Kako pronaći površinu pravokutnika množenjem. Kako izračunati površinu. Proporcije između podne površine i prozora
Počevši od 5. razreda, učenici se počinju upoznavati s konceptom područja različitih oblika. Posebna se uloga daje području pravokutnika, jer je ova figura jedna od najlakših za proučavanje.
Koncepti područja
Svaki lik ima svoju površinu, a izračunavanje površine temelji se na jediničnom kvadratu, odnosno kvadratu čija je duža stranica 1 mm, ili 1 cm, 1 dm itd. Površina takve figure jednaka je $1*1 = 1mm^2$, ili $1cm^2$, itd. Područje se, u pravilu, označava slovom - S.
Područje pokazuje veličinu dijela ravnine koji zauzima figura ocrtana segmentima.
Pravokutnik je četverokut u kojem su svi kutovi iste stupnjevne mjere i jednaki 90 stupnjeva, a nasuprotne stranice su paralelne i u parovima jednake.
Posebnu pozornost treba obratiti na mjerne jedinice duljine i širine. Moraju odgovarati. Ako se jedinice ne podudaraju, pretvaraju se. U pravilu pretvaraju veću jedinicu u manju, npr. ako je duljina dana u dm, a širina u cm, tada se dm pretvara u cm, a rezultat će biti $cm^2$.
Formula površine pravokutnika
Da biste pronašli površinu pravokutnika bez formule, morate izbrojati broj jediničnih kvadrata na koje je lik podijeljen.
Riža. 1. Pravokutnik podijeljen na jedinične kvadrate
Pravokutnik je podijeljen na 15 kvadrata, odnosno njegova je površina 15 cm2. Vrijedno je napomenuti da figura zauzima 3 kvadrata u širinu i 5 u duljinu, tako da izračunate broj jediničnih kvadrata, trebate pomnožiti duljinu sa širinom. Što je manja stranica četverokuta širina, to je duža duljina. Dakle, možemo izvesti formulu za površinu pravokutnika:
S = a · b, gdje su a,b širina i duljina figure.
Na primjer, ako je duljina pravokutnika 5 cm, a širina 4 cm, tada će površina biti jednaka 4 * 5 = 20 cm 2.
Izračunavanje površine pravokutnika pomoću njegove dijagonale
Da biste izračunali površinu pravokutnika kroz dijagonalu, morate primijeniti formulu:
$$S = (1\preko (2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Ako zadatak daje vrijednosti kuta između dijagonala, kao i vrijednost same dijagonale, tada možete izračunati površinu pravokutnika koristeći opću formulu za proizvoljne konveksne četverokute.
Dijagonala je odsječak koji povezuje suprotne točke figure. Dijagonale pravokutnika su jednake, a sjecište je podijeljeno na pola.
Riža. 2. Pravokutnik s nacrtanim dijagonalama
Primjeri
Da biste učvrstili temu, razmotrite primjere zadataka:
broj 1. Pronađite površinu vrtne parcele istog oblika kao na slici.
Riža. 3. Crtanje za problem
Riješenje:
Da biste oduzeli površinu, trebate podijeliti lik na dva pravokutnika. Jedan od njih će imati dimenzije 10 m i 3 m, drugi 5 m i 7 m. Zasebno nalazimo njihova područja:
$S_1 =3*10=30 m^2$;
Ovo će biti površina okućnice $S = 65 m^2$.
broj 2. Oduzmite površinu pravokutnika ako je dana njegova dijagonala d = 6 cm i kut između dijagonala α = 30 0.
Riješenje:
Vrijednost $sin 30 =(1\preko(2)) $,
$ S =(1\preko(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\preko(2)) * 6^2 * (1\preko(2)) =9 cm^2$
Dakle, $S=9 cm^2$.
Dijagonale dijele pravokutnik na 4 oblika - 4 trokuta. U ovom slučaju trokuti su jednaki u parovima. Ako nacrtate dijagonalu u pravokutniku, ona dijeli lik na dva jednaka pravokutna trokuta.
Dijagonale nisu simetrale uglova pravokutnika. A također ako nacrtate simetrale svakog kuta, onda kada se presijeku, dobit ćete pravokutnik.
Što smo naučili?
Naučili smo kako pronaći površinu pravokutnika. Jedna ili druga formula za pronalaženje područja koristi se ovisno o početnim podacima. Također je vrijedno zapamtiti da ako zadatak ima različite mjerne jedinice za strane, potrebno ih je pretvoriti u jednu.
Test na temu
Ocjena članka
Prosječna ocjena: 4.4. Ukupno primljenih ocjena: 292.
