية للوظائف.

دعونا نفكر بالتفصيل في حل الأنظمة باستخدام الأمثلة.

مثال 1:

دعونا نحل بطريقة الاستبدال

حل نظام المعادلات باستخدام طريقة الاستبدال

2x+5y=1 (معادلة واحدة)
x-10y=3 (المعادلة الثانية)

1. اكسبريس
ويمكن ملاحظة أنه يوجد في المعادلة الثانية متغير x بمعامل 1، مما يعني أنه من الأسهل التعبير عن المتغير x من المعادلة الثانية.
س=3+10ص

2. وبعد أن عبرنا عنها، نعوض بـ 3+10y في المعادلة الأولى بدلاً من المتغير x.
2(3+10ص)+5ص=1

3. حل المعادلة الناتجة بمتغير واحد.
2(3+10ص)+5ص=1 (افتح القوسين)
6+20ص+5ص=1
25ص=1-6
25ص=-5 |: (25)
ص=-5:25
ص=-0.2

حل نظام المعادلات هو نقاط تقاطع الرسوم البيانية، لذلك نحتاج إلى إيجاد x و y، لأن نقطة التقاطع تتكون من x و y.لنجد x، في النقطة الأولى التي عبرنا عنها نستبدل y.
س=3+10ص
س=3+10*(-0.2)=1

ومن المعتاد أن نكتب النقاط في المقام الأول نكتب المتغير x، وفي المركز الثاني المتغير y.
الجواب: (1؛ -0.2)

المثال رقم 2:

دعونا نحل باستخدام طريقة الجمع (الطرح) حدًا تلو الآخر.

حل نظام المعادلات باستخدام طريقة الجمع

3x-2y=1 (معادلة واحدة)
2x-3y=-10 (المعادلة الثانية)

1. نختار متغيرًا، لنفترض أننا اخترنا x. في المعادلة الأولى، المتغير x له معامل 3، في الثانية - 2. نحن بحاجة إلى جعل المعاملات هي نفسها، ولهذا لدينا الحق في ضرب المعادلات أو القسمة على أي رقم. نضرب المعادلة الأولى في 2، والثانية في 3 ونحصل على المعامل الإجمالي 6.

3س-2ص=1 |*2
6س-4ص=2

2س-3ص=-10 |*3
6س-9ص=-30

2. اطرح الثانية من المعادلة الأولى للتخلص من المتغير x وحل المعادلة الخطية.
__6س-4ص=2

5ص=32 | :5
ص=6.4

3. ابحث عن x. نعوض بـ y الموجود في أي من المعادلات، دعنا نقول في المعادلة الأولى.
3س-2ص=1
3س-2*6.4=1
3س-12.8=1
3س=1+12.8
3x=13.8 |:3
س=4.6

ستكون نقطة التقاطع x=4.6؛ ص=6.4
الجواب: (4.6؛ 6.4)

هل تريد الاستعداد للامتحانات مجانا؟ مدرس على الانترنت مجانا. لا تمزح.

المعادلات

كيفية حل المعادلات؟

في هذا القسم سوف نتذكر (أو ندرس، اعتمادًا على من تختاره) المعادلات الأساسية. إذن ما هي المعادلة؟ في اللغة البشرية، هذا نوع من التعبير الرياضي حيث توجد علامة يساوي ومجهول. والذي يشار إليه عادة بالحرف "X". حل المعادلة- هذا هو العثور على قيم x التي يتم استبدالها بها إبداعيالتعبير سوف يعطينا الهوية الصحيحة. اسمحوا لي أن أذكرك أن الهوية هي تعبير لا شك فيه حتى بالنسبة لشخص غير مثقل بالمعرفة الرياضية على الإطلاق. مثل 2=2، 0=0، ab=ab، وما إلى ذلك. فكيف حل المعادلات؟دعونا معرفة ذلك.

هناك كل أنواع المعادلات (أنا متفاجئ، أليس كذلك؟). ولكن يمكن تقسيم كل تنوعها اللامتناهي إلى أربعة أنواع فقط.

4. آخر.)

كل الباقي، بالطبع، الأهم من ذلك كله، نعم...) وهذا يشمل التكعيبي، الأسي، اللوغاريتمي، المثلثي وجميع أنواع الآخرين. وسنعمل معهم بشكل وثيق في الأقسام المناسبة.

