Οδηγίες

Σημείωση:Το π γράφεται ως pi. τετραγωνική ρίζα ως sqrt().

Βήμα 1.Εισαγάγετε ένα δεδομένο παράδειγμα που αποτελείται από κλάσματα.

Βήμα 2.Κάντε κλικ στο κουμπί «Επίλυση».

Βήμα 3.Λάβετε αναλυτικά αποτελέσματα.

Για να βεβαιωθείτε ότι η αριθμομηχανή υπολογίζει σωστά τα κλάσματα, εισαγάγετε το κλάσμα που χωρίζεται με το σύμβολο "/". Για παράδειγμα: . Η αριθμομηχανή θα υπολογίσει την εξίσωση και θα δείξει ακόμη και στο γράφημα γιατί προέκυψε αυτό το αποτέλεσμα.

Τι είναι μια εξίσωση με κλάσματα

Μια κλασματική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία οι συντελεστές είναι κλασματικοί αριθμοί. Οι γραμμικές εξισώσεις με κλάσματα επιλύονται σύμφωνα με το τυπικό σχήμα: οι άγνωστοι μεταφέρονται στη μία πλευρά και οι γνωστοί στην άλλη.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Τα κλάσματα με άγνωστα μεταφέρονται στα αριστερά και τα άλλα κλάσματα στα δεξιά. Όταν οι αριθμοί μεταφέρονται πέρα ​​από το πρόσημο ίσου, τότε το πρόσημο των αριθμών αλλάζει στο αντίθετο:

Τώρα χρειάζεται μόνο να εκτελέσετε τις ενέργειες και των δύο πλευρών της ισότητας:

Το αποτέλεσμα είναι μια συνηθισμένη γραμμική εξίσωση. Τώρα πρέπει να διαιρέσετε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με τον συντελεστή της μεταβλητής.

Λύστε εξισώσεις με κλάσματα διαδικτυακάενημερώθηκε: 7 Οκτωβρίου 2018 από: Επιστημονικά άρθρα.Ru

Ας αναλύσουμε δύο τύπους λύσεων σε συστήματα εξισώσεων:

1. Επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο της αντικατάστασης.
2. Επίλυση του συστήματος με όρο προς όρο πρόσθεση (αφαίρεση) των εξισώσεων του συστήματος.

Για να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων με μέθοδο αντικατάστασηςπρέπει να ακολουθήσετε έναν απλό αλγόριθμο:
1. Εξπρές. Από οποιαδήποτε εξίσωση εκφράζουμε μία μεταβλητή.
2. Υποκατάστατο. Αντικαθιστούμε την τιμή που προκύπτει με μια άλλη εξίσωση αντί της εκφρασμένης μεταβλητής.
3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή. Βρίσκουμε μια λύση στο σύστημα.

Για να λύσω σύστημα με τη μέθοδο της πρόσθεσης (αφαίρεσης).Χρειάζομαι:
1. Επιλέξτε μια μεταβλητή για την οποία θα κάνουμε πανομοιότυπους συντελεστές.
2. Προσθέτουμε ή αφαιρούμε εξισώσεις, με αποτέλεσμα μια εξίσωση με μία μεταβλητή.
3. Λύστε τη γραμμική εξίσωση που προκύπτει. Βρίσκουμε μια λύση στο σύστημα.

Η λύση στο σύστημα είναι τα σημεία τομής των γραφημάτων συναρτήσεων.

Ας εξετάσουμε λεπτομερώς τη λύση των συστημάτων χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παράδειγμα #1:

Ας λύσουμε με τη μέθοδο αντικατάστασης

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο της αντικατάστασης

2x+5y=1 (1 εξίσωση)
x-10y=3 (2η εξίσωση)

1. Εξπρές
Μπορεί να φανεί ότι στη δεύτερη εξίσωση υπάρχει μια μεταβλητή x με συντελεστή 1, που σημαίνει ότι είναι ευκολότερο να εκφραστεί η μεταβλητή x από τη δεύτερη εξίσωση.
x=3+10y

2. Αφού το εκφράσουμε, αντικαθιστούμε το 3+10y στην πρώτη εξίσωση αντί της μεταβλητής x.
2(3+10y)+5y=1

3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει με μία μεταβλητή.
2(3+10y)+5y=1 (ανοίξτε τις αγκύλες)
6+20ε+5ε=1
25ε=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Η λύση στο σύστημα εξισώσεων είναι τα σημεία τομής των γραφημάτων, επομένως πρέπει να βρούμε τα x και y, γιατί το σημείο τομής αποτελείται από x και y. Ας βρούμε το x, στο πρώτο σημείο που το εκφράσαμε αντικαθιστούμε το y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Συνηθίζεται να γράφουμε σημεία στην πρώτη θέση γράφουμε τη μεταβλητή x και στη δεύτερη τη μεταβλητή y.
Απάντηση: (1; -0,2)

Παράδειγμα #2:

Ας λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της πρόσθεσης (αφαίρεσης) όρο προς όρο.