Pravokutnik je poseban slučaj četverokuta. To znači da pravokutnik ima četiri stranice. Njegove suprotne stranice su jednake: na primjer, ako mu je jedna stranica jednaka 10 cm, tada će i suprotna stranica biti jednaka 10 cm. Poseban slučaj pravokutnika je kvadrat. Kvadrat je pravokutnik kojemu su sve stranice jednake. Za izračunavanje površine kvadrata, možete koristiti isti algoritam kao za izračunavanje površine pravokutnika.
Kako saznati površinu pravokutnika na temelju dvije strane
Da biste pronašli površinu pravokutnika, morate pomnožiti njegovu duljinu sa širinom: površina = duljina × širina. U dolje navedenom slučaju: Površina = AB × BC.
Kako saznati površinu pravokutnika prema duljini stranice i dijagonale
Neki problemi zahtijevaju da pronađete površinu pravokutnika pomoću duljine dijagonale i jedne od stranica. Dijagonala pravokutnika dijeli ga na dva jednaka pravokutna trokuta. Stoga drugu stranicu pravokutnika možemo odrediti pomoću Pitagorinog teorema. Nakon toga zadatak se svodi na prethodnu točku.
Kako saznati površinu pravokutnika po obodu i strani
Opseg pravokutnika je zbroj svih njegovih stranica. Ako znate opseg pravokutnika i jednu stranu (kao što je širina), možete izračunati površinu pravokutnika pomoću sljedeće formule:
Površina = (Opsegךirina – širina^2)/2.
Površina pravokutnika kroz sinus oštrog kuta između dijagonala i duljine dijagonale
Dijagonale u pravokutniku su jednake, pa da biste izračunali površinu na temelju duljine dijagonale i sinusa oštrog kuta između njih, trebali biste koristiti sljedeću formulu: Površina = dijagonala^2 × sin(oštri kut između dijagonala )/2.
Površina pravokutnika možda ne zvuči arogantno, ali je važan koncept. U svakodnevnom životu stalno se susrećemo s tim. Saznajte veličinu polja, povrtnjaka, izračunajte količinu boje potrebne za krečenje stropa, koliko će tapeta biti potrebno za lijepljenje
novac i više.
Geometrijski lik
Prvo, razgovarajmo o pravokutniku. Ovo je lik u ravnini koji ima četiri prava kuta, a suprotne stranice su mu jednake. Njegove strane obično se nazivaju duljina i širina. Mjere se u milimetrima, centimetrima, decimetrima, metrima itd. Sada ćemo odgovoriti na pitanje: "Kako pronaći površinu pravokutnika?" Da biste to učinili, morate pomnožiti duljinu s širinom.
Površina=duljina*širina
No, još jedno upozorenje: duljina i širina moraju biti izražene u istim mjernim jedinicama, dakle metar i metar, a ne metar i centimetar. Područje je napisano latiničnim slovom S. Radi praktičnosti, duljinu označimo latiničnim slovom b, a širinu latiničnim slovom a, kao što je prikazano na slici. Iz ovoga zaključujemo da je jedinica za površinu mm 2, cm 2, m 2 itd.
Pogledajmo konkretan primjer kako pronaći površinu pravokutnika. Duljina b=10 jedinica. Širina a=6 jedinica. Rješenje: S=a*b, S=10 jedinica*6 jedinica, S=60 jedinica 2. Zadatak. Kako saznati površinu pravokutnika ako je duljina 2 puta veća od širine i iznosi 18 m? Rješenje: ako je b=18 m, onda je a=b/2, a=9 m. Kako pronaći površinu pravokutnika ako su poznate obje stranice? Tako je, zamijenite ga u formulu. S=a*b, S=18*9, S=162 m 2. Odgovor: 162 m2. Zadatak. Koliko rola tapeta treba kupiti za sobu ako su njezine dimenzije: duljina 5,5 m, širina 3,5 m i visina 3 m? Dimenzije rolne tapeta: dužina 10 m, širina 50 cm Rješenje: napraviti crtež prostorije.
Površine suprotnih strana su jednake. Izračunajmo površinu zida dimenzija 5,5 m i 3 m S zid 1 = 5,5 * 3,
S zid 1 = 16,5 m 2. Dakle, suprotni zid ima površinu od 16,5 m2. Nađimo površinu sljedeća dva zida. Njihove stranice su 3,5 m, odnosno 3 m S zid 2 = 3,5 * 3, S zid 2 = 10,5 m 2. To znači da je suprotna strana također jednaka 10,5 m2. Zbrojimo sve rezultate. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Kako izračunati površinu pravokutnika ako su stranice izražene u različitim mjernim jedinicama. Prethodno smo izračunali površine u m2, au ovom slučaju ćemo koristiti metre. Tada će širina rolne tapeta biti jednaka 0,5 m rolne S = 10 * 0,5, S rolne = 5 m 2. Sada ćemo saznati koliko je valjaka potrebno za pokrivanje sobe. 54:5=10,8 (koluta). Budući da se mjere cijelim brojevima, potrebno je kupiti 11 rola tapeta. Odgovor: 11 rolni tapeta. Zadatak. Kako izračunati površinu pravokutnika ako se zna da je širina 3 cm kraća od duljine, a zbroj stranica pravokutnika 14 cm? Rješenje: neka je duljina x cm, tada je širina (x-3) cm x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm. - duljina pravokutnika, 5-3=2 cm - širina pravokutnika, S=5*2, S=10 cm 2 Odgovor: 10 cm 2.
