Təlimatlar

Qeyd:π pi kimi yazılır; kvadrat kök sqrt() kimi.

Addım 1. Kəsrlərdən ibarət verilmiş nümunə daxil edin.

Addım 2."Həll et" düyməsini basın.

Addım 3.Ətraflı nəticələr əldə edin.

Kalkulyatorun kəsrləri düzgün hesablamasını təmin etmək üçün “/” işarəsi ilə ayrılmış kəsri daxil edin. Misal üçün: . Kalkulyator tənliyi hesablayacaq və hətta bu nəticənin niyə alındığını qrafikdə göstərəcək.

Kəsrlərlə tənlik nədir

Kəsr tənlik əmsalların kəsr ədədləri olduğu tənlikdir. Kəsrə malik xətti tənliklər standart sxem üzrə həll edilir: naməlumlar bir tərəfə, məlum olanlar isə digər tərəfə ötürülür.

Bir misala baxaq:

Naməlum kəsrlər sola, digər kəsrlər isə sağa köçürülür. Rəqəmlər bərabər işarədən kənara köçürüldükdə, rəqəmlərin işarəsi əksinə dəyişir:

İndi yalnız bərabərliyin hər iki tərəfinin hərəkətlərini yerinə yetirməlisiniz:

Nəticə adi xətti tənlikdir. İndi sol və sağ tərəfləri dəyişənin əmsalı ilə bölmək lazımdır.

Onlayn kəsrlərlə tənlikləri həll edin yenilənib: 7 oktyabr 2018-ci il: Elmi məqalələr.Ru

Tənliklər sistemlərinin iki növ həllini təhlil edək:

1. Əvəzetmə üsulu ilə sistemin həlli.
2. Sistemin sistem tənliklərinin müddətli əlavə (çıxma) yolu ilə həlli.

Tənliklər sistemini həll etmək üçün əvəzetmə üsulu ilə sadə bir alqoritmə əməl etməlisiniz:
1. Ekspres. İstənilən tənlikdən bir dəyişəni ifadə edirik.
2. Əvəz etmək. Alınan dəyəri ifadə olunan dəyişənin yerinə başqa bir tənliklə əvəz edirik.
3. Nəticə tənliyi bir dəyişənlə həll edin. Sistemin həllini tapırıq.

Həll etmək sistem müddətli toplama (çıxma) üsulu ilə lazımdır:
1. Eyni əmsallar yaradacağımız dəyişəni seçin.
2. Tənlikləri əlavə edirik və ya çıxırıq, nəticədə bir dəyişənli tənlik yaranır.
3. Alınan xətti tənliyi həll edin. Sistemin həllini tapırıq.

Sistemin həlli funksiya qrafiklərinin kəsişmə nöqtələridir.

Nümunələrdən istifadə edərək sistemlərin həllini ətraflı nəzərdən keçirək.

Nümunə №1:

Əvəzetmə üsulu ilə həll edək

Əvəzetmə üsulu ilə tənliklər sisteminin həlli

2x+5y=1 (1 tənlik)
x-10y=3 (2-ci tənlik)

1. Ekspres
Görünür ki, ikinci tənlikdə əmsalı 1 olan x dəyişəni var, yəni ikinci tənlikdən x dəyişənini ifadə etmək ən asan yoldur.
x=3+10y

2.İfadə etdikdən sonra birinci tənliyə x dəyişəninin yerinə 3+10y əvəz edirik.
2(3+10y)+5y=1

3. Nəticə tənliyi bir dəyişənlə həll edin.
2(3+10y)+5y=1 (mötərizələri açın)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Tənlik sisteminin həlli qrafiklərin kəsişmə nöqtələridir, ona görə də x və y-ni tapmaq lazımdır, çünki kəsişmə nöqtəsi x və y-dən ibarətdir.X-i tapaq, onu ifadə etdiyimiz birinci nöqtədə y-ni əvəz edirik.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Nöqtələri yazmaq adətdir, birinci yerdə x dəyişənini, ikinci yerdə isə y dəyişənini yazırıq.
Cavab: (1; -0,2)

Nümunə №2:

Müddətə görə toplama (çıxma) üsulu ilə həll edək.