سأقول على الفور أنه في بعض الأحيان تكون معادلات الأنواع الثلاثة الأولى مشوشة للغاية لدرجة أنك لن تتعرف عليها حتى... لا شيء. وسوف نتعلم كيفية الاسترخاء لهم.

ولماذا نحتاج إلى هذه الأنواع الأربعة؟ ثم ماذا المعادلات الخطيةحلها بطريقة واحدة مربعآحرون، الكسر الكسرى - الثالث،أ استراحةإنهم لا يجرؤون على الإطلاق! حسنًا، لا يعني ذلك أنهم لا يستطيعون اتخاذ القرار على الإطلاق، بل إنني كنت مخطئًا في الرياضيات.) الأمر فقط أن لديهم تقنيات وأساليب خاصة بهم.

ولكن لأي (أكرر - ل أي!) توفر المعادلات أساسًا موثوقًا وآمنًا للحل. يعمل في كل مكان ودائما. كريم الأساس هذا - يبدو مخيفًا، لكنه بسيط جدًا. و جدا (جداً!)مهم.

في الواقع، يتكون حل المعادلة من هذه التحولات ذاتها. 99% أجب على السؤال: " كيفية حل المعادلات؟" يكمن بالتحديد في هذه التحولات. هل التلميح واضح؟)

التحويلات المتطابقة للمعادلات.

في أي معادلاتللعثور على المجهول، تحتاج إلى تحويل وتبسيط المثال الأصلي. وهكذا عندما يتغير المظهر جوهر المعادلة لم يتغير.تسمى هذه التحولات تطابقأو ما يعادلها.

لاحظ أن هذه التحولات تنطبق على وجه التحديد للمعادلات.هناك أيضًا تحولات في الهوية في الرياضيات التعبيرات.هذا موضوع آخر

الآن سوف نكرر كل شيء، كل شيء، كل شيء أساسي تحويلات متماثلة للمعادلات.

أساسية لأنه يمكن تطبيقها عليها أيالمعادلات - الخطية، التربيعية، الكسرية، المثلثية، الأسية، اللوغاريتمية، إلخ. وما إلى ذلك وهلم جرا.

التحول الأول للهوية: يمكنك إضافة (طرح) إلى طرفي أي معادلة أي(لكنه واحد!) رقم أو تعبير (بما في ذلك تعبير بمجهول!). وهذا لا يغير جوهر المعادلة.

بالمناسبة، كنت تستخدم هذا التحويل باستمرار، وكنت تعتقد أنك تنقل بعض الحدود من جزء من المعادلة إلى جزء آخر مع تغيير الإشارة. يكتب:

الحالة مألوفة، نحرك الاثنين إلى اليمين فنحصل على:

في الواقع أنت تم استبعاده او تم اخذهمن طرفي المعادلة اثنان. والنتيجة هي نفسها:

س+2 - 2 = 3 - 2

إن تحريك المصطلحات إلى اليسار واليمين مع تغيير الإشارة هو ببساطة نسخة مختصرة من تحويل الهوية الأول. ولماذا نحتاج إلى هذه المعرفة العميقة؟ - أنت تسأل. لا شيء في المعادلات في سبيل الله تحمليه. فقط لا تنسى تغيير العلامة. لكن في حالات عدم المساواة، يمكن لعادة التحويل أن تؤدي إلى طريق مسدود...

تحويل الهوية الثانية: يمكن ضرب طرفي المعادلة (تقسيمهما) على نفس الشيء غير صفريةرقم أو تعبير وهنا يظهر بالفعل قيد مفهوم: الضرب في الصفر أمر غبي، والقسمة مستحيلة تمامًا. هذا هو التحويل الذي تستخدمه عندما تحل شيئًا رائعًا

انها واضحة X= 2. كيف وجدته؟ بالاختيار؟ أم أنها فجرت عليك للتو؟ لكي لا تختار ولا تنتظر البصيرة، عليك أن تفهم أنك عادل قسمة طرفي المعادلةعلى 5. عند تقسيم الجانب الأيسر (5x)، تم تقليل الخمسة، وترك X خالصًا. وهو بالضبط ما نحتاجه. وعند قسمة الطرف الأيمن من (١٠) على خمسة، يكون الناتج بالطبع اثنين.