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο της πρόσθεσης

3x-2y=1 (1 εξίσωση)
2x-3y=-10 (2η εξίσωση)

1. Επιλέγουμε μια μεταβλητή, ας πούμε ότι επιλέγουμε x. Στην πρώτη εξίσωση, η μεταβλητή x έχει συντελεστή 3, στη δεύτερη - 2. Πρέπει να κάνουμε τους συντελεστές ίδιους, για αυτό έχουμε το δικαίωμα να πολλαπλασιάσουμε τις εξισώσεις ή να διαιρέσουμε με οποιονδήποτε αριθμό. Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 2 και τη δεύτερη με 3 και παίρνουμε συνολικό συντελεστή 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση για να απαλλαγείτε από τη μεταβλητή x. Λύστε τη γραμμική εξίσωση.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Βρείτε το x. Αντικαθιστούμε το y που βρέθηκε σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις, ας πούμε στην πρώτη εξίσωση.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Το σημείο τομής θα είναι x=4,6; y=6,4
Απάντηση: (4.6; 6.4)

Θέλετε να προετοιμαστείτε για εξετάσεις δωρεάν; Δάσκαλος σε απευθείας σύνδεση δωρεάν. Δεν αστειεύομαι.

Εξισώσεις

Πώς να λύσετε εξισώσεις;

Σε αυτή την ενότητα θα ανακαλέσουμε (ή θα μελετήσουμε, ανάλογα με το ποιον θα επιλέξετε) τις πιο στοιχειώδεις εξισώσεις. Ποια είναι λοιπόν η εξίσωση; Στην ανθρώπινη γλώσσα, αυτό είναι κάποιο είδος μαθηματικής έκφρασης όπου υπάρχει πρόσημο ίσου και άγνωστο. Το οποίο συνήθως δηλώνεται με το γράμμα "Χ". Λύστε την εξίσωση- αυτό είναι για να βρούμε τέτοιες τιμές του x που, όταν αντικαθίστανται σε πρωτότυποη έκφραση θα μας δώσει τη σωστή ταυτότητα. Να υπενθυμίσω ότι η ταυτότητα είναι μια έκφραση που δεν αμφισβητείται ακόμη και για έναν άνθρωπο που δεν επιβαρύνεται απολύτως με μαθηματικές γνώσεις. Όπως 2=2, 0=0, ab=ab, κ.λπ. Πώς να λύσετε λοιπόν εξισώσεις;Ας το καταλάβουμε.

Υπάρχουν όλων των ειδών οι εξισώσεις (είμαι έκπληκτος, σωστά;). Αλλά όλη η άπειρη ποικιλία τους μπορεί να χωριστεί μόνο σε τέσσερις τύπους.

4. Αλλα.)

Όλα τα υπόλοιπα, φυσικά, κυρίως, ναι...) Αυτό περιλαμβάνει κυβικά, εκθετικά, λογαριθμικά, τριγωνομετρικά και κάθε λογής άλλα. Θα συνεργαστούμε στενά μαζί τους στις κατάλληλες ενότητες.

Θα πω αμέσως ότι μερικές φορές οι εξισώσεις των τριών πρώτων τύπων είναι τόσο μπερδεμένες που δεν θα τις αναγνωρίσεις καν... Τίποτα. Θα μάθουμε πώς να τα ξετυλίγουμε.

Και γιατί χρειαζόμαστε αυτούς τους τέσσερις τύπους; Και μετά τι γραμμικές εξισώσειςλυθεί με έναν τρόπο τετράγωνοοι υπολοιποι, κλασματικά λογικά - τρίτο,ΕΝΑ υπόλοιποΔεν τολμούν καθόλου! Λοιπόν, δεν είναι ότι δεν μπορούν να αποφασίσουν καθόλου, είναι ότι έκανα λάθος με τα μαθηματικά.) Απλώς έχουν τις δικές τους ειδικές τεχνικές και μεθόδους.

Αλλά για οποιοδήποτε (επαναλαμβάνω - για όποιος!) οι εξισώσεις παρέχουν μια αξιόπιστη και ασφαλή βάση για την επίλυση. Λειτουργεί παντού και πάντα. Αυτό το foundation - Ακούγεται τρομακτικό, αλλά είναι πολύ απλό. Και πολύ (Πολύ!)σπουδαίος.

Στην πραγματικότητα, η λύση της εξίσωσης αποτελείται από αυτούς ακριβώς τους μετασχηματισμούς. 99% Απάντηση στην ερώτηση: " Πώς να λύσετε εξισώσεις;" βρίσκεται ακριβώς σε αυτούς τους μετασχηματισμούς. Είναι σαφής η υπόδειξη;)

Πανομοιότυποι μετασχηματισμοί εξισώσεων.

ΣΕ τυχόν εξισώσειςΓια να βρείτε το άγνωστο, πρέπει να μεταμορφώσετε και να απλοποιήσετε το αρχικό παράδειγμα. Και έτσι ώστε όταν αλλάζει η εμφάνιση η ουσία της εξίσωσης δεν έχει αλλάξει.Τέτοιοι μετασχηματισμοί ονομάζονται πανομοιότυποή ισοδύναμο.

Σημειώστε ότι αυτοί οι μετασχηματισμοί ισχύουν συγκεκριμένα στις εξισώσεις.Υπάρχουν επίσης μετασχηματισμοί ταυτότητας στα μαθηματικά εκφράσεις.Αυτό είναι άλλο θέμα.

