Μονάδες φυσικών μεγεθών. Φυσικές ποσότητες. Διεθνές σύστημα μονάδων φυσικών μεγεθών Si Διεθνές σύστημα μονάδων φυσικών μεγεθών Si

Φυσικό μέγεθοςείναι μια φυσική ιδιότητα ενός υλικού αντικειμένου, διαδικασίας, φυσικού φαινομένου, που χαρακτηρίζεται ποσοτικά.

Αξία φυσικής ποσότηταςεκφράζεται με έναν ή περισσότερους αριθμούς που χαρακτηρίζουν αυτό το φυσικό μέγεθος, υποδεικνύοντας τη μονάδα μέτρησης.

Το μέγεθος μιας φυσικής ποσότηταςείναι οι τιμές των αριθμών που εμφανίζονται στην τιμή μιας φυσικής ποσότητας.

Μονάδες μέτρησης φυσικών μεγεθών.

Μονάδα μέτρησης φυσικής ποσότηταςείναι μια ποσότητα σταθερού μεγέθους στην οποία αποδίδεται μια αριθμητική τιμή ίση με ένα. Χρησιμοποιείται για την ποσοτική έκφραση φυσικών μεγεθών ομοιογενών με αυτό. Ένα σύστημα μονάδων φυσικών μεγεθών είναι ένα σύνολο βασικών και παράγωγων μονάδων που βασίζονται σε ένα ορισμένο σύστημα ποσοτήτων.

Μόνο λίγα συστήματα μονάδων έχουν γίνει ευρέως διαδεδομένα. Στις περισσότερες περιπτώσεις, πολλές χώρες χρησιμοποιούν το μετρικό σύστημα.

Βασικές μονάδες.

Μετρήστε μια φυσική ποσότητα -σημαίνει να το συγκρίνεις με μια άλλη παρόμοια φυσική ποσότητα που λαμβάνεται ως μονάδα.

Το μήκος ενός αντικειμένου συγκρίνεται με μια μονάδα μήκους, η μάζα ενός σώματος με μια μονάδα βάρους κ.λπ. Αλλά εάν ένας ερευνητής μετρήσει το μήκος σε φάσεις και ένας άλλος σε πόδια, θα είναι δύσκολο για αυτόν να συγκρίνουν τις δύο τιμές. Επομένως, όλα τα φυσικά μεγέθη σε όλο τον κόσμο μετρώνται συνήθως στις ίδιες μονάδες. Το 1963, υιοθετήθηκε το Διεθνές Σύστημα Μονάδων SI (System international - SI).

Για κάθε φυσικό μέγεθος στο σύστημα μονάδων πρέπει να υπάρχει αντίστοιχη μονάδα μέτρησης. Πρότυπο μονάδεςείναι η φυσική του εφαρμογή.

Το πρότυπο μήκους είναι μετρητής- η απόσταση μεταξύ δύο πινελιών που εφαρμόζονται σε μια ειδικά διαμορφωμένη ράβδο από κράμα πλατίνας και ιριδίου.

Πρότυπο χρόνοςχρησιμεύει ως διάρκεια οποιασδήποτε διαδικασίας που επαναλαμβάνεται τακτικά, για την οποία επιλέγεται η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο: η Γη κάνει μία περιστροφή το χρόνο. Αλλά η μονάδα χρόνου δεν λαμβάνεται ως έτος, αλλά δώσε μου ένα λεπτό.

Για μια μονάδα ΤαχύτηταΠάρτε την ταχύτητα μιας τέτοιας ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης με την οποία το σώμα κινείται 1 m σε 1 δευτερόλεπτο.

Χρησιμοποιείται ξεχωριστή μονάδα μέτρησης για την περιοχή, τον όγκο, το μήκος κ.λπ. Κάθε μονάδα προσδιορίζεται κατά την επιλογή ενός συγκεκριμένου προτύπου. Αλλά το σύστημα των μονάδων είναι πολύ πιο βολικό εάν μόνο μερικές μονάδες επιλέγονται ως κύριες και οι υπόλοιπες καθορίζονται μέσω των κύριων. Για παράδειγμα, εάν η μονάδα μήκους είναι ένα μέτρο, τότε η μονάδα εμβαδού θα είναι ένα τετραγωνικό μέτρο, ο όγκος θα είναι ένα κυβικό μέτρο, η ταχύτητα θα είναι ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο κ.λπ.

Βασικές μονάδεςΤα φυσικά μεγέθη στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI) είναι: μέτρο (m), χιλιόγραμμο (kg), δευτερόλεπτο (s), αμπέρ (Α), kelvin (K), καντέλα (cd) και mole (mol).

Βασικές μονάδες SI
Μέγεθος	Μονάδα	Ονομασία
	Ονομα	Ρωσική	Διεθνές
Ηλεκτρικό ρεύμα
Θερμοδυναμική θερμοκρασία
Η δύναμη του φωτός
Ποσότητα ουσίας

Υπάρχουν επίσης παράγωγες μονάδες SI που έχουν τα δικά τους ονόματα:

Προερχόμενες μονάδες SI με τα ονόματά τους
	Μονάδα		Παράγωγη έκφραση μονάδας
Μέγεθος	Ονομα	Ονομασία	Μέσω άλλων μονάδων SI	Μέσω των μεγάλων και συμπληρωματικών μονάδων
Πίεση				m -1 ChkgChs -2
Ενέργεια, εργασία, ποσότητα θερμότητας				m 2 ChkgChs -2
Δύναμη, ροή ενέργειας				m 2 ChkgChs -3
Ποσότητα ηλεκτρικής ενέργειας, ηλεκτρικό φορτίο
Ηλεκτρική τάση, ηλεκτρικό δυναμικό				m 2 ChkgChs -3 ChA -1
Ηλεκτρική χωρητικότητα				m -2 Chkg -1 Ch 4 Ch 2
Ηλεκτρική αντίσταση				m 2 ChkgChs -3 ChA -2
Ηλεκτρική αγωγιμότητα				m -2 Chkg -1 Ch 3 Ch 2
Μαγνητική ροή επαγωγής				m 2 ChkgChs -2 ChA -1
Μαγνητική επαγωγή				kgHs -2 ΗΑ -1
Επαγωγή				m 2 ChkgChs -2 ChA -2
Φωτεινή ροή
Φωτισμός				m 2 ChkdChsr
Δραστηριότητα ραδιενεργού πηγής	μπεκερέλ
Απορροφημένη δόση ακτινοβολίας

ΚΑΙΜετρήσεις. Για να ληφθεί μια ακριβής, αντικειμενική και εύκολα αναπαραγώγιμη περιγραφή ενός φυσικού μεγέθους, χρησιμοποιούνται μετρήσεις. Χωρίς μετρήσεις, ένα φυσικό μέγεθος δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ποσοτικά. Ορισμοί όπως «χαμηλή» ή «υψηλή» πίεση, «χαμηλή» ή «υψηλή» θερμοκρασία αντικατοπτρίζουν μόνο υποκειμενικές απόψεις και δεν περιέχουν συγκρίσεις με τιμές αναφοράς. Κατά τη μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους, του αποδίδεται μια ορισμένη αριθμητική τιμή.

Οι μετρήσεις πραγματοποιούνται χρησιμοποιώντας όργανα μέτρησης.Υπάρχει αρκετά μεγάλος αριθμός οργάνων και συσκευών μέτρησης, από τα πιο απλά έως τα πιο σύνθετα. Για παράδειγμα, το μήκος μετριέται με χάρακα ή μεζούρα, η θερμοκρασία με θερμόμετρο, το πλάτος με δαγκάνες.

Τα όργανα μέτρησης ταξινομούνται: με τη μέθοδο παρουσίασης πληροφοριών (εμφάνιση ή εγγραφή), με τη μέθοδο μέτρησης (άμεση δράση και σύγκριση), με τη μορφή παρουσίασης των ενδείξεων (αναλογική και ψηφιακή) κ.λπ.

Οι ακόλουθες παράμετροι είναι χαρακτηριστικές για τα όργανα μέτρησης:

Εύρος μέτρησης- το εύρος τιμών της μετρούμενης ποσότητας για την οποία έχει σχεδιαστεί η συσκευή κατά την κανονική λειτουργία της (με δεδομένη ακρίβεια μέτρησης).

Όριο ευαισθησίας- η ελάχιστη (κατώφλι) τιμή της μετρούμενης τιμής, που διακρίνεται από τη συσκευή.

Ευαισθησία- συνδέει την τιμή της μετρούμενης παραμέτρου και την αντίστοιχη αλλαγή στις ενδείξεις του οργάνου.

Ακρίβεια- την ικανότητα της συσκευής να υποδεικνύει την πραγματική τιμή του μετρούμενου δείκτη.

Σταθερότητα- την ικανότητα της συσκευής να διατηρεί μια δεδομένη ακρίβεια μέτρησης για ορισμένο χρόνο μετά τη βαθμονόμηση.

Στη δεκαετία του 50-60 του ΧΧ αιώνα. Όλο και περισσότερο, εκδηλώθηκε η επιθυμία πολλών χωρών να δημιουργήσουν ένα ενιαίο παγκόσμιο σύστημα μονάδων που θα μπορούσε να γίνει διεθνές. Μεταξύ των γενικών απαιτήσεων για βασικές και παράγωγες μονάδες, προτάθηκε η απαίτηση συνοχής ενός τέτοιου συστήματος μονάδων.

Το 1954 Η Χ Γενική Διάσκεψη για τα Βάρη και τα Μέτρα καθιέρωσε έξι βασικές μονάδες για τις διεθνείς σχέσεις: μέτρο, κιλό, δευτερόλεπτο, αμπέρ, Κέλβιν, κερί.

ΣΕ 1960Η XI Γενική Διάσκεψη για τα Βάρη και τα Μέτρα ενέκρινε Διεθνές σύστημα μονάδων, συντομογραφία ΣΙ.(αρχικά γράμματα του γαλλικού ονόματος Systeme International d Unites), σε ρωσική μεταγραφή - ΣΙ.

Ως αποτέλεσμα ορισμένων τροποποιήσεων που υιοθετήθηκαν από τις Γενικές Διασκέψεις για τα Βάρη και τα Μέτρα το 1967, 1971, 1979, το σύστημα περιλαμβάνει επί του παρόντος επτά κύριες μονάδες (Πίνακας 3.3.1).

Πίνακας 3.3.1

Βασικές και πρόσθετες μονάδες φυσικών μεγεθών του συστήματος SI

Μέγεθος	Μονάδα
	Ονομασία
Ονομα	Διάσταση	Προτεινόμενη ονομασία	Ονομα	Ρωσική	Διεθνές
Μήκος	Βασικός
μεγάλο		μετρητής	Μ	Μ
Βάρος	Μ	Μ	χιλιόγραμμο	κιλό	κιλό
χρόνος	Τ	t	δεύτερος	Με	μικρό
Ισχύς ηλεκτρικού ρεύματος	Εγώ	Εγώ	αμπέρ	ΕΝΑ	ΕΝΑ
Θερμοδυναμική θερμοκρασία	Q	Τ	Κέλβιν	ΠΡΟΣ ΤΗΝ	ΠΡΟΣ ΤΗΝ
Ποσότητα ουσίας	Ν	n, v	ΕΛΙΑ δερματος	ΕΛΙΑ δερματος	mol
Η δύναμη του φωτός	J	J	καντέλλα	CD	CD
Επίπεδη γωνία	Πρόσθετος
-	-	ακτίνιο	χαρούμενος	rad
Στέρεα γωνία	-	-	στεραδικό	Νυμφεύομαι	sr

Το σύστημα μονάδων SI λειτουργεί στην επικράτεια της χώρας μας. από την 1η Ιανουαρίου 1982. σύμφωνα με το GOST 8.417–81. Το σύστημα SI είναι μια λογική εξέλιξη των προηγούμενων συστημάτων μονάδων GHS και MKGSS κ.λπ.

Ορισμός και περιεχόμενο βασικών μονάδων SI.

Σύμφωνα με τις αποφάσεις της Γενικής Διάσκεψης για τα Βάρη και τα Μέτρα (GCPM), που εγκρίθηκαν σε διαφορετικά έτη, ισχύουν επί του παρόντος οι ακόλουθοι ορισμοί των βασικών μονάδων SI.

Μονάδα μήκους– μετρητής– το μήκος της διαδρομής που διανύει το φως στο κενό σε 1/299.792.458 κλάσματα του δευτερολέπτου (απόφαση του XVII CGPM το 1983).

Μονάδα μάζας– χιλιόγραμμο– μάζα ίση με τη μάζα του διεθνούς πρωτοτύπου του κιλού (απόφαση του 1ου CGPM το 1889).

Μονάδα χρόνου– δεύτερος– διάρκεια 9192631770 περιόδων ακτινοβολίας που αντιστοιχούν στη μετάβαση μεταξύ δύο υπερλεπτών επιπέδων της θεμελιώδους κατάστασης του ατόμου καισίου-133, που δεν διαταράσσονται από εξωτερικά πεδία (απόφαση του XIII CGPM το 1967).

Μονάδα ηλεκτρικού ρεύματος– αμπέρ- η ισχύς ενός σταθερού ρεύματος, το οποίο, όταν διέρχεται από δύο παράλληλους αγωγούς άπειρου μήκους και αμελητέας κυκλικής διατομής, που βρίσκονται σε απόσταση 1 m μεταξύ τους στο κενό, θα δημιουργούσε μεταξύ αυτών των αγωγών δύναμη ίση με 2 10 -7 N ανά μέτρο μήκους (εγκρίθηκε IX GCPM το 1948).

Θερμοδυναμική μονάδα θερμοκρασίας– Κέλβιν(μέχρι το 1967 ονομαζόταν βαθμούς Κέλβιν) – 1/273,16 μέρος της θερμοδυναμικής θερμοκρασίας του τριπλού σημείου του νερού. Επιτρέπεται η έκφραση της θερμοδυναμικής θερμοκρασίας σε βαθμούς Κελσίου (ανάλυση XIII CGPM το 1967).

Μονάδα ποσότητας ουσίας– ΕΛΙΑ δερματος– η ποσότητα της ουσίας ενός συστήματος που περιέχει τον ίδιο αριθμό δομικών στοιχείων με τα άτομα που περιέχονται σε ένα νουκλίδιο άνθρακα-12 βάρους 0,012 kg (ανάλυση XIV GCPM το 1971).

Μονάδα φωτεινής έντασης– καντέλα– η φωτεινή ένταση σε μια δεδομένη κατεύθυνση μιας πηγής που εκπέμπει μονοχρωματική ακτινοβολία με συχνότητα 540 10 12 Hz, η ενεργειακή φωτεινή ένταση της οποίας προς αυτή την κατεύθυνση είναι 1/683 W/sr (ανάλυση XVI GCPM το 1979).

Διάλεξη 4.

Διασφάλιση ομοιομορφίας μετρήσεων

Ενότητα μετρήσεων

Κατά τη διεξαγωγή μετρήσεων, είναι απαραίτητο να διασφαλιστεί η ενότητά τους. Κάτω από ομοιομορφία των μετρήσεων γίνεται κατανοητό χαρακτηριστικό της ποιότητας των μετρήσεων, που συνίσταται στο γεγονός ότι τα αποτελέσματά τους εκφράζονται σε νομικές μονάδες, τα μεγέθη των οποίων, εντός καθορισμένων ορίων, είναι ίσα με τα μεγέθη των αναπαραγόμενων ποσοτήτων και τα σφάλματα των αποτελεσμάτων των μετρήσεων είναι γνωστά με δεδομένη πιθανότητα και δεν υπερβαίνουν τα καθορισμένα όρια.

Η έννοια της «ενότητας των μετρήσεων» είναι αρκετά μεγάλη. Καλύπτει τα πιο σημαντικά καθήκοντα της μετρολογίας: ενοποίηση φωτοβολταϊκών μονάδων, ανάπτυξη συστημάτων για την αναπαραγωγή ποσοτήτων και τη μεταφορά των μεγεθών τους σε όργανα μέτρησης εργασίας με καθιερωμένη ακρίβειακαι μια σειρά από άλλες ερωτήσεις. Η ομοιομορφία των μετρήσεων πρέπει να διασφαλίζεται με κάθε ακρίβεια που απαιτείται από την επιστήμη και την τεχνολογία. Οι δραστηριότητες των κρατικών και τμηματικών μετρολογικών υπηρεσιών, που διεξάγονται σύμφωνα με τους καθιερωμένους κανόνες, απαιτήσεις και πρότυπα, στοχεύουν στην επίτευξη και διατήρηση της ομοιομορφίας των μετρήσεων στο κατάλληλο επίπεδο.

Σε κρατικό επίπεδο, οι δραστηριότητες για τη διασφάλιση της ομοιομορφίας των μετρήσεων ρυθμίζονται από τα πρότυπα του κρατικού συστήματος για τη διασφάλιση της ομοιομορφίας των μετρήσεων (GSI) ή από ρυθμιστικά έγγραφα των φορέων μετρολογικής υπηρεσίας.

Το κρατικό σύστημα για τη διασφάλιση της ομοιομορφίας των μετρήσεων (GSI) είναι ένα σύνολο διασυνδεδεμένων κανόνων, κανονισμών, απαιτήσεων και κανόνων που θεσπίζονται από πρότυπα που καθορίζουν την οργάνωση και τη μεθοδολογία εκτέλεσης εργασιών για την αξιολόγηση και τη διασφάλιση της ακρίβειας των μετρήσεων.

Νομική βάση Για να εξασφαλιστεί η ομοιομορφία των μετρήσεων, χρησιμοποιείται η νομική μετρολογία, η οποία είναι ένα σύνολο κρατικών νόμων (νόμος της Ρωσικής Ομοσπονδίας «Για τη διασφάλιση της ομοιομορφίας των μετρήσεων»), πράξεις και κανονιστικά και τεχνικά έγγραφα διαφόρων επιπέδων που ρυθμίζουν μετρολογικούς κανόνες, απαιτήσεις και νόρμες.

Τεχνική βάση GSI είναι:

1. Το σύστημα (σύνολο) κρατικών προτύπων μονάδων και κλίμακες φυσικών μεγεθών είναι η βάση αναφοράς της χώρας.

2. Ένα σύστημα για τη μεταφορά των μεγεθών των μονάδων και των κλιμάκων των φυσικών μεγεθών από τα πρότυπα σε όλα τα SI χρησιμοποιώντας πρότυπα και άλλα μέσα επαλήθευσης.

3. Ένα σύστημα για την ανάπτυξη, την παραγωγή και την κυκλοφορία οργάνων μέτρησης εργασίας, που παρέχει έρευνα, ανάπτυξη, προσδιορισμό με την απαιτούμενη ακρίβεια των χαρακτηριστικών προϊόντων, τεχνολογικών διεργασιών και άλλων αντικειμένων.

4. Σύστημα κρατικών δοκιμών οργάνων μέτρησης (έγκριση τύπου οργάνων μέτρησης), που προορίζονται για σειριακή ή μαζική παραγωγή και εισαγωγή από το εξωτερικό σε παρτίδες.

5. Σύστημα κρατικής και νομαρχιακής μετρολογικής πιστοποίησης, επαλήθευσης και βαθμονόμησης οργάνων μέτρησης.

6. Σύστημα υλικών αναφοράς για τη σύνθεση και τις ιδιότητες ουσιών και υλικών, Σύστημα τυπικών δεδομένων αναφοράς για φυσικές σταθερές και ιδιότητες ουσιών και υλικών.

• 1 Γενικές πληροφορίες
• 2 Ιστορία
• 3 μονάδες SI
  • 3.1 Βασικές μονάδες
  • 3.2 Παράγωγες μονάδες
• 4 Μονάδες χωρίς SI
• Κονσόλες

Γενικές πληροφορίες

Το σύστημα SI υιοθετήθηκε από τη XI Γενική Διάσκεψη για τα Βάρη και τα Μέτρα, και ορισμένες μεταγενέστερες διασκέψεις έκαναν ορισμένες αλλαγές στο SI.

