Jak znaleźć obszar prostokąta przez mnożenie. Jak obliczyć powierzchnię. Proporcje powierzchni podłogi i okna
Począwszy od klasy 5, uczniowie zaczynają zapoznawać się z pojęciem obszarów o różnych kształtach. Szczególną rolę przypisuje się obszarowi prostokąta, ponieważ liczba ta jest jedną z najłatwiejszych do zbadania.
Koncepcje obszaru
Każda figura ma swój własny obszar, a obliczenie pola opiera się na kwadracie jednostkowym, to znaczy kwadracie o długim boku 1 mm lub 1 cm, 1 dm i tak dalej. Pole takiej figury jest równe $1*1 = 1mm^2$, czyli 1cm^2$ itd. Pole z reguły oznacza się literą – S.
Pole pokazuje wielkość części płaszczyzny zajmowanej przez figurę obrysowaną segmentami.
Prostokąt to czworokąt, w którym wszystkie kąty mają ten sam stopień i są równe 90 stopni, a przeciwległe boki są równoległe i równe parami.
Szczególną uwagę należy zwrócić na jednostki miary długości i szerokości. Muszą pasować. Jeśli jednostki nie są zgodne, są one konwertowane. Z reguły przeliczają większą jednostkę na mniejszą, np. jeśli długość jest podana w dm, a szerokość w cm, to dm przelicza się na cm i wynikiem będzie $cm^2$.
Wzór na pole prostokąta
Aby znaleźć pole prostokąta bez wzoru, należy policzyć liczbę kwadratów jednostkowych, na które podzielona jest figura.
Ryż. 1. Prostokąt podzielony na kwadraty jednostkowe
Prostokąt jest podzielony na 15 kwadratów, to znaczy jego pole wynosi 15 cm2. Warto zauważyć, że figura zajmuje 3 kwadraty szerokości i 5 długości, więc aby obliczyć liczbę kwadratów jednostkowych, należy pomnożyć długość przez szerokość. Im mniejszy bok czworokąta jest szerokością, tym dłuższa jest jego długość. W ten sposób możemy wyprowadzić wzór na pole prostokąta:
S = a · b, gdzie a,b to szerokość i długość figury.
Na przykład, jeśli długość prostokąta wynosi 5 cm, a szerokość 4 cm, wówczas powierzchnia będzie równa 4 * 5 = 20 cm 2.
Obliczanie pola prostokąta na podstawie jego przekątnej
Aby obliczyć pole prostokąta przez przekątną, należy zastosować wzór:
$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Jeśli w zadaniu podane są wartości kąta między przekątnymi, a także wartość samej przekątnej, wówczas możesz obliczyć pole prostokąta, korzystając ze wzoru ogólnego na dowolne wypukłe czworoboki.
Przekątna to odcinek łączący przeciwne punkty figury. Przekątne prostokąta są równe, a punkt przecięcia jest podzielony na pół.
Ryż. 2. Prostokąt z narysowanymi przekątnymi
Przykłady
Aby wzmocnić temat, rozważ przykłady zadań:
nr 1. Znajdź powierzchnię działki ogrodowej o tym samym kształcie, co na rysunku.
Ryż. 3. Rysunek problemu
Rozwiązanie:
Aby odjąć powierzchnię, musisz podzielić figurę na dwa prostokąty. Jeden z nich będzie miał wymiary 10 m i 3 m, drugi 5 m i 7 m. Osobno wyznaczamy ich pola:
$S_1 =3*10=30 m^2$;
Będzie to powierzchnia działki $S = 65 m^2$.
Nr 2. Odejmij pole prostokąta, jeśli masz jego przekątną d = 6 cm i kąt między przekątnymi α = 30 0.
Rozwiązanie:
Wartość $sin 30 =(1\over(2)) $,
$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\nad(2)) * 6^2 * (1\nad(2)) =9 cm^2$
Zatem $S=9 cm^2$.