Əlavə üsulu ilə tənliklər sisteminin həlli

3x-2y=1 (1 tənlik)
2x-3y=-10 (2-ci tənlik)

1. Dəyişən seçirik, tutaq ki, x-i seçirik. Birinci tənlikdə x dəyişəninin əmsalı 3, ikincidə - 2. Əmsalları eyni etmək lazımdır, bunun üçün tənlikləri vurmaq və ya istənilən ədədə bölmək hüququmuz var. Birinci tənliyi 2-yə, ikincisini isə 3-ə vurub ümumi əmsalı 6-ya bərabər alırıq.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Dəyişən x-dən xilas olmaq üçün birinci tənlikdən ikincini çıxarın.Xətti tənliyi həll edin.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. X tapın. Tapılan y-ni hər hansı bir tənlikdə əvəz edirik, deyək ki, birinci tənliyə.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12.8=1
3x=1+12,8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Kəsişmə nöqtəsi x=4,6 olacaq; y=6.4
Cavab: (4.6; 6.4)

İmtahanlara pulsuz hazırlaşmaq istəyirsiniz? Tərbiyəçi onlayn pulsuz. Zarafat etmirəm.

Tənliklər

Tənlikləri necə həll etmək olar?

Bu bölmədə biz ən elementar tənlikləri xatırladacağıq (yaxud kimi seçdiyinizdən asılı olaraq öyrənəcəyik). Bəs tənlik nədir? İnsan dilində bu, bərabər işarənin və naməlumun olduğu bir növ riyazi ifadədir. Hansı ki, adətən hərflə işarələnir "X". Tənliyi həll edin- bu, x-in belə dəyərlərini tapmaqdır ki, əvəz edildikdə orijinal ifadəsi bizə doğru şəxsiyyət verəcəkdir. Nəzərinizə çatdırım ki, şəxsiyyət riyazi biliyi tamamilə yükləməyən insan üçün belə şübhə doğurmayan bir ifadədir. 2=2, 0=0, ab=ab və s. Bəs tənlikləri necə həll etmək olar? Gəlin bunu anlayaq.

Hər cür tənlik var (mən təəccüblənirəm, elə deyilmi?). Lakin onların bütün sonsuz müxtəlifliyi yalnız dörd növə bölünə bilər.

4. Digər.)

Qalan hər şey, əlbəttə, hər şeydən çox, bəli...) Buraya kub, eksponensial, loqarifmik, triqonometrik və hər cür başqaları daxildir. Biz müvafiq bölmələrdə onlarla sıx əməkdaşlıq edəcəyik.

Dərhal deyəcəyəm ki, bəzən ilk üç növün tənlikləri o qədər pisləşir ki, hətta onları tanımayacaqsan ... Heç nə. Onları necə açacağımızı öyrənəcəyik.

Və bu dörd növ bizə nə üçün lazımdır? Və sonra nə xətti tənliklər bir şəkildə həll olunur kvadrat başqaları, kəsr rasionalları - üçüncü, A istirahət Onlar qətiyyən cəsarət etmirlər! Yaxşı, heç qərar verə bilməmələri deyil, mən riyaziyyatla səhv etmişəm.) Sadəcə olaraq, onların öz xüsusi texnika və üsulları var.

Ancaq hər hansı biri üçün (təkrar edirəm - üçün hər hansı!) tənliklər həlli üçün etibarlı və uğursuz əsas təmin edir. Hər yerdə və həmişə işləyir. Bu təməl - Dəhşətli səslənir, amma çox sadədir. Və çox (Çox!) vacibdir.

Əslində tənliyin həlli məhz bu çevrilmələrdən ibarətdir. 99% Sualın cavabı: " Tənlikləri necə həll etmək olar?" məhz bu çevrilmələrdə yatır. İşarə aydındırmı?)

Tənliklərin eyni çevrilmələri.

IN hər hansı tənliklər Naməlumu tapmaq üçün orijinal nümunəni çevirmək və sadələşdirmək lazımdır. Və beləliklə, görünüş dəyişdikdə tənliyin mahiyyəti dəyişməyib. Belə çevrilmələr deyilir eyni və ya ekvivalent.

Qeyd edək ki, bu çevrilmələr tətbiq olunur xüsusilə tənliklərə. Riyaziyyatda şəxsiyyət çevrilmələri də var ifadələri. Bu başqa mövzudur.

İndi hamısını, hamısını, hamısını təkrar edəcəyik tənliklərin eyni çevrilmələri.

Əsas, çünki onlar tətbiq oluna bilər hər hansı tənliklər - xətti, kvadrat, kəsr, triqonometrik, eksponensial, loqarifmik və s. və s.