Το σύστημα SI ορίζει επτά κύριοςΚαι παράγωγαμονάδες μέτρησης, καθώς και ένα σύνολο . Έχουν καθιερωθεί τυπικές συντομογραφίες για τις μονάδες μέτρησης και κανόνες για την καταγραφή των παράγωγων μονάδων.

Στη Ρωσία, ισχύει το GOST 8.417-2002, το οποίο ορίζει την υποχρεωτική χρήση του SI. Παραθέτει τις μονάδες μέτρησης, δίνει τα ρωσικά και διεθνή ονόματα και καθιερώνει τους κανόνες για τη χρήση τους. Σύμφωνα με αυτούς τους κανόνες, μόνο οι διεθνείς ονομασίες επιτρέπεται να χρησιμοποιούνται σε διεθνή έγγραφα και σε κλίμακες οργάνων. Σε εσωτερικά έγγραφα και δημοσιεύσεις, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε είτε διεθνείς είτε ρωσικές ονομασίες (αλλά όχι και ταυτόχρονα).

Βασικές μονάδες: χιλιόγραμμο, μετρητής, δεύτερο, αμπέρ, kelvin, mole και candela. Στο πλαίσιο του SI, αυτές οι μονάδες θεωρούνται ότι έχουν ανεξάρτητες διαστάσεις, δηλαδή καμία από τις βασικές μονάδες δεν μπορεί να ληφθεί από τις άλλες.

Παράγωγες μονάδεςλαμβάνονται από τα βασικά που χρησιμοποιούν αλγεβρικές λειτουργίες όπως ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση. Ορισμένες από τις παραγόμενες μονάδες στο σύστημα SI έχουν τα δικά τους ονόματα.

Κονσόλεςμπορεί να χρησιμοποιηθεί πριν από τα ονόματα μονάδων μέτρησης. σημαίνουν ότι μια μονάδα μέτρησης πρέπει να πολλαπλασιαστεί ή να διαιρεθεί με έναν ορισμένο ακέραιο αριθμό, μια δύναμη 10. Για παράδειγμα, το πρόθεμα «κιλό» σημαίνει πολλαπλασιασμό με 1000 (χιλιόμετρο = 1000 μέτρα). Τα προθέματα SI ονομάζονται επίσης δεκαδικά προθέματα.

Ιστορία

Το σύστημα SI βασίζεται στο μετρικό σύστημα μέτρων, το οποίο δημιουργήθηκε από Γάλλους επιστήμονες και υιοθετήθηκε ευρέως για πρώτη φορά μετά τη Γαλλική Επανάσταση. Πριν από την εισαγωγή του μετρικού συστήματος, οι μονάδες μέτρησης επιλέχθηκαν τυχαία και ανεξάρτητα μεταξύ τους. Επομένως, η μετατροπή από μία μονάδα μέτρησης σε άλλη ήταν δύσκολη. Επιπλέον, χρησιμοποιήθηκαν διαφορετικές μονάδες μέτρησης σε διαφορετικά μέρη, μερικές φορές με τα ίδια ονόματα. Το μετρικό σύστημα έπρεπε να γίνει ένα βολικό και ομοιόμορφο σύστημα μέτρων και βαρών.

Το 1799 εγκρίθηκαν δύο πρότυπα - για τη μονάδα μήκους (μετρητή) και για τη μονάδα βάρους (χιλιόγραμμα).

Το 1874 εισήχθη το σύστημα GHS, με βάση τρεις μονάδες μέτρησης - εκατοστό, Gram και δεύτερο. Εισήχθησαν επίσης δεκαδικά προθέματα από micro σε mega.

Το 1889, η 1η Γενική Διάσκεψη για τα Βάρη και τα Μέτρα υιοθέτησε ένα σύστημα μέτρων παρόμοιο με το GHS, αλλά με βάση το μέτρο, το κιλό και το δεύτερο, καθώς αυτές οι μονάδες θεωρήθηκαν πιο βολικές για πρακτική χρήση.

Στη συνέχεια εισήχθησαν βασικές μονάδες για τη μέτρηση των φυσικών ποσοτήτων στον τομέα της ηλεκτρικής ενέργειας και των οπτικών.

Το 1960, η XI Γενική Διάσκεψη για τα Βάρη και τα Μέτρα υιοθέτησε ένα πρότυπο που ονομάστηκε για πρώτη φορά Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI).

Το 1971, η IV Γενική Διάσκεψη για τα Βάρη και τα Μέτρα τροποποίησε το SI, προσθέτοντας, ειδικότερα, μια μονάδα για τη μέτρηση της ποσότητας μιας ουσίας (mole).

Το SI είναι πλέον αποδεκτό ως το νομικό σύστημα μονάδων μέτρησης από τις περισσότερες χώρες στον κόσμο και χρησιμοποιείται σχεδόν πάντα στον επιστημονικό τομέα (ακόμη και σε χώρες που δεν έχουν υιοθετήσει το SI).

Μονάδες SI

Δεν υπάρχει τελεία μετά τους χαρακτηρισμούς των μονάδων SI και των παραγώγων τους, σε αντίθεση με τις συνηθισμένες συντομογραφίες.

Βασικές μονάδες

Μέγεθος	Μονάδα		Ονομασία
	Ρωσικό όνομα	διεθνές όνομα	Ρωσική	Διεθνές
Μήκος	μετρητής	μέτρο (μέτρο)	Μ	Μ
Βάρος	χιλιόγραμμο	χιλιόγραμμο	κιλό	κιλό
χρόνος	δεύτερος	δεύτερος	Με	μικρό
Ισχύς ηλεκτρικού ρεύματος	αμπέρ	αμπέρ	ΕΝΑ	ΕΝΑ
Θερμοδυναμική θερμοκρασία	Κέλβιν	Κέλβιν	ΠΡΟΣ ΤΗΝ	κ
Η δύναμη του φωτός	καντέλα	καντέλα	CD	CD
Ποσότητα ουσίας	ΕΛΙΑ δερματος	ΕΛΙΑ δερματος	ΕΛΙΑ δερματος	mol

Παράγωγες μονάδες

Οι παραγόμενες μονάδες μπορούν να εκφραστούν ως μονάδες βάσης χρησιμοποιώντας τις μαθηματικές πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Σε ορισμένες από τις παράγωγες μονάδες δίνονται τα δικά τους ονόματα για ευκολία· τέτοιες μονάδες μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν σε μαθηματικές εκφράσεις για να σχηματίσουν άλλες παράγωγες μονάδες.

Η μαθηματική έκφραση για μια παράγωγη μονάδα μέτρησης προκύπτει από τον φυσικό νόμο με τον οποίο ορίζεται αυτή η μονάδα μέτρησης ή από τον ορισμό της φυσικής ποσότητας για την οποία εισάγεται. Για παράδειγμα, η ταχύτητα είναι η απόσταση που διανύει ένα σώμα ανά μονάδα χρόνου. Αντίστοιχα, η μονάδα μέτρησης για την ταχύτητα είναι m/s (μέτρο ανά δευτερόλεπτο).

Συχνά η ίδια μονάδα μέτρησης μπορεί να γραφεί με διαφορετικούς τρόπους, χρησιμοποιώντας διαφορετικό σύνολο βασικών και παράγωγων μονάδων (βλ., για παράδειγμα, την τελευταία στήλη στον πίνακα ). Ωστόσο, στην πράξη, χρησιμοποιούνται καθιερωμένες (ή απλώς γενικά αποδεκτές) εκφράσεις που αντικατοπτρίζουν καλύτερα τη φυσική σημασία της ποσότητας που μετράται. Για παράδειγμα, για να γράψετε την τιμή μιας ροπής δύναμης, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε N×m και όχι m×N ή J.

Παράγωγες μονάδες με τα δικά τους ονόματα

Μέγεθος	Μονάδα		Ονομασία		Εκφραση
	Ρωσικό όνομα	διεθνές όνομα	Ρωσική	Διεθνές
Επίπεδη γωνία	ακτίνιο	ακτίνιο	χαρούμενος	rad	m×m -1 = 1
Στέρεα γωνία	στεραδικό	στεραδικό	Νυμφεύομαι	sr	m 2 ×m -2 = 1
Θερμοκρασία σε Κελσίου	βαθμοί Κελσίου	°C	βαθμοί Κελσίου	°C	κ
Συχνότητα	χέρτζ	χέρτζ	Hz	Hz	s -1
Δύναμη	νεύτο	νεύτο	Ν	Ν	kg×m/s 2
Ενέργεια	μονάδα ενέργειας ή έργου	μονάδα ενέργειας ή έργου	J	J	N×m = kg×m 2 /s 2
Εξουσία	βάτ	βάτ	W	W	J/s = kg × m 2 / s 3
Πίεση	πασκάλ	πασκάλ	Pa	Pa	N/m 2 = kg m -1 s 2
Φωτεινή ροή	μονάδα φωτισμού	μονάδα φωτισμού	λμ	λμ	kd×sr
Φωτισμός	πολυτέλεια	lux	Εντάξει	lx	lm/m 2 = cd×sr×m -2
Ηλεκτρικό φορτίο	κρεμαστό κόσμημα	κουλόμβ	Cl	ντο	Α×σ
Πιθανή διαφορά	βόλτ	βόλτ	ΣΕ	V	J/C = kg×m 2 ×s -3 ×A -1
Αντίσταση	ωμ	ωμ	Ωμ	Ω	V/A = kg×m 2 ×s -3 ×A -2
Χωρητικότητα	ηλεκτρική μονάδα	ηλεκτρική μονάδα	φά	φά	C/V = kg -1 ×m -2 ×s 4 ×A 2
Μαγνητική ροή	Weber	Weber	Wb	Wb	kg×m 2 ×s -2 ×A -1
Μαγνητική επαγωγή	tesla	tesla	Tl	Τ	Wb/m 2 = kg × s -2 × A -1
Επαγωγή	Αυτεπαγωγής	Αυτεπαγωγής	Γν	H	kg×m 2 ×s -2 ×A -2
Ηλεκτρική αγωγιμότητα	Siemens	siemens	Εκ	μικρό	Ohm -1 = kg -1 ×m -2 ×s 3 A 2
Ραδιοενέργεια	μπεκερέλ	μπεκερέλ	Bk	Bq	s -1
Απορροφημένη δόση ιονίζουσας ακτινοβολίας	Γκρί	γκρί	Γρ	Gy	J/kg = m 2 / s 2
Αποτελεσματική δόση ιονίζουσας ακτινοβολίας	sievert	sievert	Sv	Sv	J/kg = m 2 / s 2
Καταλυτική δραστηριότητα	έλασης	καταλ	Γάτα	κατ	mol×s -1

Μονάδες που δεν περιλαμβάνονται στο Σύστημα SI

Ορισμένες μονάδες μέτρησης που δεν περιλαμβάνονται στο Σύστημα SI, με απόφαση της Γενικής Διάσκεψης για τα Βάρη και τα Μέτρα, «επιτρέπονται για χρήση σε συνδυασμό με το SI».

Μονάδα	Διεθνές όνομα	Ονομασία		Τιμή σε μονάδες SI
		Ρωσική	Διεθνές
λεπτό	λεπτό	ελάχ	ελάχ	60 δευτ
ώρα	ώρα	η	η	60 λεπτά = 3600 δευτ
ημέρα	ημέρα	ημέρες	ρε	24 h = 86.400 s
βαθμός	βαθμός	°	°	(Ρ/180) χαίρομαι
τοξόλεπτο	λεπτό	′	′	(1/60)° = (P/10.800)
δευτερόλεπτο τόξου	δεύτερος	″	″	(1/60)′ = (P/648.000)
λίτρο	λίτρο (λίτρο)	μεγάλο	λ, Λ	1 dm 3
τόνος	τόνους	Τ	t	1000 κιλά
neper	neper	Np	Np
άσπρο	bel	σι	σι
ηλεκτρονιοβολτ	ηλεκτρονβολτ	eV	eV	10 -19 J
μονάδα ατομικής μάζας	ενοποιημένη μονάδα ατομικής μάζας	ΕΝΑ. τρώω.	u	=1,49597870691 -27 κιλά
αστρονομική μονάδα	αστρονομική μονάδα	ΕΝΑ. μι.	ua	10 11 μ
ναυτικό μίλι	ναυτικό μίλι	μίλι		1852 m (ακριβώς)
κόμβος	κόμπος	δεσμούς		1 ναυτικό μίλι την ώρα = (1852/3600) m/s
αρ	είναι	ΕΝΑ	ένα	10 2 m 2
εκτάριο	εκτάριο	χα	χα	10 4 m 2
μπαρ	μπαρ	μπαρ	μπαρ	10 5 Pa
angstrom	ångström	Å	Å	10 -10 μ
σιταποθήκη	σιταποθήκη	σι	σι	10 -28 m 2

Kolchkov V.I. ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ, ΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μ.: Σχολικό βιβλίο

3. Μετρολογία και τεχνικές μετρήσεις

3.3. Διεθνές σύστημα μονάδων φυσικών μεγεθών

Το Εναρμονισμένο Διεθνές Σύστημα Μονάδων Φυσικών Μεγεθών υιοθετήθηκε το 1960 από την XI Γενική Διάσκεψη για τα Βάρη και τα Μέτρα. Διεθνές σύστημα - SI (SI), SI- αρχικά γράμματα της γαλλικής ονομασίας Systeme International. Το σύστημα παρέχει μια λίστα με επτά βασικές μονάδες: μέτρο, χιλιόγραμμο, δευτερόλεπτο, αμπέρ, kelvin, candela, mole και δύο επιπλέον: ακτίνιο, στεραδικό, καθώς και προθέματα για το σχηματισμό πολλαπλών και υποπολλαπλάσιων.

3.3.1 Μονάδες βάσης SI

• Μετρητήςίσο με το μήκος της διαδρομής που διανύει το φως στο κενό σε 1/299.792.458 του δευτερολέπτου.
• Χιλιόγραμμο ίση με τη μάζα του διεθνούς πρωτότυπου κιλού.
• Δεύτερος ίσο με 9.192.631.770 περιόδους ακτινοβολίας που αντιστοιχούν στη μετάβαση μεταξύ δύο υπερλεπτών επιπέδων της θεμελιώδους κατάστασης του ατόμου καισίου-133.
• Αμπέρ ισούται με τη δύναμη ενός ηλεκτρικού ρεύματος που δεν μεταβάλλεται στο χρόνο, το οποίο, όταν διέρχεται από δύο παράλληλους ευθύγραμμους αγωγούς άπειρου μήκους και αμελητέα μικρής κυκλικής διατομής, που βρίσκονται σε απόσταση 1 m ο ένας από τον άλλο σε κενό, προκαλεί δύναμη αλληλεπίδρασης ίση με 2 σε κάθε τμήμα του αγωγού μήκους 1 m 10 προς την μείον 7η ισχύ N.
• Κέλβιν ίσο με το 1/273,16 της θερμοδυναμικής θερμοκρασίας του τριπλού σημείου του νερού.
• ΕΛΙΑ δερματος ίση με την ποσότητα της ουσίας σε ένα σύστημα που περιέχει τον ίδιο αριθμό δομικών στοιχείων με τα άτομα του άνθρακα-12 βάρους 0,012 kg.
• Καντέλα ίση με τη φωτεινή ένταση σε μια δεδομένη κατεύθυνση μιας πηγής που εκπέμπει μονοχρωματική ακτινοβολία με συχνότητα 540 10 έως τη 12η ισχύ του Hz, η ενεργειακή φωτεινή ένταση της οποίας σε αυτή την κατεύθυνση είναι 1/683 W/sr.

Πίνακας 3.1. Κύριες και Συμπληρωματικές Μονάδες SI

Βασικές μονάδες SI
Μέγεθος		Ονομασία
Ονομα	Ονομα		Διεθνές
	χιλιόγραμμο
Ισχύς ηλεκτρικού ρεύματος I
Θερμοδυναμικός θερμοκρασία
Η δύναμη του φωτός
Ποσότητα ουσίας
Παράγωγες μονάδες SI
Μέγεθος		Ονομασία
Ονομα	Ονομα		Διεθνές
Επίπεδη γωνία
Στέρεα γωνία	στεραδικό

3.3.2. Παράγωγες μονάδες SI

Οι παράγωγες μονάδες του Διεθνούς Συστήματος Μονάδων σχηματίζονται χρησιμοποιώντας τις απλούστερες εξισώσεις μεταξύ φυσικών μεγεθών στις οποίες οι αριθμητικοί συντελεστές είναι ίσοι με μονάδα. Για παράδειγμα, για να προσδιορίσουμε τη διάσταση της γραμμικής ταχύτητας, θα χρησιμοποιήσουμε την έκφραση για την ταχύτητα της ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης. Αν το μήκος της διανυθείσας απόστασης είναι v = l/t(m), και ο χρόνος κατά τον οποίο καλύπτεται αυτή η διαδρομή είναι t(s), τότε η ταχύτητα λαμβάνεται σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο (m/s). Κατά συνέπεια, η μονάδα ταχύτητας SI - μέτρο ανά δευτερόλεπτο - είναι η ταχύτητα ενός ευθύγραμμα και ομοιόμορφα κινούμενου σημείου, στο οποίο κινείται σε απόσταση 1 m σε 1 s. Με παρόμοιο τρόπο σχηματίζονται και άλλες μονάδες, περιλαμβανομένων. με συντελεστή όχι ίσο με ένα.

Πίνακας 3.2. Παράγωγες μονάδες SI (βλ. επίσης Πίνακα 3.1)

Παράγωγες μονάδες SI με τα δικά τους ονόματα
Ονομα			Έκφραση μιας παράγωγης μονάδας σε μονάδες SI
Μέγεθος	Ονομα	Ονομασία	άλλες μονάδες	βασικός και επιπλέον μονάδες
				s–1
				m kg s–2
Πίεση			N/m2	m–1 kg s–2
Ενέργεια, εργασία,				m2 kg s–2
Εξουσία				m2 kg s–3
Ηλεκτρ. χρέωση
Ηλεκτρικό δυναμικό				m2 kg s–3 A–1
Ηλεκτρ. χωρητικότητα				m–2 kg–1 s4 A2
Ελ..αντίσταση				m2 kg s–3 A–2
Ηλεκτρική αγωγιμότητα				m–2 kg–1 s3 A2
Μαγνητική ροή επαγωγής				m2 kg s–2 A–1

Κάτω από φυσική ποσότητακατανοούν τα χαρακτηριστικά φυσικών αντικειμένων ή φαινομένων του υλικού κόσμου, κοινά με ποιοτική έννοια για πολλά αντικείμενα ή φαινόμενα, αλλά μεμονωμένα για καθένα από αυτά με ποσοτική έννοια. Για παράδειγμα, η μάζα είναι ένα φυσικό μέγεθος. Είναι ένα γενικό χαρακτηριστικό των φυσικών αντικειμένων με ποιοτική έννοια, αλλά από ποσοτική έννοια έχει τη δική του ατομική σημασία για διαφορετικά αντικείμενα.

Κάτω από έννοια φυσική ποσότητακατανοούν την αξιολόγησή του, που εκφράζεται με το γινόμενο ενός αφηρημένου αριθμού από τη μονάδα που είναι αποδεκτή για μια δεδομένη φυσική ποσότητα. Για παράδειγμα, στην έκφραση για την ατμοσφαιρική πίεση αέρα R= 95,2 kPa, 95,2 είναι ένας αφηρημένος αριθμός που αντιπροσωπεύει την αριθμητική τιμή της πίεσης του αέρα, το kPa είναι η μονάδα πίεσης που υιοθετείται σε αυτήν την περίπτωση.

Κάτω από μονάδα φυσικής ποσότηταςκατανοούν μια φυσική ποσότητα που είναι σταθερό σε μέγεθος και λαμβάνεται ως βάση για την ποσοτική εκτίμηση συγκεκριμένων φυσικών μεγεθών. Για παράδειγμα, μέτρα, εκατοστά κ.λπ. χρησιμοποιούνται ως μονάδες μήκους.

Ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά ενός φυσικού μεγέθους είναι η διάστασή του. Διάσταση φυσικής ποσότηταςαντανακλά τη σχέση μιας δεδομένης ποσότητας με τις ποσότητες που γίνονται δεκτές ως βασικές στο υπό εξέταση σύστημα ποσοτήτων.