Τώρα θα επαναλάβουμε όλα, όλα, όλα τα βασικά πανομοιότυποι μετασχηματισμοί εξισώσεων.

Βασικά γιατί μπορούν να εφαρμοστούν όποιοςεξισώσεις - γραμμικές, τετραγωνικές, κλασματικές, τριγωνομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές κ.λπ. και ούτω καθεξής.

Πρώτος μετασχηματισμός ταυτότητας: μπορείτε να προσθέσετε (αφαίρεση) και στις δύο πλευρές οποιασδήποτε εξίσωσης όποιος(αλλά ένας και ο ίδιος!) αριθμός ή έκφραση (συμπεριλαμβανομένης μιας έκφρασης με άγνωστο!). Αυτό δεν αλλάζει την ουσία της εξίσωσης.

Παρεμπιπτόντως, χρησιμοποιούσες συνεχώς αυτόν τον μετασχηματισμό, απλά νόμιζες ότι μεταφέρεις κάποιους όρους από το ένα μέρος της εξίσωσης στο άλλο με αλλαγή πρόσημου. Τύπος:

Η υπόθεση είναι γνωστή, μετακινούμε τα δύο προς τα δεξιά και παίρνουμε:

Στην πραγματικότητα εσύ τα πήρανκαι από τις δύο πλευρές της εξίσωσης είναι δύο. Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο:

x+2 - 2 = 3 - 2

Η μετακίνηση όρων αριστερά και δεξιά με αλλαγή πρόσημου είναι απλώς μια συντομευμένη εκδοχή του πρώτου μετασχηματισμού ταυτότητας. Και γιατί χρειαζόμαστε τόσο βαθιά γνώση; - εσύ ρωτάς. Τίποτα στις εξισώσεις. Για όνομα του Θεού, άντεξε. Απλώς μην ξεχάσετε να αλλάξετε το σήμα. Αλλά στις ανισότητες, η συνήθεια της μεταβίβασης μπορεί να οδηγήσει σε αδιέξοδο...

Δεύτερος μετασχηματισμός ταυτότητας: και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν να πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με το ίδιο πράγμα μη μηδενικόαριθμός ή έκφραση. Εδώ εμφανίζεται ήδη ένας κατανοητός περιορισμός: ο πολλαπλασιασμός με το μηδέν είναι ανόητος και η διαίρεση είναι εντελώς αδύνατη. Αυτός είναι ο μετασχηματισμός που χρησιμοποιείτε όταν λύνετε κάτι ωραίο όπως

Είναι σαφές Χ= 2. Πώς το βρήκατε; Με επιλογή; Ή σας ξημέρωσε; Για να μην επιλέξετε και να μην περιμένετε για διορατικότητα, πρέπει να καταλάβετε ότι είστε δίκαιοι διαιρούνται και οι δύο πλευρές της εξίσωσηςμε το 5. Κατά τη διαίρεση της αριστερής πλευράς (5x), το πέντε μειώθηκε, αφήνοντας καθαρό Χ. Αυτό ακριβώς που χρειαζόμασταν. Και όταν διαιρούμε τη δεξιά πλευρά του (10) με πέντε, το αποτέλεσμα είναι, φυσικά, δύο.

Αυτό είναι όλο.

Είναι αστείο, αλλά αυτοί οι δύο (μόνο δύο!) πανομοιότυποι μετασχηματισμοί είναι η βάση της λύσης όλες οι εξισώσεις των μαθηματικών.Ουάου! Είναι λογικό να δούμε παραδείγματα για το τι και πώς, σωστά;)

Παραδείγματα πανομοιότυπων μετασχηματισμών εξισώσεων. Κύρια προβλήματα.

Ας ξεκινήσουμε με πρώταμετασχηματισμός ταυτότητας. Μεταφορά αριστερά-δεξιά.

Παράδειγμα για τους νεότερους.)

Ας πούμε ότι πρέπει να λύσουμε την ακόλουθη εξίσωση:

3-2x=5-3x

Ας θυμηθούμε το ξόρκι: "με Χ - προς τα αριστερά, χωρίς Χ - προς τα δεξιά!"Αυτό το ξόρκι είναι οδηγίες για τη χρήση του πρώτου μετασχηματισμού ταυτότητας.) Ποια έκφραση με ένα Χ βρίσκεται στα δεξιά; 3x? Η απάντηση είναι λάθος! Στα δεξιά μας - 3x! Μείοντρία x! Επομένως, όταν μετακινείστε προς τα αριστερά, το πρόσημο θα αλλάξει σε συν. Θα αποδειχθεί:

3-2x+3x=5

Έτσι, τα X μαζεύτηκαν σε ένα σωρό. Ας μπούμε στα νούμερα. Υπάρχει ένα τρία στα αριστερά. Με τι σημάδι; Η απάντηση «με κανένα» δεν γίνεται δεκτή!) Μπροστά στα τρία, πράγματι, δεν τραβάει τίποτα. Και αυτό σημαίνει ότι πριν από τα τρία υπάρχει συν.Έτσι οι μαθηματικοί συμφώνησαν. Δεν γράφεται τίποτα, που σημαίνει συν.Επομένως, το τριπλό θα μεταφερθεί στη δεξιά πλευρά με ένα μείον.Παίρνουμε:

-2x+3x=5-3

Έχουν μείνει απλά μικροπράγματα. Στα αριστερά - φέρτε παρόμοια, στα δεξιά - μετρήστε. Η απάντηση έρχεται αμέσως:

Σε αυτό το παράδειγμα, αρκούσε ένας μετασχηματισμός ταυτότητας. Το δεύτερο δεν χρειαζόταν. Καλά εντάξει.)