İlk şəxsiyyət çevrilməsi: istənilən tənliyin hər iki tərəfinə əlavə (çıxmaq) olar hər hansı(amma bir və eyni!) nömrə və ya ifadə (naməlum olan ifadə daxil olmaqla!). Bu, tənliyin mahiyyətini dəyişmir.

Yeri gəlmişkən, siz daim bu transformasiyadan istifadə edirdiniz, sadəcə olaraq işarə dəyişikliyi ilə bəzi terminləri tənliyin bir hissəsindən digərinə köçürdüyünüzü düşünürdünüz. Növ:

İş tanışdır, ikisini sağa köçürür və əldə edirik:

Əslində sən götürülüb tənliyin hər iki tərəfindən ikidir. Nəticə eynidir:

x+2 - 2 = 3 - 2

İşarə dəyişikliyi ilə terminləri sola və sağa köçürmək sadəcə olaraq ilk şəxsiyyət çevrilməsinin qısaldılmış versiyasıdır. Və niyə bizə belə dərin biliyə ehtiyac var? – soruşursan. Tənliklərdə heç nə yoxdur. Allah xatirinə, döz. Sadəcə işarəni dəyişdirməyi unutmayın. Ancaq bərabərsizliklərdə köçürmə vərdişi dalana səbəb ola bilər...

İkinci şəxsiyyət çevrilməsi: tənliyin hər iki tərəfi eyni şeyə vurula (bölünə) bilər sıfırdan fərqli rəqəm və ya ifadə. Burada başa düşülən bir məhdudiyyət artıq görünür: sıfıra vurmaq axmaqlıqdır və bölmək tamamilə qeyri-mümkündür. Bu kimi sərin bir şeyi həll edərkən istifadə etdiyiniz transformasiyadır

Aydındır X= 2. Onu necə tapdınız? Seçimlə? Yoxsa ağlınıza gəldi? Seçməmək və fikir gözləməmək üçün ədalətli olduğunuzu başa düşməlisiniz tənliyin hər iki tərəfini böldü 5 ilə. Sol tərəfi (5x) bölərkən beş azaldıldı və xalis X qaldı. Hansı ki, bizə lazım olan məhz budur. Və (10)-un sağ tərəfini beşə böldükdə nəticə, təbii ki, iki olur.

Hamısı budur.

Gülməli, amma bu iki (yalnız iki!) eyni çevrilmə həllin əsasını təşkil edir riyaziyyatın bütün tənlikləri. Heyrət! Vay! Nə və necə nümunələrə baxmaq məntiqlidir, elə deyilmi?)

Tənliklərin eyni çevrilmələrinə nümunələr. Əsas problemlər.

ilə başlayaq birincişəxsiyyət çevrilməsi. Soldan sağa köçürün.

Kiçiklər üçün nümunə.)

Tutaq ki, aşağıdakı tənliyi həll etməliyik:

3-2x=5-3x

Sehrini xatırlayaq: "X ilə - sola, X olmadan - sağa!" Bu sehr ilk identifikasiya çevrilməsindən istifadə üçün təlimatdır.) Sağda X ilə hansı ifadə var? 3x? Cavab səhvdir! Sağımızda - 3x! Minusüç x! Buna görə sola hərəkət edərkən işarə artıya dəyişəcək. Belə çıxacaq:

3-2x+3x=5

Beləliklə, X-lər bir yığında toplandı. Gəlin rəqəmlərə keçək. Solda üç var. Hansı işarə ilə? “Heç biri ilə” cavabı qəbul edilmir!) Üçünün qarşısında, doğrudan da, heç nə çəkilmir. Və bu o deməkdir ki, üçdən əvvəl var plus. Beləliklə, riyaziyyatçılar razılaşdılar. Heç nə yazılmayıb, yəni plus. Buna görə də, üçlük sağ tərəfə köçürüləcək mənfi ilə. Biz əldə edirik:

-2x+3x=5-3

Sadəcə xırda şeylər qalıb. Solda - oxşarları gətirin, sağda - sayın. Cavab dərhal gəlir:

Bu nümunədə bir şəxsiyyət çevrilməsi kifayət idi. İkinciyə ehtiyac yoxdu. Yaxşı, tamam.)

Böyük uşaqlar üçün nümunə.)

