Katere segmente je mogoče narisati za rezanje. Težave z rezanjem in ponovnim rezanjem oblik. stranica AB in stranica BC sta sosednji


, Natečaj "Predstavitev za lekcijo"

Predstavitev za lekcijo


































Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Izkušnje kažejo, da je pri uporabi praktičnih učnih metod mogoče pri učencih oblikovati številne miselne tehnike, potrebne za pravilno prepoznavanje bistvenih in nebistvenih lastnosti pri seznanjanju z geometrijskimi figurami. razvija se matematična intuicija, logično in abstraktno razmišljanje, oblikuje se kultura matematičnega govora, razvijajo se matematične in oblikovalske sposobnosti, povečuje se kognitivna aktivnost, oblikuje se kognitivni interes, razvija se intelektualni in ustvarjalni potencial.Članek ponuja številne praktične naloge o rezanju geometrijskih oblike na koščke, da sestavijo te dele in ustvarijo novo figuro. Učenci delajo naloge v skupinah. Vsaka skupina nato zagovarja svoj projekt.

Dve figuri se imenujeta enako sestavljeni, če je z rezanjem enega od njiju na določen način na končno število delov mogoče (z različno razporeditvijo teh delov) iz njiju oblikovati drugo figuro. Metoda delitve torej temelji na dejstvu, da sta katera koli dva enako sestavljena poligona enaka po velikosti. Naravno je postaviti nasprotno vprašanje: ali imata katera koli dva mnogokotnika enako površino? Na to vprašanje sta (skoraj sočasno) odgovorila madžarski matematik Farkas Bolyai (1832) in nemški častnik in matematični navdušenec Gerwin (1833): dva mnogokotnika z enakimi ploščinami sta enako sorazmerna.

Bolyai-Gerwinov izrek pravi, da je mogoče vsak mnogokotnik razrezati na kose, tako da se iz kosov lahko oblikuje kvadrat.

1. vaja.

Izrežite pravokotnik a X 2a na koščke, tako da jih je mogoče sestaviti v kvadrat.

Pravokotnik ABCD razrežemo na tri dele po premicah MD in MC (M je sredina AB)

Slika 1

Trikotnik AMD premaknemo tako, da oglišče M sovpada z ogliščem C, krak AM se premakne na odsek DC. Trikotnik MVS premaknemo v levo in navzdol tako, da krak MV prekriva polovico odseka DC. (Slika 1)

Naloga 2.

Enakostranični trikotnik razrežemo na kose, da jih lahko zložimo v kvadrat.

Označimo ta pravilni trikotnik ABC. Trikotnik ABC je treba razrezati na mnogokotnike, da jih lahko zložimo v kvadrat. Potem morajo imeti ti mnogokotniki vsaj en pravi kot.

Naj bo K razpolovišče CB, T razpolovišče AB, izberite točki M in E na strani AC tako, da bo ME=AT=TV=BK=SC= A, AM=EC= A/2.

Slika 2

Narišimo odsek MK ter nanj pravokotno odseke EP in TN. Trikotnik razrežemo na kose vzdolž sestavljenih linij. Štirikotnik KRES zavrtimo v smeri urinega kazalca glede na oglišče K, tako da se SC poravna z odsekom KV. Štirikotnik AMNT zavrtimo v smeri urinega kazalca glede na oglišče T tako, da se AT poravna s TV. Premaknimo trikotnik MEP tako, da bo rezultat kvadrat. (slika 2)

Naloga 3.

Kvadrat razrežemo na kose, tako da lahko iz njih zložimo dva kvadrata.

Označimo prvotni kvadrat ABCD. Označimo središča stranic kvadrata - točke M, N, K, H. Narišimo odseke MT, HE, KF in NP - dele odsekov MC, HB, KA in ND.

S prerezom kvadrata ABCD po narisanih premicah dobimo kvadrat PTEF in štiri štirikotnike MDHT, HCKE, KBNF in NAMP.

Slika 3

PTEF je že pripravljen kvadrat. Iz preostalih štirikotnikov bomo oblikovali drugi kvadrat. Oglišča A, B, C in D so združljiva v eni točki, odseki AM in BC, MD in KS, BN in CH, DH in AN so združljivi. Točke P, T, E in F bodo postale oglišča novega kvadrata. (slika 3)

Naloga 4.

Iz debelega papirja sta izrezana enakostranični trikotnik in kvadrat. Te figure razrežite na poligone, tako da jih je mogoče zložiti v en kvadrat, deli pa ga morajo popolnoma zapolniti in se ne smejo sekati.

Trikotnik razrežite na kose in iz njih sestavite kvadrat, kot je prikazano v nalogi 2. Dolžina stranice trikotnika – 2a. Zdaj morate kvadrat razdeliti na mnogokotnike, tako da iz teh delov in kvadrata, ki je izšel iz trikotnika, naredite nov kvadrat. Vzemite kvadrat s stranico 2 A, označimo ga z LRSD. Narišimo medsebojno pravokotni odsek UG in VF tako, da je DU=SF=RG=LV. Kvadrat razrežemo na štirikotnike.

Slika 4

Vzemimo kvadrat, sestavljen iz delov trikotnika. Postavimo štirikotnike - dele kvadrata, kot je prikazano na sliki 4.

Naloga 5.

Križ je sestavljen iz petih kvadratov: enega kvadrata v sredini in drugih štirih ob njegovih straneh. Narežite ga na kose, da iz njih sestavite kvadrat.

Povežimo oglišča kvadratov, kot je prikazano na sliki 5. Odrežemo »zunanje« trikotnike in jih premaknemo na prosta mesta znotraj kvadrata ABC.

Slika 5

Naloga 6.

Dva poljubna kvadrata prerišite v enega.

Slika 6 prikazuje, kako rezati in premikati kvadratne kose.

Točka je abstrakten objekt, ki nima merskih lastnosti: ne višine, ne dolžine, ne polmera. V okviru naloge je pomembna le njegova lokacija

Točka je označena s številko ali veliko (veliko) latinično črko. Več pik – z različnimi številkami ali različnimi črkami, da jih je mogoče razlikovati

točka A, točka B, točka C

A B C

1. točka, 2. točka, 3. točka

1 2 3

Na list papirja lahko narišete tri pike »A« in povabite otroka, naj nariše črto skozi dve piki »A«. Toda kako razumeti, skozi katere? A A A

Črta je množica točk. Meri se le dolžina. Nima širine ali debeline

Označeno z malimi (majhnimi) latiničnimi črkami

vrstica a, vrstica b, vrstica c

a b c

Vrstica je lahko

  1. zaprta, če sta njen začetek in konec na isti točki,
  2. odprta, če njen začetek in konec nista povezana

zaprte linije

odprte linije

Zapustili ste stanovanje, kupili kruh v trgovini in se vrnili nazaj v stanovanje. Katero vrstico si dobil? Tako je, zaprto. Vrnili ste se na začetno točko. Odšli ste iz stanovanja, kupili kruh v trgovini, vstopili v vhod in se začeli pogovarjati s sosedom. Katero vrstico si dobil? Odprto. Niste se vrnili na začetno točko. Odšli ste iz stanovanja in kupili kruh v trgovini. Katero vrstico si dobil? Odprto. Niste se vrnili na začetno točko.
  1. samosekajoči se
  2. brez samopresečišč

premice, ki se sekajo same s seboj

črte brez samopresečišč

  1. naravnost
  2. pokvarjen
  3. ukrivljen

ravne črte

lomljene črte

ukrivljene črte

Ravna črta je črta, ki ni kriva, nima ne začetka ne konca, lahko jo nadaljujemo v nedogled v obe smeri.