Ένα παράδειγμα για μεγαλύτερα παιδιά.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Επίλυση εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Τι συνέβη εκθετική εξίσωση? Αυτή είναι μια εξίσωση στην οποία βρίσκονται οι άγνωστοι (x) και οι εκφράσεις μαζί τους δείκτεςκάποιους βαθμούς. Και μόνο εκεί! Είναι σημαντικό.

Εδώ είσαι παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων:

3 x 2 x = 8 x+3

Σημείωση! Στις βάσεις των μοιρών (κάτω) - μόνο αριθμοί. ΣΕ δείκτεςμοίρες (παραπάνω) - μια μεγάλη ποικιλία εκφράσεων με Χ. Εάν, ξαφνικά, εμφανιστεί ένα Χ στην εξίσωση κάπου εκτός από έναν δείκτη, για παράδειγμα:

αυτή θα είναι ήδη μια εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις δεν έχουν σαφείς κανόνες για την επίλυσή τους. Δεν θα τα εξετάσουμε προς το παρόν. Εδώ θα ασχοληθούμε επίλυση εκθετικών εξισώσεωνστην πιο αγνή του μορφή.

Στην πραγματικότητα, ακόμη και οι καθαρές εκθετικές εξισώσεις δεν λύνονται πάντα καθαρά. Υπάρχουν όμως ορισμένοι τύποι εκθετικών εξισώσεων που μπορούν και πρέπει να λυθούν. Αυτοί είναι οι τύποι που θα εξετάσουμε.

Επίλυση απλών εκθετικών εξισώσεων.

Αρχικά, ας λύσουμε κάτι πολύ βασικό. Για παράδειγμα:

Ακόμη και χωρίς θεωρίες, με απλή επιλογή είναι σαφές ότι x = 2. Τίποτα περισσότερο, σωστά! Καμία άλλη αξία του Χ δεν λειτουργεί. Τώρα ας δούμε τη λύση αυτής της δύσκολης εκθετικής εξίσωσης:

Τι καναμε? Στην πραγματικότητα, απλώς πετάξαμε τις ίδιες βάσεις (τριπλές). Εντελώς πεταμένο. Και, τα καλά νέα είναι ότι χτυπήσαμε το καρφί στο κεφάλι!

Πράγματι, αν σε μια εκθετική εξίσωση υπάρχουν αριστερά και δεξιά το ίδιοαριθμοί σε οποιεσδήποτε δυνάμεις, αυτοί οι αριθμοί μπορούν να αφαιρεθούν και οι εκθέτες μπορούν να εξισωθούν. Τα μαθηματικά επιτρέπουν. Μένει να λύσουμε μια πολύ απλούστερη εξίσωση. Τέλεια, σωστά;)

Ωστόσο, ας θυμηθούμε σταθερά: Μπορείτε να αφαιρέσετε βάσεις μόνο όταν οι αριθμοί βάσης αριστερά και δεξιά βρίσκονται σε εξαιρετική απομόνωση!Χωρίς γείτονες και συντελεστές. Ας πούμε στις εξισώσεις:

2 x +2 x+1 = 2 3, ή

δύο δεν μπορούν να αφαιρεθούν!

Λοιπόν, έχουμε κατακτήσει το πιο σημαντικό πράγμα. Πώς να μετακινηθείτε από τις κακές εκθετικές εκφράσεις σε απλούστερες εξισώσεις.

«Είναι καιροί!» - λες. «Ποιος θα έδινε ένα τόσο πρωτόγονο μάθημα για τεστ και εξετάσεις!;»

Πρέπει να συμφωνήσω. Κανείς δεν θα το κάνει. Αλλά τώρα ξέρετε πού να στοχεύσετε όταν λύνετε δύσκολα παραδείγματα. Πρέπει να μεταφερθεί στη φόρμα όπου ο ίδιος αριθμός βάσης βρίσκεται αριστερά και δεξιά. Τότε όλα θα είναι πιο εύκολα. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι ένα κλασικό των μαθηματικών. Παίρνουμε το αρχικό παράδειγμα και το μετατρέπουμε στο επιθυμητό μαςμυαλό. Σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, φυσικά.

Ας δούμε παραδείγματα που απαιτούν κάποια πρόσθετη προσπάθεια για να τα μειώσουμε στο απλούστερο. Ας τους φωνάξουμε απλές εκθετικές εξισώσεις.

Επίλυση απλών εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, οι κύριοι κανόνες είναι δράσεις με πτυχία.Χωρίς γνώση αυτών των ενεργειών τίποτα δεν θα λειτουργήσει.