هذا كل شئ.

إنه أمر مضحك، لكن هذين التحولين المتطابقين (اثنتين فقط!) هما أساس الحل جميع معادلات الرياضيات.رائع! من المنطقي أن ننظر إلى أمثلة ماذا وكيف، أليس كذلك؟)

أمثلة على التحويلات المتماثلة للمعادلات. المشاكل الرئيسية.

دعنا نبدء ب أولاًتحول الهوية. نقل اليسار واليمين.

قدوة للصغار.)

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة التالية:

3-2س=5-3س

ولنتذكر التعويذة: "مع X - إلى اليسار، بدون X - إلى اليمين!"هذه التعويذة عبارة عن تعليمات لاستخدام التحويل الأول للهوية.) ما التعبير الذي يحمل علامة X الموجود على اليمين؟ 3x؟ الجواب غير صحيح! على يميننا - 3x! ناقصثلاثة ×! لذلك، عند التحرك إلى اليسار، ستتغير الإشارة إلى علامة زائد. سوف يتحول:

3-2س+3س=5

لذا، تم جمع علامات X في كومة. دعونا ندخل في الأرقام. هناك ثلاثة على اليسار. بأي علامة؟ الجواب "بلا أحد" غير مقبول!) أمام الثلاثة بالفعل لا يوجد شيء مرسوم. وهذا يعني أنه قبل الثلاثة يوجد زائد.لذلك وافق علماء الرياضيات. لا شيء مكتوب، وهو ما يعني زائد.لذلك، سيتم نقل الثلاثي إلى الجانب الأيمن مع ناقص.نحن نحصل:

-2س+3س=5-3

لم يتبق سوى تفاهات. على اليسار - إحضار مماثلة، على اليمين - عد. الجواب يأتي مباشرة:

في هذا المثال، كان تحويل هوية واحد كافيا. ولم تكن هناك حاجة إلى الثانية. حسنًا حسنًا.)

قدوة للأطفال الأكبر سنا.)

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

حل المعادلات الأسية. أمثلة.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

ماذا حدث المعادلة الأسية؟ هذه معادلة فيها المجهول (x) والتعبيرات معهم المؤشراتبعض الدرجات. وهناك فقط! انه مهم.

ها أنت ذا أمثلة على المعادلات الأسية:

3 × 2 × = 8 × + 3

ملحوظة! في قواعد الدرجات (أدناه) - أرقام فقط. في المؤشراتالدرجات (أعلاه) - مجموعة واسعة من التعبيرات ذات علامة X. إذا ظهرت علامة X فجأة في المعادلة في مكان آخر غير المؤشر، على سبيل المثال:

ستكون هذه بالفعل معادلة من النوع المختلط. مثل هذه المعادلات ليس لها قواعد واضحة لحلها. لن نأخذهم بعين الاعتبار في الوقت الحالي. هنا سوف نتعامل معها حل المعادلات الأسيةفي أنقى صوره.

في الواقع، حتى المعادلات الأسية البحتة لا يتم حلها دائمًا بشكل واضح. ولكن هناك أنواع معينة من المعادلات الأسية التي يمكن ويجب حلها. هذه هي الأنواع التي سننظر فيها.

حل المعادلات الأسية البسيطة.

أولاً، دعونا نحل شيئًا أساسيًا للغاية. على سبيل المثال:

حتى بدون أي نظريات، من خلال الاختيار البسيط، من الواضح أن x = 2. لا شيء آخر، أليس كذلك!؟ لا توجد قيمة أخرى لـ X تعمل. الآن دعونا نلقي نظرة على حل هذه المعادلة الأسية الصعبة:

ماذا فعلنا؟ نحن، في الواقع، قمنا ببساطة بإلقاء نفس القواعد (ثلاثية). طردت تماما. والخبر السار هو أننا ضربنا المسمار في الرأس!

في الواقع، إذا كان في المعادلة الأسية هناك يسار ويمين نفس الشيءالأرقام في أي قوى، يمكن إزالة هذه الأرقام ومساواة الأسس. الرياضيات تسمح. يبقى حل معادلة أبسط بكثير. عظيم، أليس كذلك؟)

ومع ذلك فلنتذكر بقوة: لا يمكنك إزالة القواعد إلا عندما تكون الأرقام الأساسية الموجودة على اليسار واليمين في عزلة رائعة!بدون أي جيران ومعاملات. نقول في المعادلات:

2 × +2 × +1 = 2 3، أو

لا يمكن إزالة الثنائي!