Tudi ko je viden majhen odsek ravne črte, se domneva, da se ta nadaljuje v obe smeri za nedoločen čas.

Označeno z malo (majhno) latinično črko. Ali dve veliki (veliki) latinični črki - točki, ki ležita na ravni črti

ravna črta a

a

ravna črta AB

B A

Neposredno je lahko

  1. sekajo, če imajo skupno točko. Dve črti se lahko sekata le v eni točki.
    • pravokotno, če se sekata pod pravim kotom (90°).
  2. Vzporedni, če se ne sekata, nimata skupne točke.

vzporedne črte

sekajoče se črte

pravokotne črte

Žarek je del premice, ki ima začetek, nima pa konca in se lahko neomejeno nadaljuje le v eno smer.

Svetlobni žarek na sliki ima začetno točko sonce.

sonce

Točka deli premico na dva dela - dva žarka A A

Žarek je označen z malo (malo) latinično črko. Ali dve veliki (veliki) latinski črki, kjer je prva točka, iz katere se začne žarek, druga pa točka, ki leži na žarku.

žarek a

a

žarek AB

B A

Žarki sovpadajo, če

  1. ki se nahajajo na isti ravni črti
  2. začeti na eni točki
  3. usmerjen v eno smer

žarka AB in AC sovpadata

žarka CB in CA sovpadata

C B A

Odsek je del črte, ki je omejen z dvema točkama, torej ima začetek in konec, kar pomeni, da je njegovo dolžino mogoče izmeriti. Dolžina odseka je razdalja med njegovo začetno in končno točko

Skozi eno točko lahko narišete poljubno število črt, vključno z ravnimi črtami

Skozi dve točki - neomejeno število krivulj, vendar samo ena ravna črta

ukrivljene črte, ki potekajo skozi dve točki

B A

ravna črta AB

B A

Kos je bil "odrezan" od ravne črte in ostal je segment. Iz zgornjega primera lahko vidite, da je njegova dolžina najkrajša razdalja med dvema točkama. ✂ B A ✂

Odsek označujemo z dvema velikima latinskima črkama, pri čemer je prva točka, v kateri se odsek začne, druga pa točka, v kateri se odsek konča.

segment AB

B A

Problem: kje je premica, žarek, odsek, krivulja?

Lomljena črta je črta, sestavljena iz zaporedno povezanih odsekov, ki niso pod kotom 180°.

Dolg segment je bil "zlomljen" na več kratkih

Členi lomljene črte (podobno kot členi verige) so segmenti, ki tvorijo lomljeno črto. Sosednje povezave so povezave, pri katerih je konec ene povezave začetek druge. Sosednje povezave ne smejo ležati na isti ravni črti.

Oglišča lomljene črte (podobno kot pri vrhovih gora) so točka, v kateri se lomljena črta začne, točke, v katerih se povezujejo odseki, ki tvorijo lomljeno, in točka, v kateri se lomljena konča.

Lomljeno črto označimo tako, da naštejemo vsa njena oglišča.

lomljena črta ABCDE

oglišče poličrte A, oglišče poličrte B, oglišče poličrte C, oglišče poličrte D, oglišče poličrte E

prekinjena povezava AB, prekinjena povezava BC, prekinjena povezava CD, prekinjena povezava DE

člen AB in člen BC sosednji

povezava BC in povezava CD sta sosednji

povezava CD in povezava DE sta sosednji

A B C D E 64 62 127 52

Dolžina lomljene črte je vsota dolžin njenih členov: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Naloga: katera lomljena črta je daljša, A ki ima več oglišč? V prvi liniji so vsi členi enake dolžine in sicer 13 cm. V drugi liniji so vsi členi enake dolžine in sicer 49 cm. V tretji liniji so vsi členi enake dolžine in sicer 41 cm.

Poligon je sklenjena poličrta

Stranice mnogokotnika (izrazi, ki si jih boste lažje zapomnili: »pojdi v vse štiri smeri«, »teci proti hiši«, »na kateri strani mize boš sedel?«) so členi lomljene črte. Sosednji stranici mnogokotnika sta sosednji členi lomljene črte.

Oglišča mnogokotnika so oglišča lomljene črte. Sosednja oglišča so končne točke ene stranice mnogokotnika.

Poligon označujemo tako, da naštejemo vsa njegova oglišča.

zaprt poličrt brez samopresečišča, ABCDEF

mnogokotnik ABCDEF

oglišče poligona A, oglišče poligona B, oglišče poligona C, oglišče poligona D, oglišče poligona E, oglišče poligona F

oglišče A in oglišče B sta sosednji

oglišče B in oglišče C sta sosednji

oglišče C in oglišče D sta sosednji

oglišče D in oglišče E sta sosednji

oglišče E in oglišče F sta sosednji

oglišče F in oglišče A sta sosednji

stran poligona AB, stranica mnogokotnika BC, stranica mnogokotnika CD, stranica mnogokotnika DE, stranica mnogokotnika EF

stranica AB in stranica BC sta sosednji

stranica BC in stran CD sta sosednji

CD stran in DE stran sta sosednji

stranica DE in stranica EF sta sosednji

stranica EF in stranica FA sta sosednji

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Obseg mnogokotnika je dolžina lomljene črte: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Mnogokotnik s tremi oglišči se imenuje trikotnik, s štirimi - štirikotnik, s petimi - peterokotnik itd.

Niz izbirnih ur na temo "Reševanje problemov rezanja"

Pojasnilo

Osnovno cilji ki jih uvrščamo v izbirne predmete so:

    Predstavite gradivo o vrstah rezalnih poligonov;

    Spodbujati oblikovanje veščin pri učencih za duševno izvajanje takšnih transformacij, kot so:

    • vzporedni prenos,

      obrat,

      centralna simetrija in različne kompozicije teh transformacij.

    IN glavni cilj vseh razredov: doseči pozitivno spremembo sposobnosti prostorskega razmišljanja.

Naloge, ki jih ponujamo pri izbirnem pouku, so ustvarjalne narave, njihovo reševanje od dijakov zahteva: veščine:

    zmožnost miselnih transformacij, ki spreminjajo lokacijo podob, ki jih imajo učenci v svojih mislih, njihovo strukturo, strukturo;

    sposobnost hkratnega spreminjanja slike tako po lokaciji kot po strukturi ter večkratnega izvajanja kompozicij posameznih operacij.

Tematsko načrtovanje:

1. Vprašalnik št. 1 – 1 ura.

2. Težave z rezanjem. Rezanje tipa R – 1 ura.

3. Rezanje tipa P – 1 ura.

4. Rezanje tipa Q – 1 ura.

5. Rezanje tipa S – 1 ura.

6. Rezanje v obliki črke T – 1 ura.

7. Vprašalnik št. 2 – 1 ura.

Pri sestavljanju niza izbirnih predmetov so bili uporabljeni problemi iz revij "Kvant", "Matematika v šoli" in knjige G. Lindgren.

Smernice: Pri uvajanju učencev v probleme priporočamo, da te probleme upoštevate natančno glede na vrste rezanja, ki jih je predlagal G. Lindgren, kar na eni strani omogoča razvrščanje teh problemov, na drugi strani pa v učilnici za reševanje problemov, ki vključujejo prostorske transformacije različnih stopenj kompleksnosti (druga in tretja vrsta, ki delujejo s slikami, po I.S. Yakimanskaya). Pri delu z učenci 7.–9. razreda priporočamo uporabo nalog izbirnega pouka.

