İnformatikada məntiqi tənliklər sistemlərinin həlli üsulları. İnformatika üzrə Vahid Dövlət İmtahan məsələlərində məntiqi tənliklər sistemləri

Dərsin mövzusu: Məntiqi tənliklərin həlli

Təhsil - məntiqi tənliklərin həlli üsullarının öyrənilməsi, məntiqi tənliklərin həlli və həqiqət cədvəlindən istifadə edərək məntiqi ifadənin qurulması bacarıqlarının formalaşdırılması;

İnkişaf - tələbələrin idrak marağının inkişafı üçün şərait yaratmaq, yaddaşın, diqqətin və məntiqi təfəkkürün inkişafına kömək etmək;

Təhsil : başqalarının fikirlərini dinləmək bacarığını təşviq etmək, son nəticələrə nail olmaq üçün iradə və əzmkarlığı inkişaf etdirmək.

Dərsin növü: birləşdirilmiş dərs

Avadanlıq: kompüter, multimedia proyektoru, təqdimat 6.

Dərslər zamanı

Əsas biliklərin təkrarlanması və yenilənməsi. Ev tapşırığını yoxlamaq (10 dəqiqə)

Əvvəlki dərslərdə məntiqi cəbrin əsas qanunları ilə tanış olduq və məntiqi ifadələri sadələşdirmək üçün bu qanunlardan istifadə etməyi öyrəndik.

Məntiqi ifadələrin sadələşdirilməsi ilə bağlı ev tapşırığını yoxlayaq:

1. Aşağıdakı sözlərdən hansı məntiqi şərti ödəyir:

(ilk hərf samit → ikinci hərf samit)٨ (son hərf saiti → sondan əvvəlki hərf sait)? Bir neçə belə söz varsa, onlardan ən kiçiyini göstərin.

1) ANNA 2) MARİYA 3) OLƏQ 4) STEPAN

Aşağıdakı qeydi təqdim edək:

A – birinci hərf samit

B – ikinci hərf samit

S - son hərf sait

D – sondan əvvəlki sait hərfi

İfadə edək:

Gəlin bir cədvəl hazırlayaq:

2. İfadəyə hansı məntiqi ifadənin ekvivalent olduğunu göstərin

Orijinal ifadənin və təklif olunan variantların qeydini sadələşdirək:

3. F ifadəsinin həqiqət cədvəlinin bir parçası verilmişdir:

Hansı ifadə F ilə uyğun gəlir?

Arqumentlərin müəyyən edilmiş dəyərləri üçün bu ifadələrin dəyərlərini təyin edək:

Dərsin mövzusuna giriş, yeni materialın təqdimatı (30 dəqiqə)

Məntiqin əsaslarını öyrənməyə davam edirik və bugünkü dərsimizin mövzusu “Məntiqi tənliklərin həlli”dir. Bu mövzunu öyrəndikdən sonra siz məntiqi tənliklərin həllinin əsas yollarını öyrənəcək, məntiqi cəbrin dilindən istifadə edərək bu tənlikləri həll etmək və doğruluq cədvəlindən istifadə edərək məntiqi ifadə qurma bacarığı əldə edəcəksiniz.

1. Məntiqi tənliyi həll edin

(¬K M) → (¬L M N) =0

Cavabınızı dörd simvoldan ibarət sətir kimi yazın: K, L, M və N dəyişənlərinin dəyərləri (bu ardıcıllıqla). Beləliklə, məsələn, 1101-ci sətir K=1, L=1, M=0, N=1 faktına uyğun gəlir.

Həll:

İfadəni çevirək(¬K  M) → (¬L  M  N)

Hər iki şərt yalan olduqda ifadə yanlışdır. M =0, N =0, L =1 olduqda ikinci hədd 0-a bərabərdir. Birinci termində K = 0, çünki M = 0 və
.

Cavab: 0100

2. Tənliyin neçə həlli var (cavabınızda yalnız rəqəmi göstərin)?

Həlli: ifadəni çevirin

(A +B )*(C +D )=1

A +B =1 və C +D =1

Metod 2: həqiqət cədvəlinin tərtib edilməsi

3 yol: SDNF-nin qurulması - funksiya üçün mükəmməl disjunktiv normal forma - tam nizamlı elementar birləşmələrin disjunksiyasıdır.

Orijinal ifadəni çevirək, bağlayıcıların diszunksiyasını əldə etmək üçün mötərizələri açaq:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

Bağlayıcıları tamamlayaq (bütün arqumentlərin məhsulu), mötərizələri açın:

Eyni bağlayıcıları nəzərə alaq:

Nəticədə 9 bağlayıcıdan ibarət SDNF əldə edirik. Buna görə də, bu funksiya üçün həqiqət cədvəli 2 4 =16 dəyişən qiymətlər dəstinin 9 sətirində 1 dəyərinə malikdir.

3. Tənliyin neçə həlli var (cavabınızda yalnız rəqəmi göstərin)?

İfadəsini sadələşdirək:

3 yol: SDNF-nin tikintisi

Eyni bağlayıcıları nəzərə alaq:

Nəticədə 5 bağlayıcıdan ibarət SDNF əldə edirik. Buna görə də, bu funksiya üçün həqiqət cədvəli 2 4 =16 dəyişən dəyər dəstinin 5 sətirində 1 dəyərinə malikdir.