Το σύστημα ποσοτήτων, το οποίο καθορίζεται από το Διεθνές Σύστημα Μονάδων SI και το οποίο υιοθετείται στη Ρωσία, περιέχει επτά κύριες ποσότητες συστήματος που παρουσιάζονται στον Πίνακα 1.1.

Υπάρχουν δύο επιπλέον μονάδες SI - ακτίνια και στεράδια, τα χαρακτηριστικά των οποίων παρουσιάζονται στον Πίνακα 1.2.

Από τις βασικές και τις πρόσθετες μονάδες SI σχηματίζονται 18 παράγωγες μονάδες SI, στις οποίες αποδίδονται ειδικές, υποχρεωτικές ονομασίες. Δεκαέξι μονάδες ονομάζονται από επιστήμονες, οι υπόλοιπες δύο είναι lux και lumen (βλ. Πίνακα 1.3).

Ειδικά ονόματα μονάδων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για το σχηματισμό άλλων παράγωγων μονάδων. Παράγωγες μονάδες που δεν έχουν ειδική υποχρεωτική ονομασία είναι: εμβαδόν, όγκος, ταχύτητα, επιτάχυνση, πυκνότητα, ώθηση, ροπή δύναμης κ.λπ.

Μαζί με τις μονάδες SI, επιτρέπεται η χρήση δεκαδικών πολλαπλασίων και υποπολλαπλάσιων αυτών. Ο Πίνακας 1.4 παρουσιάζει τα ονόματα και τους χαρακτηρισμούς των προθεμάτων τέτοιων μονάδων και τους πολλαπλασιαστές τους. Τέτοια προθέματα ονομάζονται προθέματα SI.

Η επιλογή μιας ή άλλης δεκαδικής πολλαπλής ή υποπολλαπλής μονάδας καθορίζεται κυρίως από την ευκολία χρήσης της στην πράξη. Κατ 'αρχήν, επιλέγονται πολλαπλές και υποπολλαπλές μονάδες έτσι ώστε οι αριθμητικές τιμές των ποσοτήτων να είναι στην περιοχή από 0,1 έως 1000. Για παράδειγμα, αντί για 4.000.000 Pa, είναι καλύτερο να χρησιμοποιείτε 4 MPa.

Πίνακας 1.1. Βασικές μονάδες SI

Μέγεθος			Μονάδα
Ονομα	Διάσταση	Προτεινόμενη ονομασία	Ονομα	Ονομασία		Ορισμός
				Διεθνές	Ρωσική
Μήκος	μεγάλο	μεγάλο	μετρητής	Μ	Μ	Ένα μέτρο ισούται με την απόσταση που διανύει στο κενό ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε 1/299.792.458 κλάσματα του δευτερολέπτου	km, cm, mm, μm, nm
Βάρος	Μ	Μ	χιλιόγραμμο	κιλό	κιλό	Ένα κιλό είναι ίσο με τη μάζα του διεθνούς πρωτοτύπου του κιλού	Mg, g, mg, mcg
χρόνος	Τ	t	δεύτερος	μικρό	Με	Ένα δεύτερο είναι ίσο με 9192631770 περιόδους ακτινοβολίας κατά τη μετάβαση μεταξύ δύο υπερλεπτών επιπέδων της θεμελιώδους κατάστασης του ατόμου καισίου-133	ks, ms, mks, ns
Ισχύς ηλεκτρικού ρεύματος	Εγώ	Εγώ	αμπέρ	ΕΝΑ	ΕΝΑ	Ένα αμπέρ ισούται με τη δύναμη ενός μεταβαλλόμενου ρεύματος, το οποίο, όταν διέρχεται από δύο παράλληλους αγωγούς άπειρου μήκους και αμελητέα μικρής κυκλικής διατομής, που βρίσκονται σε κενό σε απόσταση 1 m ο ένας από τον άλλον, θα προκαλούσε δύναμη αλληλεπίδρασης 2 10 -7 σε κάθε τμήμα του αγωγού μήκους 1 m N	kA, mA, μA, nA, pA
Θερμοδυναμική θερμοκρασία		Τ	Κέλβιν*	ΠΡΟΣ ΤΗΝ	ΠΡΟΣ ΤΗΝ	Το Kelvin είναι ίσο με το 1/273,16 της θερμοδυναμικής θερμοκρασίας του τριπλού σημείου του νερού	MK, kK, mK, mkK
Ποσότητα ουσίας	Ν	n; n	ΕΛΙΑ δερματος	mol	ΕΛΙΑ δερματος	Ένα mole είναι ίσο με την ποσότητα της ουσίας σε ένα σύστημα που περιέχει τον ίδιο αριθμό δομικών στοιχείων με τα άτομα του άνθρακα-12 βάρους 0,012 kg	kmol, mmol, μmol
Η δύναμη του φωτός	J	J	καντέλα	CD	CD	Το Candela ισούται με την ένταση του φωτός σε μια δεδομένη κατεύθυνση μιας πηγής που εκπέμπει μονοχρωματική ακτινοβολία συχνοτήτων 540·10 12 Hz, της οποίας η ένταση ακτινοβολίας προς αυτή την κατεύθυνση είναι 1/683 W/sr

* Εκτός από τη θερμοκρασία Kelvin (ονομασία Τ) είναι επίσης δυνατή η χρήση της θερμοκρασίας Κελσίου (ονομασία t), που ορίζεται από την έκφραση t = Τ– 273,15 K. Η θερμοκρασία Kelvin εκφράζεται σε Kelvins, και η θερμοκρασία Κελσίου εκφράζεται σε βαθμούς Κελσίου (°C). Το διάστημα ή η διαφορά θερμοκρασίας Kelvin εκφράζεται μόνο σε Kelvin. Το διάστημα ή η διαφορά θερμοκρασίας Κελσίου μπορεί να εκφραστεί τόσο σε Κέλβιν όσο και σε βαθμούς Κελσίου.

Πίνακας 1.2

Πρόσθετες μονάδες SI

Μέγεθος			Μονάδα					Προσδιορισμοί προτεινόμενων πολλαπλασίων και υποπολλαπλάσιων
Ονομα	Διάσταση	Προτεινόμενη ονομασία	Συστατική εξίσωση	Ονομα	Ονομασία		Ορισμός
					Διεθνές	Ρωσική
Επίπεδη γωνία	1	a, b, g, q, n, j	α = μικρό /r	ακτίνιο	rad	χαρούμενος	Ένα ακτίνιο είναι ίσο με τη γωνία μεταξύ δύο ακτίνων ενός κύκλου, το μήκος του τόξου μεταξύ των οποίων είναι ίσο με την ακτίνα	mrad, mrad
Στέρεα γωνία	1	w, W	W= μικρό /r 2	στεραδικό	sr	Νυμφεύομαι	Ένα στεράδιο είναι ίσο με μια συμπαγή γωνία με την κορυφή του στο κέντρο της σφαίρας, κόβοντας στην επιφάνεια της σφαίρας ένα εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά ίση με την ακτίνα της σφαίρας

Πίνακας 1.3

Παράγωγες μονάδες SI με ειδικές ονομασίες

Μέγεθος		Μονάδα
Ονομα	Διάσταση	Ονομα	Ονομασία
			Διεθνές	Ρωσική
Συχνότητα	Τ -1	χέρτζ	Hz	Hz
Δύναμη, βάρος	LMT-2	νεύτο	Ν	Ν
Πίεση, μηχανική καταπόνηση, μέτρο ελαστικότητας	L -1 MT -2	πασκάλ	Pa	Pa
Ενέργεια, εργασία, ποσότητα θερμότητας	L 2 MT -2	μονάδα ενέργειας ή έργου	J	J
Δύναμη, ροή ενέργειας	L 2 MT -3	βάτ	W	W
Ηλεκτρικό φορτίο (ποσότητα ηλεκτρικής ενέργειας)	ΤΙ	κρεμαστό κόσμημα	ΜΕ	Cl
Ηλεκτρική τάση, ηλεκτρικό δυναμικό, διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού, ηλεκτροκινητική δύναμη	L 2 MT -3 I -1	βόλτ	V	ΣΕ
Ηλεκτρική χωρητικότητα	L -2 M -1 T 4 I 2	ηλεκτρική μονάδα	φά	φά
Ηλεκτρική αντίσταση	L 2 MT -3 I -2	ωμ		Ωμ
Ηλεκτρική αγωγιμότητα	L -2 M -1 T 3 I 2	Siemens	μικρό	Εκ
Μαγνητική ροή επαγωγής, μαγνητική ροή	L 2 MT -2 I -1	Weber	Wb	Wb
Πυκνότητα μαγνητικής ροής, μαγνητική επαγωγή	ΜΤ -2 Ι -1	tesla	Τ	Tl
Επαγωγή, αμοιβαία επαγωγή	L 2 MT -2 I -2	Αυτεπαγωγής	Ν	Γν
Φωτεινή ροή	J	μονάδα φωτισμού	λμ	λμ
Φωτισμός	L -2 J	πολυτέλεια	lx	Εντάξει
Δραστηριότητα ενός νουκλιδίου σε μια ραδιενεργή πηγή	Τ-1	μπεκερέλ	Bq	Bk
Απορροφημένη δόση ακτινοβολίας, kerma	L 2 T -2	γκρί	Gy	Γρ
Ισοδύναμη δόση ακτινοβολίας	L 2 T -2	sievert	Sv	Sv

Πίνακας 1.4

Ονόματα και ονομασίες προθεμάτων SI για το σχηματισμό δεκαδικών πολλαπλασίων και υποπολλαπλάσιων και οι συντελεστές τους

Όνομα αποκωδικοποιητή	Προσδιορισμός προθέματος		Παράγοντας
	Διεθνές	Ρωσική
εξ	μι	μι	10 18
πέτα	Π	Π	10 15
tera	Τ	Τ	10 12
giga	σολ	σολ	10 9
μέγα	Μ	Μ	10 6
κιλό	κ	Προς την	10 3
εκατο*	η	σολ	10 2
soundboard*	δα	Ναί	10 1
deci*	ρε	ρε	10 -1
εκατοστά*	ντο	Με	10 -2
Milli	Μ	Μ	10 -3
μικρο		mk	10 -6
νανο	n	n	10 -9
pico	Π	Π	10 -12
femto	φά	φά	10 -15
atto	ένα	ΕΝΑ	10 -18

* Τα προθέματα «hecto», «deca», «deci» και «santi» επιτρέπεται να χρησιμοποιούνται μόνο για μονάδες που χρησιμοποιούνται ευρέως, για παράδειγμα: δεκατόμετρο, εκατοστό, δεκατόλιτρο, εκατόλιτρο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΕΡΙΠΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

Ως αποτέλεσμα των μετρήσεων, καθώς και κατά τη διάρκεια πολλών μαθηματικών πράξεων, λαμβάνονται κατά προσέγγιση τιμές των επιθυμητών ποσοτήτων. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη ορισμένοι κανόνες για υπολογισμούς με κατά προσέγγιση τιμές. Αυτοί οι κανόνες καθιστούν δυνατή τη μείωση του όγκου της υπολογιστικής εργασίας και την εξάλειψη πρόσθετων σφαλμάτων. Οι κατά προσέγγιση τιμές έχουν ποσότητες όπως , λογάριθμους κ.λπ., διάφορες φυσικές σταθερές και αποτελέσματα μετρήσεων.

Όπως γνωρίζετε, οποιοσδήποτε αριθμός γράφεται χρησιμοποιώντας αριθμούς: 1, 2, ..., 9, 0; Στην περίπτωση αυτή, τα σημαντικά ψηφία θεωρούνται ότι είναι 1, 2, ..., 9. Το μηδέν μπορεί να είναι είτε σημαντικό ψηφίο εάν βρίσκεται στη μέση ή στο τέλος του αριθμού, είτε ασήμαντο ψηφίο εάν είναι στο δεκαδικό κλάσμα στην αριστερή πλευρά και υποδεικνύει μόνο την κατάταξη των υπόλοιπων ψηφίων.

Κατά την καταγραφή ενός κατά προσέγγιση αριθμού, θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη ότι οι αριθμοί που τον αποτελούν μπορεί να είναι αληθινοί, αμφίβολοι ή λανθασμένοι. Αριθμός αληθής, εάν το απόλυτο σφάλμα ενός αριθμού είναι μικρότερο από μια ψηφία μονάδα αυτού του ψηφίου (στα αριστερά του όλα τα ψηφία θα είναι σωστά). Αμφίβολοςονομάστε τον αριθμό στα δεξιά του σωστού αριθμού και τους αριθμούς στα δεξιά του αμφίβολου άπιστος. Οι λανθασμένοι αριθμοί πρέπει να απορρίπτονται όχι μόνο στο αποτέλεσμα, αλλά και στα δεδομένα προέλευσης. Δεν χρειάζεται να στρογγυλοποιήσετε τον αριθμό. Όταν το σφάλμα ενός αριθμού δεν αναφέρεται, θα πρέπει να θεωρηθεί ότι το απόλυτο σφάλμα του είναι ίσο με το μισό του μοναδιαίου ψηφίου του τελευταίου ψηφίου. Το ψηφίο του πιο σημαντικού ψηφίου του σφάλματος υποδεικνύει το ψηφίο του αμφίβολου ψηφίου στον αριθμό. Μόνο σωστά και αμφίβολα στοιχεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως σημαντικά στοιχεία, αλλά εάν το σφάλμα του αριθμού δεν αναφέρεται, τότε όλα τα στοιχεία είναι σημαντικά.

Θα πρέπει να εφαρμόζεται ο ακόλουθος βασικός κανόνας για τη γραφή κατά προσέγγιση αριθμών (σύμφωνα με το ST SEV 543-77): ένας κατά προσέγγιση αριθμός πρέπει να γράφεται με τέτοιο αριθμό σημαντικών ψηφίων που να εγγυώνται την ακρίβεια του τελευταίου σημαντικού ψηφίου του αριθμού, για παράδειγμα :

1) γράφοντας τον αριθμό 4,6 σημαίνει ότι μόνο οι αριθμοί των ακεραίων και των δέκατων είναι σωστοί (η πραγματική τιμή του αριθμού μπορεί να είναι 4,64, 4,62, 4,56).

2) γράφοντας τον αριθμό 4,60 σημαίνει ότι τα εκατοστά του αριθμού είναι επίσης σωστά (η πραγματική τιμή του αριθμού μπορεί να είναι 4,604, 4,602, 4,596).

3) γράφοντας τον αριθμό 493 σημαίνει ότι και τα τρία ψηφία είναι σωστά. Εάν δεν μπορείτε να εγγυηθείτε για το τελευταίο ψηφίο 3, αυτός ο αριθμός πρέπει να γραφτεί ως εξής: 4,9 10 2;

4) όταν εκφράζουμε την πυκνότητα του υδραργύρου 13,6 g/cm 3 σε μονάδες SI (kg/m 3), θα πρέπει να γράψουμε 13,6 10 3 kg/m 3 και δεν μπορούμε να γράψουμε 13600 kg/m 3, που θα σήμαινε ότι πέντε σημαντικά ψηφία είναι σωστά , ενώ ο αρχικός αριθμός δίνει μόνο τρία έγκυρα σημαντικά ψηφία.

Τα αποτελέσματα των πειραμάτων καταγράφονται μόνο σε σημαντικά νούμερα. Ένα κόμμα τοποθετείται αμέσως μετά από ένα μη μηδενικό ψηφίο και ο αριθμός πολλαπλασιάζεται επί δέκα στον κατάλληλο βαθμό. Τα μηδενικά στην αρχή ή στο τέλος ενός αριθμού συνήθως δεν γράφονται. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 0,00435 και 234000 γράφονται ως 4,35·10 -3 και 2,34·10 5 . Αυτή η σημείωση απλοποιεί τους υπολογισμούς, ειδικά στην περίπτωση τύπων βολικών για λογάριθμους.

Η στρογγυλοποίηση ενός αριθμού (σύμφωνα με το ST SEV 543-77) είναι η αφαίρεση σημαντικών ψηφίων στα δεξιά σε ένα συγκεκριμένο ψηφίο με πιθανή αλλαγή στο ψηφίο αυτού του ψηφίου.

Η στρογγυλοποίηση δεν αλλάζει το τελευταίο αποθηκευμένο ψηφίο εάν:

1) το πρώτο ψηφίο που πρέπει να απορριφθεί, μετρώντας από αριστερά προς τα δεξιά, είναι μικρότερο από 5.

2) το πρώτο απορριφθέν ψηφίο, ίσο με 5, λήφθηκε ως αποτέλεσμα της προηγούμενης στρογγυλοποίησης προς τα πάνω.

Κατά τη στρογγυλοποίηση, το τελευταίο αποθηκευμένο ψηφίο αυξάνεται κατά ένα εάν

1) το πρώτο ψηφίο που πρέπει να απορριφθεί είναι μεγαλύτερο από 5.

2) το πρώτο ψηφίο που απορρίφθηκε, μετρώντας από αριστερά προς τα δεξιά, είναι ίσο με 5 (σε περίπτωση απουσίας προηγούμενων στρογγυλοποιήσεων ή παρουσία προηγούμενης στρογγυλοποίησης προς τα κάτω).

Η στρογγυλοποίηση θα πρέπει να γίνει αμέσως στον επιθυμητό αριθμό σημαντικών αριθμών, και όχι στα στάδια, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει σε σφάλματα.

ΓΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΩΝ

Κάθε πείραμα είναι ένας συνδυασμός τριών συστατικών: του υπό μελέτη φαινόμενο (διαδικασία, αντικείμενο), συνθήκες και μέσα διεξαγωγής του πειράματος. Το πείραμα πραγματοποιείται σε διάφορα στάδια:

1) ουσιαστική μελέτη της υπό μελέτη διαδικασίας και της μαθηματικής της περιγραφής με βάση τις διαθέσιμες εκ των προτέρων πληροφορίες, ανάλυση και προσδιορισμό των συνθηκών και των μέσων διεξαγωγής του πειράματος.

2) δημιουργία συνθηκών για τη διεξαγωγή του πειράματος και τη λειτουργία του υπό μελέτη αντικειμένου στον επιθυμητό τρόπο λειτουργίας, εξασφαλίζοντας την πιο αποτελεσματική παρατήρησή του.

3) συλλογή, καταχώριση και μαθηματική επεξεργασία πειραματικών δεδομένων, παρουσίαση των αποτελεσμάτων επεξεργασίας στην απαιτούμενη μορφή.

5) χρήση πειραματικών αποτελεσμάτων, για παράδειγμα, διόρθωση ενός φυσικού μοντέλου ενός φαινομένου ή αντικειμένου, χρήση του μοντέλου για πρόβλεψη, έλεγχο ή βελτιστοποίηση κ.λπ.

Ανάλογα με τον τύπο του υπό μελέτη αντικειμένου (φαινομένου), διακρίνονται διάφορες κατηγορίες πειραμάτων: φυσικά, μηχανικά, ιατρικά, βιολογικά, οικονομικά, κοινωνιολογικά κ.λπ. Τα πιο αναλυτικά ανεπτυγμένα είναι τα γενικά θέματα διεξαγωγής φυσικών και μηχανικών πειραμάτων στα οποία ή μελετώνται τεχνητά φυσικά αντικείμενα (συσκευές).και οι διεργασίες που συμβαίνουν σε αυτά. Κατά τη διεξαγωγή τους, ο ερευνητής μπορεί επανειλημμένα να επαναλάβει μετρήσεις φυσικών μεγεθών υπό παρόμοιες συνθήκες, να ορίσει τις επιθυμητές τιμές των μεταβλητών εισόδου, να τις αλλάξει σε ευρεία κλίμακα, να διορθώσει ή να εξαλείψει την επίδραση αυτών των παραγόντων, η εξάρτηση από τους οποίους δεν είναι επί του παρόντος. υπό μελέτη.

Τα πειράματα μπορούν να ταξινομηθούν σύμφωνα με τα ακόλουθα κριτήρια:

1) ο βαθμός εγγύτητας του αντικειμένου που χρησιμοποιείται στο πείραμα με το αντικείμενο σε σχέση με το οποίο σχεδιάζεται να ληφθούν νέες πληροφορίες (πλήρης κλίμακα, πάγκος ή τοποθεσία δοκιμής, μοντέλο, υπολογιστικά πειράματα).