Lekcija št. 1

Tema: Težave pri rezanju. Rezanje tipa R (racionalno rezanje).

Cilj: Učence seznaniti s konceptom rezalnega problema, razložiti bistvo rezalne vrste R, analizirati rešitev problemov za to vrsto rezanja, v procesu reševanja problemov spodbujati oblikovanje veščin za mentalno izvajanje operacij (rezanje, dodajanje, prerezovanje, obračanje, vzporedni prenos), s čimer se spodbuja razvoj prostorskega mišljenja.

Oprema: papir, barvne paste, škarje, plakat.

metoda: pojasnjevalno – ilustrativno.

Učiteljica: plakat na tabli:

Shema: Rezanje težav

Težave z rezanjem

1) Figuro razrežite na več figur

3) Preoblikujte eno ali več oblik v drugo obliko


2) Iz danih likov zložite figuro


Med vsemi rezalnimi problemi je večina racionalnih rezalnih problemov. To je posledica dejstva, da je takšne reze enostavno izmisliti in uganke, ki temeljijo na njih, niso preveč preproste in ne preveč zapletene.

Težave pri R - rezanju


1) Figuro razrežite na več (večinoma enakih) figur

3) Preoblikujte eno ali več oblik v dano obliko

2) Iz danih (večinoma enakih) likov seštej lik


3.1. Uporaba stopenjskega rezanja

3.2. Brez uporabe stopenjskega rezanja


Spoznajmo rešitev problemov za vsako vrsto rezanja R.

Faza II: Faza reševanja problema

Metode: delno iskanje

Naloga št. 1(AII) : Kvadrat s stranico štirih kvadratov razrežite na dva enaka dela. Poiščite čim več načinov rezanja.

Opomba: režete lahko samo ob straneh celic.

rešitev:

Takšne reze učenci poiščejo v svojih zvezkih, nato pa učitelj povzame vse načine rezanja, ki so jih učenci našli.

Problem št. 2(AII) : Te oblike razrežite na dva enaka dela.

Opomba: režete lahko ne samo ob straneh celic, ampak tudi diagonalno.

Take izreze učenci s pomočjo učitelja poiščejo v svojih zvezkih.

Kvadrat ima veliko čudovitih lastnosti. Pravi koti, enake stranice, simetrija mu dajejo preprostost in popolnost oblike. Na zložljivih kvadratih iz delov enakih in različnih oblik je veliko ugank.

TO primer naloga št. 3(BII) : Dobiš štiri enake dele. Iz njih v mislih naredite kvadrat, pri čemer vsakič uporabite vse štiri dele. Vse teste naredite na papirju. Rezultate svoje rešitve predstavite v obliki ročno narisane risbe.

rešitev:


Šahovnica, razrezana na kose, ki jih je treba pravilno zložiti, je ena izmed priljubljenih in znanih ugank. Zahtevnost montaže je odvisna od tega, na koliko delov je plošča razdeljena.

Predlagam naslednjo nalogo:

Problem št. 4(BII) : Sestavite šahovnico iz delov, prikazanih na sliki.

rešitev:

Problem #5(VII) : Razrežite "čoln" na dva dela, tako da ju lahko zložite v kvadrat.

rešitev:

1) razrežite na dva dela, kot je na sliki

    obrniti enega od delov (tj. zavrteti)

Problem št. 6(VII): Katero koli od treh figur lahko razrežemo na dva dela, iz katerih zlahka zložimo kvadrat. Poiščite takšne reze.

A) b)

V)

rešitev:

vzporedni prenos dela 1 glede na del 2

vrtenje dela 1 glede na del 2

) b) V)

Problem št. 7(VII): Pravokotnik s stranicama 4 in 9 enot je razrezan na dva enaka dela, ki ju lahko pravilno prepognemo kot kvadrat.

    rez je izdelan v obliki stopnic, katerih višina in širina sta enaki;

    lik je razdeljen na dele in en del premakne za eno (ali več) stopnic navzgor in ga postavi na drug del.

rešitev:

vzporedni prenos 1. dela

Problem št. 9(VII): Ko figuro, prikazano na sliki, razrežete na dva dela, ju zložite v kvadrat, tako da sta obarvana kvadrata simetrična glede na vse simetrične osi kvadrata.

rešitev:

vzporedni prenos 1. dela

Problem št. 9(ВIII): Kako je treba izrezati dva kvadrata 3 x 3 in 4 x 4, da bo mogoče nastale dele zložiti v en kvadrat? Izmislite si več načinov. Poskusite preživeti s čim manj deli.

rešitev:

vzporedni prenos delov

način:

način:

vzporedno prevajanje in rotacija

način:

4 način:

vzporedni prenos in vrtenje delov


Učenci ob pomoči učitelja iščejo reze.

Problem št. 10(AIII): Figuro, prikazano na sliki, je treba razdeliti na 6 enakih delov, pri čemer naredite reze samo vzdolž mrežnih črt. Na koliko načinov lahko to storite?

rešitev: Dve možni rešitvi.

Problem št. 11(BII): Iz danih figur sestavi šahovnico.

rešitev:

Problem št. 12(BIII): Pretvorite pravokotnik 3 x 5 v pravokotnik 5 x 3, ne da bi vrteli ustrezne dele.

Opomba: Uporabite stopničasto rezanje.

rešitev:(vzporedni prenos)

Problem št. 13(BIII): Obliko razrežite na 2 kosa z enim rezom, da oblikujete kvadrat 8 x 8.

rešitev:

vrtenje dela 2 glede na del 1


Smernice: Težave z rezanjem tipa R so nekatere izmed najlažjih in najbolj zanimivih. Številni problemi za to vrsto rezanja vključujejo več načinov reševanja, samostojna rešitev teh problemov s strani učencev pa lahko pomaga prepoznati vse načine reševanja. Naloge 1, 2, 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13 vključujejo delo učencev s podobo figur z miselnimi transformacijami (»rezanje«, seštevanje, vrtenje, vzporedni prenos). Težave 4, 5, 9, 11 vključujejo delo študentov z modeli (narejenimi iz papirja), z neposrednim rezanjem figure s škarjami in izvajanjem matematičnih transformacij (rotacija, vzporedni prevod), da bi našli rešitve problemov. Naloge 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13 - za drugo vrsto operiranja s slikami, naloge 9, 10, 12 - za tretjo vrsto operiranja s slikami.

Lekcija št. 2

Tema: Tip rezanja P (P paralelogramski premik).

Cilj: Razložite bistvo vrste rezanja P, v procesu analize rešitve problemov za to vrsto rezanja, hkrati pa spodbujajte oblikovanje spretnosti za miselno izvajanje operacij (rezanje, dodajanje, ponovno rezanje, vzporedni prenos), s čimer spodbujate razvoj prostorskega mišljenja.

Oprema:

Stopnja I: Usmerjena stopnja

metoda: problematična predstavitev.

učiteljica postavi problem (reši problem št. 1) in pokaže njegovo rešitev.

Naloga št. 1(BIII): Paralelogram s stranicami 3 in 5 cm pretvorite v nov paralelogram z enakimi koti kot prvotni paralelogram, katerega ena stranica je 4 cm.

rešitev: 1)

4)

ABC D – paralelogram

AB = 3, A D=5

    naredimo rez AO VO = D K = 4;

    premaknite del 1 navzgor (vzporedno prevajanje) v desno vzdolž linije reza, dokler točka O ne pade na nadaljevanje stranice DC;

    naredite rez KA' tako, da KA' || DC ;

    in Δ AA'K vstavimo v vdolbino, ki se nahaja pod točko O (vzporedni prenos Δ AA'K vzdolž ravne črte AO).