Στις ενέργειες με βαθμούς, πρέπει κανείς να προσθέσει προσωπική παρατηρητικότητα και ευρηματικότητα. Χρειαζόμαστε τους ίδιους αριθμούς βάσης; Τα αναζητούμε λοιπόν στο παράδειγμα σε ρητή ή κρυπτογραφημένη μορφή.

Ας δούμε πώς γίνεται αυτό στην πράξη;

Ας μας δοθεί ένα παράδειγμα:

2 2x - 8 x+1 = 0

Η πρώτη ζωηρή ματιά είναι λόγους.Αυτοί... Είναι διαφορετικοί! Δύο και οκτώ. Αλλά είναι πολύ νωρίς για να αποθαρρυνθούμε. Ήρθε η ώρα να το θυμάστε αυτό

Δύο και οκτώ είναι συγγενείς στο βαθμό.) Είναι πολύ πιθανό να γράψουμε:

8 x+1 = (2 3) x+1

Αν θυμηθούμε τον τύπο από πράξεις με βαθμούς:

(a n) m = a nm,

αυτό λειτουργεί υπέροχα:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Το αρχικό παράδειγμα άρχισε να μοιάζει με αυτό:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Μεταφέρουμε 2 3 (x+1)προς τα δεξιά (κανείς δεν έχει ακυρώσει τις στοιχειώδεις πράξεις των μαθηματικών!), έχουμε:

2 2x = 2 3(x+1)

Αυτό είναι πρακτικά όλο. Αφαίρεση των βάσεων:

Λύνουμε αυτό το τέρας και παίρνουμε

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Σε αυτό το παράδειγμα, η γνώση των δυνάμεων των δύο μας βοήθησε. Εμείς αναγνωρισθείςσε οκτώ υπάρχει ένα κρυπτογραφημένο δύο. Αυτή η τεχνική (κωδικοποίηση κοινών βάσεων κάτω από διαφορετικούς αριθμούς) είναι μια πολύ δημοφιλής τεχνική στις εκθετικές εξισώσεις! Ναι, και σε λογάριθμους επίσης. Πρέπει να είστε σε θέση να αναγνωρίζετε δυνάμεις άλλων αριθμών σε αριθμούς. Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων.

Το γεγονός είναι ότι η αύξηση οποιουδήποτε αριθμού σε οποιαδήποτε δύναμη δεν είναι πρόβλημα. Πολλαπλασιάστε, ακόμα και στα χαρτιά, και αυτό είναι. Για παράδειγμα, οποιοσδήποτε μπορεί να ανεβάσει 3 στην πέμπτη δύναμη. Το 243 θα λειτουργήσει αν γνωρίζετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού.) Αλλά στις εκθετικές εξισώσεις, πολύ πιο συχνά δεν είναι απαραίτητο να αυξήσετε σε μια ισχύ, αλλά το αντίστροφο... Μάθετε ποιος αριθμός σε ποιο βαθμόκρύβεται πίσω από τον αριθμό 243, ή, ας πούμε, 343... Δεν θα σας βοηθήσει κανένας υπολογιστής εδώ.

Πρέπει να γνωρίζεις τις δυνάμεις κάποιων αριθμών όραμα, σωστά... Ας εξασκηθούμε;

Προσδιορίστε ποιες δυνάμεις και τι αριθμούς είναι οι αριθμοί:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Απαντήσεις (σε χάος, φυσικά!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ένα περίεργο γεγονός. Υπάρχουν πολύ περισσότερες απαντήσεις από τις εργασίες! Λοιπόν, συμβαίνει... Για παράδειγμα, 2 6, 4 3, 8 2 - αυτό είναι όλο 64.

Ας υποθέσουμε ότι έχετε σημειώσει τις πληροφορίες σχετικά με την εξοικείωση με τους αριθμούς.) Επιτρέψτε μου επίσης να σας υπενθυμίσω ότι για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων χρησιμοποιούμε όλααπόθεμα μαθηματικών γνώσεων. Συμπεριλαμβανομένων εκείνων από κατώτερες και μεσαίες τάξεις. Δεν πήγες κατευθείαν στο γυμνάσιο, σωστά;)

Για παράδειγμα, κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, η τοποθέτηση του κοινού παράγοντα εκτός αγκύλων συχνά βοηθά (γεια στην 7η τάξη!). Ας δούμε ένα παράδειγμα:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Και πάλι, η πρώτη ματιά είναι στα θεμέλια! Οι βάσεις των μοιρών είναι διαφορετικές... Τρεις και εννιά. Αλλά θέλουμε να είναι το ίδιο. Λοιπόν, σε αυτή την περίπτωση η επιθυμία εκπληρώνεται πλήρως!) Γιατί:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Χρησιμοποιώντας τους ίδιους κανόνες για την αντιμετώπιση πτυχίων:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Αυτό είναι υπέροχο, μπορείτε να το γράψετε:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Δώσαμε ένα παράδειγμα για τους ίδιους λόγους. Λοιπόν, τι ακολουθεί! Δεν μπορείς να πετάξεις τρίποντα... Αδιέξοδο;

Καθόλου. Θυμηθείτε τον πιο καθολικό και ισχυρό κανόνα απόφασης Ολοιμαθηματικές εργασίες:

Αν δεν ξέρετε τι χρειάζεστε, κάντε ό,τι μπορείτε!