2) στόχοι – έρευνα, δοκιμές (έλεγχος), διαχείριση (βελτιστοποίηση, συντονισμός).

3) ο βαθμός επιρροής στις πειραματικές συνθήκες (παθητικά και ενεργητικά πειράματα).

4) ο βαθμός ανθρώπινης συμμετοχής (πειράματα που χρησιμοποιούν αυτόματα, αυτοματοποιημένα και μη αυτοματοποιημένα μέσα διεξαγωγής ενός πειράματος).

Το αποτέλεσμα ενός πειράματος με την ευρεία έννοια είναι η θεωρητική κατανόηση των πειραματικών δεδομένων και η καθιέρωση νόμων και σχέσεων αιτίου-αποτελέσματος που καθιστούν δυνατή την πρόβλεψη της πορείας των φαινομένων που ενδιαφέρουν τον ερευνητή και την επιλογή των συνθηκών υπό τις οποίες είναι δυνατόν να επιτευχθεί η απαιτούμενη ή ευνοϊκότερη πορεία. Με μια στενότερη έννοια, το αποτέλεσμα ενός πειράματος συχνά κατανοείται ως ένα μαθηματικό μοντέλο που δημιουργεί τυπικές λειτουργικές ή πιθανολογικές συνδέσεις μεταξύ διαφόρων μεταβλητών, διαδικασιών ή φαινομένων.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ

Οι αρχικές πληροφορίες για την κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου του υπό μελέτη φαινομένου λαμβάνονται χρησιμοποιώντας πειραματικά μέσα, τα οποία είναι ένα σύνολο οργάνων μέτρησης διαφόρων τύπων (συσκευές μέτρησης, μετατροπείς και εξαρτήματα), κανάλια μετάδοσης πληροφοριών και βοηθητικές συσκευές για τη διασφάλιση των συνθηκών διεξαγωγής το πείραμα. Ανάλογα με τους στόχους του πειράματος, μερικές φορές γίνεται διάκριση μεταξύ πληροφοριών μέτρησης (έρευνα), ελέγχου μέτρησης (παρακολούθηση, δοκιμή) και ελέγχου μέτρησης (έλεγχος, βελτιστοποίηση), τα οποία διαφέρουν τόσο στη σύνθεση του εξοπλισμού όσο και στην πολυπλοκότητα. επεξεργασίας πειραματικών δεδομένων. Η σύνθεση των οργάνων μέτρησης καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από το μαθηματικό μοντέλο του αντικειμένου που περιγράφεται.

Λόγω της αυξανόμενης πολυπλοκότητας της πειραματικής έρευνας, τα σύγχρονα συστήματα μέτρησης περιλαμβάνουν υπολογιστικά εργαλεία διαφόρων κατηγοριών (υπολογιστές, προγραμματιζόμενοι μικροϋπολογιστές). Αυτά τα εργαλεία εκτελούν τόσο τις εργασίες συλλογής και μαθηματικής επεξεργασίας πειραματικών πληροφοριών, όσο και τις εργασίες ελέγχου της προόδου του πειράματος και αυτοματοποίησης της λειτουργίας του συστήματος μέτρησης. Η αποτελεσματικότητα της χρήσης υπολογιστικών εργαλείων κατά τη διεξαγωγή πειραμάτων εκδηλώνεται στους ακόλουθους κύριους τομείς:

1) μείωση του χρόνου προετοιμασίας και διεξαγωγής ενός πειράματος ως αποτέλεσμα της επιτάχυνσης της συλλογής και επεξεργασίας πληροφοριών.

2) αύξηση της ακρίβειας και της αξιοπιστίας των πειραματικών αποτελεσμάτων με βάση τη χρήση πιο περίπλοκων και αποτελεσματικών αλγορίθμων για την επεξεργασία σημάτων μέτρησης, αυξάνοντας τον όγκο των πειραματικών δεδομένων που χρησιμοποιούνται.

3) μείωση του αριθμού των ερευνητών και εμφάνιση της δυνατότητας δημιουργίας αυτόματων συστημάτων.

4) ενίσχυση του ελέγχου της προόδου του πειράματος και αύξηση των δυνατοτήτων βελτιστοποίησής του.

Έτσι, τα σύγχρονα μέσα διεξαγωγής πειραμάτων είναι, κατά κανόνα, συστήματα μέτρησης και υπολογισμού (MCS) ή συγκροτήματα εξοπλισμένα με προηγμένα υπολογιστικά εργαλεία. Κατά την αιτιολόγηση της δομής και της σύνθεσης των χώρων προσωρινής κράτησης, είναι απαραίτητο να επιλυθούν τα ακόλουθα κύρια καθήκοντα:

1) προσδιορίστε τη σύνθεση του υλικού IVS (όργανα μέτρησης, βοηθητικός εξοπλισμός).

2) επιλέξτε τον τύπο υπολογιστή που περιλαμβάνεται στο IVS.

3) δημιουργία καναλιών επικοινωνίας μεταξύ του υπολογιστή, των συσκευών που περιλαμβάνονται στο υλικό του IVS και του καταναλωτή πληροφοριών.

4) ανάπτυξη λογισμικού IVS.

2. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ

Οι περισσότερες μελέτες πραγματοποιούνται για τη δημιουργία πειραματικών λειτουργικών ή στατιστικών σχέσεων μεταξύ πολλών ποσοτήτων ή για την επίλυση ακραίων προβλημάτων. Η κλασική μέθοδος δημιουργίας ενός πειράματος περιλαμβάνει τον καθορισμό όλων των μεταβλητών παραγόντων σε αποδεκτά επίπεδα, εκτός από έναν, οι τιμές του οποίου αλλάζουν με συγκεκριμένο τρόπο στην περιοχή ορισμού του. Αυτή η μέθοδος αποτελεί τη βάση ενός πειράματος ενός παράγοντα (ένα τέτοιο πείραμα ονομάζεται συχνά παθητικός). Σε ένα πείραμα ενός παράγοντα, που μεταβάλλει έναν παράγοντα και σταθεροποιεί όλους τους άλλους σε επιλεγμένα επίπεδα, βρίσκει κανείς την εξάρτηση της υπό μελέτη τιμής από έναν μόνο παράγοντα. Με την εκτέλεση ενός μεγάλου αριθμού πειραμάτων ενός παράγοντα κατά τη μελέτη ενός συστήματος πολλαπλών παραγόντων, λαμβάνονται εξαρτήσεις συχνότητας, που παρουσιάζονται σε πολλά γραφήματα που είναι ενδεικτικά. Οι μερικές εξαρτήσεις που βρέθηκαν με αυτόν τον τρόπο δεν μπορούν να συνδυαστούν σε μία μεγάλη. Στην περίπτωση πειράματος ενός παράγοντα (παθητικού), χρησιμοποιούνται στατιστικές μέθοδοι μετά το τέλος των πειραμάτων, όταν τα δεδομένα έχουν ήδη ληφθεί.

Η χρήση ενός πειράματος ενός παράγοντα για μια ολοκληρωμένη μελέτη μιας πολυπαραγοντικής διαδικασίας απαιτεί πολύ μεγάλο αριθμό πειραμάτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις, η εφαρμογή τους απαιτεί σημαντικό χρόνο, κατά τον οποίο η επίδραση μη ελεγχόμενων παραγόντων στα πειραματικά αποτελέσματα μπορεί να αλλάξει σημαντικά. Για το λόγο αυτό, τα δεδομένα από μεγάλο αριθμό πειραμάτων είναι ασύγκριτα. Από αυτό προκύπτει ότι τα αποτελέσματα πειραμάτων ενός παράγοντα που λαμβάνονται στη μελέτη συστημάτων πολλαπλών παραγόντων είναι συχνά ελάχιστα χρήσιμα για πρακτική χρήση. Επιπλέον, κατά την επίλυση ακραίων προβλημάτων, τα δεδομένα από έναν σημαντικό αριθμό πειραμάτων αποδεικνύονται περιττά, καθώς ελήφθησαν για μια περιοχή μακριά από το βέλτιστο. Για τη μελέτη πολυπαραγοντικών συστημάτων, η καταλληλότερη είναι η χρήση στατιστικών μεθόδων προγραμματισμού πειραμάτων.

Ως πειραματικός σχεδιασμός νοείται η διαδικασία προσδιορισμού του αριθμού και των συνθηκών διεξαγωγής πειραμάτων που είναι απαραίτητες και επαρκείς για την επίλυση ενός δεδομένου προβλήματος με την απαιτούμενη ακρίβεια.

Ο πειραματικός σχεδιασμός είναι κλάδος της μαθηματικής στατιστικής. Καλύπτει στατιστικές μεθόδους για πειραματικό σχεδιασμό. Αυτές οι μέθοδοι καθιστούν δυνατή σε πολλές περιπτώσεις τη λήψη μοντέλων διαδικασιών πολλαπλών παραγόντων με έναν ελάχιστο αριθμό πειραμάτων.

Η αποτελεσματικότητα της χρήσης στατιστικών μεθόδων πειραματικού σχεδιασμού στη μελέτη τεχνολογικών διεργασιών εξηγείται από το γεγονός ότι πολλά σημαντικά χαρακτηριστικά αυτών των διαδικασιών είναι τυχαίες μεταβλητές, οι κατανομές των οποίων ακολουθούν πιστά τον κανονικό νόμο.

Χαρακτηριστικά γνωρίσματα της διαδικασίας πειραματικού σχεδιασμού είναι η επιθυμία να ελαχιστοποιηθεί ο αριθμός των πειραμάτων. ταυτόχρονη παραλλαγή όλων των παραγόντων που μελετήθηκαν σύμφωνα με ειδικούς κανόνες - αλγόριθμους. τη χρήση μαθηματικού μηχανισμού που επισημοποιεί πολλές από τις ενέργειες του ερευνητή· επιλέγοντας μια στρατηγική που σας επιτρέπει να λαμβάνετε τεκμηριωμένες αποφάσεις μετά από κάθε σειρά πειραμάτων.

Κατά τον σχεδιασμό ενός πειράματος, χρησιμοποιούνται στατιστικές μέθοδοι σε όλα τα στάδια της μελέτης και, πρώτα απ 'όλα, πριν από τη δημιουργία πειραμάτων, την ανάπτυξη του πειραματικού σχεδιασμού, καθώς και κατά τη διάρκεια του πειράματος, κατά την επεξεργασία των αποτελεσμάτων και μετά το πείραμα, τη λήψη αποφάσεων σχετικά με περαιτέρω ενέργειες. Ένα τέτοιο πείραμα καλείται ενεργόςκαι υποθέτει προγραμματισμός πειραμάτων .

Τα κύρια πλεονεκτήματα ενός ενεργού πειράματος σχετίζονται με το γεγονός ότι επιτρέπει:

1) ελαχιστοποιήστε τον συνολικό αριθμό πειραμάτων ·

2) επιλέξτε σαφείς, λογικά ορθές διαδικασίες που εκτελούνται με συνέπεια από τον πειραματιστή κατά τη διεξαγωγή της μελέτης.

3) Χρησιμοποιήστε μια μαθηματική συσκευή που επισημοποιεί πολλές από τις ενέργειες του πειραματιστή.

4) Ταυτόχρονα μεταβάλλει όλες τις μεταβλητές και χρησιμοποιεί βέλτιστα τον χώρο παραγόντων.

5) Οργανώστε το πείραμα με τέτοιο τρόπο ώστε να πληρούνται πολλές από τις αρχικές προϋποθέσεις της ανάλυσης παλινδρόμησης.

6) αποκτήστε μαθηματικά μοντέλα που έχουν καλύτερες ιδιότητες κατά κάποιο τρόπο σε σύγκριση με μοντέλα που κατασκευάστηκαν από παθητικό πείραμα.

7) τυχαιοποίηση των πειραματικών συνθηκών, δηλαδή μετατροπή πολλών παραγόντων παρεμβολής σε τυχαίες μεταβλητές.

8) αξιολογήστε το στοιχείο της αβεβαιότητας που σχετίζεται με το πείραμα, το οποίο καθιστά δυνατή τη σύγκριση των αποτελεσμάτων που προέκυψαν από διαφορετικούς ερευνητές.

Τις περισσότερες φορές, ένα ενεργό πείραμα στήνεται για να λύσει ένα από τα δύο κύρια προβλήματα. Το πρώτο πρόβλημα ονομάζεται άκρο. Συνίσταται στην εύρεση συνθηκών διεργασίας που διασφαλίζουν την απόκτηση της βέλτιστης τιμής της επιλεγμένης παραμέτρου. Ένα σημάδι ακραίων προβλημάτων είναι η απαίτηση αναζήτησης για το άκρο κάποιας συνάρτησης (*εικονίστε με ένα γράφημα*). Τα πειράματα που εκτελούνται για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης ονομάζονται άκρο .

Το δεύτερο πρόβλημα ονομάζεται παρεμβολή. Αποτελείται από την κατασκευή ενός τύπου παρεμβολής για την πρόβλεψη των τιμών της παραμέτρου που μελετάται, η οποία εξαρτάται από διάφορους παράγοντες.

Για να λυθεί ένα ακραίο πρόβλημα ή ένα πρόβλημα παρεμβολής, είναι απαραίτητο να έχουμε ένα μαθηματικό μοντέλο του υπό μελέτη αντικειμένου. Ένα μοντέλο του αντικειμένου λαμβάνεται χρησιμοποιώντας πειραματικά αποτελέσματα.

Κατά τη μελέτη μιας διαδικασίας πολλαπλών παραγόντων, η ρύθμιση όλων των πιθανών πειραμάτων για τη λήψη ενός μαθηματικού μοντέλου συνδέεται με την τεράστια πολυπλοκότητα του πειράματος, καθώς ο αριθμός όλων των πιθανών πειραμάτων είναι πολύ μεγάλος. Το καθήκον του σχεδιασμού ενός πειράματος είναι ο καθορισμός του ελάχιστου απαιτούμενου αριθμού πειραμάτων και των συνθηκών διεξαγωγής τους, η επιλογή μεθόδων για τη μαθηματική επεξεργασία των αποτελεσμάτων και η λήψη αποφάσεων.

ΚΥΡΙΑ ΣΤΑΔΙΑ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

2. Κατάρτιση πειραματικού σχεδίου, συγκεκριμένα, προσδιορισμός των τιμών ανεξάρτητων μεταβλητών, επιλογή σημάτων δοκιμής, εκτίμηση του όγκου των παρατηρήσεων. Προκαταρκτική αιτιολόγηση και επιλογή μεθόδων και αλγορίθμων στατιστικής επεξεργασίας πειραματικών δεδομένων.

3. Διεξαγωγή άμεσης πειραματικής έρευνας, συλλογή πειραματικών δεδομένων, καταγραφή και εισαγωγή τους σε υπολογιστή.

4. Προκαταρκτική στατιστική επεξεργασία δεδομένων, με σκοπό, καταρχάς, να ελέγξει την εκπλήρωση των προϋποθέσεων που διέπουν την επιλεγμένη στατιστική μέθοδο για την κατασκευή ενός στοχαστικού μοντέλου του ερευνητικού αντικειμένου και, εάν χρειάζεται, να διορθώσει το εκ των προτέρων μοντέλο και να αλλάξει το απόφαση για την επιλογή του αλγορίθμου επεξεργασίας.

5. Κατάρτιση αναλυτικού σχεδίου για περαιτέρω στατιστική ανάλυση των πειραματικών δεδομένων.

6. Στατιστική επεξεργασία πειραματικών δεδομένων (δευτερογενής, πλήρης, τελική επεξεργασία), με στόχο την κατασκευή μοντέλου του ερευνητικού αντικειμένου, και στατιστική ανάλυση της ποιότητάς του. Μερικές φορές στο ίδιο στάδιο, επιλύονται επίσης προβλήματα χρήσης του κατασκευασμένου μοντέλου, για παράδειγμα: βελτιστοποιούνται οι παράμετροι του αντικειμένου.

7. Επίσημη, λογική και ουσιαστική ερμηνεία των αποτελεσμάτων των πειραμάτων, λήψη απόφασης για συνέχιση ή ολοκλήρωση του πειράματος, σύνοψη των αποτελεσμάτων της μελέτης.

Η στατιστική επεξεργασία των πειραματικών δεδομένων μπορεί να πραγματοποιηθεί με δύο βασικούς τρόπους.

Στην πρώτη λειτουργία, πρώτα συλλέγεται και καταγράφεται ολόκληρος ο όγκος των πειραματικών δεδομένων και μόνο μετά γίνεται η επεξεργασία τους. Αυτός ο τύπος επεξεργασίας ονομάζεται επεξεργασία εκτός σύνδεσης, εκ των υστέρων επεξεργασία και επεξεργασία δεδομένων με βάση ένα δείγμα πλήρους (σταθερού) όγκου. Το πλεονέκτημα αυτού του τρόπου επεξεργασίας είναι η δυνατότητα χρήσης ολόκληρου του οπλοστασίου των στατιστικών μεθόδων για την ανάλυση δεδομένων και, κατά συνέπεια, η πληρέστερη εξαγωγή πειραματικών πληροφοριών από αυτές. Ωστόσο, η αποτελεσματικότητα μιας τέτοιας επεξεργασίας μπορεί να μην ικανοποιεί τον καταναλωτή· επιπλέον, ο έλεγχος της προόδου του πειράματος είναι σχεδόν αδύνατος.

Στον δεύτερο τρόπο, οι παρατηρήσεις επεξεργάζονται παράλληλα με τη λήψη τους. Αυτός ο τύπος επεξεργασίας ονομάζεται επεξεργασία on-line, επεξεργασία δεδομένων που βασίζεται σε δείγμα αυξανόμενου όγκου και διαδοχική επεξεργασία δεδομένων. Σε αυτόν τον τρόπο, καθίσταται δυνατή η ρητή ανάλυση των αποτελεσμάτων ενός πειράματος και ο άμεσος έλεγχος της προόδου του.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Κατά την επίλυση προβλημάτων επεξεργασίας πειραματικών δεδομένων, χρησιμοποιούνται μέθοδοι που βασίζονται σε δύο κύρια στοιχεία της συσκευής μαθηματικών στατιστικών: τη θεωρία της στατιστικής εκτίμησης άγνωστων παραμέτρων που χρησιμοποιείται στην περιγραφή του πειραματικού μοντέλου και τη θεωρία δοκιμής στατιστικών υποθέσεων σχετικά με τις παραμέτρους. ή φύση του αναλυθέντος μοντέλου.

1. Ανάλυση συσχέτισης.Η ουσία του είναι να προσδιορίσει τον βαθμό πιθανότητας μιας σχέσης (συνήθως γραμμικής) μεταξύ δύο ή περισσότερων τυχαίων μεταβλητών. Αυτές οι τυχαίες μεταβλητές μπορούν να είναι ανεξάρτητες μεταβλητές εισόδου. Αυτό το σύνολο μπορεί επίσης να περιλαμβάνει την προκύπτουσα (εξαρτημένη) μεταβλητή. Στην τελευταία περίπτωση, η ανάλυση συσχέτισης καθιστά δυνατή την επιλογή παραγόντων ή παραγόντων παλινδρόμησης (σε ένα μοντέλο παλινδρόμησης) που έχουν τον πιο σημαντικό αντίκτυπο στο χαρακτηριστικό που προκύπτει. Οι επιλεγμένες τιμές χρησιμοποιούνται για περαιτέρω ανάλυση, ιδιαίτερα κατά την εκτέλεση ανάλυσης παλινδρόμησης. Η ανάλυση συσχέτισης σάς επιτρέπει να ανιχνεύσετε προηγουμένως άγνωστες σχέσεις αιτίου-αποτελέσματος μεταξύ μεταβλητών. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η παρουσία συσχέτισης μεταξύ μεταβλητών είναι μόνο απαραίτητη, αλλά όχι επαρκής προϋπόθεση για την παρουσία αιτιακών σχέσεων.

Η ανάλυση συσχέτισης χρησιμοποιείται στο στάδιο της προκαταρκτικής επεξεργασίας των πειραματικών δεδομένων.