KVO D je želeni paralelogram (КD = 4)

KDO= A.D.C. SLABO = 1 + 4,

1 = 2 in 4 =  3 – križno leži na vzporednicah.

Zato je  SLABO = 2 + 3 = BOC =  BKD,  BAD =  BKD itd.

U

Težave s prestavo P

Preoblikujte eno ali več oblik v drugo obliko

bralec:

Bistvo vrste rezanja P:

    naredimo del te figure, ki ustreza zahtevam naloge;

    izvajamo vzporedni prenos izrezanega dela vzdolž črte reza, dokler vrh izrezanega dela ne sovpada z nadaljevanjem druge strani prvotne figure (paralelograma);

    naredimo drugi rez vzporedno s stranico paralelograma, dobimo še en del;

    Izvedemo vzporedni prenos na novo odrezanega dela vzdolž črte prvega reza, dokler oglišča ne sovpadajo (del vstavimo v vdolbino).

Faza II: Faza reševanja problema

Metode: pojasnjevalno – ilustrativno

Problem št. 2(BII): Pretvorite kvadrat 5 x 5 v pravokotnik s širino 3.

rešitev:

1) 2) – 3) 4)

    odsek AO / VO = D T = 3

    vzporedni prenos ΔABO vzdolž ravne črte AO ​​do točke O  (DC)

    rez TA’ / TA’ || CD

    Δ AA ’T z vzporednim prenosom vzdolž premice AO.

TBOD je želeni pravokotnik (TB = 3).

Problem št. 3(ВIII): Zložite tri enake kvadrate v en velik kvadrat.

Opomba: zložite tri kvadrate v pravokotnik in nato uporabite P shift.

rešitev:

S pr = 1,5 * 4,5 = 6,75

kv = 6,75 =

1) 2) – 3)

4)

Problem št. 4(BIII): pravokotnik 5 x 1 razrežite v kvadrat

Opomba: naredite rez AB (A W =
), uporabite premik P za pravokotnik XYWA.

rešitev:

1)

2) – 3) 4) 5)


Problem št. 5(VIII): Pretvorite rusko N v kvadrat.

Opomba: naredite rez, kot je prikazano na sliki, nastale dele zložite v pravokotnik.

rešitev:

Problem št. 6(BIII): Pretvori trikotnik v trapez.

Opomba: naredite rez, kot je prikazano na sliki.

rešitev:

    zavrti del 1;

    AB odsek;

    ΔАВС vzporedni prenos vzdolž AB do točke B  (FM)

    cut ALI / ALI || FM;

    ΔAOR z vzporednim transportom vzdolž AB. Točka P sovpada s točko B;

    OFBC je želeni trapez.

Problem št. 7(VIII): Iz treh enakih grških križev naredite en kvadrat.

rešitev:

Problem št. 8(BIII): Pretvori črko T v kvadrat.

Opomba: Najprej iz črke t izrežite pravokotnik.

rešitev: S t = 6 (enota 2), Skv = (
) 2

obrat

sestava vzporednih vezajev

MV = KS =

Problem št. 9(ВIII): Prerišite zastavo, prikazano na sliki, v kvadrat.

Opomba: Najprej pretvorite zastavo v pravokotnik

rešitev:

obrat

S fl = 6,75 AB = C D =
Skv = (
) 2

vzporedni prenos

Smernice: Pri seznanjanju z rezalnimi problemi tipa P priporočamo, da pri reševanju konkretnega problema predstavijo bistvo te vrste rezanja. Priporočamo reševanje nalog najprej na modelih (papirnatih), z neposrednim rezanjem figur s škarjami in vzporednim prenosom, nato pa v procesu reševanja nalog z modelov figur preidemo na delo s slikami geometrijskih likov, z izvajanjem miselnih transformacij (rezanje, vzporedni prenos).

Lekcija št. 3

Tema: Način rezanja Q (Q je premik štirikotnika).

Cilj: Naj orišemo bistvo vrste rezanja Q v procesu reševanja problemov za to vrsto rezanja, hkrati pa spodbujamo oblikovanje spretnosti za miselno izvajanje operacij (rezanje, dodajanje, centralna simetrija, rotacija, vzporedni prenos), s čimer spodbujamo razvoj prostorskega mišljenja.

Oprema: papir, barvne paste, škarje.

Stopnja I: Usmerjena stopnja

metoda: problematična predstavitev.

Učitelj učencem postavi problem (reši nalogo št. 1) in pokaže rešitev.

Naloga št. 1(BIII): Pretvorite ta štirikotnik v nov štirikotnik.

rešitev:

    izrez HP naredimo tako, da je VN = MN, PF = DF;

    narediti rez ME / ME || sonce;

    narediti rez RT / RT || AD ;

    Δ 3 in Δ 1 sta zasukana v smeri urinega kazalca glede na del 2;

    1. del z vzporednim prenosom po premici HF do točke T  AR;

    AMCP je zahtevani štirikotnik (s stranicama CP in AM (lahko podana v pogoju)).

Problem št. 2(BIII): Pretvori štirikotnik v nov štirikotnik (dolg štirikotnik).

rešitev:


    (zavrtite del 1 glede na točko O, dokler OU ne sovpada z AO);

    (zavrtite del (1 – 2) glede na točko T, dokler VT ne sovpada z WT);

XAZW je zahtevani štirikotnik.

Pri težavah z uporabo rezov Q se naredijo rezi, odrezani kosi pa so podvrženi rotacijski transformaciji.

Naloge za Q rezanje


preoblikovanje dane oblike (štirikotnik) v drugo obliko (štirikotnik)


V mnogih problemih se elementi Q premika uporabljajo za pretvorbo trikotnika v nekakšen štirikotnik ali obratno (trikotnik kot "štirikotnik" z eno od njegovih stranic, ki ima dolžino nič).

Faza II: Faza reševanja problema

Problem št. 3(VII): Iz trikotnika je izrezan majhen trikotnik, kot je prikazano na sliki. Preuredite majhen trikotnik tako, da tvori paralelogram.


Zavrtite del 1 glede na točko P, dokler KR ne sovpada z MR.

AOO'M je zahtevani paralelogram.

Problem št. 4(BII, BIII): Kateri od teh trikotnikov lahko spremenite v pravokotnike tako, da naredite en (dva) reza in preuredite nastale dele?

1) 2) 3) 4)

5)

rešitev:

1)

5)

1), 5) en rez (rez – srednja črta trikotnika)

2)

3)

4)

2), 3), 4) dva reza (1. rez – srednjica, 2. rez – višina od vrha trikotnika).

Problem št. 5(VII): Pregradite trapez v trikotnik.

rešitev:

    razdelek KS (AK = KB)

    vrtenje ΔKVS okoli točke K, tako da sta segmenta KV in KA poravnana.

Δ FCD želeni trikotnik.

Problem št. 6(ВIII): Kako trapez razdeliti na oblike, iz katerih lahko sestavimo pravokotnik?

rešitev:

1) ALI razdelek (AO = OB, OR┴AD)

2) rez TF (CT = TD, TF ┴AD)

    rotacija dela 1 glede na točko O, tako da sta AO in BO poravnana.

    Zasukajte del 2 glede na točko T, tako da sta DT in CT poravnana.

    PLMF – pravokotnik.

III. stopnja: postavljanje domače naloge.

Problem št. 7(VIII) : pretvori kateri koli trikotnik v pravokotni trikotnik.

komentar:

1) najprej pretvorite poljuben trikotnik v pravokotnik.