حسنا، لقد أتقننا الشيء الأكثر أهمية. كيفية الانتقال من التعبيرات الأسية الشريرة إلى المعادلات الأبسط.

"تلك هي الأوقات!" - قول انت. "من سيعطي مثل هذا الدرس البدائي في الاختبارات والامتحانات !؟"

علي ان اوافق. لا أحد سوف. لكنك الآن تعرف إلى أين تتجه عند حل الأمثلة الصعبة. يجب إحضاره إلى النموذج الذي يوجد فيه نفس الرقم الأساسي على اليسار واليمين. ثم سيكون كل شيء أسهل. في الواقع، هذا كلاسيكي في الرياضيات. نأخذ المثال الأصلي ونحوله إلى المثال المطلوب نحنعقل. حسب قواعد الرياضيات طبعا.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة التي تتطلب بعض الجهد الإضافي لتقليلها إلى أبسطها. دعونا ندعوهم المعادلات الأسية البسيطة.

حل المعادلات الأسية البسيطة. أمثلة.

عند حل المعادلات الأسية، القواعد الأساسية هي الإجراءات بالدرجات.بدون معرفة هذه الإجراءات لن ينجح شيء.

إلى الإجراءات ذات الدرجات، يجب على المرء أن يضيف الملاحظة الشخصية والبراعة. هل نحتاج إلى نفس الأرقام الأساسية؟ لذلك نبحث عنها في المثال بصيغة صريحة أو مشفرة.

دعونا نرى كيف يتم ذلك في الممارسة العملية؟

ولنضرب مثالا:

2 2س - 8 س+1 = 0

أول نظرة حادة هي في أسباب.إنهم... إنهم مختلفون! اثنان وثمانية. ولكن من السابق لأوانه أن نشعر بالإحباط. حان الوقت لتذكر ذلك

اثنان وثمانية أقارب في الدرجة.) من الممكن أن نكتب:

8 س+1 = (2 3) س+1

إذا تذكرنا الصيغة من العمليات بالدرجات:

(أ ن) م = نانو متر،

هذا يعمل بشكل رائع:

8 س+1 = (3 2) س+1 = 3 2(س+1)

بدأ المثال الأصلي يبدو كالتالي:

2 2س - 2 3(س+1) = 0

نحن ننقل 2 3 (س+1)إلى اليمين (لم يقم أحد بإلغاء العمليات الأولية للرياضيات!) نحصل على:

2 2س = 2 3(س+1)

هذا كل شيء عمليا. إزالة القواعد:

نحن نحل هذا الوحش ونحصل عليه

هذا هو الجواب الصحيح.

في هذا المثال، ساعدتنا معرفة قوى الاثنين. نحن تم تحديدهافي الثمانية هناك اثنان مشفران. هذه التقنية (ترميز القواعد المشتركة تحت أرقام مختلفة) هي تقنية شائعة جدًا في المعادلات الأسية! نعم، وفي اللوغاريتمات أيضا. يجب أن تكون قادرًا على التعرف على قوى الأرقام الأخرى في الأرقام. هذا مهم للغاية لحل المعادلات الأسية.

الحقيقة هي أن رفع أي رقم إلى أي قوة ليس مشكلة. اضرب، حتى على الورق، وهذا كل شيء. على سبيل المثال، يمكن لأي شخص رفع 3 إلى القوة الخامسة. سيتم حساب 243 إذا كنت تعرف جدول الضرب.) ولكن في المعادلات الأسية، في كثير من الأحيان ليس من الضروري رفعها إلى قوة، ولكن العكس صحيح... اكتشف ذلك ما العدد إلى أي درجةمخفي خلف الرقم 243، أو، على سبيل المثال، 343... لن تساعدك أي آلة حاسبة هنا.

أنت بحاجة إلى معرفة قوى بعض الأرقام عن طريق النظر، أليس كذلك... هيا نتدرب؟

تحديد ما هي القوى وما هي الأرقام الأرقام:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

الإجابات (في حالة من الفوضى بالطبع!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

إذا نظرت عن كثب، يمكنك رؤية حقيقة غريبة. هناك إجابات أكثر بكثير من المهام! حسنًا، يحدث ذلك... على سبيل المثال، 2 6، 4 3، 8 2 - هذا كل شيء 64.