Przekątne dzielą prostokąt na 4 kształty - 4 trójkąty. W tym przypadku trójkąty są równe parami. Jeśli narysujesz przekątną w prostokącie, podzieli ona figurę na dwa równe trójkąty prostokątne.
Przekątne nie są dwusiecznymi narożników prostokąta. A także jeśli narysujesz dwusieczne każdego kąta, to kiedy się przetną, otrzymasz prostokąt.
Czego się nauczyliśmy?
Nauczyliśmy się, jak znaleźć pole prostokąta. W zależności od danych początkowych stosuje się jedną lub inną formułę znajdowania obszaru. Warto też pamiętać, że jeśli zadanie ma różne jednostki miary boków, należy je przeliczyć na jedną.
Testuj w temacie
Ocena artykułu
Średnia ocena: 4.4. Łączna liczba otrzymanych ocen: 292.
Prostokąt jest szczególnym przypadkiem czworokąta. Oznacza to, że prostokąt ma cztery boki. Jego przeciwne boki są równe: na przykład, jeśli jeden z jego boków ma 10 cm, to przeciwny bok również będzie równy 10 cm Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat. Kwadrat to prostokąt mający wszystkie boki równe. Aby obliczyć pole kwadratu, możesz użyć tego samego algorytmu, co przy obliczaniu pola prostokąta.
Jak znaleźć pole prostokąta na podstawie dwóch boków
Aby znaleźć pole prostokąta, należy pomnożyć jego długość przez szerokość: Powierzchnia = Długość × Szerokość. W przypadku podanym poniżej: Pole = AB × BC.
Jak znaleźć obszar prostokąta według boku i długości przekątnej
Niektóre problemy wymagają znalezienia pola prostokąta na podstawie długości przekątnej i jednego z boków. Przekątna prostokąta dzieli go na dwa równe trójkąty prostokątne. Dlatego możemy wyznaczyć drugi bok prostokąta za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Następnie zadanie zostaje zredukowane do poprzedniego punktu.
Jak znaleźć pole prostokąta według jego obwodu i boku
Obwód prostokąta to suma wszystkich jego boków. Jeśli znasz obwód prostokąta i jeden bok (np. szerokość), możesz obliczyć pole prostokąta, korzystając z następującego wzoru:
Powierzchnia = (Obwód×szerokość – szerokość^2)/2.
Pole prostokąta przechodzące przez sinus kąta ostrego między przekątnymi i długość przekątnej
Przekątne w prostokącie są równe, więc aby obliczyć pole na podstawie długości przekątnej i sinusa kąta ostrego między nimi, należy skorzystać ze wzoru: Pole = Przekątna^2 × sin(kąt ostry między przekątnymi )/2.
Pole prostokąta może nie brzmi arogancko, ale jest to ważne pojęcie. W życiu codziennym stale się z tym spotykamy. Dowiedz się o wielkości pól, ogródków warzywnych, oblicz ilość farby potrzebnej do wybielenia sufitu, ile tapety będzie potrzebne do wklejenia
pieniądze i nie tylko.
Figura geometryczna
Najpierw porozmawiajmy o prostokącie. Jest to figura na płaszczyźnie, która ma cztery kąty proste i jej przeciwległe boki są równe. Jego boki są zwykle nazywane długością i szerokością. Mierzy się je w milimetrach, centymetrach, decymetrach, metrach itp. Teraz odpowiemy na pytanie: „Jak znaleźć pole prostokąta?” Aby to zrobić, musisz pomnożyć długość przez szerokość.
Powierzchnia=długość*szerokość
Ale jeszcze jedno zastrzeżenie: długość i szerokość muszą być wyrażone w tych samych jednostkach miary, czyli metrze i metrze, a nie metrze i centymetrze. Pole zapisuje się łacińską literą S. Dla wygody oznaczmy długość łacińską literą b, a szerokość łacińską literą a, jak pokazano na rysunku. Z tego wnioskujemy, że jednostką powierzchni jest mm 2, cm 2, m 2 itd.