Κοίτα, όλα θα πάνε καλά).

Τι υπάρχει σε αυτή την εκθετική εξίσωση Μπορώκάνω? Ναι, στην αριστερή πλευρά απλά ζητάει να βγει από αγκύλες! Ο συνολικός πολλαπλασιαστής των 3 2x υποδηλώνει ξεκάθαρα αυτό. Ας προσπαθήσουμε και μετά θα δούμε:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Το παράδειγμα γίνεται όλο και καλύτερο!

Θυμόμαστε ότι για την εξάλειψη των λόγων χρειαζόμαστε ένα καθαρό πτυχίο, χωρίς κανέναν συντελεστή. Ο αριθμός 70 μας ενοχλεί. Άρα διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 70, παίρνουμε:

Ωχ! Όλα έγιναν καλύτερα!

Αυτή είναι η τελική απάντηση.

Συμβαίνει, όμως, να επιτυγχάνεται η τροχοδρόμηση στην ίδια βάση, αλλά να μην είναι δυνατή η εξάλειψή τους. Αυτό συμβαίνει σε άλλους τύπους εκθετικών εξισώσεων. Ας κατακτήσουμε αυτό το είδος.

Αντικατάσταση μεταβλητής στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Ας λύσουμε την εξίσωση:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Πρώτα - ως συνήθως. Ας προχωρήσουμε σε μια βάση. Σε ένα δελτίο.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Παίρνουμε την εξίσωση:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Και εδώ είναι που κάνουμε παρέα. Οι προηγούμενες τεχνικές δεν θα λειτουργήσουν, όπως και να το δεις. Θα πρέπει να βγάλουμε μια άλλη ισχυρή και καθολική μέθοδο από το οπλοστάσιό μας. Λέγεται μεταβλητή αντικατάσταση.

Η ουσία της μεθόδου είναι εκπληκτικά απλή. Αντί για ένα σύνθετο εικονίδιο (στην περίπτωσή μας - 2 x) γράφουμε ένα άλλο, πιο απλό (για παράδειγμα - t). Μια τέτοια φαινομενικά ανούσια αντικατάσταση οδηγεί σε εκπληκτικά αποτελέσματα!) Όλα γίνονται ξεκάθαρα και κατανοητά!

Ας λοιπόν

Τότε 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Στην εξίσωσή μας αντικαθιστούμε όλες τις δυνάμεις με x με t:

Λοιπόν, σου ξημερώνει;) Έχεις ξεχάσει ακόμα τις τετραγωνικές εξισώσεις; Επιλύοντας μέσω της διάκρισης, παίρνουμε:

Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην σταματήσουμε, όπως συμβαίνει... Αυτή δεν είναι η απάντηση ακόμα, χρειαζόμαστε x, όχι t. Ας επιστρέψουμε στα Χ, δηλ. κάνουμε αντίστροφη αντικατάσταση. Πρώτα για το t 1:

Αυτό είναι,

Βρέθηκε μια ρίζα. Ψάχνουμε για το δεύτερο από το t 2:

Χμ... 2 x στα αριστερά, 1 στα δεξιά... Πρόβλημα; Καθόλου! Αρκεί να θυμάστε (από λειτουργίες με δυνάμεις, ναι...) ότι μια μονάδα είναι όποιοςαριθμός στη μηδενική ισχύ. Οποιος. Ό,τι χρειαστεί θα το εγκαταστήσουμε. Χρειαζόμαστε δύο. Που σημαίνει:

Αυτό είναι τώρα. Έχουμε 2 ρίζες:

Αυτή είναι η απάντηση.

Στο επίλυση εκθετικών εξισώσεωνστο τέλος μερικές φορές καταλήγεις με κάποιο είδος αμήχανης έκφρασης. Τύπος:

Το επτά δεν μπορεί να μετατραπεί σε δύο μέσω μιας απλής ισχύος. Δεν είναι συγγενείς... Πώς να είμαστε; Κάποιος μπορεί να μπερδευτεί... Αλλά αυτός που διάβασε σε αυτόν τον ιστότοπο το θέμα "Τι είναι ο λογάριθμος;" , απλά χαμογελά με φειδώ και σημειώνει με σταθερό χέρι την απολύτως σωστή απάντηση:

Δεν μπορεί να υπάρξει τέτοια απάντηση στα καθήκοντα "Β" στην Ενιαία Κρατική Εξέταση. Εκεί απαιτείται συγκεκριμένος αριθμός. Αλλά στις εργασίες "C" είναι εύκολο.

Αυτό το μάθημα παρέχει παραδείγματα επίλυσης των πιο κοινών εκθετικών εξισώσεων. Ας επισημάνουμε τα κύρια σημεία.

Πρακτικές συμβουλές:

1. Πρώτα απ 'όλα, εξετάζουμε λόγουςβαθμούς. Αναρωτιόμαστε αν είναι δυνατόν να τα φτιάξουμε πανομοιότυπο.Ας προσπαθήσουμε να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας ενεργά δράσεις με πτυχία.Μην ξεχνάτε ότι οι αριθμοί χωρίς x μπορούν επίσης να μετατραπούν σε δυνάμεις!