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Eksponensial tənliklərin həlli. Nümunələr.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox..." olanlar üçün)

Nə baş verdi eksponensial tənlik? Bu, naməlumların (x) və onlarla ifadələrin olduğu tənlikdir göstəricilər bəzi dərəcələr. Və yalnız orada! Vacibdir.

Buradasan eksponensial tənliklərə nümunələr:

3 x 2 x = 8 x+3

Qeyd! Dərəcələrin əsaslarında (aşağıda) - yalnız rəqəmlər. IN göstəricilər dərəcələr (yuxarıda) - X ilə ifadələrin geniş çeşidi. Əgər birdən tənlikdə göstəricidən başqa yerdə X görünürsə, məsələn:

bu artıq qarışıq tipli tənlik olacaq. Belə tənliklərin həlli üçün aydın qaydaları yoxdur. Hələlik onları nəzərdən keçirməyəcəyik. Burada məşğul olacağıq eksponensial tənliklərin həlliən təmiz formada.

Əslində, hətta təmiz eksponensial tənliklər də həmişə aydın şəkildə həll edilmir. Ancaq həll edilə bilən və edilməli olan müəyyən eksponensial tənliklər var. Bunlar nəzərdən keçirəcəyimiz növlərdir.

Sadə eksponensial tənliklərin həlli.

Əvvəlcə çox sadə bir şeyi həll edək. Misal üçün:

Heç bir nəzəriyyə olmasa belə, sadə seçimlə x = 2 olduğu aydın olur. Daha heç nə, elə deyilmi!? X-in başqa heç bir dəyəri işləmir. İndi bu çətin eksponensial tənliyin həllinə baxaq:

Biz nə etmişik? Biz, əslində, eyni əsasları (üçlü) atdıq. Tamamilə atılıb. Və yaxşı xəbər budur ki, başımıza mismar vurduq!

Həqiqətən, əgər eksponensial tənlikdə sol və sağ varsa eyni istənilən gücdə olan ədədlər, bu ədədlər çıxarıla və eksponentlər bərabərləşdirilə bilər. Riyaziyyat imkan verir. Daha sadə bir tənliyi həll etmək qalır. Əla, hə?)

Bununla belə, qətiyyətlə xatırlayaq: Siz əsasları yalnız sol və sağdakı əsas nömrələr əla təcrid vəziyyətində olduqda çıxara bilərsiniz! Heç bir qonşu və əmsal olmadan. Tənliklərdə deyək:

2 x +2 x+1 = 2 3 və ya

ikisi çıxarıla bilməz!

Yaxşı, biz ən vacib şeyi mənimsəmişik. Pis eksponensial ifadələrdən daha sadə tənliklərə necə keçmək olar.

"O vaxtlardı!" - deyirsen. “Kim test və imtahanlarda belə primitiv dərs verərdi ki!?”

Razılaşmalıyam. Heç kim etməyəcək. Ancaq indi çətin misalları həll edərkən hara yönələcəyinizi bilirsiniz. Eyni əsas nömrənin solda və sağda olduğu formaya gətirilməlidir. Sonra hər şey daha asan olacaq. Əslində bu riyaziyyatın klassikidir. Orijinal nümunəni götürürük və onu istədiyinizə çeviririk bizə ağıl. Təbii ki, riyaziyyatın qaydalarına görə.

Onları ən sadə hala gətirmək üçün bəzi əlavə səylər tələb edən nümunələrə baxaq. Gəlin onları çağıraq sadə eksponensial tənliklər.

Sadə eksponensial tənliklərin həlli. Nümunələr.

Eksponensial tənlikləri həll edərkən əsas qaydalar bunlardır dərəcə ilə hərəkətlər. Bu hərəkətləri bilmədən heç nə işləməyəcək.

Dərəcəli hərəkətlərə şəxsi müşahidə və ixtiraçılıq əlavə edilməlidir. Eyni əsas nömrələrə ehtiyacımız varmı? Beləliklə, biz onları nümunədə açıq və ya şifrələnmiş formada axtarırıq.

Gəlin görək bu praktikada necə edilir?

Bir misal verək:

2 2x - 8 x+1 = 0

İlk kəskin baxış bundadır əsaslar. Onlar... Onlar fərqlidirlər! İki və səkkiz. Ancaq ruhdan düşmək üçün hələ tezdir. Bunu xatırlamağın vaxtı gəldi

İki və səkkiz dərəcə qohumdur.) Yazmaq tamamilə mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Düsturu dərəcələrlə əməliyyatlardan xatırlasaq:

(a n) m = a nm,

bu əla işləyir:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal nümunə belə görünməyə başladı:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer edirik 2 3 (x+1) sağa (heç kim riyaziyyatın elementar əməliyyatlarını ləğv etməmişdir!), alırıq:

2 2x = 2 3(x+1)

Praktiki olaraq hamısı budur. Bazaların çıxarılması:

Bu canavarı həll edirik və alırıq

Bu düzgün cavabdır.