2. Ανάλυση διασποράς.Αυτή η μέθοδος προορίζεται για την επεξεργασία πειραματικών δεδομένων που εξαρτώνται από ποιοτικούς παράγοντες και για την αξιολόγηση της σημασίας της επίδρασης αυτών των παραγόντων στα αποτελέσματα των παρατηρήσεων.

Η ουσία του συνίσταται στην αποσύνθεση της διακύμανσης της προκύπτουσας μεταβλητής σε ανεξάρτητα συστατικά, καθένα από τα οποία χαρακτηρίζει την επίδραση ενός συγκεκριμένου παράγοντα σε αυτήν τη μεταβλητή. Η σύγκριση αυτών των στοιχείων μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε τη σημασία της επιρροής των παραγόντων.

3. Ανάλυση παλινδρόμησης.Οι μέθοδοι ανάλυσης παλινδρόμησης καθιστούν δυνατό τον καθορισμό της δομής και των παραμέτρων ενός μοντέλου που συνδέει ποσοτικές μεταβλητές που προκύπτουν και παράγοντες, καθώς και την αξιολόγηση του βαθμού συνοχής του με τα πειραματικά δεδομένα. Αυτός ο τύπος στατιστικής ανάλυσης σάς επιτρέπει να λύσετε το κύριο πρόβλημα του πειράματος εάν οι παρατηρούμενες και προκύπτουσες μεταβλητές είναι ποσοτικές και από αυτή την άποψη είναι θεμελιώδες κατά την επεξεργασία αυτού του τύπου πειραματικών δεδομένων.

4. Παραγοντική ανάλυση.Η ουσία του έγκειται στο γεγονός ότι οι «εξωτερικοί» παράγοντες που χρησιμοποιούνται στο μοντέλο και είναι στενά διασυνδεδεμένοι πρέπει να αντικατασταθούν από άλλους, μικρότερους «εσωτερικούς παράγοντες που είναι δύσκολο ή αδύνατο να μετρηθούν, αλλά που καθορίζουν τη συμπεριφορά των «εξωτερικών» παραγόντων και Η παραγοντική ανάλυση καθιστά δυνατή τη διατύπωση υποθέσεων σχετικά με τη δομή της σχέσης των μεταβλητών χωρίς να προσδιορίζεται εκ των προτέρων αυτή η δομή και χωρίς προηγούμενη ενημέρωση. Αυτή η δομή καθορίζεται από τα αποτελέσματα των παρατηρήσεων. Οι υποθέσεις που προκύπτουν μπορούν να ελεγχθούν σε περαιτέρω πειράματα.Το καθήκον της παραγοντικής ανάλυσης είναι να βρει μια απλή δομή που θα αντικατοπτρίζει και θα αναπαράγει με αρκετή ακρίβεια πραγματικές, υπάρχουσες εξαρτήσεις.

4. ΚΥΡΙΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΠΡΟΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

Ο απώτερος στόχος της προκαταρκτικής επεξεργασίας των πειραματικών δεδομένων είναι η διατύπωση υποθέσεων σχετικά με την τάξη και τη δομή του μαθηματικού μοντέλου του υπό μελέτη φαινομένου, ο προσδιορισμός της σύνθεσης και του όγκου των πρόσθετων μετρήσεων και η επιλογή πιθανών μεθόδων για μετέπειτα στατιστική επεξεργασία. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να λυθούν ορισμένα συγκεκριμένα προβλήματα, μεταξύ των οποίων διακρίνονται τα ακόλουθα:

1. Ανάλυση, απόρριψη και αποκατάσταση ανώμαλων (λανθασμένων) ή μετρήσεων που λείπουν, αφού οι πειραματικές πληροφορίες είναι συνήθως ετερογενείς σε ποιότητα.

2. Πειραματική επαλήθευση των νόμων κατανομής των ληφθέντων δεδομένων, εκτίμηση των παραμέτρων και αριθμητικών χαρακτηριστικών των παρατηρούμενων τυχαίων μεταβλητών ή διεργασιών. Η επιλογή των μεθόδων για μεταγενέστερη επεξεργασία με στόχο την κατασκευή και τον έλεγχο της επάρκειας ενός μαθηματικού μοντέλου για το υπό μελέτη φαινόμενο εξαρτάται σημαντικά από τον νόμο κατανομής των παρατηρούμενων μεγεθών.

3. Συμπίεση και ομαδοποίηση αρχικών πληροφοριών με μεγάλο όγκο πειραματικών δεδομένων. Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να ληφθούν υπόψη τα χαρακτηριστικά των νόμων διανομής τους, τα οποία εντοπίστηκαν στο προηγούμενο στάδιο επεξεργασίας.

4. Συνδυασμός πολλών ομάδων μετρήσεων, που πιθανώς λαμβάνονται σε διαφορετικούς χρόνους ή υπό διαφορετικές συνθήκες, για κοινή επεξεργασία.

5. Προσδιορισμός στατιστικών σχέσεων και αμοιβαίας επιρροής διαφόρων μετρούμενων παραγόντων και μεταβλητών που προκύπτουν, διαδοχικές μετρήσεις των ίδιων μεγεθών. Η επίλυση αυτού του προβλήματος σάς επιτρέπει να επιλέξετε εκείνες τις μεταβλητές που έχουν τον ισχυρότερο αντίκτυπο στο χαρακτηριστικό που προκύπτει. Οι επιλεγμένοι παράγοντες χρησιμοποιούνται για περαιτέρω επεξεργασία, ιδίως με τη χρήση μεθόδων ανάλυσης παλινδρόμησης. Η ανάλυση των συσχετίσεων καθιστά δυνατή τη διατύπωση υποθέσεων σχετικά με τη δομή της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών και, τελικά, σχετικά με τη δομή του μοντέλου φαινομένου.

Η προεπεξεργασία χαρακτηρίζεται από μια επαναληπτική λύση των κύριων προβλημάτων, όταν επανειλημμένα επιστρέφουν στη λύση ενός συγκεκριμένου προβλήματος αφού ληφθούν τα αποτελέσματα στο επόμενο στάδιο της επεξεργασίας.

1. ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΗΣ.

Κάτω από μέτρησηκατανοούν την εύρεση της τιμής μιας φυσικής ποσότητας πειραματικά χρησιμοποιώντας ειδικά τεχνικά μέσα. Οι μετρήσεις μπορεί να είναι σαν ευθεία, όταν η επιθυμητή τιμή βρεθεί απευθείας από πειραματικά δεδομένα και έμμεσος, όταν η επιθυμητή ποσότητα προσδιορίζεται με βάση μια γνωστή σχέση μεταξύ αυτής της ποσότητας και των ποσοτήτων που υποβάλλονται σε άμεσες μετρήσεις. Η τιμή μιας ποσότητας που βρέθηκε με τη μέτρηση ονομάζεται αποτέλεσμα μέτρησης .

Η ατέλεια των οργάνων μέτρησης και των ανθρώπινων αισθήσεων, και συχνά η ίδια η φύση της μετρούμενης τιμής, οδηγεί στο γεγονός ότι σε οποιεσδήποτε μετρήσεις τα αποτελέσματα λαμβάνονται με μια ορισμένη ακρίβεια, δηλαδή το πείραμα δεν δίνει την πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμή, αλλά μόνο η κατά προσέγγιση τιμή του. Κάτω από πραγματική αξίαενός φυσικού μεγέθους κατανοούμε την αξία του, που βρέθηκε πειραματικά και τόσο κοντά στην πραγματική τιμή που για έναν δεδομένο σκοπό μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντ' αυτού.

Η ακρίβεια μιας μέτρησης καθορίζεται από την εγγύτητα του αποτελέσματός της στην πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας. Η ακρίβεια του οργάνου καθορίζεται από τον βαθμό προσέγγισης των ενδείξεων του στην πραγματική τιμή της επιθυμητής ποσότητας και η ακρίβεια της μεθόδου καθορίζεται από το φυσικό φαινόμενο στο οποίο βασίζεται.

Σφάλματα (Σφάλματα) Μετρήσειςπου χαρακτηρίζεται από την απόκλιση των αποτελεσμάτων μέτρησης από την πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής. Το σφάλμα μέτρησης, όπως και η πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας, είναι συνήθως άγνωστο. Επομένως, ένα από τα κύρια καθήκοντα της στατιστικής επεξεργασίας των πειραματικών αποτελεσμάτων είναι η εκτίμηση της πραγματικής τιμής της μετρούμενης ποσότητας από τα ληφθέντα πειραματικά δεδομένα. Με άλλα λόγια, αφού μετρήσουμε επανειλημμένα την επιθυμητή ποσότητα και λάβουμε έναν αριθμό αποτελεσμάτων, καθένα από τα οποία περιέχει κάποιο άγνωστο σφάλμα, ο στόχος είναι να υπολογιστεί η κατά προσέγγιση τιμή της επιθυμητής ποσότητας με το μικρότερο δυνατό σφάλμα.

Τα σφάλματα μέτρησης χωρίζονται σε αγενήςλάθη (αστοχίες), συστηματικόςΚαι τυχαίος .

Μεγάλα λάθη. Μεγάλα σφάλματα προκύπτουν ως αποτέλεσμα παραβίασης των βασικών συνθηκών μέτρησης ή ως αποτέλεσμα παράβλεψης του πειραματιστή. Εάν εντοπιστεί ένα μεγάλο σφάλμα, το αποτέλεσμα της μέτρησης θα πρέπει να απορριφθεί αμέσως και η μέτρηση να επαναληφθεί. Ένα εξωτερικό σημάδι ενός αποτελέσματος που περιέχει ένα χονδροειδές σφάλμα είναι η έντονη διαφορά του μεγέθους από τα άλλα αποτελέσματα. Αυτή είναι η βάση για ορισμένα κριτήρια για τον αποκλεισμό των ακαθάριστων σφαλμάτων με βάση το μέγεθός τους (θα συζητηθεί περαιτέρω), ωστόσο, ο πιο αξιόπιστος και αποτελεσματικός τρόπος απόρριψης εσφαλμένων αποτελεσμάτων είναι να τα απορρίψετε απευθείας κατά τη διάρκεια της ίδιας της διαδικασίας μέτρησης.

Συστηματικά λάθη.Συστηματικό είναι ένα σφάλμα που παραμένει σταθερό ή αλλάζει φυσικά με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ίδιας ποσότητας. Συστηματικά σφάλματα εμφανίζονται λόγω εσφαλμένης προσαρμογής των οργάνων, ανακρίβειας της μεθόδου μέτρησης, κάποιας παράλειψης από τον πειραματιστή ή χρήσης ανακριβών δεδομένων για υπολογισμούς.

Συστηματικά σφάλματα προκύπτουν επίσης κατά την εκτέλεση σύνθετων μετρήσεων. Ο πειραματιστής μπορεί να μην τα γνωρίζει, αν και μπορεί να είναι πολύ μεγάλα. Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις είναι απαραίτητο να αναλυθεί προσεκτικά η μεθοδολογία μέτρησης. Τέτοια σφάλματα μπορούν να ανιχνευθούν, ειδικότερα, μετρώντας την επιθυμητή ποσότητα χρησιμοποιώντας άλλη μέθοδο. Η σύμπτωση των αποτελεσμάτων των μετρήσεων και με τις δύο μεθόδους χρησιμεύει ως βέβαιη εγγύηση για την απουσία συστηματικών σφαλμάτων.

Κατά την πραγματοποίηση μετρήσεων, πρέπει να καταβάλλεται κάθε προσπάθεια για την εξάλειψη συστηματικών σφαλμάτων, καθώς μπορεί να είναι τόσο μεγάλα ώστε να αλλοιώνουν πολύ τα αποτελέσματα. Τα εντοπισμένα σφάλματα εξαλείφονται με την εισαγωγή τροποποιήσεων.

Τυχαία σφάλματα.Ένα τυχαίο σφάλμα είναι ένα στοιχείο του σφάλματος μέτρησης που αλλάζει τυχαία, δηλαδή είναι το σφάλμα μέτρησης που παραμένει μετά την εξάλειψη όλων των εντοπισμένων συστηματικών και χονδρών σφαλμάτων. Τα τυχαία σφάλματα προκαλούνται από μεγάλο αριθμό αντικειμενικών και υποκειμενικών παραγόντων που δεν μπορούν να απομονωθούν και να ληφθούν υπόψη ξεχωριστά. Δεδομένου ότι οι λόγοι που οδηγούν σε τυχαία σφάλματα δεν είναι οι ίδιοι σε κάθε πείραμα και δεν μπορούν να ληφθούν υπόψη, τέτοια σφάλματα δεν μπορούν να αποκλειστούν· μπορεί κανείς μόνο να εκτιμήσει τη σημασία τους. Χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της θεωρίας πιθανοτήτων, είναι δυνατό να ληφθεί υπόψη η επιρροή τους στην εκτίμηση της πραγματικής τιμής της μετρούμενης ποσότητας με σημαντικά μικρότερο σφάλμα από τα σφάλματα μεμονωμένων μετρήσεων.

Επομένως, όταν το τυχαίο σφάλμα είναι μεγαλύτερο από το σφάλμα της συσκευής μέτρησης, είναι απαραίτητο να επαναλάβετε την ίδια μέτρηση πολλές φορές για να μειωθεί η τιμή της. Αυτό καθιστά δυνατή την ελαχιστοποίηση του τυχαίου σφάλματος και τη συγκρίσιμό του με το σφάλμα οργάνου. Εάν το τυχαίο σφάλμα είναι μικρότερο από το σφάλμα οργάνου, τότε δεν έχει νόημα να το μειώσετε.

Επιπλέον, τα σφάλματα χωρίζονται σε απόλυτος , συγγενήςΚαι ενόργανος. Απόλυτο σφάλμα είναι ένα σφάλμα που εκφράζεται σε μονάδες της μετρούμενης τιμής. Το σχετικό σφάλμα είναι ο λόγος του απόλυτου σφάλματος προς την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας. Η συνιστώσα του σφάλματος μέτρησης, η οποία εξαρτάται από το σφάλμα των οργάνων μέτρησης που χρησιμοποιούνται, ονομάζεται σφάλμα μέτρησης οργάνων.

2. ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΣΕ ΑΜΕΣΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΙΣΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ. ΝΟΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΝΟΜΗΣ.

Άμεσες μετρήσεις– πρόκειται για μετρήσεις όταν η τιμή της μελετώμενης ποσότητας βρίσκεται απευθείας από πειραματικά δεδομένα, για παράδειγμα, λαμβάνοντας μετρήσεις από μια συσκευή που μετρά την τιμή της επιθυμητής ποσότητας. Για να βρεθεί το τυχαίο σφάλμα, η μέτρηση πρέπει να πραγματοποιηθεί πολλές φορές. Τα αποτελέσματα τέτοιων μετρήσεων έχουν παρόμοιες τιμές σφάλματος και καλούνται εξίσου ακριβείς .

Αφήστε ως αποτέλεσμα nμετρήσεις της ποσότητας Χπου πραγματοποιήθηκαν με την ίδια ακρίβεια, ελήφθη ένας αριθμός τιμών: Χ 1 , Χ 2 , …, Χ n. Όπως φαίνεται στη θεωρία σφαλμάτων, η πλησιέστερη στην αληθινή τιμή είναι Χ 0 μετρημένη τιμή Χείναι αριθμητικός μέσος όρος

Ο αριθμητικός μέσος όρος θεωρείται μόνο ως η πιο πιθανή τιμή της μετρούμενης τιμής. Τα αποτελέσματα των μεμονωμένων μετρήσεων γενικά διαφέρουν από την πραγματική τιμή Χ 0 . Σε αυτή την περίπτωση, το απόλυτο λάθος Εγώ-η μέτρηση είναι

ρε x i" = Χ 0 – x i 4

και μπορεί να πάρει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές με ίση πιθανότητα. Συνοψίζοντας όλα τα λάθη, παίρνουμε

,

. (2.2)

Σε αυτήν την έκφραση, ο δεύτερος όρος στη δεξιά πλευρά για μεγάλο nισούται με μηδέν, αφού οποιοδήποτε θετικό σφάλμα μπορεί να συσχετιστεί με ίσο αρνητικό. Επειτα Χ 0 =. Με περιορισμένο αριθμό μετρήσεων θα υπάρχει μόνο μια κατά προσέγγιση ισότητα Χ 0 . Έτσι, μπορεί να ονομαστεί πραγματική τιμή.

Σε όλες τις πρακτικές περιπτώσεις η αξία ΧΤο 0 είναι άγνωστο και υπάρχει μόνο μια συγκεκριμένη πιθανότητα ΧΤο 0 βρίσκεται σε κάποιο διάστημα κοντά και είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί αυτό το διάστημα που αντιστοιχεί σε αυτή την πιθανότητα. Το D χρησιμοποιείται ως εκτίμηση του απόλυτου σφάλματος μιας μεμονωμένης μέτρησης x i = – x i .

Καθορίζει την ακρίβεια μιας δεδομένης μέτρησης.

Για έναν αριθμό μετρήσεων, προσδιορίζεται το αριθμητικό μέσο σφάλμα

.

Καθορίζει τα όρια εντός των οποίων βρίσκονται περισσότερες από τις μισές διαστάσεις. Ως εκ τούτου, ΧΤο 0 με αρκετά μεγάλη πιθανότητα πέφτει στο διάστημα από –h έως +h. Αποτελέσματα μέτρησης ποσότητας Χστη συνέχεια γράφεται με τη μορφή:

Μέγεθος ΧΌσο μικρότερο είναι το διάστημα στο οποίο μετράται η πραγματική τιμή, τόσο πιο ακριβής είναι η μέτρησή της Χ 0 .

Απόλυτο σφάλμα των αποτελεσμάτων μέτρησης Δ Χαπό μόνο του δεν καθορίζει την ακρίβεια των μετρήσεων. Έστω, για παράδειγμα, η ακρίβεια κάποιου αμπερόμετρου είναι 0,1 ΕΝΑ. Οι μετρήσεις ρεύματος πραγματοποιήθηκαν σε δύο ηλεκτρικά κυκλώματα. Λήφθηκαν οι ακόλουθες τιμές: 320.1 ΕΝΑκαι 0,20,1 ΕΝΑ. Το παράδειγμα δείχνει ότι αν και το απόλυτο σφάλμα μέτρησης είναι το ίδιο, η ακρίβεια μέτρησης είναι διαφορετική. Στην πρώτη περίπτωση, οι μετρήσεις είναι αρκετά ακριβείς, αλλά στη δεύτερη, επιτρέπουν σε κάποιον να κρίνει μόνο την τάξη μεγέθους. Επομένως, κατά την αξιολόγηση της ποιότητας μιας μέτρησης, είναι απαραίτητο να συγκρίνετε το σφάλμα με τη μετρούμενη τιμή, η οποία δίνει μια πιο σαφή ιδέα για την ακρίβεια των μετρήσεων. Για το σκοπό αυτό εισάγεται η έννοια σχετικό σφάλμα

ρε Χ= Δ Χ /. (2.3)

Το σχετικό σφάλμα εκφράζεται συνήθως ως ποσοστό.

Δεδομένου ότι στις περισσότερες περιπτώσεις τα μετρούμενα μεγέθη έχουν διαστάσεις, τα απόλυτα σφάλματα είναι διαστατικά και τα σχετικά σφάλματα είναι αδιάστατα. Επομένως, χρησιμοποιώντας το τελευταίο, είναι δυνατή η σύγκριση της ακρίβειας των μετρήσεων διαφορετικών μεγεθών. Τέλος, το πείραμα πρέπει να σχεδιαστεί με τέτοιο τρόπο ώστε το σχετικό σφάλμα να παραμένει σταθερό σε όλο το εύρος μέτρησης.

Πρέπει να σημειωθεί ότι με σωστές και προσεκτικά εκτελούμενες μετρήσεις, το μέσο αριθμητικό σφάλμα του αποτελέσματός τους είναι κοντά στο σφάλμα της μετρούμενης συσκευής.