Sažetak
Nakon što sam pogledao primjere, nadam se da je postalo jasno kako pronaći površinu pravokutnika. Podsjećam te da se mjerne jedinice za duljinu i širinu moraju poklapati, inače ćeš dobiti netočan rezultat. Da ne bi pogriješio, pažljivo pročitaj zadatak. Ponekad se strana može izraziti kroz drugu stranu, ne bojte se. Pogledajte naše riješene probleme, sasvim je moguće da vam mogu pomoći. Ali barem jednom u životu susrećemo se s pronalaženjem površine pravokutnika.
je paralelogram u kojem su svi kutovi jednaki 90°, a nasuprotne stranice su paralelne i u parovima jednake.
Pravokutnik ima nekoliko nepobitnih svojstava koja se koriste u rješavanju mnogih problema, u formulama za površinu pravokutnika i njegov opseg. Evo ih:
Duljina nepoznate stranice ili dijagonale pravokutnika izračunava se pomoću ili korištenjem Pitagorinog poučka. Površina pravokutnika može se pronaći na dva načina - proizvodom njegovih stranica ili formulom za površinu pravokutnika kroz dijagonalu. Prva i najjednostavnija formula izgleda ovako:
Primjer izračuna površine pravokutnika pomoću ove formule vrlo je jednostavan. Poznavajući dvije strane, na primjer a = 3 cm, b = 5 cm, lako možemo izračunati površinu pravokutnika:
Smatramo da će u takvom pravokutniku površina biti jednaka 15 četvornih metara. cm.
Površina pravokutnika kroz dijagonale
Ponekad morate primijeniti formulu za područje pravokutnika kroz dijagonale. Zahtijeva ne samo pronalaženje duljine dijagonala, već i kut između njih:
Pogledajmo primjer izračuna površine pravokutnika pomoću dijagonala. Neka je zadan pravokutnik dijagonale d = 6 cm i kuta = 30°. Zamjenjujemo podatke u već poznatu formulu:
Dakle, primjer izračuna površine pravokutnika kroz dijagonalu pokazao nam je da je pronalaženje površine na ovaj način, ako je zadan kut, prilično jednostavno.
Pogledajmo još jedan zanimljiv problem koji će nam pomoći da malo protegnemo mozak.
Zadatak: S obzirom na kvadrat. Njegova površina je 36 četvornih metara. cm. Odredite opseg pravokutnika čija je duljina jedne stranice 9 cm, a površina jednaka gore navedenom kvadratu.
Dakle, imamo nekoliko uvjeta. Radi jasnoće, zapišimo ih kako bismo vidjeli sve poznate i nepoznate parametre: 
Stranice figure su u parovima paralelne i jednake. Stoga je opseg figure jednak dvostrukom zbroju duljina stranica:
Iz formule za površinu pravokutnika, koja je jednaka umnošku dviju stranica figure, nalazimo duljinu stranice b
Odavde:
Zamjenjujemo poznate podatke i nalazimo duljinu stranice b:
Izračunajte opseg figure: 
Ovako, znajući nekoliko jednostavnih formula, možete izračunati opseg pravokutnika, znajući njegovu površinu.
Već smo se upoznali s konceptom područje figure, naučio jednu od jedinica za mjerenje površine - kvadratni centimetar. U ovoj lekciji ćemo izvesti pravilo za izračunavanje površine pravokutnika.
Već znamo kako pronaći područje figura koje su podijeljene na kvadratne centimetre.
Na primjer:
Možemo odrediti da je površina prve figure 8 cm 2, površina druge figure 7 cm 2.
Kako pronaći površinu pravokutnika čije su stranice duge 3 cm i 4 cm?
Da bismo riješili problem, pravokutnik podijelimo na 4 trake od po 3 cm 2 .
Tada će površina pravokutnika biti jednaka 3 * 4 = 12 cm 2.
Isti se pravokutnik može podijeliti na 3 trake od po 4 cm 2 .
Tada će površina pravokutnika biti jednaka 4 * 3 = 12 cm 2.