Bu nümunədə ikinin səlahiyyətlərini bilmək bizə kömək etdi. Biz müəyyən edilmişdir səkkizdə şifrələnmiş iki var. Bu texnika (müxtəlif ədədlər altında ümumi əsasların kodlaşdırılması) eksponensial tənliklərdə çox məşhur bir texnikadır! Bəli və loqarifmlərdə də. Rəqəmlərdəki digər rəqəmlərin gücünü tanıya bilməlisiniz. Bu eksponensial tənliklərin həlli üçün son dərəcə vacibdir.

Fakt budur ki, istənilən rəqəmi istənilən gücə qaldırmaq problem deyil. Çoxaldın, hətta kağız üzərində də, vəssalam. Məsələn, hər kəs 3-ü beşinci gücə qaldıra bilər. Əgər vurma cədvəlini bilsəniz 243 işləyəcək.) Amma eksponensial tənliklərdə daha çox gücə yüksəltmək lazım deyil, əksinə... Tapın hansı rəqəm nə dərəcədə 243 rəqəminin arxasında gizlənir, ya da deyək ki, 343... Burada sizə heç bir kalkulyator kömək etməyəcək.

Bəzi rəqəmlərin gücünü görmədən bilmək lazımdır, hə... Gəlin məşq edək?

Rəqəmlərin hansı güclərə və hansı nömrələrə aid olduğunu müəyyənləşdirin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cavablar (əlbəttə ki, qarışıqlıqda!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Diqqətlə baxsanız, qəribə bir fakt görə bilərsiniz. Tapşırıqlardan əhəmiyyətli dərəcədə daha çox cavab var! Yaxşı, olur... Məsələn, 2 6, 4 3, 8 2 - hamısı 64-dür.

Fərz edək ki, siz rəqəmlərlə tanışlıq haqqında məlumatı qeyd etmisiniz.) Onu da xatırladaq ki, eksponensial tənlikləri həll etmək üçün istifadə edirik. hamısı riyazi biliklər fondu. O cümlədən kiçik və orta siniflərdən olanlar. Sən düz orta məktəbə getməmisən, elə deyilmi?)

Məsələn, eksponensial tənlikləri həll edərkən ümumi amili mötərizədən çıxarmaq çox vaxt kömək edir (7-ci sinifə salam!). Bir misala baxaq:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Və yenə də, ilk baxış təməllərdədir! Dərəcələrin əsasları fərqlidir... Üç və doqquz. Amma biz onların eyni olmasını istəyirik. Yaxşı, bu halda arzu tamamilə yerinə yetirilir!) Çünki:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Dərəcələrlə işləmək üçün eyni qaydalardan istifadə edin:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Əladır, bunu yaza bilərsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Eyni səbəblərdən misal çəkdik. Yaxşı, bundan sonra nə var!? Üçlük atmaq olmaz... Çıxmaz?

Dəyməz. Ən universal və güclü qərar qaydasını xatırlayın hər kəs riyaziyyat tapşırıqları:

Nəyə ehtiyacınız olduğunu bilmirsinizsə, bacardığınızı edin!

Bax, hər şey düzələcək).

Bu eksponensial tənlikdə nə var Bacarmaq etmək? Bəli, sol tərəfdə sadəcə mötərizədən çıxarılmasını xahiş edir! Ümumi çarpan 3 2x buna aydın şəkildə işarə edir. Gəlin cəhd edək, sonra görəcəyik:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Nümunə getdikcə daha da yaxşılaşır!

Xatırlayırıq ki, əsasları aradan qaldırmaq üçün heç bir əmsal olmadan təmiz dərəcə lazımdır. 70 rəqəmi bizi narahat edir. Beləliklə, tənliyin hər iki tərəfini 70-ə bölürük, alırıq:

Vay! Hər şey yaxşılaşdı!

Bu son cavabdır.

Bununla belə, belə olur ki, eyni əsasda taksiyə nail olunur, lakin onların aradan qaldırılması mümkün deyil. Bu, digər eksponensial tənliklərdə baş verir. Gəlin bu növü öyrənək.