Αν οι μετρήσεις της επιθυμητής ποσότητας Χπραγματοποιείται πολλές φορές, τότε η συχνότητα εμφάνισης μιας συγκεκριμένης τιμής Χ Εγώμπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή γραφήματος που μοιάζει με βαθμιδωτή καμπύλη - ιστόγραμμα (βλ. Εικ. 1), όπου στο- αριθμός δειγμάτων. ρε x i = Χ Εγώ – x i +1 (Εγώποικίλλει από - nσε + n). Με αύξηση του αριθμού των μετρήσεων και μείωση του διαστήματος D x iτο ιστόγραμμα μετατρέπεται σε μια συνεχή καμπύλη που χαρακτηρίζει την πυκνότητα κατανομής πιθανότητας που η τιμή x iθα είναι στο διάστημα Δ x i .

Κάτω από κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητήςκατανοούν το σύνολο όλων των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και τις αντίστοιχες πιθανότητες. Νόμος κατανομής τυχαίας μεταβλητήςκαλέστε οποιαδήποτε αντιστοιχία μιας τυχαίας μεταβλητής στις πιθανές τιμές των πιθανοτήτων τους. Η πιο γενική μορφή του νόμου κατανομής είναι η συνάρτηση κατανομής R (Χ).

Στη συνέχεια η συνάρτηση R (Χ) =R" (Χ) – συνάρτηση πυκνότητας πιθανότηταςή συνάρτηση διαφορικής κατανομής. Ένα γράφημα μιας συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας ονομάζεται καμπύλη κατανομής.

Λειτουργία R (Χ) χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το έργο R (Χ)dxυπάρχει πιθανότητα να εμφανιστεί μια ξεχωριστή, τυχαία επιλεγμένη τιμή της μετρούμενης ποσότητας στο διάστημα ( Χ ,Χ + dx).

Στη γενική περίπτωση, αυτή η πιθανότητα μπορεί να προσδιοριστεί από διάφορους νόμους κατανομής (κανονικός (Gaussian), Poisson, Bernoulli, διωνυμικός, αρνητικός διώνυμος, γεωμετρικός, υπεργεωμετρικός, ομοιόμορφος διακριτός, αρνητικός εκθετικός). Ωστόσο, τις περισσότερες φορές η πιθανότητα εμφάνισης της τιμής x iστο μεσοδιάστημα ( Χ ,Χ + dx) στα φυσικά πειράματα περιγράφονται από έναν νόμο κανονικής κατανομής - τον νόμο του Gauss (βλ. Εικ. 2):

, (2.4)

όπου s 2 είναι η διακύμανση του πληθυσμού. Γενικός πληθυσμόςονομάστε ολόκληρο το σύνολο των πιθανών τιμών μέτρησης x iή πιθανές τιμές σφάλματος D x i .

Η ευρεία χρήση του νόμου του Gauss στη θεωρία του σφάλματος εξηγείται από τους ακόλουθους λόγους:

1) σφάλματα ίσης απόλυτης τιμής συμβαίνουν εξίσου συχνά με μεγάλο αριθμό μετρήσεων.

2) τα σφάλματα που είναι μικρά σε απόλυτη τιμή είναι πιο συχνά από τα μεγάλα, δηλαδή όσο μεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιμή ενός σφάλματος, τόσο λιγότερο πιθανό είναι να συμβεί.

3) τα σφάλματα μέτρησης λαμβάνουν μια συνεχή σειρά τιμών.

Ωστόσο, αυτές οι προϋποθέσεις δεν πληρούνται ποτέ αυστηρά. Όμως τα πειράματα έχουν επιβεβαιώσει ότι στην περιοχή όπου τα σφάλματα δεν είναι πολύ μεγάλα, ο νόμος της κανονικής κατανομής συμφωνεί καλά με τα πειραματικά δεδομένα. Χρησιμοποιώντας τον κανονικό νόμο, μπορείτε να βρείτε την πιθανότητα να συμβεί ένα σφάλμα σε μια δεδομένη τιμή.

Η κατανομή Gauss χαρακτηρίζεται από δύο παραμέτρους: τη μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής και τη διακύμανση s2. Η μέση τιμή καθορίζεται από την τετμημένη ( Χ=) άξονας συμμετρίας της καμπύλης κατανομής και η διασπορά δείχνει πόσο γρήγορα μειώνεται η πιθανότητα σφάλματος με την αύξηση της απόλυτης τιμής του. Η καμπύλη έχει μέγιστο στο Χ=. Επομένως, η μέση τιμή είναι η πιο πιθανή τιμή της ποσότητας Χ. Η διασπορά καθορίζεται από το μισό πλάτος της καμπύλης κατανομής, δηλαδή την απόσταση από τον άξονα συμμετρίας έως τα σημεία καμπής της καμπύλης. Είναι το μέσο τετράγωνο της απόκλισης των αποτελεσμάτων των επιμέρους μετρήσεων από τον αριθμητικό μέσο όρο τους σε ολόκληρη την κατανομή. Εάν, κατά τη μέτρηση μιας φυσικής ποσότητας, λαμβάνονται μόνο σταθερές τιμές Χ=, τότε s 2 = 0. Αν όμως οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χπάρτε τιμές που δεν είναι ίσες με , τότε η διακύμανσή του δεν είναι μηδέν και είναι θετική. Η διασπορά χρησιμεύει επομένως ως μέτρο διακύμανσης στις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής.

Το μέτρο διασποράς των αποτελεσμάτων των μεμονωμένων μετρήσεων από τη μέση τιμή πρέπει να εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις τιμές της μετρούμενης ποσότητας. Από αυτή την άποψη, η ποσότητα

που ονομάζεται μέσο τετραγωνικό σφάλμα .

Είναι το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό των αποτελεσμάτων της μέτρησης και παραμένει σταθερό όταν οι πειραματικές συνθήκες παραμένουν αμετάβλητες.

Η τιμή αυτής της τιμής καθορίζει το σχήμα της καμπύλης κατανομής.

Δεδομένου ότι όταν το s αλλάζει, η περιοχή κάτω από την καμπύλη, παραμένοντας σταθερή (ίση με τη μονάδα), αλλάζει το σχήμα της, τότε με μείωση του s, η καμπύλη κατανομής εκτείνεται προς τα πάνω κοντά στο μέγιστο στο Χ=, και συμπίεση στην οριζόντια κατεύθυνση.

Καθώς το s αυξάνεται, η τιμή της συνάρτησης R (Χ Εγώ) μειώνεται και η καμπύλη κατανομής εκτείνεται κατά μήκος του άξονα Χ(βλ. Εικ. 2).

Για τον νόμο κανονικής κατανομής, το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μιας μεμονωμένης μέτρησης

, (2.5)

και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα της μέσης τιμής

. (2.6)

Το μέσο τετράγωνο σφάλμα χαρακτηρίζει τα σφάλματα μέτρησης με μεγαλύτερη ακρίβεια από το αριθμητικό μέσο σφάλμα, καθώς προκύπτει αρκετά αυστηρά από το νόμο της κατανομής των τιμών τυχαίων σφαλμάτων. Επιπλέον, η άμεση σύνδεσή του με τη διασπορά, ο υπολογισμός της οποίας διευκολύνεται από έναν αριθμό θεωρημάτων, καθιστά το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μια πολύ βολική παράμετρο.

Μαζί με το διαστατικό σφάλμα s, χρησιμοποιούν επίσης το αδιάστατο σχετικό σφάλμα d s = s/, το οποίο, όπως d Χ, που εκφράζεται είτε ως κλάσματα μονάδας είτε ως ποσοστό. Το τελικό αποτέλεσμα της μέτρησης γράφεται ως:

Ωστόσο, στην πράξη είναι αδύνατο να γίνουν πάρα πολλές μετρήσεις, επομένως δεν μπορεί να κατασκευαστεί μια κανονική κατανομή για τον ακριβή προσδιορισμό της πραγματικής τιμής Χ 0 . Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί να εξεταστεί μια καλή προσέγγιση στην πραγματική τιμή και μια αρκετά ακριβής εκτίμηση του σφάλματος μέτρησης είναι η διακύμανση του δείγματος, η οποία προκύπτει από τον νόμο της κανονικής κατανομής, αλλά σχετίζεται με έναν πεπερασμένο αριθμό μετρήσεων. Αυτή η ονομασία για την ποσότητα εξηγείται από το γεγονός ότι από ολόκληρο το σύνολο τιμών Χ Εγώ, δηλαδή, μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός τιμών επιλέγεται (μετράται) από τον γενικό πληθυσμό Χ Εγώ(ίσος n), που ονομάζεται δειγματοληψία. Το δείγμα χαρακτηρίζεται από μέση τιμή δείγματος και διακύμανση δείγματος.

Στη συνέχεια, το δείγμα μέσου τετραγωνικού σφάλματος μιας μεμονωμένης μέτρησης (ή εμπειρικού προτύπου)

, (2.8)

και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα δείγματος ενός αριθμού μετρήσεων

. (2.9)

Από την έκφραση (2.9) είναι σαφές ότι αυξάνοντας τον αριθμό των μετρήσεων, το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μπορεί να γίνει όσο μικρό επιθυμείτε. Στο n> 10, μια αισθητή αλλαγή στην τιμή επιτυγχάνεται μόνο με πολύ σημαντικό αριθμό μετρήσεων, επομένως μια περαιτέρω αύξηση του αριθμού των μετρήσεων είναι ακατάλληλη. Επιπλέον, είναι αδύνατο να εξαλειφθούν πλήρως τα συστηματικά σφάλματα και με ένα μικρότερο συστηματικό σφάλμα, η περαιτέρω αύξηση του αριθμού των πειραμάτων επίσης δεν έχει νόημα.

Έτσι, το πρόβλημα της εύρεσης της κατά προσέγγιση τιμής ενός φυσικού μεγέθους και του σφάλματός του έχει λυθεί. Τώρα είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η αξιοπιστία της πραγματικής τιμής που βρέθηκε. Η αξιοπιστία των μετρήσεων νοείται ως η πιθανότητα η πραγματική τιμή να εμπίπτει σε ένα δεδομένο διάστημα εμπιστοσύνης. Διάστημα (– e,+ e) στο οποίο η πραγματική τιμή βρίσκεται με δεδομένη πιθανότητα Χ 0 ονομάζεται διάστημα εμπιστοσύνης. Ας υποθέσουμε ότι η πιθανότητα ενός αποτελέσματος μέτρησης να διαφέρει Χαπό την αληθινή αξία Χ 0 κατά ποσό μεγαλύτερο του e ισούται με 1 – a, δηλ.

Π(-E<Χ 0 <+ e) = 1 – a. (2.10)

Στη θεωρία σφαλμάτων, το e συνήθως κατανοείται ως η ποσότητα . Να γιατί

Π (– <Χ 0 <+ ) = Ф(t), (2.11)

Πού είναι ( t) – ολοκλήρωμα πιθανότητας (ή συνάρτηση Laplace), καθώς και συνάρτηση κανονικής κατανομής:

, (2.12) πού.

Έτσι, για να χαρακτηριστεί η πραγματική τιμή, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τόσο την αβεβαιότητα όσο και την αξιοπιστία. Εάν το διάστημα εμπιστοσύνης αυξάνεται, τότε η εμπιστοσύνη αυξάνεται από την πραγματική τιμή ΧΤο 0 εμπίπτει σε αυτό το διάστημα. Για κρίσιμες μετρήσεις απαιτείται υψηλός βαθμός αξιοπιστίας. Αυτό σημαίνει ότι σε αυτήν την περίπτωση είναι απαραίτητο να επιλέξετε ένα μεγάλο διάστημα εμπιστοσύνης ή να πραγματοποιήσετε μετρήσεις με μεγαλύτερη ακρίβεια (δηλαδή, να μειώσετε την τιμή), κάτι που μπορεί να γίνει, για παράδειγμα, επαναλαμβάνοντας πολλές φορές τις μετρήσεις.

Κάτω από πιθανότητα εμπιστοσύνηςαναφέρεται στην πιθανότητα ότι η πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής εμπίπτει σε ένα δεδομένο διάστημα εμπιστοσύνης. Το διάστημα εμπιστοσύνης χαρακτηρίζει την ακρίβεια της μέτρησης ενός δεδομένου δείγματος και η πιθανότητα εμπιστοσύνης χαρακτηρίζει την αξιοπιστία της μέτρησης.

Στη συντριπτική πλειοψηφία των πειραματικών προβλημάτων, το επίπεδο εμπιστοσύνης είναι 0,90,95 και δεν απαιτείται υψηλότερη αξιοπιστία. Οπότε πότε t= 1 σύμφωνα με τους τύπους (2.10 –2.12) 1 – a= Ф( t) = 0,683, δηλαδή περισσότερο από το 68% των μετρήσεων βρίσκονται στο διάστημα (–,+). Στο t= 2 1 – a= 0,955, και στο t= 3 παράμετρος 1 – a= 0,997. Το τελευταίο σημαίνει ότι σχεδόν όλες οι μετρούμενες τιμές βρίσκονται στο διάστημα (–,+). Από αυτό το παράδειγμα είναι σαφές ότι το διάστημα περιέχει στην πραγματικότητα την πλειοψηφία των μετρούμενων τιμών, δηλαδή η παράμετρος a μπορεί να χρησιμεύσει ως καλό χαρακτηριστικό της ακρίβειας μέτρησης.

Μέχρι τώρα θεωρείτο ότι ο αριθμός των διαστάσεων, αν και πεπερασμένος, είναι αρκετά μεγάλος. Στην πραγματικότητα, ο αριθμός των διαστάσεων είναι σχεδόν πάντα μικρός. Επιπλέον, τόσο στην τεχνολογία όσο και στην επιστημονική έρευνα, χρησιμοποιούνται συχνά τα αποτελέσματα δύο ή τριών μετρήσεων. Σε αυτήν την περίπτωση, οι ποσότητες, στην καλύτερη περίπτωση, μπορούν να καθορίσουν μόνο την τάξη μεγέθους της διασποράς. Υπάρχει μια σωστή μέθοδος για τον προσδιορισμό της πιθανότητας εύρεσης της επιθυμητής τιμής σε ένα δεδομένο διάστημα εμπιστοσύνης, με βάση τη χρήση της κατανομής Student (που προτάθηκε το 1908 από τον Άγγλο μαθηματικό W. S. Gosset). Ας υποδηλώσουμε με το διάστημα κατά το οποίο ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να αποκλίνει από την πραγματική τιμή Χ 0, δηλαδή Δ Χ = Χ 0 –. Με άλλα λόγια, θέλουμε να προσδιορίσουμε την τιμή

.

Οπου S nπροσδιορίζεται από τον τύπο (2.8). Αυτή η τιμή υπακούει στην κατανομή Student. Η κατανομή Student χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι δεν εξαρτάται από τις παραμέτρους Χ 0 και s του κανονικού πληθυσμού και επιτρέπει μικρό αριθμό μετρήσεων ( n < 20) оценить погрешность DΧ = ­­– Χ Εγώμε δεδομένη πιθανότητα εμπιστοσύνης ή με δεδομένη τιμή D Χβρείτε την αξιοπιστία των μετρήσεων. Αυτή η κατανομή εξαρτάται μόνο από τη μεταβλητή tα και αριθμός βαθμών ελευθερίας μεγάλο = n – 1.

Η κατανομή Φοιτητών ισχύει για n 2 και συμμετρικά t A = 0 (βλέπε σχήμα 3). Με αυξανόμενο αριθμό μετρήσεων tα -η κατανομή τείνει στην κανονική κατανομή (στην πραγματικότητα, όταν n > 20).

Η πιθανότητα εμπιστοσύνης για ένα δεδομένο σφάλμα αποτελέσματος μέτρησης προκύπτει από την έκφραση

Π (–<Χ 0 <+) = 1 – a. (2.14)

Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή tτο a είναι παρόμοιο με τον συντελεστή tστον τύπο (2.11). Μέγεθος tα λέγεται Συντελεστής μαθητή, οι τιμές του δίνονται σε πίνακες αναφοράς. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (2.14) και τα δεδομένα αναφοράς, είναι δυνατό να λυθεί το αντίστροφο πρόβλημα: από μια δεδομένη αξιοπιστία a, προσδιορίστε το επιτρεπτό σφάλμα του αποτελέσματος της μέτρησης.

Η κατανομή Student μάς επιτρέπει επίσης να καθορίσουμε ότι με μια πιθανότητα όσο πιο κοντά επιθυμούμε στην αξιοπιστία, με μια αρκετά μεγάλη nο αριθμητικός μέσος όρος θα διαφέρει όσο λίγο επιθυμείτε από την πραγματική τιμή Χ 0 .

Θεωρήθηκε ότι ο νόμος κατανομής του τυχαίου σφάλματος είναι γνωστός. Ωστόσο, συχνά κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τον νόμο κατανομής· αρκεί απλώς να μελετήσουμε ορισμένα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής, για παράδειγμα, τη μέση τιμή και τη διακύμανση. Σε αυτήν την περίπτωση, ο υπολογισμός της διασποράς καθιστά δυνατή την εκτίμηση της πιθανότητας εμπιστοσύνης ακόμη και στην περίπτωση που ο νόμος κατανομής σφάλματος είναι άγνωστος ή διαφέρει από τον κανονικό.

Στην περίπτωση που γίνεται μόνο μία μέτρηση, η ακρίβεια της μέτρησης μιας φυσικής ποσότητας (εάν πραγματοποιείται προσεκτικά) χαρακτηρίζεται από την ακρίβεια της συσκευής μέτρησης.

3. ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΕΜΜΕΣΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

Συχνά, κατά τη διεξαγωγή ενός πειράματος, εμφανίζεται μια κατάσταση όταν οι επιθυμητές ποσότητες Και (Χ Εγώ) δεν μπορεί να προσδιοριστεί άμεσα, αλλά οι ποσότητες μπορούν να μετρηθούν Χ Εγώ .

Για παράδειγμα, για τη μέτρηση της πυκνότητας r, η μάζα μετράται συχνότερα Μκαι όγκος V, και η τιμή της πυκνότητας υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο r= Μ /V .

Ποσότητες Χ Εγώπεριέχουν, ως συνήθως, τυχαία σφάλματα, δηλαδή παρατηρούν τις τιμές x i" = x iρε x i. Όπως και πριν, το πιστεύουμε x iκατανέμονται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο.

1. Αφήστε Και = φά (Χ) είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής. Σε αυτή την περίπτωση, το απόλυτο λάθος

. (3.1)

Σχετικό σφάλμα του αποτελέσματος έμμεσων μετρήσεων

. (3.2)

2. Αφήστε Και = φά (Χ , στο) είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών. Τότε το απόλυτο λάθος

, (3.3)

και το σχετικό σφάλμα θα είναι

. (3.4)

3. Αφήστε Και = φά (Χ , στο , z, ...) είναι συνάρτηση πολλών μεταβλητών. Τότε το απόλυτο λάθος κατ' αναλογία

(3.5)

και σχετικό λάθος

όπου, και καθορίζονται σύμφωνα με τον τύπο (2.9).

Ο Πίνακας 2 παρέχει τους τύπους για τον προσδιορισμό των σφαλμάτων των έμμεσων μετρήσεων για ορισμένους συνήθως χρησιμοποιούμενους τύπους.

πίνακας 2

Λειτουργία u	Απόλυτο λάθος Δ u	Σχετικό σφάλμα δ u
e x
ln Χ
αμαρτία Χ
cos Χ
tg Χ
ctg Χ
Χ y
xy
Χ /y

4. ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Όλες οι παραπάνω εκτιμήσεις εμπιστοσύνης τόσο των μέσων τιμών όσο και των διακυμάνσεων βασίζονται στην υπόθεση της κανονικότητας του νόμου κατανομής των τυχαίων σφαλμάτων μέτρησης και επομένως μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο εφόσον τα πειραματικά αποτελέσματα δεν έρχονται σε αντίθεση με αυτήν την υπόθεση.