2. Προσπαθούμε να φέρουμε την εκθετική εξίσωση στη μορφή όταν στα αριστερά και στα δεξιά υπάρχουν το ίδιοαριθμοί σε οποιεσδήποτε δυνάμεις. Χρησιμοποιούμε δράσεις με πτυχίαΚαι παραγοντοποίηση.Ό,τι μπορεί να μετρηθεί σε αριθμούς, το μετράμε.

3. Εάν η δεύτερη συμβουλή δεν λειτουργεί, δοκιμάστε να χρησιμοποιήσετε την αντικατάσταση μεταβλητής. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι μια εξίσωση που μπορεί να λυθεί εύκολα. Τις περισσότερες φορές - τετράγωνο. Ή κλασματική, η οποία επίσης μειώνεται σε τετράγωνο.

4. Για να λύσετε επιτυχώς εκθετικές εξισώσεις, πρέπει να γνωρίζετε τις δυνάμεις ορισμένων αριθμών με όψη.

Ως συνήθως, στο τέλος του μαθήματος καλείστε να αποφασίσετε λίγο.) Μόνοι σας. Από απλό σε σύνθετο.

Λύστε εκθετικές εξισώσεις:

Πιο δύσκολο:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Βρείτε το προϊόν των ριζών:

2 3 + 2 x = 9

Συνέβη;

Λοιπόν, ένα πολύ περίπλοκο παράδειγμα (αν και μπορεί να λυθεί στο μυαλό...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Τι πιο ενδιαφέρον; Τότε είναι ένα κακό παράδειγμα για εσάς. Αρκετά δελεαστικό για αυξημένη δυσκολία. Επιτρέψτε μου να υπενθυμίσω ότι σε αυτό το παράδειγμα, αυτό που σας σώζει είναι η εφευρετικότητα και ο πιο παγκόσμιος κανόνας για την επίλυση όλων των μαθηματικών προβλημάτων.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ένα πιο απλό παράδειγμα, για χαλάρωση):

9 2 x - 4 3 x = 0

Και για επιδόρπιο. Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ναι ναι! Αυτή είναι μια εξίσωση μικτού τύπου! Το οποίο δεν λάβαμε υπόψη σε αυτό το μάθημα. Γιατί να τα σκεφτείτε, πρέπει να λυθούν!) Αυτό το μάθημα είναι αρκετό για να λύσετε την εξίσωση. Λοιπόν, χρειάζεσαι εφευρετικότητα... Και μακάρι να σε βοηθήσει η έβδομη τάξη (αυτό είναι μια υπόδειξη!).

Απαντήσεις (σε αταξία, διαχωρισμένες με ερωτηματικά):

1; 2; 3; 4; δεν υπαρχουν λυσεις? 2; -2; -5; 4; 0.

Είναι όλα επιτυχημένα; Εξαιρετική.

Υπάρχει ένα πρόβλημα? Κανένα πρόβλημα! Η ειδική ενότητα 555 επιλύει όλες αυτές τις εκθετικές εξισώσεις με λεπτομερείς εξηγήσεις. Τι, γιατί και γιατί. Και, φυσικά, υπάρχουν πρόσθετες πολύτιμες πληροφορίες σχετικά με την εργασία με κάθε είδους εκθετικές εξισώσεις. Όχι μόνο αυτά.)

Μια τελευταία διασκεδαστική ερώτηση που πρέπει να εξετάσετε. Σε αυτό το μάθημα δουλέψαμε με εκθετικές εξισώσεις. Γιατί δεν είπα λέξη για την ODZ εδώ;Στις εξισώσεις, αυτό είναι πολύ σημαντικό πράγμα, παρεμπιπτόντως...

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις μελετώνται στην 8η δημοτικού, επομένως δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι απολύτως απαραίτητη.

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου οι συντελεστές a, b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ 0.

Πριν μελετήσετε συγκεκριμένες μεθόδους λύσης, σημειώστε ότι όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες:

1. Δεν έχουν ρίζες.
2. Έχουν ακριβώς μία ρίζα.
3. Έχουν δύο διαφορετικές ρίζες.

Αυτή είναι μια σημαντική διαφορά μεταξύ των τετραγωνικών και των γραμμικών εξισώσεων, όπου η ρίζα υπάρχει πάντα και είναι μοναδική. Πώς να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση; Υπάρχει ένα υπέροχο πράγμα για αυτό - διακριτική.

Διακριτικός

Έστω η τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Τότε η διάκριση είναι απλώς ο αριθμός D = b 2 − 4ac.

Πρέπει να γνωρίζετε αυτή τη φόρμουλα από καρδιάς. Από πού προέρχεται δεν έχει σημασία τώρα. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: με το πρόσημο της διάκρισης μπορείτε να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια τετραγωνική εξίσωση. Και συγκεκριμένα:

1. Αν ο Δ< 0, корней нет;
2. Αν D = 0, υπάρχει ακριβώς μία ρίζα.
3. Αν D > 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες.