Həqiqət cədvəlindən istifadə edərək məntiqi ifadənin qurulması:

1-dən ibarət həqiqət cədvəlinin hər sətri üçün arqumentlər hasilini tərtib edirik və 0-a bərabər dəyişənlər inkarla hasildə, 1-ə bərabər dəyişənlər isə inkarsız daxil edilir. İstənilən F ifadəsi alınan məhsulların cəmindən ibarət olacaqdır. Sonra, mümkünsə, bu ifadə sadələşdirilməlidir.

Misal: ifadənin həqiqət cədvəli verilmişdir. Məntiqi ifadə qurun.

Həll:

3. Ev tapşırığı (5 dəqiqə)

Tənliyi həll edin:

Tənliyin neçə həlli var (cavabınızda yalnız rəqəmi göstərin)?

Verilmiş həqiqət cədvəlindən istifadə edərək məntiqi ifadə qurun və

sadələşdirin.

Tənliklərdən istifadə həyatımızda geniş yayılmışdır. Onlar bir çox hesablamalarda, strukturların tikintisində və hətta idmanda istifadə olunur. İnsan qədim zamanlarda tənliklərdən istifadə edirdi və o vaxtdan bəri onların istifadəsi yalnız artmışdır. Riyaziyyatda təklif məntiqi ilə məşğul olan müəyyən problemlər var. Bu cür tənliyi həll etmək üçün müəyyən biliklərə sahib olmaq lazımdır: təklif məntiqi qanunlarını bilmək, 1 və ya 2 dəyişənin məntiqi funksiyalarının həqiqət cədvəllərini bilmək, məntiqi ifadələri çevirmək üsulları. Bundan əlavə, məntiqi əməliyyatların aşağıdakı xüsusiyyətlərini bilməlisiniz: birləşmə, disyunksiya, inversiya, implikasiya və ekvivalentlik.

\dəyişənlərin - \ hər hansı məntiqi funksiyası həqiqət cədvəli ilə müəyyən edilə bilər.

Bir neçə məntiqi tənliyi həll edək:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Həllini \[X1\] ilə başlayaq və bu dəyişənin hansı dəyərləri ala biləcəyini müəyyən edək: 0 və 1. Sonra yuxarıdakı dəyərlərin hər birini nəzərdən keçirəcəyik və \[X2.\] nə ola biləcəyini görəcəyik.

Cədvəldən göründüyü kimi məntiqi tənliyimizin 11 həlli var.

Məntiq tənliyini onlayn harada həll edə bilərəm?

Tənliyi https://site saytımızda həll edə bilərsiniz. Pulsuz onlayn həlledici hər hansı bir mürəkkəbliyin onlayn tənliklərini bir neçə saniyə ərzində həll etməyə imkan verəcəkdir. Etməli olduğunuz şey sadəcə məlumatlarınızı həllediciyə daxil etməkdir. Siz həmçinin veb saytımızda video təlimatlarına baxa və tənliyi necə həll edəcəyinizi öyrənə bilərsiniz. Hələ suallarınız varsa, onları VKontakte qrupumuzda http://vk.com/pocketteacher soruşa bilərsiniz. Qrupumuza qoşulun, sizə kömək etməkdən hər zaman şad olarıq.

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, burada J, K, L, M, N məntiqi dəyişənlərdir?

Həll.

Buna görə də (N ∨ ¬N) ifadəsi istənilən N üçün doğrudur

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

Məntiqi tənliyin hər iki tərəfinə inkar tətbiq edək və De Morqan qanunundan ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B istifadə edək. ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1 alırıq.

Məntiqi cəmi 1-ə bərabərdir, əgər onun tərkib müddəalarından ən azı biri 1-ə bərabərdirsə. Buna görə də, tənliyə daxil edilmiş bütün kəmiyyətlərin 0-a bərabər olduğu hal istisna olmaqla, nəticədə yaranan tənlik məntiqi dəyişənlərin istənilən kombinasiyası ilə təmin edilir. 4 dəyişən ya 1, ya da 0-a bərabər ola bilər, ona görə də bütün mümkün birləşmələr 2·2·2·2 = 16-dır. Buna görə də tənliyin 16 −1 = 15 həlli var.

Tapılan 15 həllin N məntiqi dəyişəninin iki mümkün qiymətindən hər hansı birinə uyğun olduğunu qeyd etmək qalır, buna görə də orijinal tənliyin 30 həlli var.

Cavab: 30

Tənliyin neçə fərqli həlli var?

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

J, K, L, M, N məntiqi dəyişənlərdir?

Cavabda bu bərabərliyin mövcud olduğu J, K, L, M və N dəyərlərinin bütün müxtəlif dəstlərini sadalamaq lazım deyil. Cavab olaraq, belə dəstlərin sayını göstərməlisiniz.

Həll.

A → B = ¬A ∨ B və ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B düsturlarından istifadə edirik.

Birinci alt düsturu nəzərdən keçirək:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

İkinci alt düsturu nəzərdən keçirək

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

Üçüncü alt düsturu nəzərdən keçirək

1) M → J = 1 buna görə də,

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

Gəlin birləşdirək:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 deməli 4 həll.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

Gəlin birləşdirək:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L deməli 4 həll.

c) M = 0 J = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

Cavab: 4 + 4 = 8.