لنفترض أنك قد أحاطت علما بالمعلومات المتعلقة بالإلمام بالأرقام.) واسمحوا لي أن أذكرك أيضًا أننا نستخدمها لحل المعادلات الأسية الجميعمخزون المعرفة الرياضية. بما في ذلك أولئك الذين ينتمون إلى الطبقات المتوسطة والمتوسطة. أنت لم تذهب مباشرة إلى المدرسة الثانوية، أليس كذلك؟)

على سبيل المثال، عند حل المعادلات الأسية، غالبًا ما يساعد وضع العامل المشترك خارج الأقواس (مرحبًا بالصف السابع!). لنلقي نظرة على مثال:

3 2س+4 -11 9 س = 210

ومرة أخرى، النظرة الأولى هي على الأسس! قواعد الدرجات مختلفة... ثلاثة وتسعة. لكننا نريدهم أن يكونوا متماثلين. حسنًا، في هذه الحالة تتحقق الرغبة تمامًا!) للأسباب التالية:

9 س = (2 3) س = 2 س

باستخدام نفس القواعد للتعامل مع الدرجات:

3 2س+4 = 3 2س ·3 4

هذا رائع، يمكنك كتابته:

3 2س 3 4 - 11 3 2س = 210

لقد قدمنا ​​​​مثالا لنفس الأسباب. إذن ماذا بعد!؟ لا يمكنك التخلص من الثلاثات... طريق مسدود؟

مُطْلَقاً. تذكر قاعدة القرار الأكثر عالمية وقوة الجميعمهام الرياضيات:

إذا كنت لا تعرف ما تحتاجه، فافعل ما تستطيع!

انظر، كل شيء سوف ينجح).

ماذا يوجد في هذه المعادلة الأسية يستطيعيفعل؟ نعم، على الجانب الأيسر فإنه يطرح فقط ليتم إخراجها من بين قوسين! يشير المضاعف الإجمالي لـ 3 2x بوضوح إلى هذا. دعونا نحاول، وبعد ذلك سنرى:

3 2س (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

المثال يستمر في التحسن وأفضل!

نتذكر أنه لإزالة الأسباب نحتاج إلى درجة نقية، دون أي معاملات. الرقم 70 يزعجنا. نقسم طرفي المعادلة على 70 فنحصل على:

أُووبس! كل شيء أصبح أفضل!

هذا هو الجواب النهائي.

ومع ذلك، يحدث أن يتم تحقيق سيارات الأجرة على نفس الأساس، ولكن القضاء عليها غير ممكن. يحدث هذا في أنواع أخرى من المعادلات الأسية. دعونا نتقن هذا النوع.

استبدال متغير في حل المعادلات الأسية. أمثلة.

دعونا نحل المعادلة:

4 س - 3 2 س +2 = 0

أولا - كالعادة. دعنا ننتقل إلى قاعدة واحدة. إلى الشيطان.

4 س = (2 2) س = 2 2س

نحصل على المعادلة:

2 2س - 3 2 س +2 = 0

وهذا هو المكان الذي نتسكع فيه. لن تنجح التقنيات السابقة مهما نظرت إليها. سيتعين علينا سحب طريقة قوية وعالمية أخرى من ترسانتنا. تسمى استبدال متغير.

جوهر الطريقة بسيط بشكل مدهش. بدلاً من رمز معقد واحد (في حالتنا - 2 x) نكتب رمزًا آخر أبسط (على سبيل المثال - t). مثل هذا الاستبدال الذي يبدو بلا معنى يؤدي إلى نتائج مذهلة!) كل شيء يصبح واضحًا ومفهومًا!