Spójrzmy na konkretny przykład, jak znaleźć obszar prostokąta. Długość b=10 jednostek. Szerokość a=6 jednostek. Rozwiązanie: S=a*b, S=10 jednostek*6 jednostek, S=60 jednostek 2. Zadanie. Jak znaleźć pole prostokąta, jeśli jego długość jest 2 razy większa od szerokości i wynosi 18 m? Rozwiązanie: jeśli b=18 m, to a=b/2, a=9 m. Jak znaleźć pole prostokąta, jeśli znane są oba boki? Zgadza się, podstaw to do wzoru. S=a*b, S=18*9, S=162 m 2. Odpowiedź: 162 m2. Zadanie. Ile rolek tapety należy kupić do pokoju, jeśli jego wymiary to: długość 5,5 m, szerokość 3,5 i wysokość 3 m? Wymiary rolki tapety: długość 10 m, szerokość 50 cm Rozwiązanie: wykonaj rysunek pomieszczenia.
Pola przeciwnych stron są równe. Obliczmy powierzchnię ściany o wymiarach 5,5 m i 3 m. S ściana 1 = 5,5 * 3,
Ściana S 1 = 16,5 m 2. Zatem przeciwległa ściana ma powierzchnię 16,5 m2. Znajdźmy obszar kolejnych dwóch ścian. Ich boki wynoszą odpowiednio 3,5 m i 3 m. S ściana 2 = 3,5 * 3, S ściana 2 = 10,5 m 2. Oznacza to, że strona przeciwna również wynosi 10,5 m2. Dodajmy wszystkie wyniki. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Jak obliczyć pole prostokąta, jeśli boki są wyrażone w różnych jednostkach miary. Wcześniej liczyliśmy powierzchnie w m2 i w tym przypadku skorzystamy z metrów. Wtedy szerokość rolki tapety będzie równa 0,5 m. Rolka S = 10 * 0,5, rolka S = 5 m 2. Teraz dowiemy się, ile rolek potrzeba do pokrycia pokoju. 54:5=10,8 (bułki). Ponieważ są one mierzone w liczbach całkowitych, musisz kupić 11 rolek tapety. Odpowiedź: 11 rolek tapety. Zadanie. Jak obliczyć pole prostokąta, jeśli wiadomo, że szerokość jest o 3 cm krótsza od długości, a suma boków prostokąta wynosi 14 cm? Rozwiązanie: niech długość będzie wynosić x cm, wtedy szerokość będzie wynosić (x-3) cm x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm - długość prostokąta, 5-3=2 cm - szerokość prostokąta, S=5*2, S=10 cm 2 Odpowiedź: 10 cm 2.
Streszczenie
Po zapoznaniu się z przykładami mam nadzieję, że stało się jasne, jak znaleźć obszar prostokąta. Przypomnę, że jednostki miary długości i szerokości muszą się zgadzać, w przeciwnym razie otrzymasz błędny wynik.Aby uniknąć błędów, przeczytaj uważnie zadanie. Czasami jedną stronę można wyrazić poprzez drugą stronę, nie bój się. Proszę zapoznać się z naszymi rozwiązanymi problemami, jest całkiem możliwe, że mogą pomóc. Ale przynajmniej raz w życiu stajemy przed zadaniem znalezienia pola prostokąta.
jest równoległobokiem, w którym wszystkie kąty są równe 90°, a przeciwległe boki są równoległe i równe parami.
Prostokąt ma kilka niezaprzeczalnych właściwości, które są wykorzystywane przy rozwiązywaniu wielu problemów, we wzorach na pole prostokąta i jego obwód. Tutaj są:
Długość nieznanego boku lub przekątnej prostokąta oblicza się za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Pole prostokąta można obliczyć na dwa sposoby - przez iloczyn jego boków lub ze wzoru na pole prostokąta przez przekątną. Pierwsza i najprostsza formuła wygląda następująco:
Przykład obliczenia pola prostokąta za pomocą tego wzoru jest bardzo prosty. Znając dwa boki np. a = 3 cm, b = 5 cm, możemy łatwo obliczyć pole prostokąta:
Odkrywamy, że w takim prostokącie powierzchnia będzie równa 15 metrów kwadratowych. cm.