Cavab: 8

Tənliyin neçə fərqli həlli var?

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

harada K, L, M, N məntiqi dəyişənlərdir? Cavabda bu bərabərliyin mövcud olduğu K, L, M və N dəyərlərinin bütün müxtəlif dəstlərini sadalamağa ehtiyac yoxdur. Cavab olaraq belə dəstlərin sayını göstərməlisiniz.

Həll.

Əməliyyatlar üçün daha sadə qeydlərdən istifadə edərək tənliyi yenidən yazaq:

((K + L) → (L M N)) = 0

1) “təsir” əməliyyatının həqiqət cədvəlindən (birinci məsələyə bax) belə çıxır ki, bu bərabərlik o halda doğrudur ki, və yalnız eyni zamanda

K + L = 1 və L M N = 0

2) birinci tənlikdən belə çıxır ki, dəyişənlərdən ən azı biri K və ya L 1-ə bərabərdir (və ya hər ikisi birlikdə); ona görə də üç halı nəzərdən keçirək

3) əgər K = 1 və L = 0 olarsa, onda ikinci bərabərlik istənilən M və N üçün ödənilir; iki Boolean dəyişəninin 4 kombinasiyası (00, 01, 10 və 11) olduğundan 4 fərqli həllimiz var

4) əgər K = 1 və L = 1 olarsa, M · N = 0 üçün ikinci bərabərlik yerinə yetirilir; 3 belə kombinasiya var (00, 01 və 10), daha 3 həllimiz var

5) K = 0 olarsa, L = 1 (birinci tənlikdən); bu halda ikinci bərabərlik M · N = 0 olduqda təmin edilir; 3 belə kombinasiya var (00, 01 və 10), daha 3 həllimiz var

6) cəmi 4 + 3 + 3 = 10 həll alırıq.

Cavab: 10

Tənliyin neçə fərqli həlli var?

(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1

Həll.

(K ∧ L) və (M ∧ N) müvafiq olaraq 01, 11, 10-a bərabər olduqda ifadə üç halda doğrudur.

1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N 1-ə bərabərdir və K və L eyni vaxtda 1-dən başqa hər şeydir. Buna görə də 3 həll yolu var.

2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 məhlul.

3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 məhlul.

Cavab: 7.

Cavab: 7

Tənliyin neçə fərqli həlli var?

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0

burada X, Y, Z, P məntiqi dəyişənlərdir? Cavabda bu bərabərliyin mövcud olduğu bütün müxtəlif dəyər dəstlərini sadalamaq lazım deyil. Cavab olaraq, yalnız belə dəstlərin sayını göstərməlisiniz.

Həll.

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

Məntiqi OR yalnız bir halda yanlışdır: hər iki ifadə yanlış olduqda.

Beləliklə,

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.

Buna görə də tənliyin yalnız bir həlli var.

Cavab: 1

Tənliyin neçə fərqli həlli var?

(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1

harada K, L, M, N məntiqi dəyişənlərdir? Cavab üçün bu bərabərliyin mövcud olduğu K, L, M və N dəyərlərinin bütün müxtəlif dəstlərini sadalamaq lazım deyil. Cavab olaraq, yalnız belə dəstlərin sayını göstərməlisiniz.

Həll.

Məntiqi Və yalnız bir halda doğrudur: bütün ifadələr doğru olduqda.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

Hər bir tənlik 3 həlli verir.

A ∧ B = 1 tənliyini nəzərdən keçirin, əgər həm A, həm də B hər biri üç halda həqiqi qiymətlər alırsa, cəmi tənliyin 9 həlli var.

Buna görə cavab 9-dur.

Cavab: 9

Tənliyin neçə fərqli həlli var?

((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,

harada A, B, C, D məntiqi dəyişənlərdir?

Cavabda bu bərabərliyin mövcud olduğu A, B, C, D dəyərlərinin bütün müxtəlif dəstlərini sadalamaq lazım deyil. Cavab olaraq, belə dəstlərin sayını göstərməlisiniz.

Həll.

Məntiqi "OR" ifadələrindən ən azı biri doğru olduqda doğrudur.

(D ∧ ¬D)= istənilən D üçün 0.

Beləliklə,

(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, bu da bizə hər D üçün 3 mümkün həll yolu verir.

(D ∧ ¬ D)= 0 istənilən D üçün, bu bizə iki həll yolu verir (D = 1, D = 0 üçün).

Buna görə də: cəmi həllər 2*3 = 6.

Cəmi 6 həll.

Cavab: 6

Tənliyin neçə fərqli həlli var?

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

Həll.

Tənliyin hər iki tərəfinə inkar tətbiq edək:

(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

Məntiqi OR üç halda doğrudur.

Seçim 1.

K ∧ L ∧ M = 1, onda K, L, M = 1 və ¬L ∧ M ∧ N = 0. N ixtiyari, yəni 2 həlldir.

Seçim 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1, onda N, M = 1; L = 0, K hər hansı, yəni 2 məhlul.

Buna görə cavab 4-dür.

Cavab: 4

A, B və C ifadənin doğru olduğu tam ədədlərdir

¬ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B)).

A = 45 və C = 43 olarsa, B nəyə bərabərdir?

