Τύπος εύρεσης του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου (τύποι)

Στη στοιχειώδη γεωμετρία, ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τρία τμήματα συνδεδεμένα σε σημεία, με γωνίες δύο από τις οποίες είναι οξείες και μία ευθεία (δηλαδή ίση με 90°). Ορθογώνιο τρίγωνοχαρακτηρίζεται από μια σειρά από σημαντικές ιδιότητες, πολλές από τις οποίες αποτελούν τη βάση της τριγωνομετρίας (για παράδειγμα, η σχέση μεταξύ των πλευρών και των γωνιών του). Από το σχολείο όλοι ξέρουμε να υπολογίζουμε εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου, και στην καθημερινή ζωή συναντάμε αυτό το γεωμετρικό σχήμα αρκετά συχνά, μερικές φορές χωρίς καν να το προσέξουμε. Βρίσκει αρκετά ευρεία εφαρμογή στην τεχνολογία και ως εκ τούτου μηχανικοί, σχεδιαστές και αρχιτέκτονες πρέπει συχνά να λύσουν ένα τέτοιο πρόβλημα.

Οι αρχιτέκτονες πρέπει να προσδιορίσουν αυτή την τιμή όταν σχεδιάζουν κτίρια με αετώματα, τα οποία αποτελούν την ολοκλήρωση των προσόψεων και έχουν τριγωνικό σχήμαπου οριοθετείται από γείσο και στα πλάγια από πλαγιές στέγης. Συχνά η γωνία μεταξύ των πλαγιών είναι ευθεία και σε τέτοιες περιπτώσεις το αέτωμα έχει σχήμα ορθογώνιου τριγώνου. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η έκτασή του για τον απλούστατο λόγο ότι είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ακριβώς την ποσότητα του οικοδομικού υλικού που απαιτείται για τη διαρρύθμισή του. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι τα αετώματα είναι υποχρεωτικά στοιχεία χαμηλών κτιρίων (εξοχικές κατοικίες, εξοχικές κατοικίες, κατοικίες).

Εύρεση του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου

μικρό

αβ

ένα- πόδι

σι- πόδι

μικρό- εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου

Μορφή ορθογώνιο τρίγωνοέχουν πολλές από τις λεπτομέρειες από τις οποίες κατασκευάζονται τα μοντέρνα έπιπλα. Όπως γνωρίζετε, για να γίνει η πιο αποτελεσματική χρήση του χώρου του δωματίου, όλα τα στοιχεία της επίπλωσης πρέπει να τοποθετηθούν σε αυτό με τον βέλτιστο τρόπο. Μπορείτε να κάνετε καλή χρήση περιοχών όπως γωνίες χρησιμοποιώντας τραπέζια τριγωνικού σχήματος, οι κορυφές των οποίων στις περισσότερες περιπτώσεις είναι ορθογώνια τρίγωνα με πόδια δίπλα στους τοίχους. Κατά το σχεδιασμό και τον υπολογισμό αυτών των στοιχείων, οι σχεδιαστές παραγωγής επίπλων χρησιμοποιούν τον τύπο σύμφωνα με τον οποίο βρίσκοντας το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνουπραγματοποιείται με βάση το μήκος των πλευρών του. Επιπλέον, συχνά πρέπει να αναπτύξουν σχέδια για τραπέζια που συνδέονται απευθείας στους τοίχους, τα οποία περιλαμβάνουν στοιχεία στήριξης, τα οποία αντιπροσωπεύουν επίσης ορθογώνια τρίγωνα.

Οι οικοδόμοι που ασχολούνται συχνά με την αντιμετώπιση εργασιών στις επαγγελματικές τους δραστηριότητες πρέπει να χρησιμοποιούν κεραμικά πλακίδια σε σχήμα ορθογώνιου τριγώνου με πόδια του ίδιου ή διαφορετικού μήκους. Πρέπει επίσης να καθορίσουν την περιοχή αυτών των στοιχείων για να μάθουν τον απαιτούμενο αριθμό.