2) pravokotnik v pravokotni trikotnik.

rešitev:

obrat

Problem št. 8(VII): Poljubni paralelogram pretvorite v trikotnik tako, da naredite samo en rez.

rešitev:

obrat

Zasukaj 2. del okoli točke O za 180º (središče simetrije)

Smernice: Povzetek bistva rezanja Q, ki ga priporočamo

izvajati v procesu reševanja konkretnih problemov. Glavne matematične transformacije, ki se uporabljajo pri reševanju problemov za to vrsto rezanja, so: rotacija (zlasti centralna simetrija, vzporedno prevajanje). Naloge 1, 2, 7 - za praktična dejanja z modeli geometrijskih oblik; naloge 3, 4, 5, 6, 8 vključujejo delo s slikami geometrijskih oblik. Naloge 3, 4, 5, 8 – za drugo vrsto operiranja s slikami, naloge 1, 2, 4, 6, 7 – za tretjo vrsto operiranja s slikami.

Lekcija št. 4.

Tema: Rezanje tipa S.

Cilj: Pojasnite bistvo rezalne vrste S, v procesu reševanja problemov za to vrsto rezanja, hkrati pa spodbujajte oblikovanje spretnosti za miselno izvajanje operacij (rezanje, dodajanje, prekrivanje, obračanje, vzporedni prenos, centralna simetrija), s čimer spodbujate razvoj prostorskega mišljenja.

Oprema: papir, barvne paste, škarje, kodni pozitivi.

jaz stopnja: Usmerjeni oder.

metoda: pojasnjevalno in ilustrativno.

Naloga št. 1(VII): kako razrezati paralelogram s stranicama 3,5 cm in 5 cm na paralelogram s stranicama 3,5 cm in 5,5 cm in tako narediti le en »rez«?

rešitev:

1) narišite segment (razrez) CO = 5,5 cm, razdelite paralelogram na dva dela.

2) trikotnik COM nanesemo na nasprotno stranico paralelograma AK. (tj. vzporedni prenos ∆ COM na segment SA v smeri SA).

3) CAOO` je želeni paralelogram (CO = 5,5 cm, CA = 3,5 cm).

Naloga št. 1(ВIII): pokažite, kako lahko kvadrat razrežete na 3 dele, tako da lahko iz njih sestavite pravokotnik, katerega ena stranica je dvakrat večja od druge.

rešitev:

Sestavi kvadrat ABCD

    narišimo diagonalo AC

    Narišimo polovico diagonale BD odsek OD (OD ┴AC), OD = ½ AC. Iz dobljenih 3 delov sestavite pravokotnik (dolžina AC, širina AD

Za to:

    izvedemo vzporedni prenos delov 1 in 2. dela 1 (∆1) v smeri D A, ∆2 v smeri AB na segment AB.

AOO`C je želeni pravokotnik (s stranicami AC, OA = ½ AC).

Učiteljica: Razmislili smo o rešitvi dveh problemov; vrsta rezanja, ki se uporablja pri reševanju teh problemov, se figurativno imenuje S-rezanje.

S - rezanje je v bistvu transformacija enega paralelograma v drugega paralelograma.

Bistvo tega reza V nadaljevanju:

    naredimo rez, ki je enak dolžini strani zahtevanega paralelograma;

    izvajamo vzporedni prenos odrezanega dela, dokler enaki nasprotni stranici paralelograma ne sovpadata (tj. odrezani del nanesemo na nasprotno stran paralelograma)

Glede na zahteve naloge bo odvisno število rezov.

Razmislimo o naslednjih nalogah:

Naloga št. 3(BII): paralelogram razdelite na dva dela, iz katerih lahko sestavite pravokotnik.

Narišimo poljuben paralelogram.

rešitev:

    od točke B znižajte višino VN (VN┴AD)

    Izvedimo vzporedni prenos ∆ AVN na odsek BC v smeri BC.

Narišite risbo nastalega pravokotnika.

VNRS – pravokotnik.

Naloga št. 4(BIII): Stranici paralelograma sta 3 in 4 cm. Z dvema rezoma ga spremenite v paralelogram s stranicami 3,5 cm.

rešitev:

1)

2)

Želeni paralelogram.

Na splošno S-rezanje temelji na metodi prekrivanja trakov, ki omogočajo reševanje problema preoblikovanja poljubnih poligonov.

Pri zgornjih težavah smo se zaradi enostavnosti odpovedali metodi nanašanja trakov, čeprav je vse te rešitve možno dobiti tudi s to metodo. Toda pri bolj zapletenih nalogah ne morete brez črt.

Na kratko črtasta metoda se skrči na tole:

1) Vsak poligon (poligon, ki ga preoblikujemo, in poligon, v katerega je treba preoblikovati prvotni mnogokotnik) razrežite (če je potrebno) na dele, iz katerih lahko zložite dva trakova.

2) Trakove postavite drug na drugega pod primernim kotom, pri čemer morajo biti robovi enega od njih vedno enakomerno postavljeni glede na elemente drugega traku.

3) V tem primeru bodo vse črte, ki se nahajajo v skupnem delu obeh trakov, pokazale mesta potrebnih rezov.

Pismo S, ki se uporablja v izrazu "S-cut", prihaja iz angleškega Strip - trak.

Faza II: Faza reševanja problema

Na primeru problema 3 preverimo, ali metoda nanašanja črt daje želeno rešitev.

Problem št. 3(VII): Paralelogram razdeli na dva dela, iz katerih lahko sestaviš pravokotnik.

rešitev:

1)

2)

3)

1) iz paralelograma dobimo trak

2) črte pravokotnikov

3) položite trak 2 na trak 1, kot je prikazano na sliki 3

4) pridobimo zahtevano nalogo.

Problem št. 5(BIII): V enakokrakem trikotniku so označene razpolovišča stranskih stranic in njihove projekcije na osnovo. Skozi označene točke narišemo dve ravni črti. Pokažite, da lahko iz nastalih kosov sestavite romb.

rešitev:

del 2, 3 – rotacija okoli točke

del 4 - vzporedni prenos

V tej nalogi je že nakazano rezanje trikotnikov, lahko preverimo, da je to S-rez.

Problem št. 6(BIII): Pretvorite tri grške križe v kvadrat (z uporabo črt).

rešitev:

1)


Na trak križcev položimo trak kvadratov tako, da točka A in točka C pripadata roboma traku križcev.

∆АВН = ∆СD B, zato je kvadrat sestavljen iz ∆АВС in ∆АВМ.

Faza III: Določanje domače naloge

Problem št. 7(BIII): Pretvorite ta pravokotnik v drug pravokotnik, katerega stranice se razlikujejo od stranic prvotnega pravokotnika.

Opomba: Poglejte rešitev 4. težave.

rešitev:

    odsek AO (AO – širina zahtevanega pravokotnika);

    rez DP / DP  AO (DP – dolžina zahtevanega pravokotnika);

    vzporedni prenos ∆AVO v smeri letala na segment letala;

    vzporedni prenos ∆АPD na segment AO v smeri AO;

    Zahtevan pravokotnik PFED.

Problem št. 8(BIII): Pravilni trikotnik je z odsekom razdeljen na dele; iz teh delov sestavite kvadrat.