Eksponensial tənliklərin həllində dəyişənin dəyişdirilməsi. Nümunələr.

Tənliyi həll edək:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Birincisi - həmişəki kimi. Gəlin bir bazaya keçək. Deuce üçün.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Tənliyi alırıq:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Və bura bizim əyləşdiyimiz yerdir. Necə baxsanız da, əvvəlki texnikalar işləməyəcək. Biz arsenalımızdan başqa bir güclü və universal metodu çıxarmalı olacağıq. Bu adlanır dəyişən əvəz.

Metodun mahiyyəti təəccüblü dərəcədə sadədir. Bir mürəkkəb simvolun əvəzinə (bizim vəziyyətimizdə - 2 x) başqa, daha sadə birini (məsələn - t) yazırıq. Belə görünən mənasız əvəzetmə heyrətamiz nəticələrə gətirib çıxarır!) Hər şey sadəcə aydın və başa düşülən olur!

Elə isə qoy

Onda 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Tənliyimizdə bütün gücləri x ilə t ilə əvəz edirik:

Yaxşı, ağlınıza gəlirmi?) Kvadrat tənlikləri hələ də unutmusunuz? Diskriminant vasitəsilə həll edərək əldə edirik:

Burada əsas olan dayanmamaqdır, olduğu kimi... Bu hələ cavab deyil, bizə t yox, x lazımdır. Gəlin X-ə qayıdaq, yəni. tərs əvəz edirik. t 1 üçün əvvəlcə:

Yəni,

Bir kök tapıldı. Biz t 2-dən ikincisini axtarırıq:

Hm... 2 x solda, 1 sağda... Problem? Dəyməz! Bir vahid olduğunu xatırlamaq kifayətdir (güclərlə əməliyyatlardan, bəli ...). hər hansı nömrəni sıfır gücə çevirin. Hər hansı. Nə lazımdırsa, onu quraşdıracağıq. Bizə iki lazımdır. Vasitələri:

İndi bu qədər. 2 kök aldıq:

Bu cavabdır.

At eksponensial tənliklərin həlli sonunda bəzən bir növ yöndəmsiz ifadə ilə başa çatırsan. Növ:

Yeddi sadə bir qüvvə ilə ikiyə çevrilə bilməz. Qohum deyillər... Necə olaq? Kimsə çaşa bilər... Amma bu saytda “Loqarifm nədir?” mövzusunu oxuyan şəxs , sadəcə təbəssümlə gülümsəyir və möhkəm əli ilə tamamilə düzgün cavabı yazır:

Vahid Dövlət İmtahanının “B” tapşırıqlarında belə bir cavab ola bilməz. Orada konkret nömrə tələb olunur. Ancaq "C" tapşırıqlarında bu asandır.

Bu dərsdə ən ümumi eksponensial tənliklərin həlli nümunələri verilir. Əsas məqamları vurğulayaq.

Praktik məsləhətlər:

1. İlk növbədə, biz baxırıq əsaslar dərəcə. Onları düzəltməyin mümkün olub-olmaması ilə maraqlanırıq eyni. Gəlin aktiv istifadə edərək bunu etməyə çalışaq dərəcə ilə hərəkətlər. Unutmayın ki, x olmadan rəqəmlər də gücə çevrilə bilər!

2. Solda və sağda olan zaman eksponensial tənliyi formaya gətirməyə çalışırıq eyni istənilən gücdə olan nömrələr. istifadə edirik dərəcə ilə hərəkətlər Və faktorizasiya. Rəqəmlərlə nə sayıla bilər, biz də sayırıq.

3. İkinci ipucu işləmirsə, dəyişənlərin dəyişdirilməsini istifadə etməyə çalışın. Nəticə asanlıqla həll edilə bilən bir tənlik ola bilər. Ən tez-tez - kvadrat. Və ya fraksiya, bu da kvadrata endirilir.

4. Eksponensial tənlikləri uğurla həll etmək üçün bəzi ədədlərin gücünü görmə qabiliyyətinə görə bilmək lazımdır.

Həmişə olduğu kimi, dərsin sonunda bir az qərar verməyə dəvət olunur.) Özünüz. Sadədən mürəkkəbə.

Eksponensial tənlikləri həll edin:

Daha çətin:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Köklərin məhsulunu tapın:

2 3 + 2 x = 9

baş verdi?