Μορφή ορθογώνιο τρίγωνοΈχει επίσης ένα τόσο σημαντικό και απαραίτητο εργαλείο μέτρησης όπως ένα τετράγωνο. Χρησιμοποιείται για την κατασκευή και τον έλεγχο ορθών γωνιών και χρησιμοποιείται πολύ ευρέως και από πολλούς: από απλούς μαθητές στα μαθήματα γεωμετρίας έως σχεδιαστές τεχνολογίας αιχμής.

Ένα τρίγωνο είναι ένα επίπεδο γεωμετρικό σχήμα με μία γωνία ίση με 90°. Επιπλέον, στη γεωμετρία είναι συχνά απαραίτητο να υπολογιστεί η περιοχή ενός τέτοιου σχήματος. Θα σας πούμε πώς να το κάνετε αυτό περαιτέρω.

Ο απλούστερος τύπος για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου

Αρχικά δεδομένα, όπου: α και β είναι οι πλευρές του τριγώνου που εκτείνονται από τη σωστή γωνία.

Δηλαδή, το εμβαδόν είναι ίσο με το μισό του γινόμενου των δύο πλευρών που εκτείνονται από τη σωστή γωνία. Φυσικά, υπάρχει ο τύπος του Heron που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κανονικού τριγώνου, αλλά για να προσδιορίσετε την τιμή πρέπει να γνωρίζετε το μήκος των τριών πλευρών. Αντίστοιχα, θα πρέπει να υπολογίσετε την υποτείνουσα, και αυτός είναι επιπλέον χρόνος.

Βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron

Αυτός είναι ένας πολύ γνωστός και πρωτότυπος τύπος, αλλά για αυτό θα πρέπει να υπολογίσετε την υποτείνουσα σε δύο σκέλη χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Σε αυτόν τον τύπο: a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου και p είναι η ημιπερίμετρος.

Βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου χρησιμοποιώντας την υποτείνουσα και τη γωνία

Εάν κανένα από τα πόδια δεν είναι γνωστό στο πρόβλημά σας, τότε δεν θα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την απλούστερη μέθοδο. Για να προσδιορίσετε την τιμή πρέπει να υπολογίσετε το μήκος των ποδιών. Αυτό μπορεί να γίνει απλά χρησιμοποιώντας την υποτείνουσα και το συνημίτονο της διπλανής γωνίας.

b=c×cos(α)

Μόλις μάθετε το μήκος ενός από τα σκέλη, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορείτε να υπολογίσετε τη δεύτερη πλευρά που βγαίνει από τη σωστή γωνία.

b 2 =c 2 -a 2

Σε αυτόν τον τύπο, c και a είναι η υποτείνουσα και το σκέλος, αντίστοιχα. Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο. Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να υπολογίσετε ένα από τα πόδια, δεδομένου του δεύτερου και της γωνίας. Σε αυτή την περίπτωση, μία από τις απαιτούμενες πλευρές θα είναι ίση με το γινόμενο του σκέλους και την εφαπτομένη της γωνίας. Υπάρχουν άλλοι τρόποι υπολογισμού του εμβαδού, αλλά γνωρίζοντας τα βασικά θεωρήματα και τους κανόνες, μπορείτε εύκολα να βρείτε την επιθυμητή τιμή.

Εάν δεν έχετε καμία από τις πλευρές του τριγώνου, αλλά μόνο τη μέση και μία από τις γωνίες, τότε μπορείτε να υπολογίσετε το μήκος των πλευρών. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τις ιδιότητες της διάμεσης για να διαιρέσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο στα δύο. Αντίστοιχα, μπορεί να λειτουργήσει ως υποτείνουσα εάν βγει από οξεία γωνία. Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα και προσδιορίστε το μήκος των πλευρών του τριγώνου που προέρχονται από τη σωστή γωνία.

Όπως μπορείτε να δείτε, γνωρίζοντας τους βασικούς τύπους και το Πυθαγόρειο Θεώρημα, μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, έχοντας μόνο μία από τις γωνίες και το μήκος μιας από τις πλευρές.