لذا دع

ثم 2 2س = 2 × 2 = (2 س) 2 = ر 2

في معادلتنا نستبدل جميع القوى بـ x بـ t:

حسنًا، هل اتضح لك؟) هل نسيت المعادلات التربيعية حتى الآن؟ بالحل من خلال المميز نحصل على:

الشيء الرئيسي هنا هو عدم التوقف، كما يحدث... هذه ليست الإجابة بعد، نحتاج إلى x وليس t. دعونا نعود إلى علامة X، أي. نقوم بإجراء استبدال عكسي. أولاً لـ ر 1:

إنه،

تم العثور على جذر واحد. نحن نبحث عن الثاني من t 2:

حسنًا... 2x على اليسار، 1 على اليمين... المشكلة؟ مُطْلَقاً! يكفي أن نتذكر (من العمليات بالقوى، نعم...) أن الوحدة موجودة أيالرقم إلى السلطة صفر. أي. كل ما هو مطلوب، سنقوم بتثبيته. نحن بحاجة إلى اثنين. وسائل:

هذا كل شيء الآن. حصلنا على جذرين:

هذا هو الجواب.

في حل المعادلات الأسيةفي النهاية ينتهي بك الأمر أحيانًا بنوع من التعبير المحرج. يكتب:

سبعة لا يمكن تحويلها إلى اثنين من خلال قوة بسيطة. إنهم ليسوا أقارب... فكيف نكون؟ قد يكون شخص ما في حيرة من أمره ... ولكن الشخص الذي قرأ في هذا الموقع موضوع "ما هو اللوغاريتم؟" ، يبتسم باعتدال ويكتب بيد ثابتة الإجابة الصحيحة تمامًا:

لا يمكن أن يكون هناك مثل هذه الإجابة في المهام "ب" في امتحان الدولة الموحدة. هناك مطلوب عدد محدد. ولكن في المهام "ج" يكون الأمر سهلاً.

يقدم هذا الدرس أمثلة لحل المعادلات الأسية الأكثر شيوعًا. دعونا نسلط الضوء على النقاط الرئيسية.

نصائح عملية:

1. أولا وقبل كل شيء، ننظر إلى أسبابدرجات. نحن نتساءل عما إذا كان من الممكن صنعها تطابق.دعونا نحاول القيام بذلك عن طريق الاستخدام النشط الإجراءات بالدرجات.لا تنس أن الأرقام التي لا تحتوي على x يمكن أيضًا تحويلها إلى قوى!

2. نحاول إعادة المعادلة الأسية إلى الشكل الموجود على اليسار واليمين نفس الشيءالأرقام في أي صلاحيات. نحن نستخدم الإجراءات بالدرجاتو التخصيم.ما يمكن عده بالأرقام، نحن نحسبه.

3. إذا لم تنجح النصيحة الثانية، فحاول استخدام استبدال المتغير. قد تكون النتيجة معادلة يمكن حلها بسهولة. في أغلب الأحيان - مربع. أو كسري، والذي يتحول أيضًا إلى مربع.

4. لحل المعادلات الأسية بنجاح، عليك معرفة قوى بعض الأرقام عن طريق النظر.

كالعادة، في نهاية الدرس أنت مدعو لاتخاذ القرار قليلاً.) بنفسك. من البسيط إلى المعقد.

حل المعادلات الأسية:

أكثر صعوبة:

2 س+3 - 2 س+2 - 2 س = 48

9 س - 8 3 س = 9

2 س - 2 0.5س+1 - 8 = 0

العثور على منتج الجذور:

2 3 + 2 س = 9

حدث؟

حسنًا، مثال معقد للغاية (رغم أنه يمكن حله في العقل...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

ما هو أكثر إثارة للاهتمام؟ ثم هذا مثال سيء بالنسبة لك. مغري للغاية لزيادة الصعوبة. اسمحوا لي أن أشير إلى أنه في هذا المثال، ما ينقذك هو البراعة والقاعدة الأكثر عالمية لحل جميع المسائل الرياضية.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 س

مثال أبسط للاسترخاء):

9 2 س - 4 3 س = 0

وللحلوى. أوجد مجموع جذور المعادلة:

س 3 س - 9س + 7 3 س - 63 = 0

نعم نعم! هذه معادلة من النوع المختلط! وهو ما لم نأخذه بعين الاعتبار في هذا الدرس. لماذا نفكر فيها، يجب حلها!) هذا الدرس كافٍ لحل المعادلة. حسنًا، أنت بحاجة إلى البراعة... ولعل الصف السابع يساعدك (هذا تلميح!).