Opomba: S prekrivanjem trakov lahko preverite, da je to S rez.

    rotacija dela 2 okoli točke O;

    rotacija dela 3 okoli točke C;

    vzporedni prenos 4. dela

Dodatna naloga št. 9(BII): Prerežite paralelogram vzdolž ravne črte, ki poteka skozi njegovo središče, tako da lahko nastala dva kosa zložite v romb.

rešitev:

O  QT

    QT rez;

    del 1 z vzporednim prenosom na odsek BC v smeri BC (CD in AB sta združena).

Smernice: S – rezanje – ena najtežjih vrst rezanja. Priporočamo, da se bistvo tega rezanja oriše v konkretnih nalogah. Pri pouku reševanja problemov na S - rezanju priporočamo uporabo problemov, v katerih so podane rezalne figure in je potrebno dodati zahtevano figuro iz nastalih delov, kar je razloženo s težavo učencev pri samostojnem izvajanju metode nanašanja trakov, kar je bistvo S – rezanja. Hkrati lahko učitelj pri nalogah, ki so učencem bolj dostopne (na primer pri nalogah 3, 5, 8), pokaže, kako metoda nanašanja trakov omogoča doseganje rezov, ki so podani v pogojih naloge. Naloge 4, 5, 6, 8, 9 - za praktična dejanja z modeli geometrijskih oblik, naloge 1, 2, 3, 7 - za delo s slikami geometrijskih oblik. Naloge 1, 3, 9 – za drugo vrsto operiranja s slikami, naloge 2, 4, 5, 6, 7, 8 – za tretjo vrsto operiranja s slikami.

Lekcija št. 5

Tema: Rezanje v obliki črke T.

Cilj: Razložite bistvo vrste rezanja S, v procesu analize rešitve problemov za to vrsto rezanja, hkrati pa spodbujajte oblikovanje spretnosti za miselno izvajanje operacij (rezanje, dodajanje, obračanje, vzporedni prenos), s čimer spodbujate razvoj prostorsko razmišljanje.

Oprema: papir, barvne paste, škarje, barvne paste, kodni pozitivi.

Stopnja I: Usmerjena stopnja

metoda: razlagalno in ilustrativno

Učiteljica: Uporaba T-reza za reševanje problemov vključuje risanje mozaika in njegovo naknadno prekrivanje. Trakove, ki se uporabljajo pri S-rezanju, lahko dobite iz mozaikov. Zato metoda polaganja ploščic posplošuje metodo trakov.

Razmislimo o bistvu T-reza na primeru reševanja problemov.

Naloga št. 1(BIII): Grški križ pretvorite v kvadrat.

1) prvi korak je pretvorba izvirnega poligona v mozaični element (in to je potrebno);

2) iz teh elementov naredimo mozaik št. 1 (izdelujemo mozaik iz grških križev);

5) vse črte, ki se nahajajo v skupnem delu obeh mozaikov, bodo pokazale mesta potrebnih rezov.

Faza II: Faza reševanja problema

metoda: delno - iskanje

Problem št. 2(BIII): Grški križ je razrezan na tri dele, te dele zložite v pravokotnik.

Opomba: lahko preverimo, ali je ta rez T-tip.

rešitev:

    rotacija dela 1 okoli točke O;

    zavrtite del 2 okoli točke A.

Problem št. 3(BIII): Konveksni štirikotnik prerežite vzdolž dveh ravnih črt, ki povezujeta središči nasprotnih stranic. Dokaži, da je iz nastalih štirih kosov vedno mogoče sešteti paralelogram.


    2. del rotacija okoli točke O (ali središča simetrije) za 180;

    3. del rotacija okoli točke C (ali središča simetrije) za 180;

    1. del – vzporedni prenos.

Pokažimo mozaik, iz katerega je nastal ta rez.

Problem št. 4(BIII): Trije enaki trikotniki so bili izrezani vzdolž različnih median. Šest nastalih kosov zložite v en trikotnik.

rešitev:

1) iz teh trikotnikov naredimo trikotnike kot na sliki 1 (centralna simetrija);

2) iz treh novih trikotnikov sestavimo še en trikotnik (enake stranice sovpadajo).

Pokažimo, kako so bili ti odseki izdelani z uporabo mozaikov.

Problem št. 5(BIII): Grški križ je bil razrezan na kose in iz teh kosov je bil sestavljen pravokotni enakokraki trikotnik.

rešitev:

    1. del centralna simetrija;

    3. del centralna simetrija;

    3. in 4. del – obrat.

Problem št. 6(BIII): Izrežite to figuro v kvadrat.

rešitev:

    1. del rotacija okoli točke O;

    del 3 zavijte za 90 okoli točke A.

Problem št. 7(BIII): Grški križ izrežite v paralelogram (razrezi so podani).

rešitev:

    del 2 – vzporedni prenos glede na del 1;

    del 3 vzporedni prenos vzdolž linije reza.

Faza III: Določanje domače naloge.

Problem št. 8(BIII): Dva enaka papirnata konveksna štirikotnika z rezoma: prvi po eni od diagonal, drugi pa po drugi diagonali. Dokaži, da lahko iz nastalih delov sestaviš paralelogram.

rešitev: sestava zavojev.

Problem št. 9(BIII): Sestavite kvadrat iz dveh enakih grških križev.

rešitev:

Smernice: T - rezanje - najbolj zapletena vrsta rezanja, ki tvori reze tipa S. Priporočamo, da razložite bistvo T-reza v procesu reševanja problemov. Zaradi zahtevnosti izvajanja mozaične metode za učence, ki je bistvo T-reza, pri pouku priporočamo uporabo nalog, v katerih je določeno rezanje in je treba iz nastalih delov figure dobiti želeni lik z uporabo matematične transformacije (rotacija, vzporedna translacija). Hkrati lahko učitelj pri nalogah, ki so učencem bolj dostopne, pokaže, kako z mozaično metodo pridobiti rezalne podatke. Naloge, predlagane v lekciji št. 5, so namenjene tretji vrsti delovanja s slikami in vključujejo študente, ki delajo z modeli geometrijskih likov z vrtenjem in vzporednim prevajanjem.

Mentorjem matematike in učiteljem različnih izbirnih predmetov ter krožkov je na voljo izbor zabavnih in poučnih geometrijskih rezalnih nalog. Cilj mentorja, ki pri pouku uporablja takšne probleme, ni le zanimati učenca za zanimive in učinkovite kombinacije celic in likov, temveč tudi razviti njegov občutek za linije, kote in oblike. Sklop problemov je namenjen predvsem otrokom od 4. do 6. razreda, čeprav ga je možno uporabljati tudi pri srednješolcih. Vaje od učencev zahtevajo visoko in stabilno koncentracijo pozornosti in so odlične za razvijanje in urjenje vidnega spomina. Priporočljivo za mentorje matematike, ki pripravljajo dijake na sprejemne izpite v matematične šole in razrede, ki postavljajo posebne zahteve glede stopnje samostojnega razmišljanja in ustvarjalnih sposobnosti otroka. Raven nalog ustreza ravni vstopnih olimpijad v "drugo šolo" liceja (druga matematična šola), Malo fakulteto za mehaniko in matematiko Moskovske državne univerze, Kurčatovsko šolo itd.

Opomba mentorja matematike:
Pri nekaterih rešitvah nalog, ki si jih lahko ogledate s klikom na ustrezen kazalec, je naveden le eden od možnih primerov rezanja. Popolnoma priznam, da lahko na koncu dobite kakšno drugo pravilno kombinacijo - tega se vam ni treba bati. Previdno preverite rešitev vašega malčka in če izpolnjuje pogoje, se pogumno lotite naslednje naloge.