Ανάλογα με τον τύπο του τριγώνου, υπάρχουν αρκετές επιλογές για την εύρεση του εμβαδού του. Για παράδειγμα, για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, χρησιμοποιήστε τον τύπο S= a * b / 2, όπου a και b είναι τα σκέλη του. Εάν θέλετε να μάθετε την περιοχή ενός ισοσκελούς τριγώνου, τότε πρέπει να διαιρέσετε το γινόμενο της βάσης και του ύψους του κατά δύο. Δηλαδή S= b*h / 2, όπου b είναι η βάση του τριγώνου και h το ύψος του.

Στη συνέχεια, ίσως χρειαστεί να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου. Εδώ έρχεται στη διάσωση ο ακόλουθος τύπος: S = a* a / 2, όπου τα πόδια "a" και "a" πρέπει απαραίτητα να έχουν τις ίδιες τιμές.

Επίσης, συχνά πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου. Βρίσκεται με τον τύπο: S= a * h/ 2, όπου a είναι η πλευρά του τριγώνου και h το ύψος του. Ή σύμφωνα με αυτόν τον τύπο: S= √3/ 4 *a^2, όπου a είναι η πλευρά.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου

Χρειάζεται να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, αλλά η δήλωση προβλήματος δεν υποδεικνύει τις διαστάσεις δύο από τα σκέλη του ταυτόχρονα; Τότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο (S= a * b / 2) απευθείας.

Ας εξετάσουμε διάφορες πιθανές λύσεις:

• Εάν δεν γνωρίζετε το μήκος του ενός ποδιού, αλλά δίνονται οι διαστάσεις της υποτείνουσας και του δεύτερου σκέλους, τότε στραφούμε στον μεγάλο Πυθαγόρα και, χρησιμοποιώντας το θεώρημά του (a^2+b^2=c^2), υπολογίζουμε το μήκος του άγνωστου σκέλους και, στη συνέχεια, το χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου.
• Αν δίνεται το μήκος ενός σκέλους και η μοίρα της κλίσης της γωνίας απέναντι από αυτό: βρίσκουμε το μήκος του δεύτερου σκέλους χρησιμοποιώντας τον τύπο - a=b*ctg(C).
• Δίνεται: το μήκος ενός σκέλους και η μοίρα κλίση της γωνίας που γειτνιάζει με αυτό: για να βρούμε το μήκος του δεύτερου σκέλους, χρησιμοποιούμε τον τύπο - a=b*tg(C).
• Και τέλος, δεδομένου: τη γωνία και το μήκος της υποτείνουσας: υπολογίζουμε το μήκος και των δύο σκελών της χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους - b=c*sin(C) και a=c*cos(C).

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου

Η περιοχή ενός ισοσκελούς τριγώνου μπορεί να βρεθεί πολύ εύκολα και γρήγορα χρησιμοποιώντας τον τύπο S= b*h / 2, αλλά εάν λείπει ένας από τους δείκτες, η εργασία γίνεται πολύ πιο περίπλοκη. Μετά από όλα, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε πρόσθετες ενέργειες.

Πιθανές επιλογές εργασιών:

• Δίνεται: το μήκος μιας από τις πλευρές και το μήκος της βάσης. Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, βρίσκουμε το ύψος, δηλαδή το μήκος του δεύτερου σκέλους. Με την προϋπόθεση ότι το μήκος της βάσης διαιρούμενο με δύο είναι το πόδι και η αρχικά γνωστή πλευρά είναι η υποτείνουσα.
• Δίνονται: η βάση και η γωνία μεταξύ της πλευράς και της βάσης. Υπολογίζουμε το ύψος χρησιμοποιώντας τον τύπο h=c*ctg(B)/2 (μην ξεχάσετε να διαιρέσετε την πλευρά “c” με δύο).
• Δίνονται: το ύψος και η γωνία που σχηματίστηκε από τη βάση και την πλευρά: χρησιμοποιούμε τον τύπο c=h*tg(B)*2 για να βρούμε το ύψος και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα επί δύο. Στη συνέχεια υπολογίζουμε το εμβαδόν.
• Γνωστό: το μήκος της πλευράς και η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ αυτής και του ύψους. Λύση: χρησιμοποιούμε τους τύπους - c=a*sin(C)*2 και h=a*cos(C) για να βρούμε τη βάση και το ύψος και μετά υπολογίζουμε το εμβαδόν.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου

Εάν όλα τα δεδομένα είναι γνωστά, τότε χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο S= a* a / 2 υπολογίζουμε την περιοχή ενός ισοσκελούς ορθογώνιου τριγώνου, αλλά εάν ορισμένοι δείκτες δεν υποδεικνύονται στο πρόβλημα, τότε εκτελούνται πρόσθετες ενέργειες.