Παρακαλώ σημειώστε: το διακριτικό υποδεικνύει τον αριθμό των ριζών και καθόλου τα σημάδια τους, όπως για κάποιο λόγο πιστεύουν πολλοί άνθρωποι. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και θα καταλάβετε τα πάντα μόνοι σας:

Εργο. Πόσες ρίζες έχουν οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Ας γράψουμε τους συντελεστές για την πρώτη εξίσωση και ας βρούμε τη διάκριση:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Άρα η διάκριση είναι θετική, άρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Αναλύουμε τη δεύτερη εξίσωση με παρόμοιο τρόπο:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχουν ρίζες. Η τελευταία εξίσωση που απομένει είναι:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Η διάκριση είναι μηδέν - η ρίζα θα είναι μία.

Σημειώστε ότι έχουν καταγραφεί συντελεστές για κάθε εξίσωση. Ναι, είναι μακρύ, ναι, είναι κουραστικό, αλλά δεν θα ανακατεύετε τις πιθανότητες και δεν θα κάνετε ανόητα λάθη. Επιλέξτε μόνοι σας: ταχύτητα ή ποιότητα.

Παρεμπιπτόντως, αν το καταφέρετε, μετά από λίγο δεν θα χρειαστεί να σημειώσετε όλους τους συντελεστές. Θα κάνεις τέτοιες επεμβάσεις στο κεφάλι σου. Οι περισσότεροι άνθρωποι αρχίζουν να το κάνουν αυτό κάπου μετά από 50-70 λυμένες εξισώσεις - γενικά, όχι τόσο πολύ.

Ρίζες τετραγωνικής εξίσωσης

Τώρα ας προχωρήσουμε στην ίδια τη λύση. Εάν η διάκριση D > 0, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Όταν D = 0, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους - θα λάβετε τον ίδιο αριθμό, που θα είναι η απάντηση. Τέλος, αν ο Δ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Πρώτη εξίσωση:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Ας τα βρούμε:

Δεύτερη εξίσωση:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει πάλι δύο ρίζες. Ας τα βρούμε

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Τέλος, η τρίτη εξίσωση:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ η εξίσωση έχει μία ρίζα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε φόρμουλα. Για παράδειγμα, το πρώτο:

Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραδείγματα, όλα είναι πολύ απλά. Εάν γνωρίζετε τους τύπους και μπορείτε να μετρήσετε, δεν θα υπάρχουν προβλήματα. Τις περισσότερες φορές, συμβαίνουν σφάλματα κατά την αντικατάσταση αρνητικών συντελεστών στον τύπο. Και εδώ, η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω θα σας βοηθήσει: κοιτάξτε τον τύπο κυριολεκτικά, σημειώστε κάθε βήμα - και πολύ σύντομα θα απαλλαγείτε από σφάλματα.

Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Συμβαίνει ότι μια τετραγωνική εξίσωση είναι ελαφρώς διαφορετική από αυτή που δίνεται στον ορισμό. Για παράδειγμα:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι από αυτές τις εξισώσεις λείπει ένας από τους όρους. Τέτοιες δευτεροβάθμιες εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να λυθούν από τις τυπικές: δεν απαιτούν καν τον υπολογισμό της διάκρισης. Λοιπόν, ας εισαγάγουμε μια νέα ιδέα:

Η εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση αν b = 0 ή c = 0, δηλ. ο συντελεστής της μεταβλητής x ή του ελεύθερου στοιχείου είναι ίσος με μηδέν.

Φυσικά, μια πολύ δύσκολη περίπτωση είναι δυνατή όταν και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν: b = c = 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση παίρνει τη μορφή ax 2 = 0. Προφανώς, μια τέτοια εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα: x = 0.

Ας εξετάσουμε τις υπόλοιπες περιπτώσεις. Έστω b = 0, τότε λαμβάνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0. Ας τη μετατρέψουμε λίγο:

Εφόσον η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο ενός μη αρνητικού αριθμού, η τελευταία ισότητα έχει νόημα μόνο για (−c /a) ≥ 0. Συμπέρασμα:

1. Αν σε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0 ικανοποιείται η ανισότητα (−c /a) ≥ 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Ο τύπος δίνεται παραπάνω.
2. Αν (−c /a)< 0, корней нет.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν απαιτείται διάκριση - δεν υπάρχουν καθόλου σύνθετοι υπολογισμοί σε ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν απαραίτητο να θυμόμαστε την ανισότητα (−c /a) ≥ 0. Αρκεί να εκφράσουμε την τιμή x 2 και να δούμε τι βρίσκεται στην άλλη πλευρά του πρόσημου ίσου. Εάν υπάρχει θετικός αριθμός, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Αν είναι αρνητικό, δεν θα υπάρχουν καθόλου ρίζες.

Ας δούμε τώρα εξισώσεις της μορφής ax 2 + bx = 0, στις οποίες το ελεύθερο στοιχείο είναι ίσο με μηδέν. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχουν πάντα δύο ρίζες. Αρκεί να συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο:

Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων

Το γινόμενο είναι μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν. Από εδώ προέρχονται οι ρίζες. Εν κατακλείδι, ας δούμε μερικές από αυτές τις εξισώσεις:

Εργο. Λύστε δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Δεν υπάρχουν ρίζες, γιατί ένα τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.