Pole prostokąta przez przekątne
Czasami trzeba zastosować wzór na pole prostokąta przechodzącego przez przekątne. Wymaga to nie tylko ustalenia długości przekątnych, ale także kąta między nimi:
Spójrzmy na przykład obliczenia pola prostokąta za pomocą przekątnych. Niech dany będzie prostokąt o przekątnej d = 6 cm i kącie = 30°. Podstawiamy dane do znanego już wzoru:
Zatem przykład obliczenia pola prostokąta przez przekątną pokazał nam, że znalezienie pola w ten sposób, jeśli podany jest kąt, jest dość proste.
Przyjrzyjmy się innemu ciekawemu problemowi, który pomoże nam trochę rozciągnąć mózg.
Zadanie: Biorąc pod uwagę kwadrat. Jego powierzchnia wynosi 36 metrów kwadratowych. cm Znajdź obwód prostokąta, którego jeden bok ma długość 9 cm i którego pole jest takie samo jak kwadrat podany powyżej.
Mamy więc kilka warunków. Dla przejrzystości zapiszmy je, aby zobaczyć wszystkie znane i nieznane parametry: 
Boki figury są równoległe i równe parami. Dlatego obwód figury jest równy dwukrotności sumy długości boków:
Ze wzoru na pole prostokąta, które jest równe iloczynowi dwóch boków figury, znajdujemy długość boku b
Stąd:
Podstawiamy znane dane i znajdujemy długość boku b:
Oblicz obwód figury: 
W ten sposób, znając kilka prostych wzorów, możesz obliczyć obwód prostokąta, znając jego pole.
Zapoznaliśmy się już z tą koncepcją obszar figury, nauczyłem się jednej z jednostek miary powierzchni - centymetr kwadratowy. W tej lekcji wyprowadzimy regułę obliczania pola prostokąta.
Wiemy już, jak znaleźć obszar liczb podzielonych na centymetry kwadratowe.
Na przykład:
Możemy ustalić, że pole pierwszej figury wynosi 8 cm 2, pole drugiej figury wynosi 7 cm 2.
Jak znaleźć pole prostokąta, którego boki mają długość 3 cm i 4 cm?
Aby rozwiązać problem, dzielimy prostokąt na 4 paski po 3 cm 2 każdy.
Wtedy powierzchnia prostokąta będzie równa 3 * 4 = 12 cm 2.
Ten sam prostokąt można podzielić na 3 paski po 4 cm2 każdy.
Wtedy powierzchnia prostokąta będzie równa 4 * 3 = 12 cm 2.
W obu przypadkach Aby znaleźć pole prostokąta, mnoży się liczby wyrażające długości boków prostokąta.
Znajdź obszar każdego prostokąta.
Rozważmy prostokąt AKMO.
W jednym pasku jest 6 cm 2, a w tym prostokącie są 2 takie paski. Oznacza to, że możemy wykonać następującą czynność:
Liczba 6 oznacza długość prostokąta, a 2 oznacza szerokość prostokąta. Więc pomnożyliśmy boki prostokąta, aby znaleźć pole prostokąta.
Rozważmy prostokąt KDCO.
W prostokącie KDCO w jednym pasku jest 2 cm 2, a takich pasków są 3. W związku z tym możemy wykonać akcję
Liczba 3 oznacza długość prostokąta, a 2 szerokość prostokąta. Pomnożyliśmy je i obliczyliśmy obszar prostokąta.
Możemy stwierdzić: Aby znaleźć pole prostokąta, nie trzeba za każdym razem dzielić figury na centymetry kwadratowe.