Həll.

Nəzərə alın ki, bu mürəkkəb ifadə üç sadə ifadədən ibarətdir

1) ¬(A = B); (A > B)→(B > C); (B > A)→(C > B);

2) bu sadə ifadələr ∧ (AND, birləşmə) əməliyyatı ilə bağlanır, yəni eyni vaxtda yerinə yetirilməlidir;

3) ¬(A = B)=1-dən dərhal belə nəticə çıxır ki, A B;

4) tutaq ki, A > B, onda ikinci şərtdən 1→(B > C)=1 alırıq; bu ifadə yalnız və yalnız B > C = 1 olduqda doğru ola bilər;

5) buna görə də bizdə A > B > C var, bu şərtə yalnız 44 rəqəmi uyğun gəlir;

6) hər halda, A variantını da yoxlayaq 0 →(B > C)=1;

bu ifadə istənilən B üçün doğrudur; İndi üçüncü şərtə baxırıq və əldə edirik

bu ifadə yalnız və yalnız C > B olduqda doğru ola bilər və burada ziddiyyət yaranır, çünki C > B > A olan elə B rəqəmi yoxdur.

Cavab: 44.

Cavab: 44

Məntiqi funksiya üçün həqiqət cədvəlini qurun

X = (A ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))

burada A arqumentinin dəyərlərinin sütunu 27 rəqəminin ikili təsviri, B arqumentinin dəyərlərinin sütunu 77 nömrəsi, C arqumentinin dəyər sütunu 120 rəqəmidir. sütunda yuxarıdan aşağıya ən əhəmiyyətlidən ən az əhəmiyyətliyə (sıfır çoxluğu daxil olmaqla) yazılır. X funksiyasının dəyərlərinin ikili təsvirini onluq say sisteminə çevirin.

Həll.

Əməliyyatlar üçün daha sadə qeydlərdən istifadə edərək tənliyi yazaq:

1) bu üç dəyişənli ifadədir, ona görə də həqiqət cədvəlində sətirlər olacaq; buna görə də A, B və C cədvəl sütunlarını qurmaq üçün istifadə olunan ədədlərin ikili təsviri 8 rəqəmdən ibarət olmalıdır.

2) 27, 77 və 120 rəqəmlərini ikili sistemə çevirin, dərhal ədədlərin əvvəlinə 8 rəqəmə qədər sıfır əlavə edin

3) hər kombinasiya üçün X funksiyasının dəyərlərini dərhal yaza bilməyəcəyiniz ehtimalı azdır, buna görə aralıq nəticələri hesablamaq üçün cədvələ əlavə sütunlar əlavə etmək rahatdır (aşağıdakı cədvələ baxın)

A	IN	İLƏ
0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

4) cədvəlin sütunlarını doldurun:

A	IN	İLƏ					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

qiymət yalnız A = B olduğu sətirlərdə 1-dir

B və ya C = 1 olduğu sətirlərdə qiymət 1-dir

qiymət yalnız A = 1 və B + C = 0 olduğu sətirlərdə 0-dır

dəyər əvvəlki sütunun tərsidir (0 1 ilə, 1 isə 0 ilə əvəz olunur)

X (son sütun) nəticəsi iki sütunun məntiqi cəmidir və

5) Cavab almaq üçün X sütunundan yuxarıdan aşağıya qədər bitləri yazın:

6) bu ədədi onluq sistemə çevirin:

Cavab: 171

(10 (X+1)·(X+2)) ifadəsinin doğru olduğu ən böyük X tam ədədi hansıdır?

Həll.

Tənlik iki əlaqə arasındakı təsir əməliyyatıdır:

1) Əlbəttə, burada 2208-ci misaldakı kimi eyni metodu tətbiq edə bilərsiniz, lakin siz kvadrat tənlikləri həll etməli olacaqsınız (mən istəmirəm...);

2) Qeyd edək ki, şərtlə bizi yalnız tam ədədlər maraqlandırır, buna görə də ekvivalent ifadə əldə edərək orijinal ifadəni birtəhər çevirməyə cəhd edə bilərik (köklərin dəqiq dəyərləri bizi heç maraqlandırmır!);

3) Bərabərsizliyi nəzərdən keçirək: aydındır ki, o, ya müsbət, ya da mənfi ədəd ola bilər;

4) Domendə ifadənin bütün tam ədədlər üçün, domendə isə bütün tam ədədlər üçün doğru olduğunu yoxlamaq asandır (çaşqınlıq yaratmamaq üçün qeyri-ciddi bərabərsizliklərdən istifadə etmək daha rahatdır və əvəzinə . və );

5) Buna görə də tam ədədlər üçün onu ekvivalent ifadə ilə əvəz etmək olar

6) ifadənin həqiqət sahəsi iki sonsuz intervalın birləşməsidir;

7) İndi ikinci bərabərsizliyə nəzər salaq: aydındır ki, o, həm də müsbət və ya mənfi ədəd ola bilər;

8) Bölgədə ifadə bütün tam ədədlər üçün, regionda isə bütün tam ədədlər üçün doğrudur, ona görə də tam ədədlər üçün onu ekvivalent ifadə ilə əvəz etmək olar.