Yaxşı, onda çox mürəkkəb bir nümunə (baxmayaraq ki, bunu ağılda həll etmək olar ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Daha maraqlısı nədir? O zaman sizə pis bir nümunə var. Artan çətinlik üçün olduqca cazibədar. İcazə verin ki, bu misalda sizi xilas edən ixtiraçılıqdır və bütün riyazi problemləri həll etmək üçün ən universal qaydadır.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

İstirahət üçün daha sadə bir nümunə):

9 2 x - 4 3 x = 0

Və desert üçün. Tənliyin köklərinin cəmini tapın:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Hə hə! Bu qarışıq tipli tənlikdir! Bu dərsdə nəzərə almadıq. Onları niyə nəzərdən keçirək, onları həll etmək lazımdır!) Bu dərs tənliyi həll etmək üçün kifayətdir. Yaxşı, sizə ixtiraçılıq lazımdır... Və yeddinci sinif sizə kömək etsin (bu bir işarədir!).

Cavablar (səliqəsiz, nöqtəli vergüllə ayrılmış):

1; 2; 3; 4; həll yolları yoxdur; 2; -2; -5; 4; 0.

Hər şey uğurludurmu? Əla.

problem var? Problem deyil! Xüsusi Bölmə 555 bütün bu eksponensial tənlikləri ətraflı izahatlarla həll edir. Nə, niyə və niyə. Və təbii ki, bütün növ eksponensial tənliklərlə işləmək üçün əlavə dəyərli məlumatlar var. Tək bunlar deyil.)

Nəzərə almaq üçün son bir əyləncəli sual. Bu dərsdə eksponensial tənliklərlə işlədik. Niyə mən burada ODZ haqqında bir söz demədim? Tənliklərdə bu çox vacib bir şeydir, yeri gəlmişkən...

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Kvadrat tənliklər 8-ci sinifdə öyrənilir, ona görə də burada mürəkkəb bir şey yoxdur. Onları həll etmək bacarığı mütləq lazımdır.

Kvadrat tənlik ax 2 + bx + c = 0 formalı tənlikdir, burada a, b və c əmsalları ixtiyari ədədlər və a ≠ 0 olur.

Xüsusi həll üsullarını öyrənməzdən əvvəl bütün kvadrat tənlikləri üç sinfə bölmək olar:

1. Kökləri yoxdur;
2. Tam bir kök var;
3. Onların iki fərqli kökü var.

Bu, kökün həmişə mövcud olduğu və unikal olduğu kvadratik tənliklərlə xətti tənliklər arasında mühüm fərqdir. Tənliyin neçə kökü olduğunu necə müəyyən etmək olar? Bunun üçün gözəl bir şey var - diskriminant.

Diskriminant

ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tənliyi verilsin.Onda diskriminant sadəcə olaraq D = b 2 − 4ac ədədidir.

Bu düsturu əzbər bilməlisiniz. Onun haradan gəldiyi indi vacib deyil. Başqa bir şey vacibdir: diskriminantın işarəsi ilə kvadrat tənliyin neçə kökü olduğunu müəyyən edə bilərsiniz. Məhz:

1. Əgər D< 0, корней нет;
2. D = 0 olarsa, tam olaraq bir kök var;
3. Əgər D > 0 olarsa, iki kök olacaq.

Diqqət yetirin: ayrı-seçkilik köklərin sayını göstərir, nədənsə çoxlarının inandığı kimi, onların əlamətlərini deyil. Nümunələrə nəzər salın və hər şeyi özünüz başa düşəcəksiniz:

Tapşırıq. Kvadrat tənliklərin neçə kökü var:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Birinci tənlik üçün əmsalları yazaq və diskriminantı tapaq:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deməli diskriminant müsbətdir, ona görə də tənliyin iki fərqli kökü var. İkinci tənliyi oxşar şəkildə təhlil edirik:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant mənfidir, kökləri yoxdur. Qalan son tənlik belədir:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant sıfırdır - kök bir olacaq.

Nəzərə alın ki, hər bir tənlik üçün əmsallar yazılıb. Bəli, uzundur, bəli, yorucudur, amma ehtimalları qarışdırıb axmaq səhvlər etməyəcəksiniz. Özünüz üçün seçin: sürət və ya keyfiyyət.