الإجابات (في حالة من الفوضى، مفصولة بفواصل منقوطة):

1؛ 2؛ 3؛ 4؛ لا توجد حلول. 2؛ -2؛ -5؛ 4؛ 0.

هل كل شيء ناجح؟ عظيم.

هناك مشكلة؟ لا مشكلة! القسم الخاص 555 يحل كل هذه المعادلات الأسية مع شرح مفصل. ماذا ولماذا ولماذا. وبطبيعة الحال، هناك معلومات قيمة إضافية حول التعامل مع جميع أنواع المعادلات الأسية. وليس هؤلاء فقط.)

سؤال ممتع أخير يجب مراعاته. لقد تعاملنا في هذا الدرس مع المعادلات الأسية. لماذا لم أقل كلمة واحدة عن ODZ هنا؟في المعادلات، هذا شيء مهم جداً، بالمناسبة...

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

تتم دراسة المعادلات التربيعية في الصف الثامن، لذلك لا يوجد شيء معقد هنا. القدرة على حلها ضرورية للغاية.

المعادلة التربيعية هي معادلة على الصورة ax 2 + bx + c = 0، حيث المعاملات a وb وc هي أرقام عشوائية وa ≠ 0.

قبل دراسة طرق حل محددة، لاحظ أنه يمكن تقسيم جميع المعادلات التربيعية إلى ثلاث فئات:

1. ليس لها جذور.
2. لديك جذر واحد بالضبط؛
3. لديهم جذور مختلفة.

وهذا فرق مهم بين المعادلات التربيعية والمعادلات الخطية، حيث يكون الجذر موجودًا دائمًا وفريدًا. كيفية تحديد عدد جذور المعادلة؟ هناك شيء رائع لهذا - تمييزي.

مميز

دع المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0. إذن فإن المميز هو ببساطة الرقم D = b 2 − 4ac.

عليك أن تعرف هذه الصيغة عن ظهر قلب. من أين يأتي ليس مهما الآن. شيء آخر مهم: من خلال علامة المميز يمكنك تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية. يسمى:

1. إذا د< 0, корней нет;
2. إذا كان D = 0، هناك جذر واحد بالضبط؛
3. إذا كان D > 0، سيكون هناك جذرين.

يرجى ملاحظة: يشير المميز إلى عدد الجذور، وليس علاماتها على الإطلاق، كما يعتقد الكثير من الناس لسبب ما. ألقِ نظرة على الأمثلة وستفهم كل شيء بنفسك:

مهمة. ما عدد جذور المعادلات التربيعية:

1. س 2 − 8س + 12 = 0;
2. 5س 2 + 3س + 7 = 0؛
3. س 2 − 6س + 9 = 0.

لنكتب معاملات المعادلة الأولى ونوجد المميز:
أ = 1، ب = −8، ج = 12؛
د = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

إذن يكون المميز موجبًا، وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين مختلفين. نقوم بتحليل المعادلة الثانية بنفس الطريقة:
أ = 5؛ ب = 3؛ ج = 7؛
د = 2 3 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

المميز سالب، ولا توجد جذور. المعادلة الأخيرة المتبقية هي:
أ = 1؛ ب = −6؛ ج = 9؛
د = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

المميز هو صفر، وسيكون الجذر واحدًا.

يرجى ملاحظة أنه تم كتابة المعاملات لكل معادلة. نعم، إنها طويلة، نعم، إنها مملة، لكنك لن تخلط بين الاحتمالات وترتكب أخطاء غبية. اختر لنفسك: السرعة أو الجودة.

بالمناسبة، إذا تمكنت من ذلك، فلن تحتاج بعد فترة إلى كتابة جميع المعاملات. سوف تقوم بإجراء مثل هذه العمليات في رأسك. يبدأ معظم الأشخاص في القيام بذلك في مكان ما بعد حل المعادلات بنسبة 50-70 - بشكل عام، ليس كثيرًا.

جذور المعادلة التربيعية

الآن دعنا ننتقل إلى الحل نفسه. إذا كان المميز D > 0، فيمكن العثور على الجذور باستخدام الصيغ:

الصيغة الأساسية لجذور المعادلة التربيعية

عندما يكون D = 0، يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ - سوف تحصل على نفس الرقم، والذي سيكون الجواب. وأخيراً إذا كان د< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. س 2 − 2س − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. × 2 + 12س + 36 = 0.