9) ifadənin həqiqət dairəsi qapalı intervaldır;

10) Verilən ifadə və olduğu sahələr istisna olmaqla, hər yerdə doğrudur;

11) Nəzərə alın ki, qiymət artıq uyğun deyil, çünki orada və , yəni implikasiya 0 verir;

12) Şərti ödəyən 2, (10 (2+1) · (2+2)), və ya 0 → 0 əvəz edilərkən.

Beləliklə, cavab 2-dir.

Cavab: 2

Bəyanatın doğru olduğu ən böyük X tam ədədi hansıdır

(50 (X+1)·(X+1))?

Həll.

Gəlin implikasiya çevrilməsini tətbiq edək və ifadəni çevirək:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

Məntiqi OR ən azı bir məntiqi ifadə doğru olduqda doğrudur. Hər iki bərabərsizliyi həll edərək və nəzərə alsaq ki, onlardan ən azı birinin ödənildiyi ən böyük tam ədədin 7 olduğunu görürük (şəkildə ikinci bərabərsizliyin müsbət həlli sarı, birinci isə mavi rənglə göstərilmişdir).

Cavab: 7

Məntiqi ifadənin olduğu K, L, M, N dəyişənlərinin qiymətlərini göstərin

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

yalan. Cavabı 4 simvoldan ibarət sətir kimi yazın: K, L, M və N dəyişənlərinin dəyərləri (bu ardıcıllıqla). Beləliklə, məsələn, 1101-ci sətir K=1, L=1, M=0, N=1 faktına uyğun gəlir.

Həll.

Dublikat tapşırığı 3584.

Cavab: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

Həll.

Təsir çevrilməsini tətbiq edək:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

Tənliyin hər iki tərəfinə inkar tətbiq edək:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

çevirək:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Buna görə də, M = 0, N = 0, indi nəzərdən keçirin (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

M = 0, N = 0 olmasından belə çıxır ki, M ∧ L = 0, onda ¬K ∧ L = 1, yəni K = 0, L = 1 olur.

Cavab: 0100

Məntiqi ifadənin olduğu K, L, M, N dəyişənlərinin qiymətlərini göstərin

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

yalan. Cavabınızı dörd simvoldan ibarət sətir kimi yazın: K, L, M və N dəyişənlərinin dəyərləri (bu ardıcıllıqla). Beləliklə, məsələn, 1101-ci sətir K=1, L=1, M=0, N=1 faktına uyğun gəlir.

Həll.

Əməliyyatların daha sadə qeydindən istifadə edərək tənliyi yazaq (“ifadə yanlışdır” şərti onun məntiqi sıfıra bərabər olduğunu bildirir):

1) şərtin tərtibindən belə çıxır ki, ifadə yalnız bir dəyişənlər toplusu üçün yalan olmalıdır

2) "təsir" əməliyyatının həqiqət cədvəlindən belə çıxır ki, bu ifadə yalnız və yalnız eyni zamanda yanlışdır.

3) birinci bərabərlik (məntiqi hasil 1-ə bərabərdir) və yalnız və olduqda ödənilir; bundan belə nəticə çıxır (məntiqi cəmi sıfıra bərabərdir), bu yalnız olduqda baş verə bilər; Beləliklə, biz artıq üç dəyişən müəyyən etmişik

4) ikinci şərtdən, , üçün və alırıq.

Tapşırığı təkrarlayır

Cavab: 1000

Məntiqi ifadənin olduğu P, Q, S, T məntiqi dəyişənlərin dəyərlərini göstərin

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) yanlışdır.

Cavabı dörd simvoldan ibarət bir sətir kimi yazın: P, Q, S, T dəyişənlərinin dəyərləri (bu ardıcıllıqla).

Həll.

(1) (P ∨ ¬Q) = 0

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0

(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Təsir çevrilməsini tətbiq edək:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.

Cavab: 0100

Məntiqi ifadənin olduğu K, L, M, N dəyişənlərinin qiymətlərini göstərin

(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N

Həll.

Məntiqi OR yalnız və yalnız hər iki ifadə yalan olduqda yanlışdır.

(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

Birinci ifadə üçün implikasiya çevrilməsini tətbiq edək:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

İkinci ifadəni nəzərdən keçirin:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (birinci ifadənin nəticəsinə bax) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

Cavab: 1001.

Cavab: 1001

Məntiqi ifadənin olduğu K, L, M, N dəyişənlərinin qiymətlərini göstərin

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

doğru. Cavabınızı dörd simvoldan ibarət sətir kimi yazın: K, L, M və N dəyişənlərinin dəyərləri (bu ardıcıllıqla). Beləliklə, məsələn, 1101-ci sətir K=1, L=1, M=0, N=1 faktına uyğun gəlir.

Həll.

Məntiqi "AND" yalnız və yalnız hər iki ifadə doğru olduqda doğrudur.

1) (K → M) = 1 Təsir çevrilməsini tətbiq edin: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 Təsir çevrilməsini tətbiq edin: ¬K ∨ ¬M = 1

Buradan belə çıxır ki, K = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Təsir çevrilməsini tətbiq edək: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 K = 0 olması faktından əldə edirik.

Məntiqi tənliklər sistemlərinin həlli üçün müxtəlif üsullar mövcuddur. Bu, bir tənliyə endirmə, həqiqət cədvəlinin qurulması və parçalanmadır.