Aby obliczyć pole prostokąta, musisz znaleźć jego długość i szerokość (długości boków prostokąta muszą być wyrażone w tych samych jednostkach miary), a następnie obliczyć iloczyn uzyskanych liczb (obszar zostanie wyrażona w odpowiednich jednostkach powierzchni)
Podsumujmy: Pole prostokąta jest równe iloczynowi jego długości i szerokości.
Rozwiąż problem.
Oblicz pole prostokąta, jeśli długość prostokąta wynosi 9 cm, a szerokość 2 cm.
Pomyślmy tak. W tym zadaniu znana jest zarówno długość, jak i szerokość prostokąta. Dlatego kierujemy się zasadą: pole prostokąta jest równe iloczynowi jego długości i szerokości.
Zapiszmy rozwiązanie.
Odpowiedź: pole prostokąta 18 cm 2
Jak myślisz, jakie inne długości boków prostokąta o takim polu?
Możesz tak myśleć. Ponieważ pole jest iloczynem długości boków prostokąta, należy pamiętać o tabliczce mnożenia. Jakie liczby należy pomnożyć, aby otrzymać odpowiedź 18?
Zgadza się, mnożąc 6 i 3, również otrzymasz 18. Oznacza to, że prostokąt może mieć boki 6 cm i 3 cm, a jego pole również będzie równe 18 cm 2.
Rozwiąż problem.
Długość prostokąta wynosi 8 cm, a szerokość 2 cm. Znajdź jego pole i obwód.
Znamy długość i szerokość prostokąta. Należy pamiętać, że aby znaleźć pole, należy znaleźć iloczyn jego długości i szerokości, a aby znaleźć obwód, należy pomnożyć sumę długości i szerokości przez dwa.
Zapiszmy rozwiązanie.
Odpowiedź: Pole prostokąta wynosi 16 cm2, a obwód prostokąta wynosi 20 cm.
Rozwiąż problem.
Długość prostokąta wynosi 4 cm, a szerokość 3 cm. Jakie jest pole trójkąta? (widzieć zdjęcie)
Aby odpowiedzieć na pytanie w zadaniu, musisz najpierw znaleźć obszar prostokąta. Wiemy, że w tym celu musimy pomnożyć długość przez szerokość.
Spójrz na rysunek. Czy zauważyłeś, jak przekątna podzieliła prostokąt na dwa równe trójkąty? Dlatego pole jednego trójkąta jest 2 razy mniejsze niż pole prostokąta. Oznacza to, że 12 należy podzielić na pół.
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 6 cm 2.
Dziś na zajęciach poznaliśmy zasadę obliczania pola prostokąta i nauczyliśmy się stosować tę regułę przy rozwiązywaniu problemów ze znalezieniem pola prostokąta.
1. M.I.Moro, M.A.Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Klasa III: w 2 częściach, część 1. M., „Oświecenie”, 2012.
2. M.I.Moro, M.A.Bantova i inni Matematyka: Podręcznik. Klasa III: w 2 częściach, część 2. M., „Oświecenie”, 2012.
3. M.I.Moro. Lekcje matematyki: Zalecenia metodyczne dla nauczycieli. 3. klasa. - M.: Edukacja, 2012.
4. Dokument regulacyjny. Monitorowanie i ewaluacja efektów uczenia się. M., „Oświecenie”, 2011.
5. „Szkoła Rosji”: Programy dla szkół podstawowych. - M.: „Oświecenie”, 2011.
6. S.I. Volkova. Matematyka: Arkusze testowe. 3. klasa. - M.: Edukacja, 2012.
7. V.N.Rudnitskaya. Testy. M., „Egzamin”, 2012 (127 s.)
2. Wydawnictwo „Prosveshcheniye” ()
1. Długość prostokąta wynosi 7 cm, szerokość 4 cm Znajdź obszar prostokąta.
2. Bok kwadratu wynosi 5 cm Znajdź pole kwadratu.
3. Narysuj możliwe opcje prostokątów o powierzchni 18 cm 2.
4. Utwórz zadanie na temat lekcji dla swoich znajomych.