Εάν τα αποτελέσματα ενός πειράματος εγείρουν αμφιβολίες σχετικά με την κανονικότητα του νόμου κατανομής, τότε για να επιλυθεί το ζήτημα της καταλληλότητας ή ακαταλληλότητας του νόμου κανονικής κατανομής, είναι απαραίτητο να γίνει ένας αρκετά μεγάλος αριθμός μετρήσεων και να εφαρμοστεί μία από τις μεθόδους που περιγράφονται παρακάτω.

Έλεγχος με μέση απόλυτη απόκλιση (MAD).Η τεχνική μπορεί να χρησιμοποιηθεί για όχι πολύ μεγάλα δείγματα ( n < 120). Для этого вычисляется САО по формуле:

. (4.1)

Για δείγμα με νόμο περίπου κανονικής κατανομής, πρέπει να ισχύει η ακόλουθη έκφραση:

. (4.2)

Εάν αυτή η ανισότητα (4.2) ικανοποιηθεί, τότε επιβεβαιώνεται η υπόθεση της κανονικής κατανομής.

Επαλήθευση βάσει κριτηρίων συμμόρφωσης γ 2 ("χι-τετράγωνο") ή το τεστ καλής προσαρμογής του Pearson.Το κριτήριο βασίζεται στη σύγκριση των εμπειρικών συχνοτήτων με τις θεωρητικές που μπορούν να αναμένονται κατά την αποδοχή της υπόθεσης της κανονικής κατανομής. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων, αφού εξαλειφθούν τα χονδροειδή και συστηματικά σφάλματα, ομαδοποιούνται σε διαστήματα έτσι ώστε αυτά τα διαστήματα να καλύπτουν ολόκληρο τον άξονα και έτσι ώστε η ποσότητα των δεδομένων σε κάθε διάστημα να είναι αρκετά μεγάλη (τουλάχιστον πέντε). Για κάθε διάστημα ( x i –1 ,x i) μετρήστε τον αριθμό Τ Εγώτα αποτελέσματα των μετρήσεων εμπίπτουν σε αυτό το διάστημα. Στη συνέχεια, υπολογίστε την πιθανότητα να πέσετε σε αυτό το διάστημα σύμφωνα με τον κανονικό νόμο κατανομής πιθανοτήτων R Εγώ :

, (4.3)

, (4.4)

Οπου μεγάλο– αριθμός όλων των διαστημάτων, n– αριθμός όλων των αποτελεσμάτων μετρήσεων ( n = Τ 1 +Τ 2 +…+t l).

Εάν το ποσό που υπολογίστηκε με αυτόν τον τύπο (4.4) αποδειχθεί μεγαλύτερο από την κρίσιμη τιμή του πίνακα c 2, που προσδιορίζεται σε ένα ορισμένο επίπεδο εμπιστοσύνης Rκαι αριθμός βαθμών ελευθερίας κ = μεγάλο– 3, μετά με αξιοπιστία RΜπορούμε να υποθέσουμε ότι η κατανομή πιθανότητας τυχαίων σφαλμάτων στη σειρά των εξεταζόμενων μετρήσεων διαφέρει από το κανονικό. Διαφορετικά, δεν υπάρχουν επαρκείς λόγοι για ένα τέτοιο συμπέρασμα.

Έλεγχος με δείκτες ασυμμετρίας και κούρτωσης.Αυτή η μέθοδος δίνει μια κατά προσέγγιση εκτίμηση. Δείκτες ασυμμετρίας ΕΝΑκαι υπερβολή μικαθορίζονται από τους παρακάτω τύπους:

, (4.5)

. (4.6)

Εάν η κατανομή είναι φυσιολογική, τότε και οι δύο από αυτούς τους δείκτες πρέπει να είναι μικρές. Η μικρότητα αυτών των χαρακτηριστικών συνήθως κρίνεται σε σύγκριση με τα μέσα τετραγωνικά τους σφάλματα. Οι συντελεστές σύγκρισης υπολογίζονται ανάλογα:

, (4.7)

. (4.8)

5. ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΞΑΛΕΙΨΗΣ ΜΕΓΑΛΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

Όταν λαμβάνετε ένα αποτέλεσμα μέτρησης που διαφέρει σημαντικά από όλα τα άλλα αποτελέσματα, δημιουργείται η υποψία ότι έχει γίνει ένα χονδροειδές σφάλμα. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να ελέγξετε αμέσως εάν έχουν παραβιαστεί οι βασικές συνθήκες μέτρησης. Εάν ένας τέτοιος έλεγχος δεν έγινε εγκαίρως, τότε το ζήτημα της σκοπιμότητας απόρριψης πολύ διαφορετικών τιμών επιλύεται συγκρίνοντάς το με άλλα αποτελέσματα μετρήσεων. Σε αυτή την περίπτωση, εφαρμόζονται διαφορετικά κριτήρια, ανάλογα με το εάν το μέσο τετραγωνικό σφάλμα s είναι γνωστό ή όχι Εγώμετρήσεις (υποτίθεται ότι όλες οι μετρήσεις γίνονται με την ίδια ακρίβεια και ανεξάρτητα η μία από την άλλη).

Μέθοδος αποβολής με γνωστή μικρό Εγώ . Αρχικά, προσδιορίζεται ο συντελεστής tσύμφωνα με τον τύπο

, (5.1)

Οπου Χ* – ακραία τιμή (υποτιθέμενο σφάλμα). Η τιμή καθορίζεται από τον τύπο (2.1) χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το αναμενόμενο σφάλμα Χ *.

Στη συνέχεια, ορίζεται το επίπεδο σημαντικότητας a, στο οποίο αποκλείονται τα σφάλματα των οποίων η πιθανότητα εμφάνισης είναι μικρότερη από την τιμή a. Συνήθως χρησιμοποιείται ένα από τα τρία επίπεδα σημαντικότητας: επίπεδο 5% (εξαιρούνται τα σφάλματα των οποίων η πιθανότητα εμφάνισης είναι μικρότερη από 0,05). επίπεδο 1% (αντίστοιχα μικρότερο από 0,01) και 0,1% επίπεδο (αντίστοιχα μικρότερο από 0,001).

Στο επιλεγμένο επίπεδο σημαντικότητας, μια αξία ξεχωρίζει Χ* Θεωρείται ακαθάριστο σφάλμα και αποκλείεται από την περαιτέρω επεξεργασία των αποτελεσμάτων μέτρησης εάν για τον αντίστοιχο συντελεστή t, υπολογιζόμενη σύμφωνα με τον τύπο (5.1), η κατάσταση ικανοποιείται: 1 - π.Χ. t) < a.

Μέθοδος εξάλειψης για άγνωστο μικρό Εγώ .

Εάν το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μιας μεμονωμένης μέτρησης S Εγώείναι άγνωστο εκ των προτέρων, τότε εκτιμάται περίπου από τα αποτελέσματα μέτρησης χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.8). Στη συνέχεια, ο ίδιος αλγόριθμος εφαρμόζεται όπως για γνωστά s Εγώμε τη μόνη διαφορά που στη φόρμουλα (5.1) αντί του S Εγώαξία που χρησιμοποιείται S n, υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο (2.8).

Κανόνας τριών σίγμα.

Δεδομένου ότι η επιλογή της αξιοπιστίας μιας εκτίμησης εμπιστοσύνης επιτρέπει κάποια αυθαιρεσία, στη διαδικασία επεξεργασίας των πειραματικών αποτελεσμάτων, ο κανόνας των τριών σίγμα έχει γίνει ευρέως διαδεδομένος: η απόκλιση της πραγματικής τιμής της μετρούμενης τιμής δεν υπερβαίνει την αριθμητική μέση τιμή του Αποτελέσματα μέτρησης και δεν υπερβαίνει τις τρεις φορές το μέσο τετραγωνικό σφάλμα αυτής της τιμής.

Έτσι, ο κανόνας τριών σιγά αντιπροσωπεύει μια εκτίμηση εμπιστοσύνης στην περίπτωση μιας γνωστής αξίας S

ή αξιολόγηση εμπιστοσύνης

στην περίπτωση άγνωστης τιμής s.

Η πρώτη από αυτές τις εκτιμήσεις έχει αξιοπιστία 2 (3) = 0,9973, ανεξάρτητα από τον αριθμό των μετρήσεων.

Η αξιοπιστία της δεύτερης εκτίμησης εξαρτάται σημαντικά από τον αριθμό των μετρήσεων n .

Εξάρτηση αξιοπιστίας Rσχετικά με τον αριθμό των μετρήσεων nγια την εκτίμηση του μεικτού σφάλματος στην περίπτωση άγνωστης τιμής s υποδεικνύεται στο

Πίνακας 4

n	5	6	7	8	9	10	14	20	30	50	150
p(x)	0.960	0.970	0.976	0.980	0.983	0.985	0.990	0.993	0.995	0.996	0.997	0.9973

6. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ

Τα αποτελέσματα των μετρήσεων μπορούν να παρουσιαστούν με τη μορφή γραφημάτων και πινάκων. Η τελευταία μέθοδος είναι η απλούστερη. Σε ορισμένες περιπτώσεις, τα αποτελέσματα της έρευνας μπορούν να παρουσιαστούν μόνο σε μορφή πίνακα. Αλλά ο πίνακας δεν δίνει μια σαφή ιδέα για την εξάρτηση μιας φυσικής ποσότητας από μια άλλη, επομένως σε πολλές περιπτώσεις δημιουργείται ένα γράφημα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρει γρήγορα την εξάρτηση μιας ποσότητας από μια άλλη, δηλαδή, από τα δεδομένα μέτρησης, βρέθηκε ένας αναλυτικός τύπος που συσχετίζει τις ποσότητες ΧΚαι στο. Τέτοιοι τύποι ονομάζονται εμπειρικοί. Ακρίβεια εύρεσης συναρτήσεων στο (Χ) σύμφωνα με το γράφημα καθορίζεται από την ορθότητα του γραφήματος. Συνεπώς, όταν δεν απαιτείται μεγάλη ακρίβεια, τα γραφήματα είναι πιο βολικά από τους πίνακες: καταλαμβάνουν λιγότερο χώρο, εκτελούν μετρήσεις πιο γρήγορα και κατά την κατασκευή τους, εξομαλύνονται οι ακραίες τιμές κατά τη διάρκεια της συνάρτησης λόγω τυχαίων σφαλμάτων μέτρησης. . Εάν απαιτείται ιδιαίτερα υψηλή ακρίβεια, είναι προτιμότερο να παρουσιάζονται τα πειραματικά αποτελέσματα με τη μορφή πινάκων και οι ενδιάμεσες τιμές βρίσκονται χρησιμοποιώντας τύπους παρεμβολής.

Η μαθηματική επεξεργασία των αποτελεσμάτων των μετρήσεων από τον πειραματιστή δεν θέτει ως στόχο την αποκάλυψη της πραγματικής φύσης της λειτουργικής σχέσης μεταξύ των μεταβλητών, αλλά καθιστά δυνατή μόνο την περιγραφή των αποτελεσμάτων του πειράματος χρησιμοποιώντας τον απλούστερο τύπο, ο οποίος καθιστά δυνατή τη χρήση παρεμβολής και εφαρμόζουν μεθόδους μαθηματικής ανάλυσης στα παρατηρούμενα δεδομένα.

Γραφική μέθοδος.Τις περισσότερες φορές, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων χρησιμοποιείται για την κατασκευή γραφημάτων. Για να κάνετε την κατασκευή ευκολότερη, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε γραφικό χαρτί. Σε αυτή την περίπτωση, οι μετρήσεις απόστασης σε γραφήματα θα πρέπει να γίνονται μόνο με διαιρέσεις σε χαρτί και όχι με χάρακα, καθώς το μήκος των διαιρέσεων μπορεί να είναι διαφορετικό κάθετα και οριζόντια. Πρώτα πρέπει να επιλέξετε λογικές κλίμακες κατά μήκος των αξόνων, έτσι ώστε η ακρίβεια μέτρησης να αντιστοιχεί στην ακρίβεια της ένδειξης στο γράφημα και το γράφημα να μην τεντώνεται ή συμπιέζεται κατά μήκος ενός από τους άξονες, καθώς αυτό οδηγεί σε αύξηση του σφάλματος ανάγνωσης.

Στη συνέχεια, τα σημεία που αντιπροσωπεύουν τα αποτελέσματα των μετρήσεων απεικονίζονται στο γράφημα. Για να επισημανθούν διαφορετικά αποτελέσματα, σχεδιάζονται με διαφορετικά εικονίδια: κύκλοι, τρίγωνα, σταυροί κ.λπ. Δεδομένου ότι στις περισσότερες περιπτώσεις τα σφάλματα στις τιμές της συνάρτησης είναι μεγαλύτερα από τα σφάλματα στο όρισμα, απεικονίζεται μόνο το σφάλμα της συνάρτησης στο τη μορφή ενός τμήματος με μήκος ίσο με το διπλάσιο του σφάλματος σε μια δεδομένη κλίμακα. Σε αυτήν την περίπτωση, το πειραματικό σημείο βρίσκεται στο μέσο αυτού του τμήματος, το οποίο περιορίζεται και στα δύο άκρα από παύλες. Μετά από αυτό, σχεδιάζεται μια ομαλή καμπύλη έτσι ώστε να περνά όσο το δυνατόν πιο κοντά σε όλα τα πειραματικά σημεία και περίπου ο ίδιος αριθμός σημείων βρίσκονται και στις δύο πλευρές της καμπύλης. Η καμπύλη πρέπει (συνήθως) να είναι εντός των σφαλμάτων μέτρησης. Όσο μικρότερα είναι αυτά τα σφάλματα, τόσο καλύτερα η καμπύλη συμπίπτει με τα πειραματικά σημεία. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι είναι καλύτερο να σχεδιάσετε μια ομαλή καμπύλη έξω από τα όρια σφάλματος παρά να επιτρέψετε ένα διάλειμμα στην καμπύλη κοντά σε ένα μόνο σημείο. Εάν ένα ή περισσότερα σημεία βρίσκονται μακριά από την καμπύλη, αυτό συχνά υποδηλώνει ένα μεγάλο λάθος στον υπολογισμό ή τη μέτρηση. Οι καμπύλες στα γραφήματα κατασκευάζονται συχνότερα χρησιμοποιώντας μοτίβα.

Δεν πρέπει να λαμβάνετε πάρα πολλούς πόντους όταν κατασκευάζετε ένα γράφημα ομαλής εξάρτησης και μόνο για καμπύλες με μέγιστα και ελάχιστα είναι απαραίτητο να σχεδιάζετε σημεία πιο συχνά στην ακραία περιοχή.

Κατά την κατασκευή γραφημάτων, χρησιμοποιείται συχνά μια τεχνική που ονομάζεται μέθοδος ευθυγράμμισης ή μέθοδος τεντωμένης συμβολοσειράς. Βασίζεται στη γεωμετρική επιλογή μιας ευθείας γραμμής «με το μάτι».

Εάν αυτή η τεχνική αποτύχει, τότε σε πολλές περιπτώσεις η μετατροπή μιας καμπύλης σε ευθεία επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας μία από τις λειτουργικές κλίμακες ή πλέγματα. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα είναι τα λογαριθμικά ή ημιλογαριθμικά πλέγματα. Αυτή η τεχνική είναι επίσης χρήσιμη σε περιπτώσεις όπου χρειάζεται να τεντώσετε ή να συμπιέσετε οποιοδήποτε τμήμα της καμπύλης. Έτσι, η λογαριθμική κλίμακα είναι βολική στη χρήση για την απεικόνιση της ποσότητας που μελετάται, η οποία ποικίλλει κατά πολλές τάξεις μεγέθους εντός των ορίων των μετρήσεων. Αυτή η μέθοδος συνιστάται για την εύρεση κατά προσέγγιση τιμών συντελεστών σε εμπειρικούς τύπους ή για μετρήσεις με χαμηλή ακρίβεια δεδομένων. Όταν χρησιμοποιείται ένα λογαριθμικό πλέγμα, μια ευθεία γραμμή απεικονίζει μια εξάρτηση τύπου , και όταν χρησιμοποιείται ένα ημιλογαριθμικό πλέγμα, μια εξάρτηση τύπου . Συντελεστής ΣΕΤο 0 μπορεί να είναι μηδέν σε ορισμένες περιπτώσεις. Ωστόσο, όταν χρησιμοποιείται μια γραμμική κλίμακα, όλες οι τιμές στο γράφημα μετρώνται με την ίδια απόλυτη ακρίβεια και όταν χρησιμοποιείται μια λογαριθμική κλίμακα, όλες οι τιμές μετρώνται με την ίδια σχετική ακρίβεια.

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι είναι συχνά δύσκολο να κρίνουμε από το περιορισμένο τμήμα της διαθέσιμης καμπύλης (ειδικά αν δεν βρίσκονται όλα τα σημεία στην καμπύλη) ποιος τύπος συνάρτησης πρέπει να χρησιμοποιηθεί για προσέγγιση. Ως εκ τούτου, μεταφέρουν τα πειραματικά σημεία σε ένα ή άλλο πλέγμα συντεταγμένων και μόνο στη συνέχεια εξετάζουν ποιο από αυτά τα δεδομένα που λαμβάνονται συμπίπτουν περισσότερο με την ευθεία γραμμή και σύμφωνα με αυτό επιλέγουν έναν εμπειρικό τύπο.

Επιλογή εμπειρικών τύπων.Αν και δεν υπάρχει γενική μέθοδος που θα επέτρεπε την επιλογή του καλύτερου εμπειρικού τύπου για οποιαδήποτε αποτελέσματα μέτρησης, εξακολουθεί να είναι δυνατό να βρεθεί μια εμπειρική σχέση που να αντικατοπτρίζει με μεγαλύτερη ακρίβεια την επιθυμητή σχέση. Δεν πρέπει να επιτύχετε πλήρη συμφωνία μεταξύ των πειραματικών δεδομένων και του επιθυμητού τύπου, καθώς ο πολυωνυμικός τύπος παρεμβολής ή άλλος τύπος προσέγγισης θα επαναλάβει όλα τα σφάλματα μέτρησης και οι συντελεστές δεν θα έχουν φυσικό νόημα. Επομένως, εάν η θεωρητική εξάρτηση δεν είναι γνωστή, επιλέξτε έναν τύπο που ταιριάζει καλύτερα στις μετρούμενες τιμές και περιέχει λιγότερες παραμέτρους. Για να προσδιοριστεί ο κατάλληλος τύπος, τα πειραματικά δεδομένα σχεδιάζονται γραφικά και συγκρίνονται με διάφορες καμπύλες που σχεδιάζονται χρησιμοποιώντας γνωστούς τύπους στην ίδια κλίμακα. Αλλάζοντας τις παραμέτρους στον τύπο, μπορείτε να αλλάξετε την εμφάνιση της καμπύλης σε κάποιο βαθμό. Στη διαδικασία σύγκρισης, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη τα υπάρχοντα άκρα, η συμπεριφορά της συνάρτησης σε διαφορετικές τιμές του ορίσματος, η κυρτότητα ή η κοιλότητα της καμπύλης σε διαφορετικά τμήματα. Έχοντας επιλέξει έναν τύπο, οι τιμές των παραμέτρων καθορίζονται έτσι ώστε η διαφορά μεταξύ της καμπύλης και των πειραματικών δεδομένων να μην είναι μεγαλύτερη από τα σφάλματα μέτρησης.

Στην πράξη, οι γραμμικές, οι εκθετικές και οι εξαρτήσεις ισχύος χρησιμοποιούνται συχνότερα.

7. ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

Παρεμβολή.Κάτω από παρεμβολήκατανοούν, πρώτον, την εύρεση των τιμών μιας συνάρτησης για ενδιάμεσες τιμές του ορίσματος που δεν περιλαμβάνονται στον πίνακα και, δεύτερον, την αντικατάσταση μιας συνάρτησης με ένα πολυώνυμο παρεμβολής εάν η αναλυτική της έκφραση είναι άγνωστη και η συνάρτηση πρέπει να υποβληθεί σε ορισμένες μαθηματικές πράξεις. Οι απλούστερες μέθοδοι παρεμβολής είναι η γραμμική και η γραφική. Η γραμμική παρεμβολή μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν η εξάρτηση στο (Χ) εκφράζεται με μια ευθεία γραμμή ή μια καμπύλη κοντά σε μια ευθεία γραμμή, για την οποία μια τέτοια παρεμβολή δεν οδηγεί σε χονδροειδή σφάλματα. Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι δυνατό να πραγματοποιηθεί γραμμική παρεμβολή ακόμη και με μια πολύπλοκη εξάρτηση στο (Χ), εάν πραγματοποιείται μέσα σε μια τόσο μικρή αλλαγή στο όρισμα ότι η σχέση μεταξύ των μεταβλητών μπορεί να θεωρηθεί γραμμική χωρίς εμφανή σφάλματα. Όταν παρεμβάλλεται γραφικά μια άγνωστη συνάρτηση στο (Χ) αντικαταστήστε το με μια κατά προσέγγιση γραφική εικόνα (με βάση πειραματικά σημεία ή δεδομένα πίνακα), από την οποία καθορίζονται οι τιμές στογια κάθε Χεντός των μετρήσεων. Ωστόσο, η ακριβής γραφική απεικόνιση σύνθετων καμπυλών είναι μερικές φορές πολύ δύσκολη, όπως οι καμπύλες με αιχμηρά άκρα, επομένως η γραφική παρεμβολή είναι περιορισμένης χρήσης.

Έτσι, σε πολλές περιπτώσεις είναι αδύνατο να εφαρμοστεί είτε γραμμική είτε γραφική παρεμβολή. Από αυτή την άποψη, βρέθηκαν συναρτήσεις παρεμβολής που επέτρεψαν τον υπολογισμό των τιμών στομε επαρκή ακρίβεια για οποιαδήποτε λειτουργική εξάρτηση στο (Χ) υπό την προϋπόθεση ότι είναι συνεχής. Η συνάρτηση παρεμβολής έχει τη μορφή

Οπου σι 0 ,σι 1 , … Bn– καθορισμένοι συντελεστές. Εφόσον αυτό το πολυώνυμο (7.1) αντιπροσωπεύεται από μια καμπύλη παραβολικού τύπου, μια τέτοια παρεμβολή ονομάζεται παραβολική.

Οι συντελεστές του πολυωνύμου παρεμβολής βρίσκονται λύνοντας το σύστημα του ( μεγάλο+ 1) γραμμικές εξισώσεις που λαμβάνονται με αντικατάσταση γνωστών τιμών στην εξίσωση (7.1) στο ΕγώΚαι Χ Εγώ .

Η παρεμβολή είναι πιο εύκολη όταν τα διαστήματα μεταξύ των τιμών του ορίσματος είναι σταθερά, δηλ.

Οπου η– μια σταθερή τιμή που ονομάζεται βήμα. Γενικά

Όταν χρησιμοποιείτε τύπους παρεμβολής, πρέπει να αντιμετωπίσετε διαφορές στις τιμές στοκαι οι διαφορές αυτών των διαφορών, δηλαδή οι διαφορές της συνάρτησης στο (Χ) διαφόρων παραγγελιών. Οι διαφορές οποιασδήποτε σειράς υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο

. (7.4)

Για παράδειγμα,

Κατά τον υπολογισμό των διαφορών, είναι βολικό να τα ταξινομήσετε με τη μορφή πίνακα (βλ. Πίνακα 4), σε κάθε στήλη του οποίου αναγράφονται οι διαφορές μεταξύ των αντίστοιχων τιμών του minuend και του subtrahend, δηλαδή ενός πίνακα διαγώνιου τύπου συντάσσεται. Συνήθως οι διαφορές γράφονται σε μονάδες του τελευταίου ψηφίου.

Πίνακας 4

Λειτουργία διαφοράς στο (Χ)

Χ	y	Dy	D2y	Δ 3 ε	Δ 4 ε
x 0	y 0
x 1	στο 1
x 2	στις 2				Δ 4 ε 0
x 3	στις 3
x 4	στις 4

Από τη λειτουργία στο (Χ) εκφράζεται με το πολυώνυμο (7.1) nου βαθμού συγγενής Χ, τότε οι διαφορές είναι και πολυώνυμα, οι μοίρες των οποίων μειώνονται κατά ένα κατά τη μετάβαση στην επόμενη διαφορά. Ν-η διαφορά του πολυώνυμου nη ισχύς είναι ένας σταθερός αριθμός, δηλαδή περιέχει Χστον μηδενικό βαθμό. Όλες οι διαφορές ανώτερης τάξης είναι ίσες με μηδέν. Αυτό καθορίζει τον βαθμό του πολυωνύμου παρεμβολής.

Μετασχηματίζοντας τη συνάρτηση (7.1), μπορούμε να λάβουμε τον πρώτο τύπο παρεμβολής του Νεύτωνα:

Χρησιμοποιείται για την εύρεση τιμών στογια κάθε Χεντός των μετρήσεων. Ας παρουσιάσουμε αυτόν τον τύπο (7.5) σε μια ελαφρώς διαφορετική μορφή:

Οι δύο τελευταίοι τύποι ονομάζονται μερικές φορές τύποι παρεμβολής του Νεύτωνα για μπροστινή παρεμβολή. Αυτοί οι τύποι περιλαμβάνουν διαφορές που εκτελούνται διαγώνια προς τα κάτω και είναι βολικό να χρησιμοποιηθούν στην αρχή ενός πίνακα πειραματικών δεδομένων, όπου υπάρχουν αρκετές διαφορές.

Ο δεύτερος τύπος παρεμβολής του Νεύτωνα, που προέρχεται από την ίδια εξίσωση (7.1), έχει ως εξής:

Αυτός ο τύπος (7.7) ονομάζεται συνήθως τύπος παρεμβολής του Νεύτωνα για ανάδρομη παρεμβολή. Χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των τιμών στοστο τέλος του τραπεζιού.

Τώρα ας εξετάσουμε την παρεμβολή για άνισα απέχουσες τιμές του ορίσματος.

Ας είναι ακόμα συνάρτηση στο (Χ) δίνεται από μια σειρά τιμών x iΚαι y i, αλλά τα διαστήματα μεταξύ διαδοχικών τιμών x iδεν είναι τα ίδια. Οι παραπάνω τύποι Newton δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν, καθώς περιέχουν σταθερό βήμα η. Σε προβλήματα αυτού του είδους είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι δεδομένες διαφορές:

; κ.λπ. (7.8)

Οι διαφορές υψηλότερων παραγγελιών υπολογίζονται με παρόμοιο τρόπο. Όπως και στην περίπτωση των ισαπεχόντων τιμών ορίσματος, αν φά (Χ) – πολυώνυμο n-ο βαθμός, μετά οι διαφορές nης τάξης είναι σταθερές και οι διαφορές υψηλότερης τάξης είναι ίσες με μηδέν. Σε απλές περιπτώσεις, οι πίνακες μειωμένων διαφορών έχουν μια μορφή παρόμοια με τους πίνακες διαφορών για ίσες απέχουσες τιμές του ορίσματος.

Εκτός από τους εξεταζόμενους τύπους παρεμβολής Newton, χρησιμοποιείται συχνά ο τύπος παρεμβολής Lagrange:

Σε αυτόν τον τύπο, κάθε ένας από τους όρους είναι πολυώνυμο n-ο βαθμό και είναι όλοι ίσοι. Επομένως, δεν μπορείτε να αμελήσετε κανένα από αυτά μέχρι το τέλος των υπολογισμών.

Αντίστροφη παρεμβολή.Στην πράξη, μερικές φορές είναι απαραίτητο να βρεθεί η τιμή του ορίσματος που αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή συνάρτησης. Σε αυτήν την περίπτωση, η αντίστροφη συνάρτηση παρεμβάλλεται και θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι οι διαφορές της συνάρτησης δεν είναι σταθερές και η παρεμβολή πρέπει να πραγματοποιηθεί για άνισα απέχουσες τιμές του ορίσματος, δηλαδή χρησιμοποιήστε τον τύπο (7.8) ή (7.9).

Παρέκταση. Με παρέκτασηονομάζεται υπολογισμός των τιμών μιας συνάρτησης στοεκτός του εύρους των τιμών των επιχειρημάτων Χ, στην οποία ελήφθησαν οι μετρήσεις. Εάν η αναλυτική έκφραση της επιθυμητής συνάρτησης είναι άγνωστη, η παρέκταση πρέπει να γίνει πολύ προσεκτικά, καθώς η συμπεριφορά της συνάρτησης δεν είναι γνωστή στο (Χ) εκτός του διαστήματος μέτρησης. Η παρέκταση επιτρέπεται εάν η πορεία της καμπύλης είναι ομαλή και δεν υπάρχει λόγος να αναμένονται ξαφνικές αλλαγές στην υπό μελέτη διαδικασία. Ωστόσο, η παρέκταση πρέπει να πραγματοποιείται εντός στενών ορίων, για παράδειγμα εντός του βήματος η. Σε πιο απομακρυσμένα σημεία μπορείτε να λάβετε λανθασμένες τιμές στο. Οι ίδιοι τύποι χρησιμοποιούνται για την παρέκταση όπως και για την παρεμβολή. Έτσι, ο πρώτος τύπος του Νεύτωνα χρησιμοποιείται όταν γίνεται παρέκταση προς τα πίσω και ο δεύτερος τύπος του Νεύτωνα χρησιμοποιείται όταν γίνεται παρέκταση προς τα εμπρός. Ο τύπος του Lagrange ισχύει και στις δύο περιπτώσεις. Θα πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη ότι η παρέκταση οδηγεί σε μεγαλύτερα σφάλματα από την παρεμβολή.

Αριθμητική ολοκλήρωση.

Τραπεζοειδής τύπος.Ο τραπεζοειδής τύπος χρησιμοποιείται συνήθως εάν οι τιμές της συνάρτησης μετρώνται για ίσες τιμές του ορίσματος, δηλαδή με σταθερό βήμα. Χρησιμοποιώντας τον τραπεζοειδή κανόνα ως κατά προσέγγιση τιμή του ολοκληρώματος

πάρτε την αξία

, (7.11)

Ρύζι. 7.1. Σύγκριση μεθόδων αριθμητικής ολοκλήρωσης

δηλαδή πιστεύουν. Η γεωμετρική ερμηνεία του τραπεζοειδούς τύπου (βλ. Εικ. 7.1) έχει ως εξής: η περιοχή ενός καμπύλου τραπεζοειδούς αντικαθίσταται από το άθροισμα των περιοχών των ευθύγραμμων τραπεζοειδών. Το συνολικό σφάλμα στον υπολογισμό του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τραπεζοειδή τύπο υπολογίζεται ως το άθροισμα δύο σφαλμάτων: του σφάλματος περικοπής που προκαλείται από την αντικατάσταση του καμπύλου τραπεζοειδούς με ευθύγραμμο και του σφάλματος στρογγυλοποίησης που προκαλείται από σφάλματα στη μέτρηση των τιμών της συνάρτησης. Το σφάλμα περικοπής για τον τραπεζοειδή τύπο είναι

, Οπου . (7.12)

Παραλληλόγραμμοι τύποι.Οι τύποι των ορθογωνίων, όπως και ο τύπος των τραπεζοειδών, χρησιμοποιούνται επίσης στην περίπτωση τιμών ορισμάτων ίσων αποστάσεων. Το κατά προσέγγιση ολοκληρωτικό άθροισμα προσδιορίζεται από έναν από τους τύπους

Η γεωμετρική ερμηνεία των τύπων για τα ορθογώνια δίνεται στο Σχ. 7.1. Το σφάλμα των τύπων (7.13) και (7.14) εκτιμάται από την ανισότητα

, Οπου . (7.15)

Η φόρμουλα του Simpson.Το ολοκλήρωμα καθορίζεται κατά προσέγγιση από τον τύπο

Οπου n- Ζυγός αριθμός. Το σφάλμα του τύπου του Simpson υπολογίζεται από την ανισότητα

, Οπου . (7.17)

Ο τύπος του Simpson δίνει ακριβή αποτελέσματα για την περίπτωση που το ολοκλήρωμα είναι πολυώνυμο δεύτερου ή τρίτου βαθμού.

Αριθμητική ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων.Θεωρήστε τη συνηθισμένη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης στο " = φά (Χ , στο) με την αρχική συνθήκη στο = στο 0 σε Χ = Χ 0 . Απαιτείται να βρεθεί η κατά προσέγγιση λύση του στο = στο (Χ) στο τμήμα [ Χ 0 , Χ κ ].

Ρύζι. 7.2. Γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου του Euler

Για να γίνει αυτό, αυτό το τμήμα χωρίζεται σε nίσα μέρη μήκος ( Χ κ – Χ 0)/n. Εύρεση κατά προσέγγιση τιμών στο 1 , στο 2 , … , στο nλειτουργίες στο (Χ) σε σημεία διαίρεσης Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n = Χ κπραγματοποιούνται με διάφορες μεθόδους.

Μέθοδος διακεκομμένης γραμμής του Euler.Σε μια δεδομένη τιμή στο 0 = στο (Χ 0) άλλες τιμές στο Εγώ στο (Χ Εγώ) υπολογίζονται διαδοχικά χρησιμοποιώντας τον τύπο

, (7.18)

Οπου Εγώ = 0, 1, …, n – 1.

Γραφικά, η μέθοδος του Euler παρουσιάζεται στο Σχ. 7.1, όπου η γραφική παράσταση της λύσης της εξίσωσης στο = στο (Χ) εμφανίζεται περίπου ως διακεκομμένη γραμμή (εξ ου και το όνομα της μεθόδου). Μέθοδος Runge-Kutta.Παρέχει υψηλότερη ακρίβεια σε σύγκριση με τη μέθοδο Euler. Τιμές αναζήτησης στο Εγώυπολογίζονται διαδοχικά χρησιμοποιώντας τον τύπο

, (7.19), όπου,

, , .

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑΣ

Η βιβλιογραφική ανασκόπηση αποτελεί ουσιαστικό μέρος κάθε ερευνητικής έκθεσης. Η ανασκόπηση πρέπει να παρουσιάζει πλήρως και συστηματικά την κατάσταση του ζητήματος, να επιτρέπει την αντικειμενική αξιολόγηση του επιστημονικού και τεχνικού επιπέδου της εργασίας, να επιλέγει σωστά τους τρόπους και τα μέσα για την επίτευξη του στόχου και να αξιολογεί τόσο την αποτελεσματικότητα αυτών των μέσων όσο και την εργασία ως σύνολο. Το αντικείμενο ανάλυσης στην ανασκόπηση θα πρέπει να είναι νέες ιδέες και προβλήματα, πιθανές προσεγγίσεις για την επίλυση αυτών των προβλημάτων, τα αποτελέσματα προηγούμενων μελετών, οικονομικά δεδομένα και πιθανοί τρόποι επίλυσης προβλημάτων. Οι αντικρουόμενες πληροφορίες που περιέχονται σε διάφορες πηγές βιβλιογραφίας πρέπει να αναλύονται και να αξιολογούνται με ιδιαίτερη προσοχή.

Από μια ανάλυση της βιβλιογραφίας θα πρέπει να είναι ξεκάθαρο ότι σε αυτό το στενό θέμα τι είναι γνωστό αρκετά αξιόπιστα, τι είναι αμφίβολο και αμφιλεγόμενο. ποια είναι η προτεραιότητα και οι βασικές εργασίες στο δεδομένο τεχνικό πρόβλημα; πού και πώς να αναζητήσετε τις λύσεις τους.

Ο χρόνος που αφιερώνεται σε μια κριτική λειτουργεί κάπως έτσι:

Η έρευνα έχει πάντα έναν στενό, συγκεκριμένο στόχο. Η ανασκόπηση ολοκληρώνεται αιτιολογώντας την επιλογή του σκοπού και της μεθόδου. Η αναθεώρηση θα πρέπει να προετοιμάσει αυτήν την απόφαση. Από εδώ ακολουθεί το πλάνο του και επιλογή υλικού. Η ανασκόπηση εξετάζει μόνο τόσο στενά ζητήματα που μπορούν να επηρεάσουν άμεσα τη λύση του προβλήματος, αλλά τόσο πλήρως ώστε να καλύπτει σχεδόν όλη τη σύγχρονη βιβλιογραφία για αυτό το ζήτημα.

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗΣ

Στη χώρα μας, οι δραστηριότητες πληροφόρησης βασίζονται στην αρχή της κεντρικής επεξεργασίας των επιστημονικών εγγράφων, η οποία καθιστά δυνατή την πλήρη κάλυψη των πηγών πληροφοριών με το χαμηλότερο κόστος και τη σύνοψη και συστηματοποίησή τους με τον πλέον κατάλληλο τρόπο. Ως αποτέλεσμα αυτής της επεξεργασίας, προετοιμάζονται διάφορες μορφές ενημερωτικών δημοσιεύσεων. Αυτά περιλαμβάνουν:

1) αφηρημένα περιοδικά(RJ) είναι η κύρια δημοσίευση πληροφοριών που περιέχει κυρίως περιλήψεις (μερικές φορές σχολιασμούς και βιβλιογραφικές περιγραφές) πηγών που παρουσιάζουν μεγαλύτερο ενδιαφέρον για την επιστήμη και την πρακτική. Περιληπτικά περιοδικά, τα οποία ειδοποιούν για αναδυόμενη επιστημονική και τεχνική βιβλιογραφία, επιτρέπουν αναδρομικές αναζητήσεις, ξεπερνούν τα γλωσσικά εμπόδια και καθιστούν δυνατή την παρακολούθηση των επιτευγμάτων σε συναφείς τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας.

2) ενημερωτικά δελτία σήματος(SI), που περιλαμβάνουν βιβλιογραφικές περιγραφές βιβλιογραφίας που έχουν δημοσιευτεί σε συγκεκριμένο γνωστικό πεδίο και αποτελούν ουσιαστικά βιβλιογραφικά ευρετήρια. Το κύριο καθήκον τους είναι να ενημερώνουν έγκαιρα για όλη την τελευταία επιστημονική και τεχνική βιβλιογραφία, καθώς αυτές οι πληροφορίες εμφανίζονται πολύ νωρίτερα από ό,τι σε αφηρημένα περιοδικά.

3) εκφράζουν πληροφορίες– ενημερωτικές δημοσιεύσεις που περιέχουν εκτεταμένες περιλήψεις άρθρων, περιγραφές εφευρέσεων και άλλες δημοσιεύσεις και σας επιτρέπουν να μην ανατρέχετε στην αρχική πηγή. Ο σκοπός της ρητή πληροφόρηση είναι η γρήγορη και δίκαιη πλήρης εξοικείωση των ειδικών με τα τελευταία επιτεύγματα της επιστήμης και της τεχνολογίας.

4) αναλυτικές κριτικές– ενημερωτικές δημοσιεύσεις που δίνουν μια ιδέα για την κατάσταση και τις τάσεις ανάπτυξης ενός συγκεκριμένου τομέα (τμήμα, πρόβλημα) της επιστήμης και της τεχνολογίας·

5) αφηρημένες κριτικές– επιδίωξη του ίδιου σκοπού με τις αναλυτικές ανασκοπήσεις, και ταυτόχρονα περισσότερο περιγραφικού χαρακτήρα. Οι συντάκτες των αφηρημένων κριτικών δεν παρέχουν τη δική τους αξιολόγηση των πληροφοριών που περιέχονται σε αυτές.

6) έντυπες κάρτες βιβλιογραφίας, δηλαδή μια πλήρη βιβλιογραφική περιγραφή της πηγής των πληροφοριών. Συγκαταλέγονται στις εκδόσεις σήματος και εκτελούν τις λειτουργίες της ειδοποίησης για νέες δημοσιεύσεις και τις δυνατότητες δημιουργίας καταλόγων και αρχείων καρτών που είναι απαραίτητα για κάθε ειδικό και ερευνητή.

7) σχολιασμένες έντυπες κάρτες βιβλιογραφίας ;

8) βιβλιογραφικά ευρετήρια .

Οι περισσότερες από αυτές τις εκδόσεις διανέμονται επίσης με ατομική συνδρομή. Λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με αυτές μπορείτε να βρείτε στους «Κατάλογοι δημοσιεύσεων επιστημονικών και τεχνικών φορέων πληροφόρησης» που δημοσιεύονται ετησίως.