Tapşırıq: Məntiqi tənliklər sistemini həll edin:

Gəlin nəzərdən keçirək bir tənliyə endirmə üsulu . Bu üsul məntiqi tənlikləri elə çevirməyi nəzərdə tutur ki, onların sağ tərəfləri həqiqət qiymətinə bərabər olsun (yəni 1). Bunun üçün məntiqi inkar əməliyyatından istifadə edin. Sonra, tənliklər mürəkkəb məntiqi əməliyyatları ehtiva edirsə, biz onları əsaslarla əvəz edirik: “VƏ”, “YA YA”, “YOX”. Növbəti addım “AND” məntiqi əməliyyatından istifadə edərək tənlikləri sistemə ekvivalent olaraq birləşdirməkdir. Bundan sonra, məntiqi cəbr qanunlarına əsaslanaraq yaranan tənliyi çevirməli və sistemin konkret həllini əldə etməlisiniz.

Həll 1: Birinci tənliyin hər iki tərəfinə inversiya tətbiq edin:

Gəlin “OR” və “NOT” əsas əməliyyatları vasitəsilə nəticəni təsəvvür edək:

Tənliklərin sol tərəfləri 1-ə bərabər olduğundan, biz onları “AND” əməliyyatından istifadə edərək orijinal sistemə bərabər olan bir tənliyə birləşdirə bilərik:

Birinci mötərizəni De Morqan qanununa uyğun olaraq açırıq və əldə edilən nəticəni çeviririk:

Alınan tənliyin bir həlli var: A =0, B=0 və C=1.

Növbəti üsuldur həqiqət cədvəllərinin qurulması . Məntiqi kəmiyyətlərin yalnız iki dəyəri olduğundan, sadəcə olaraq bütün variantları nəzərdən keçirə və onların arasında verilmiş tənliklər sisteminin təmin olunduğu variantları tapa bilərsiniz. Yəni, sistemin bütün tənlikləri üçün bir ümumi həqiqət cədvəli qururuq və tələb olunan qiymətlərə malik bir xətt tapırıq.

Həll 2: Sistem üçün həqiqət cədvəli yaradaq:








0	0	1	1	0	1

Tapşırıq şərtlərinin yerinə yetirildiyi sətir qalın şriftlə vurğulanır. Beləliklə, A=0, B=0 və C=1.

yol parçalanma . İdeya dəyişənlərdən birinin dəyərini təyin etməkdir (onu 0 və ya 1-ə bərabərləşdirmək) və bununla da tənlikləri sadələşdirmək. Sonra ikinci dəyişənin dəyərini düzəldə bilərsiniz və s.

Həll 3: A = 0 olsun, onda:

Birinci tənlikdən B = 0, ikincidən isə C = 1 alırıq. Sistemin həlli: A = 0, B = 0 və C = 1.

İnformatika üzrə Vahid Dövlət İmtahanında çox vaxt məntiqi tənliklər sisteminin həllərinin sayını özləri tapmadan müəyyən etmək lazımdır; bunun üçün müəyyən üsullar da var. Məntiqi tənliklər sisteminin həllərinin sayını tapmağın əsas yoludəyişənləri əvəz edir. Əvvəlcə məntiqi cəbr qanunlarına əsaslanaraq tənliklərin hər birini mümkün qədər sadələşdirməli, sonra isə tənliklərin mürəkkəb hissələrini yeni dəyişənlərlə əvəz etməli və yeni sistemin həll yollarının sayını təyin etməlisiniz. Sonra, dəyişdirməyə qayıdın və bunun üçün həllərin sayını təyin edin.

Tapşırıq:(A →B) + (C →D) = 1 tənliyinin neçə həlli var? Burada A, B, C, D məntiqi dəyişənlərdir.

Həll: Yeni dəyişənləri təqdim edək: X = A →B və Y = C →D. Yeni dəyişənləri nəzərə alaraq tənlik belə yazılacaq: X + Y = 1.

Dizyunksiya üç halda doğrudur: (0;1), (1;0) və (1;1), X və Y isə implikasiyadır, yəni üç halda doğru, birində yanlışdır. Buna görə də (0;1) halı parametrlərin üç mümkün kombinasiyasına uyğun olacaq. Hal (1;1) – orijinal tənliyin parametrlərinin doqquz mümkün kombinasiyasına uyğun olacaq. Bu o deməkdir ki, bu tənliyin ümumi mümkün həlli 3+9=15-dir.

Məntiqi tənliklər sisteminin həllərinin sayını təyin etməyin növbəti yolu ikili ağac. Bir nümunədən istifadə edərək bu üsula baxaq.

Tapşırıq: Məntiqi tənliklər sisteminin neçə müxtəlif həlli var:

Verilmiş tənliklər sistemi tənliyə ekvivalentdir:

(x 1 → x 2 )*(x 2 → x 3 )*…*(x m -1 → x m) = 1.

Belə iddia edək x 1 – doğrudur, onda birinci tənlikdən bunu alırıq x 2 ikincidən də doğrudur - x 3 =1 və s. qədər x m= 1. Bu o deməkdir ki, m vahiddən ibarət çoxluq (1; 1; …; 1) sistemin həllidir. Qoy indi x 1 =0, onda birinci tənlikdən əldə edirik x 2 =0 və ya x 2 =1.