1) Figuro, prikazano na sliki, poskusite razrezati na 3 enake dele:

: Majhne oblike so zelo podobne črki T

2) Zdaj razrežite to figuro na 4 enake dele:


Nasvet inštruktorja matematike: Lahko je uganiti, da bodo majhne figure sestavljene iz 3 celic, vendar ni veliko figur s tremi celicami. Obstajata samo dve vrsti: kot in pravokotnik 1×3.

3) To figuro razrežite na 5 enakih kosov:



Poiščite število celic, ki sestavljajo vsako takšno figuro. Te številke izgledajo kot črka G.

4) Zdaj morate figuro desetih celic razrezati na 4 neenakopravni pravokotnik (ali kvadrat) drug proti drugemu.


Navodila inštruktorja matematike: Izberite pravokotnik in poskusite v preostale celice vstaviti še tri. Če ne deluje, spremenite prvi pravokotnik in poskusite znova.

5) Naloga postane bolj zapletena: figuro morate razrezati na 4 drugačne oblike figure (ne nujno pravokotniki).


Nasvet inštruktorja matematike: najprej posebej nariši vse vrste likov različnih oblik (več kot štirje bodo) in ponovi metodo naštevanja možnosti kot v prejšnji nalogi.
:

6) To figuro razrežite na 5 figur iz štirih celic različnih oblik, tako da je v vsaki pobarvana samo ena zelena celica.


Nasvet inštruktorja matematike: Poskusite začeti rezati od zgornjega roba te figure in takoj boste razumeli, kako naprej.
:

7) Na podlagi prejšnje naloge. Ugotovite, koliko je figur različnih oblik, sestavljenih iz točno štirih celic? Številke je mogoče zvijati in obračati, vendar mize (s površine), na kateri leži, ne morete dvigniti. To pomeni, da se dve dani figuri ne bosta šteli za enaki, saj ju ni mogoče dobiti drug od drugega z vrtenjem.


Nasvet inštruktorja matematike: Preučite rešitev prejšnjega problema in si poskusite predstavljati različne položaje teh figur pri obračanju. Ni težko uganiti, da bo odgovor na naš problem številka 5 ali več. (Pravzaprav celo več kot šest). Opisanih je 7 vrst figur.

8) Kvadrat s 16 celicami razrežite na 4 kose enake oblike, tako da vsak od štirih kosov vsebuje natanko eno zeleno celico.


Nasvet inštruktorja matematike: Videz majhnih figur ni kvadrat ali pravokotnik ali celo vogal štirih celic. V kakšne oblike bi torej morali poskusiti izrezati?

9) Upodobljeno figuro razrežite na dva dela, tako da lahko nastale dele zložite v kvadrat.


Namig učitelja matematike: Skupaj je 16 celic, kar pomeni, da bo kvadrat velik 4x4. In nekako morate zapolniti okno na sredini. Kako narediti? Bi lahko prišlo do kakšnega premika? Potem, ker je dolžina pravokotnika enaka lihemu številu celic, je treba rezanje opraviti ne z navpičnim rezom, temveč vzdolž lomljene črte. Tako, da je na eni strani srednje celice odrezan zgornji del, na drugi pa spodnji.

10) Pravokotnik 4x9 razrežite na dva dela, tako da ju je mogoče prepogniti v kvadrat.


Nasvet inštruktorja matematike: V pravokotniku je skupaj 36 celic. Zato bo kvadrat velik 6x6. Ker je dolga stran sestavljena iz devetih celic, jih je treba tri odrezati. Kako bo potekalo to zmanjšanje?

11) Križ petih celic, ki je prikazan na sliki, je treba razrezati (lahko razrežete same celice) na kose, iz katerih lahko zložite kvadrat.


Nasvet inštruktorja matematike: Jasno je, da ne glede na to, kako režemo po linijah celic, ne bomo dobili kvadrata, saj je celic samo 5. To je edina naloga, pri kateri je dovoljeno rezanje. ne po celicah. Vendar bi jih bilo vseeno dobro pustiti kot vodilo. na primer, treba je omeniti, da moramo nekako odstraniti vdolbine, ki jih imamo - namreč v notranjih kotih našega križa. Kako to narediti? Na primer, odrezanje nekaj štrlečih trikotnikov iz zunanjih kotov križa ...

Sargsyan Roman

Raziskovalno delo Rezalni problemi so zaključili učenci 8. razreda

Učenci se seznanijo in raziščejo tehnike rezanja figur v igrah »Pentamino«, »Tangrami«, uganke in dokazovanje izrekov.

Prenesi:

Predogled:

Če želite uporabljati predogled predstavitev, ustvarite Google račun in se prijavite vanj: https://accounts.google.com


Podnapisi diapozitivov:

Predogled:

Raziskovalno delo na temo

"Težave pri rezanju"

Izvajajo: Roman Sargsyan, Anastasia Shavrova,

Učenci 8. razreda

MBOU "Severomuyskaya Srednja šola"

Vodja: učiteljica matematike Ogarkova I.I.

  1. Uvod
  2. Zgodovinska referenca
  3. Igra "Pentamino"
  4. Igra "Tangram"
  5. Problem "Torta"
  6. Naloga št. 4 - "Izrežite pravokotnik"
  7. Naloga št. 5 - "Izrežite dva kvadrata"
  8. Naloga št. 6 - "Izrežite dva kvadrata-2"
  9. Problem #7 – Križ
  10. Naloga št. 8 – Križ -2
  11. Naloga št. 9 - Kvadrat 8*8
  12. Problem št. 10 Območje paralelograma
  13. Problem št. 11 Območje trapeza
  14. Problem št. 12 Območje trikotnika
  15. Zaključek
  16. Literatura.

Uvod

»Reševanje problemov je praktična umetnost

plavanje, smučanje ali igranje klavirja;

tega se lahko naučiš samo s posnemanjem dobrega

vzorci in nenehno vadba"

D. Poya

Strast do matematike se pogosto začne z razmišljanjem o problemu, ki vam je še posebej všeč. Bogat vir tovrstnih težav so različne olimpijade – šolske, mestne, na daljavo, mednarodne. Pri pripravah na olimpijade smo si ogledali veliko raznolikih nalog in določili skupino problemov, katerih pristop k reševanju se nam je zdel zanimiv in izviren. To so rezalne naloge. Imeli smo vprašanja: kaj je posebnost takih problemov, ali obstajajo posebne metode in tehnike za reševanje rezalnih problemov.

Ustreznost (diapozitiv 2)

  1. Matematiki odkrivajo nove povezave med matematičnimi objekti. Kot rezultat tega dela so najdene splošne metode za reševanje različnih problemov. In ti problemi dobijo standardne metode reševanja, ki prehajajo iz kategorije kreativnih v kategorijo tehničnih, to je, ki zahtevajo uporabo že znanih metod za njihovo rešitev.
  2. Naloge za rezanje pomagajo šolarjem čim prej oblikovati geometrijske pojme z uporabo različnih materialov. Pri reševanju tovrstnih problemov se poraja občutek lepote, zakonitosti in reda v naravi.

Predmet študija: krojne naloge

Predmet študija: različni rezalni problemi, metode in tehnike za njihovo reševanje.

Raziskovalne metode: modeliranje, primerjanje, posploševanje, analogije, študij literarnih in internetnih virov, analiza in klasifikacija informacij.

(Slide3) Glavnonamen študijeje razširiti znanje o različnih opravilih rezanja.