Για παράδειγμα: δεν γνωρίζουμε τα μήκη και των δύο πλευρών (θυμόμαστε ότι σε ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσα), αλλά δίνεται το μήκος της υποτείνουσας. Ας εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρούμε τις ίδιες πλευρές «α» και «α». Πυθαγόρειος τύπος: a^2+b^2=c^2. Στην περίπτωση ισοσκελούς ορθογώνιου τριγώνου, μετατρέπεται σε αυτό: 2a^2 = c^2. Αποδεικνύεται ότι για να βρείτε το σκέλος "a", πρέπει να διαιρέσετε το μήκος της υποτείνουσας με τη ρίζα του 2. Το αποτέλεσμα της λύσης θα είναι το μήκος και των δύο ποδιών ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου. Στη συνέχεια βρίσκουμε την περιοχή.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου

Χρησιμοποιώντας τον τύπο S= √3/ 4*a^2 μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου. Εάν η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι γνωστή, τότε η περιοχή μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: S= 3√3/ 4*R^2, όπου R είναι η ακτίνα του κύκλου.

Ορθογώνιο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο μία από τις γωνίες είναι 90°. Η περιοχή του μπορεί να βρεθεί αν είναι γνωστές δύο πλευρές. Μπορείτε, φυσικά, να ακολουθήσετε τη μεγάλη διαδρομή - βρείτε την υποτείνουσα και υπολογίστε την περιοχή χρησιμοποιώντας το , αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις αυτό θα πάρει μόνο επιπλέον χρόνο. Γι' αυτό ο τύπος για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου μοιάζει με αυτό:

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο των ποδιών.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός ορθογωνίου τριγώνου.
Δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πόδια ένα= 8 cm, σι= 6 cm.
Υπολογίζουμε το εμβαδόν:
Το εμβαδόν είναι: 24 cm 2

Το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει και για ένα ορθογώνιο τρίγωνο. – το άθροισμα των τετραγώνων των δύο ποδιών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.
Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως για ένα κανονικό ορθογώνιο τρίγωνο.

Ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου:
Δίνεται ένα τρίγωνο με πόδια ένα= 4 cm, σι= 4 εκ. Υπολογίστε το εμβαδόν:
Υπολογίστε το εμβαδόν: = 8 cm 2

Ο τύπος για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου από την υποτείνουσα μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν η συνθήκη δοθεί ένα πόδι. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε το μήκος του άγνωστου σκέλους. Για παράδειγμα, με δεδομένη την υποτείνουσα ντοκαι πόδι ένα, πόδι σιθα ισούται με:
Στη συνέχεια, υπολογίστε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον συνηθισμένο τύπο. Ένα παράδειγμα υπολογισμού του τύπου για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με βάση την υποτείνουσα είναι πανομοιότυπο με αυτόν που περιγράφεται παραπάνω.

Ας εξετάσουμε ένα ενδιαφέρον πρόβλημα που θα βοηθήσει στην εδραίωση της γνώσης των τύπων για την επίλυση ενός τριγώνου.
Εργο: Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 180 τετραγωνικά μέτρα. Δείτε, βρείτε το μικρότερο σκέλος του τριγώνου αν είναι 31 cm μικρότερο από το δεύτερο.
Λύση: ας ορίσουμε τα πόδια έναΚαι σι. Τώρα ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα με τον τύπο της περιοχής: γνωρίζουμε επίσης ότι το ένα πόδι είναι μικρότερο από το άλλο ένα – σι= 31 cm
Από την πρώτη συνθήκη το παίρνουμε
Αντικαθιστούμε αυτή τη συνθήκη στη δεύτερη εξίσωση:

Αφού βρήκαμε τις πλευρές, αφαιρούμε το μείον.
Αποδεικνύεται ότι το πόδι ένα= 40 cm, α σι= 9 cm.