Nə vaxt x 2 doğrudur, biz əldə edirik ki, qalan dəyişənlər də doğrudur, yəni (0; 1; ...; 1) çoxluğu sistemin həllidir. At x 2 =0 bunu alırıq x 3 =0 və ya x 3 = və s. Son dəyişənə davam edərək, tənliyin həllərinin aşağıdakı dəyişənlər dəstləri olduğunu tapırıq (m +1 həll, hər bir həll dəyişənlərin m dəyərini ehtiva edir):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

Bu yanaşma ikili ağacın qurulması ilə yaxşı təsvir edilmişdir. Mümkün həllərin sayı qurulmuş ağacın müxtəlif budaqlarının sayıdır. m +1-ə bərabər olduğunu görmək asandır.

	Ağac	Həlllərin sayı
x 1
x 2
x 3
		…

Düşüncədə çətinlik yarandıqda tədqiqat və tikintiilə həll axtara biləcəyiniz həllər istifadə edərək həqiqət cədvəlləri, bir və ya iki tənlik üçün.

Tənliklər sistemini aşağıdakı formada yenidən yazaq:

Və bir tənlik üçün ayrıca həqiqət cədvəli yaradaq:

x 1	x 2	(x 1 → x 2)

İki tənlik üçün həqiqət cədvəli yaradaq:

x 1	x 2	x 3	x 1 → x 2	x 2 → x 3	(x 1 → x 2) (x 2 → x 3)*

Xidmətin məqsədi. Onlayn kalkulyator üçün nəzərdə tutulmuşdur məntiqi ifadə üçün həqiqət cədvəlinin qurulması.
Həqiqət cədvəli – giriş dəyişənlərinin bütün mümkün kombinasiyalarını və onların müvafiq çıxış qiymətlərini ehtiva edən cədvəl.
Həqiqət cədvəli 2n sətirdən ibarətdir, burada n giriş dəyişənlərinin sayı, n+m isə sütunlardır, burada m çıxış dəyişənləridir.

Təlimatlar. Klaviaturadan daxil olarkən aşağıdakı konvensiyalardan istifadə edin:

Məsələn, abc+ab~c+a~bc məntiqi ifadəsi belə daxil edilməlidir: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Məntiqi diaqram şəklində məlumatları daxil etmək üçün bu xidmətdən istifadə edin.

Məntiqi funksiyanın daxil edilməsi qaydaları

v (disjunction, OR) simvolu əvəzinə + işarəsindən istifadə edin.
Məntiqi funksiyadan əvvəl funksiya təyinatını təyin etməyə ehtiyac yoxdur. Məsələn, F(x,y)=(x|y)=(x^y) əvəzinə sadəcə (x|y)=(x^y) daxil etməlisiniz.
Dəyişənlərin maksimum sayı 10-dur.

Kompüter məntiqi sxemlərinin layihələndirilməsi və təhlili riyaziyyatın xüsusi bölməsindən - məntiq cəbrindən istifadə etməklə həyata keçirilir. Məntiq cəbrində üç əsas məntiqi funksiyanı ayırd etmək olar: “NOT” (inkar), “AND” (conjunction), “OR” (disjunction).
Hər hansı məntiqi qurğu yaratmaq üçün çıxış dəyişənlərinin hər birinin mövcud giriş dəyişənlərindən asılılığını müəyyən etmək lazımdır, bu asılılığa keçid funksiyası və ya məntiqi cəbr funksiyası deyilir.
Məntiqi cəbr funksiyası, onun bütün 2n dəyəri verildiyi təqdirdə tam müəyyən edilmiş adlanır, burada n çıxış dəyişənlərinin sayıdır.
Bütün dəyərlər müəyyən edilməmişdirsə, funksiya qismən müəyyən edilmiş adlanır.
Cihazın vəziyyəti məntiqi cəbr funksiyasından istifadə edərək təsvir edilirsə, məntiqi adlanır.
Məntiqi cəbr funksiyasını təmsil etmək üçün aşağıdakı üsullardan istifadə olunur:
Cəbri formada məntiqi elementlərdən istifadə edərək məntiqi cihazın dövrəsini qura bilərsiniz.

Şəkil 1 - Məntiq cihaz diaqramı

Məntiq cəbrinin bütün əməliyyatları müəyyən edilmişdir həqiqət cədvəlləri dəyərlər. Həqiqət cədvəli əməliyyatın nəticəsini müəyyən edir hər kəs mümkündür x orijinal ifadələrin məntiqi dəyərləri. Əməliyyatların tətbiqinin nəticəsini əks etdirən variantların sayı məntiqi ifadədəki ifadələrin sayından asılı olacaq. Əgər məntiqi ifadədə ifadələrin sayı N olarsa, onda həqiqət cədvəlində 2 N sətir olacaq, çünki mümkün arqument dəyərlərinin 2 N müxtəlif kombinasiyası mövcuddur.

DEYİL əməliyyatı - məntiqi inkar (inversiya)

Sadə və ya mürəkkəb məntiqi ifadə ola bilən tək arqumentə məntiqi əməliyyat tətbiq olunmur. Əməliyyatın nəticəsi aşağıdakı DEYİL:

ilkin ifadə doğrudursa, onun inkarının nəticəsi yalan olacaq;
ilkin ifadə yalan olarsa, onun inkarının nəticəsi doğru olacaqdır.