Za dosego tega cilja predvidevamo rešitev naslednjega naloge: (diapozitiv 4)

  1. izberite potrebno literaturo
  2. naučijo se rezati geometrijske oblike na dele, potrebne za sestavo ene ali druge geometrijske oblike, z uporabo njihovih lastnosti in značilnosti;
  3. naučijo se dokazovati, da so ploščine likov enake, tako da jih razrežejo na določene dele in dokazujejo, da so ti liki enako sestavljeni;
  4. izvajanje geometrijskih raziskav in načrtovanja pri reševanju problemov različnih vrst.
  5. izberite gradivo za raziskavo, izberite glavne, zanimive, razumljive informacije
  6. analizirati in sistematizirati prejete informacije
  7. poiskati različne metode in tehnike za reševanje rezalnih problemov
  8. razvrstite preučevane probleme
  9. najti načine preoblikovanja: trikotnika v enakostranski paralelogram; paralelogram v enakostranični trikotnik; trapeza v enakostranični trikotnik.
  10. Ustvarite elektronsko predstavitev svojega dela

Hipoteza: Morda raznolikost rezalnih problemov, njihova "zabavna" narava in pomanjkanje splošnih pravil in metod za njihovo reševanje povzročajo šolarjem težave pri njihovem obravnavi. Predpostavimo, da se bomo ob natančnejšem pregledu rezalnih nalog prepričali o njihovi ustreznosti, izvirnosti in uporabnosti.

Pri reševanju problemov rezanja ne potrebujemo znanja osnov planimetrije, ampak bomo potrebovali iznajdljivost, geometrijsko domišljijo in dokaj preproste geometrijske podatke, ki jih pozna vsak.

(Slide 5) Zgodovinsko ozadje

Rezalni problemi kot vrsta uganke pritegnejo pozornost že od antičnih časov. Prvo razpravo, ki obravnava probleme rezanja, je napisal znani arabski astronom in matematik iz Horasana Abu al-Wefa (940 - 998 n. št.). Na začetku 20. stoletja je zaradi hitrega razmaha periodike reševanje problemov razrezovanja figur na določeno število delov in njihovega nato sestavljanja v novo figuro pritegnilo pozornost kot sredstvo za zabavo širokih slojev družbe. Sedaj so se geometri resno lotili teh problemov, zlasti ker temeljijo na starodavnem problemu enako velikih in enako sestavljenih likov, ki izvira iz starodavnih geometrov. Znana specialista v tej veji geometrije sta bila slavna klasika zabavne geometrije in izdelovalca ugank Henry E. Dudeney in Harry Lindgren.

Enciklopedija za reševanje različnih problemov rezanja je knjiga "Cutting Geometry" Harryja Lindgrena. V tej knjigi najdete zapise za rezanje mnogokotnikov v dane oblike

Ko razmišljate o rešitvah težav z rezanjem, razumete, da ni univerzalnega algoritma ali metode. Včasih lahko geometer začetnik v svoji rešitvi bistveno preseže bolj izkušeno osebo. Ta enostavnost in dostopnost je osnova za priljubljenost iger, ki temeljijo na reševanju takšnih problemov, npr- (Slide 6) pentomino"sorodniki" tetrisa, tangram.

(Slide7) Igra "Pentamino" Pravila igre

Bistvo igre je sestaviti različne silhuete predmetov na ravnini. Igra vključuje dodajanje različnih kosov iz določenega niza pentominojev. Set pentomino vsebuje 12 figur, od katerih je vsaka sestavljena iz petih enakih kvadratov, kvadrati pa so »sosednji« drug drugemu samo s stranicami.

Igra "Tangram" (diapozitiv 8)

V igri "tangram" je mogoče sestaviti precejšnje število figur iz sedmih osnovnih elementov.Vse sestavljene figure morajo imeti enako površino, ker sestavljen iz enakih elementov. Sledi, da:

  1. Vsaka sestavljena figura mora vsekakor vsebovati vseh sedem elementov.
  2. Pri sestavljanju figure se elementi ne smejo prekrivati, t.j. nahajati samo v eni ravnini.
  3. Elementi figur morajo biti poleg drug drugega.

Naloge

V igri tangram obstajajo 3 glavne kategorije nalog:

  1. Iskanje enega ali več načinov za konstrukcijo dane figure ali eleganten dokaz nezmožnosti konstrukcije figure.
  2. Iskanje načina za upodobitev silhuet živali, ljudi in drugih prepoznavnih predmetov z največjo ekspresivnostjo ali humorjem (ali oboje skupaj).
  3. Reševanje različnih problemov kombinatorne geometrije, ki nastanejo v zvezi s sestavo figur iz 7 tan.

Naloga 3 (diapozitiv 9)

Torta , okrašen z vrtnicami, je bil razdeljen na kose s tremi ravnimi rezi, tako da je bil v vsakem kosu točno ena vrtnica. Kakšno je največje število vrtnic, ki bi lahko bilo na torti?

Komentar. Rešitev problema temelji na uporabi aksioma:"Ravna črta deli ravnino na dve polravnini."Prikazani morajo biti vsi možni primeri postavitve treh ravnih črt. Iz slike postane jasno, da največje število delov - 7 - dobimo, ko se črte sekajo v parih. Zato na torti ne sme biti več kot 7 vrtnic.

Naloga 4 (Slide10)

Izrežite pravokotnik, ax2a na take dele, da je bilo iz njih mogoče sestaviti njemu enako veliko:

1) pravokotni trikotnik;

2) kvadrat.

Rešitev problema je razvidna iz slik 2 in 3.

Naloga 5 (11. diapozitiv)

Izrežite dva kvadrata1x1 in 3x3 na take dele, da se iz njih lahko sestavi kvadrat enake velikosti.

Komentar. Ta naloga je preoblikovanje figure, sestavljene iz dveh kvadratov, v kvadrat enake velikosti. Površina novega trga je 3 2 +1 2 , kar pomeni, da je stranica kvadrata, ki je enaka vsoti teh kvadratov, enaka, tj. je hipotenuza pravokotnika s krakoma 3 in 1. Konstrukcija takega kvadrata je razvidna iz slike 4

Naloga 6 (diapozitiv 12)

Izrežite dva naključna kvadratana takšne dele, da se iz njih lahko oblikuje kvadrat enake velikosti.

Rešitev problema je razvidna iz slike 5. Ploščina novega kvadrata je a 2 + b 2 , kar pomeni, da je stranica kvadrata, ki je enaka vsoti teh kvadratov, enaka

to je hipotenuza pravokotnega trikotnika s katetama a in b.

Naloga 7 (13. diapozitiv)

Križ sestavljen iz petih kvadratov: en kvadrat v sredini, drugi štirje pa ob njegovih straneh. Narežite ga na kose, tako da iz njih sestavite enako velik kvadrat.

Rešitev problema je razvidna iz slike 6.

Naloga 8 (diapozitiv 14)

Križ sestavljen iz petih kvadratov: en kvadrat v sredini, drugi štirje pa ob njegovih straneh. Kako pokriti površino ličja s šestimi takimi križi, od katerih je vsaka stran enaka velikosti križa.

Komentar. Križ je nameščen na robu (slika 7), ni treba obrezati in ponovno lepiti "štrlečih ušes" - premaknejo se na sosednji rob in končajo na pravih mestih. Z ovijanjem »štrlečih ušes« na sosednje ploskve lahko tako prekrijete površino kocke s šestimi križi (slika 8).

Naloga 9 (diapozitiv 15)

Kvadrat 8x8 razrežemo na štiri dele, kot je prikazano na sliki 9. Iz nastalih delov sestavimo pravokotnik 13x5. Ploščina pravokotnika je 65, ploščina kvadrata pa 64. Pojasni, kje je napaka.