Yeri gəlmişkən, əgər bunu başa düşsəniz, bir müddət sonra bütün əmsalları yazmağa ehtiyac qalmayacaq. Belə əməliyyatları başınızda edəcəksiniz. Əksər insanlar bunu 50-70 həll edilmiş tənlikdən sonra hardasa etməyə başlayır - ümumiyyətlə, o qədər də çox deyil.

Kvadrat tənliyin kökləri

İndi həllin özünə keçək. Diskriminant D > 0 olarsa, kökləri düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar:

Kvadrat tənliyin kökləri üçün əsas düstur

D = 0 olduqda, bu düsturlardan hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz - eyni nömrəni alacaqsınız, bu da cavab olacaq. Nəhayət, əgər D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Birinci tənlik:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ tənliyin iki kökü var. Gəlin onları tapaq:

İkinci tənlik:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ tənliyin yenidən iki kökü var. Gəlin onları tapaq

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \sağ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \sağ))=3. \\ \end(hizalayın)\]

Nəhayət, üçüncü tənlik:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ tənliyin bir kökü var. Hər hansı bir formula istifadə edilə bilər. Məsələn, birincisi:

Nümunələrdən göründüyü kimi, hər şey çox sadədir. Əgər düsturları bilirsinizsə və saya bilirsinizsə, heç bir problem olmayacaq. Əksər hallarda düsturda mənfi əmsalları əvəz edərkən səhvlər baş verir. Yenə də yuxarıda təsvir olunan texnika kömək edəcək: düstura sözün əsl mənasında baxın, hər addımı yazın - və çox keçmədən səhvlərdən qurtulacaqsınız.

Natamam kvadrat tənliklər

Belə olur ki, kvadrat tənlik tərifdə veriləndən bir qədər fərqlidir. Misal üçün:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Bu tənliklərdə şərtlərdən birinin əskik olduğunu görmək asandır. Belə kvadrat tənlikləri həll etmək standart tənliklərdən daha asandır: onlar hətta diskriminantın hesablanmasını tələb etmirlər. Beləliklə, yeni bir konsepsiya təqdim edək:

ax 2 + bx + c = 0 tənliyi natamam kvadratik tənlik adlanır, əgər b = 0 və ya c = 0 olarsa, yəni. x dəyişəninin və ya sərbəst elementin əmsalı sıfıra bərabərdir.

Təbii ki, bu əmsalların hər ikisi sıfıra bərabər olduqda çox çətin vəziyyət mümkündür: b = c = 0. Bu halda tənlik ax 2 = 0 formasını alır. Aydındır ki, belə tənliyin tək kökü var: x. = 0.

Qalan halları nəzərdən keçirək. b = 0 olsun, onda ax 2 + c = 0 formasının natamam kvadratik tənliyini alaq. Onu bir az çevirək:

Arifmetik kvadrat kök yalnız mənfi olmayan ədəddən ibarət olduğundan, sonuncu bərabərlik yalnız (−c /a) ≥ 0 üçün məna kəsb edir. Nəticə:

1. ax 2 + c = 0 formalı natamam kvadratik tənlikdə (−c /a) ≥ 0 bərabərsizliyi təmin edilərsə, iki kök olacaqdır. Formula yuxarıda verilmişdir;
2. Əgər (−c /a)< 0, корней нет.

Gördüyünüz kimi, diskriminant tələb olunmurdu - natamam kvadrat tənliklərdə heç bir mürəkkəb hesablamalar ümumiyyətlə yoxdur. Əslində (−c /a) ≥ 0 bərabərsizliyini xatırlamağa belə ehtiyac yoxdur. Bunun üçün x 2 qiymətini ifadə etmək və bərabərlik işarəsinin digər tərəfində nə olduğunu görmək kifayətdir. Müsbət ədəd varsa, iki kök olacaq. Əgər mənfi olarsa, kökləri ümumiyyətlə olmayacaq.

İndi sərbəst elementin sıfıra bərabər olduğu ax 2 + bx = 0 formalı tənliklərə baxaq. Burada hər şey sadədir: həmişə iki kök olacaq. Polinomu faktorlaşdırmaq kifayətdir:

Mötərizədə ümumi faktorun çıxarılması

Faktorlardan ən azı biri sıfır olduqda məhsul sıfırdır. Köklər buradan gəlir. Sonda bu tənliklərdən bir neçəsinə nəzər salaq:

Tapşırıq. Kvadrat tənlikləri həll edin:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Kökləri yoxdur, çünki kvadrat mənfi ədədə bərabər ola bilməz.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.