المعادلة الأولى:
س 2 − 2س − 3 = 0 ⇒ أ = 1; ب = −2؛ ج = −3;
د = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ للمعادلة جذرين. دعونا نجدهم:

المعادلة الثانية:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ أ = −1; ب = −2؛ ج = 15؛
د = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ المعادلة لها جذرين مرة أخرى. دعونا نجدهم

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \النهاية(محاذاة)\]

وأخيراً المعادلة الثالثة:
س 2 + 12س + 36 = 0 ⇒ أ = 1; ب = 12؛ ج = 36؛
د = 12 2 − 4 1 36 = 0.

د = 0 ⇒ المعادلة لها جذر واحد. يمكن استخدام أي صيغة. على سبيل المثال، الأول:

كما ترون من الأمثلة، كل شيء بسيط للغاية. إذا كنت تعرف الصيغ وتستطيع العد، فلن تكون هناك مشاكل. في أغلب الأحيان، تحدث الأخطاء عند استبدال المعاملات السلبية في الصيغة. هنا مرة أخرى، ستساعد التقنية الموضحة أعلاه: انظر إلى الصيغة حرفيًا، واكتب كل خطوة - وسرعان ما تتخلص من الأخطاء.

المعادلات التربيعية غير الكاملة

يحدث أن المعادلة التربيعية تختلف قليلاً عما ورد في التعريف. على سبيل المثال:

1. س 2 + 9س = 0؛
2. س 2 − 16 = 0.

من السهل ملاحظة أن هذه المعادلات تفتقد أحد المصطلحات. إن حل هذه المعادلات التربيعية أسهل من حل المعادلات القياسية: فهي لا تتطلب حتى حساب المميز. لذلك، دعونا نقدم مفهوما جديدا:

تسمى المعادلة ax 2 + bx + c = 0 بمعادلة تربيعية غير مكتملة إذا كان b = 0 أو c = 0، أي. معامل المتغير x أو العنصر الحر يساوي صفر.

بالطبع، قد تكون هناك حالة صعبة للغاية عندما يكون كلا هذين المعاملين مساويًا للصفر: b = c = 0. في هذه الحالة، تأخذ المعادلة الشكل ax 2 = 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها جذر واحد: x = 0.

دعونا ننظر في الحالات المتبقية. لنفترض أن b = 0، ثم نحصل على معادلة تربيعية غير كاملة بالصيغة ax 2 + c = 0. فلنحولها قليلاً:

بما أن الجذر التربيعي الحسابي موجود فقط لعدد غير سالب، فإن المساواة الأخيرة تكون منطقية فقط بالنسبة لـ (−c /a) ≥ 0. الخلاصة:

1. إذا كانت في معادلة تربيعية غير مكتملة من الصيغة ax 2 + c = 0 تم تحقيق المتراجحة (−c /a) ≥ 0، فسيكون هناك جذرين. الصيغة مذكورة أعلاه.
2. إذا (-ج /أ)< 0, корней нет.

كما ترون، لم يكن المميز مطلوبًا، إذ لا توجد حسابات معقدة على الإطلاق في المعادلات التربيعية غير المكتملة. في الواقع، ليس من الضروري حتى أن نتذكر المتراجحة (−c /a) ≥ 0. يكفي التعبير عن القيمة x 2 ومعرفة ما هو على الجانب الآخر من علامة المساواة. إذا كان هناك عدد موجب، فسيكون هناك جذرين. إذا كانت سلبية، فلن يكون هناك جذور على الإطلاق.

الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات ذات الصيغة ax 2 + bx = 0، حيث العنصر الحر يساوي الصفر. كل شيء بسيط هنا: سيكون هناك دائمًا جذرين. يكفي تحليل كثير الحدود إلى عوامل:

أخذ العامل المشترك من بين قوسين

يكون الناتج صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا. ومن هنا تأتي الجذور. وفي الختام، دعونا نلقي نظرة على عدد قليل من هذه المعادلات:

مهمة. حل المعادلات التربيعية:

1. س 2 − 7س = 0;
2. 5س 2 + 30 = 0؛
3. 4س 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; س 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. لا توجد جذور، لأنه لا يمكن للمربع أن يساوي رقمًا سالبًا.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; × 2 = −1.5.