U oba slučaja Da bi se odredila površina pravokutnika, množe se brojevi koji izražavaju duljine stranica pravokutnika.
Pronađite površinu svakog pravokutnika.
Promotrimo pravokutnik AKMO.
Jedna traka ima 6 cm 2 , au ovom pravokutniku postoje 2 takve trake. To znači da možemo izvesti sljedeću radnju:
Broj 6 predstavlja duljinu pravokutnika, a 2 širinu pravokutnika. Dakle, pomnožili smo stranice pravokutnika da bismo pronašli površinu pravokutnika.
Promotrimo pravokutnik KDCO.
U pravokutniku KDCO ima 2 cm 2 u jednoj traci, a postoje 3 takve trake. Dakle, možemo izvesti radnju
Broj 3 označava duljinu pravokutnika, a 2 širinu pravokutnika. Pomnožili smo ih i saznali površinu pravokutnika.
Možemo zaključiti: Da biste pronašli površinu pravokutnika, ne morate svaki put podijeliti lik na kvadratne centimetre.
Da biste izračunali površinu pravokutnika, morate pronaći njegovu duljinu i širinu (duljine stranica pravokutnika moraju biti izražene u istim mjernim jedinicama), a zatim izračunati umnožak dobivenih brojeva (površina će se izraziti u odgovarajućim jedinicama površine)
Ukratko: Površina pravokutnika jednaka je umnošku njegove duljine i širine.
Riješiti problem.
Izračunaj površinu pravokutnika ako je duljina pravokutnika 9 cm, a širina 2 cm.
Razmišljajmo ovako. U ovom zadatku poznate su i duljina i širina pravokutnika. Stoga slijedimo pravilo: površina pravokutnika jednaka je umnošku njegove duljine i širine.
Zapišimo rješenje.
Odgovor: površina pravokutnika 18 cm 2
Što mislite koje su još duljine stranica pravokutnika s takvom površinom?
Možeš razmišljati i ovako. Budući da je površina umnožak duljina stranica pravokutnika, morate se sjetiti tablice množenja. Kojim brojevima se daje odgovor 18?
Tako je, kad pomnožite 6 i 3, također ćete dobiti 18. To znači da pravokutnik može imati stranice od 6 cm i 3 cm, a njegova će površina također biti jednaka 18 cm 2.
Riješiti problem.
Duljina pravokutnika je 8 cm, a širina 2 cm. Nađi njegovu površinu i opseg.
Znamo duljinu i širinu pravokutnika. Neophodno je zapamtiti da za pronalaženje površine trebate pronaći umnožak njezine duljine i širine, a za pronalaženje opsega trebate pomnožiti zbroj duljine i širine s dva.
Zapišimo rješenje.
Odgovor: Površina pravokutnika je 16 cm2, a opseg pravokutnika 20 cm.
Riješiti problem.
Duljina pravokutnika je 4 cm, a širina 3 cm. Kolika je površina trokuta? (vidi sliku)
Da biste odgovorili na pitanje u zadatku, prvo morate pronaći površinu pravokutnika. Znamo da za ovo trebamo pomnožiti duljinu sa širinom.
Pogledajte crtež. Jeste li primijetili kako je dijagonala pravokutnik podijelila na dva jednaka trokuta? Stoga je površina jednog trokuta 2 puta manja od površine pravokutnika. Dakle, trebamo smanjiti 12 2 puta.
Odgovor: Površina trokuta je 6 cm2.
Danas smo na satu učili o pravilu za izračunavanje površine pravokutnika i naučili primijeniti ovo pravilo pri rješavanju zadataka o pronalaženju površine pravokutnika.
1. M.I.Moro, M.A.Bantova i drugi: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 1. dio M., “Prosvjeta”, 2012.
2. M.I.Moro, M.A.Bantova i drugi: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 2. dio M., “Prosvjeta”, 2012.
3. M.I.Moro. Nastava matematike: Metodičke preporuke za nastavnike. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
4. Regulatorni dokument. Praćenje i vrednovanje ishoda učenja. M., “Prosvjetljenje”, 2011.
5. “Škola Rusije”: Programi za osnovnu školu. - M.: “Prosvjetljenje”, 2011.
6. S.I.Volkova. Matematika: Kontrolni rad. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
7. V.N.Rudnitskaya. Testovi. M., "Ispit", 2012. (127 str.)
2. Izdavačka kuća "Prosveshcheniye" ()
1. Duljina pravokutnika je 7 cm, širina 4 cm. Nađi površinu pravokutnika.
2. Stranica kvadrata je 5 cm.
3. Nacrtajte moguće opcije za pravokutnike s površinom od 18 cm 2.
4. Napravite zadatak na temu lekcije za svoje prijatelje.