Aşağıdakı konvensiyalar inkar əməliyyatı üçün QƏBUL EDİLMİR:
A, Ā deyil, A, ¬A, !A deyil
İnkar əməliyyatının nəticəsi aşağıdakı həqiqət cədvəli ilə təyin olunmur:

A	yox A
0	1
1	0

İnkar əməliyyatının nəticəsi orijinal ifadə yalan olduqda doğrudur və əksinə.

OR əməliyyat - məntiqi əlavə (ayrılma, birləşmə)

Məntiqi OR əməliyyatı sadə və ya mürəkkəb məntiqi ifadə ola bilən iki ifadəni birləşdirmək funksiyasını yerinə yetirir. Məntiqi əməliyyat üçün başlanğıc nöqtəsi olan ifadələrə arqumentlər deyilir. OR əməliyyatının nəticəsi orijinal ifadələrdən ən azı biri doğru olduqda doğru olacaq ifadədir.
İstifadə olunan təyinatlar: A və ya B, A V B, A və ya B, A||B.
OR əməliyyatının nəticəsi aşağıdakı həqiqət cədvəli ilə müəyyən edilir:
OR əməliyyatının nəticəsi A doğru olduqda doğrudur və ya B doğrudur və ya A və B hər ikisi doğrudur, A və B arqumentləri yanlış olduqda isə yanlışdır.

AND əməliyyatı - məntiqi vurma (bağlama)

AND məntiqi əməliyyatı sadə və ya mürəkkəb məntiqi ifadə ola bilən iki ifadənin (arqumentlərin) kəsişməsi funksiyasını yerinə yetirir. AND əməliyyatının nəticəsi yalnız və yalnız hər iki orijinal ifadə doğru olduqda doğru olacaq ifadədir.
İstifadə olunan təyinatlar: A və B, A Λ B, A & B, A və B.
AND əməliyyatının nəticəsi aşağıdakı həqiqət cədvəli ilə müəyyən edilir:

A	B	A və B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

AND əməliyyatının nəticəsi o halda doğrudur ki, A və B ifadələri həm doğru, həm də bütün digər hallarda yanlışdır.

"ƏGƏR-ONDAN" əməliyyatı - məntiqi nəticə (təsir)

Bu əməliyyat iki sadə məntiqi ifadəni birləşdirir, onlardan birincisi şərt, ikincisi isə bu şərtin nəticəsidir.
İstifadə olunan təyinatlar:
A, onda B; A B ehtiva edir; əgər A onda B; A→B.
Həqiqət cədvəli:

A	B	A → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

İmplikasiya əməliyyatının nəticəsi yalnız A müddəasının doğru olduğu və B nəticəsinin (nəticə) yalan olduğu halda yanlışdır.

“A, əgər və yalnız B olarsa” əməliyyatı (ekvivalentlik, ekvivalentlik)

İstifadə olunan təyinat: A ↔ B, A ~ B.
Həqiqət cədvəli:

A	B	A↔B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

"Əlavə modulu 2" əməliyyatı (XOR, eksklüziv və ya ciddi disjunksiya)

İstifadə olunan qeyd: A XOR B, A ⊕ B.
Həqiqət cədvəli:

A	B	A⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Ekvivalentlik əməliyyatının nəticəsi yalnız A və B eyni zamanda doğru və ya yanlış olduqda doğrudur.

Məntiqi əməliyyatların prioriteti

Mötərizədə hərəkətlər
İnversiya
Bağlayıcı (&)
Disjunksiya (V), Eksklüziv OR (XOR), cəmi modulu 2
Təsir (→)
Ekvivalentlik (↔)

Mükəmməl disjunktiv normal forma

Düsturun mükəmməl disjunktiv normal forması(SDNF) elementar birləşmələrin disjunksiyasından ibarət ekvivalent düsturdur və aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

Düsturun hər bir məntiqi termini F(x 1,x 2,...x n) funksiyasına daxil olan bütün dəyişənləri ehtiva edir.
Düsturun bütün məntiqi şərtləri fərqlidir.
Heç bir məntiqi termində dəyişən və onun inkarı yoxdur.
Düsturda heç bir məntiqi termin eyni dəyişəni iki dəfə ehtiva etmir.

SDNF ya həqiqət cədvəllərindən, ya da ekvivalent çevrilmələrdən istifadə etməklə əldə edilə bilər.
Hər bir funksiya üçün SDNF və SCNF, permutasiyaya qədər unikal şəkildə müəyyən edilir.

Mükəmməl konyunktiv normal forma

Düsturun mükəmməl konyunktiv normal forması (SCNF) Bu, elementar disjunksiyaların birləşməsindən ibarət olan və xassələri təmin edən ona ekvivalent bir düsturdur:

Bütün elementar disjunksiyalar F(x 1 ,x 2 ,...x n) funksiyasına daxil olan bütün dəyişənləri ehtiva edir.
Bütün elementar disjunksiyalar fərqlidir.
Hər elementar disjunksiya bir dəfə dəyişən ehtiva edir.
Heç bir elementar disjunksiya dəyişən və onun inkarını ehtiva etmir.