Riyaziyyatda məntiqi tənliklərin həlli. Məntiqlər. Məntiq funksiyaları. Tənliklərin həlli
Həqiqət cədvəli – giriş dəyişənlərinin bütün mümkün kombinasiyalarını və onların müvafiq çıxış qiymətlərini ehtiva edən cədvəl.
Həqiqət cədvəli 2n sətirdən ibarətdir, burada n giriş dəyişənlərinin sayı, n+m isə sütunlardır, burada m çıxış dəyişənləridir.
Təlimatlar. Klaviaturadan daxil olarkən aşağıdakı konvensiyalardan istifadə edin:
Məsələn, abc+ab~c+a~bc məntiqi ifadəsi belə daxil edilməlidir: a*b*c+a*b=c+a=b*cMəntiqi diaqram şəklində məlumatları daxil etmək üçün bu xidmətdən istifadə edin.
Məntiqi funksiyanın daxil edilməsi qaydaları
- v (disjunction, OR) simvolu əvəzinə + işarəsindən istifadə edin.
- Məntiqi funksiyadan əvvəl funksiya təyinatını təyin etməyə ehtiyac yoxdur. Məsələn, F(x,y)=(x|y)=(x^y) əvəzinə sadəcə (x|y)=(x^y) daxil etməlisiniz.
- Dəyişənlərin maksimum sayı 10-dur.
Kompüter məntiqi sxemlərinin layihələndirilməsi və təhlili riyaziyyatın xüsusi bölməsindən - məntiq cəbrindən istifadə etməklə həyata keçirilir. Məntiq cəbrində üç əsas məntiqi funksiyanı ayırd etmək olar: “NOT” (inkar), “AND” (birləşmə), “OR” (disjunction).
İstənilən məntiqi qurğu yaratmaq üçün çıxış dəyişənlərinin hər birinin mövcud daxil olan dəyişənlərdən asılılığını müəyyən etmək lazımdır ki, bu asılılıq kommutasiya funksiyası və ya məntiqi cəbr funksiyası adlanır;
Məntiqi cəbr funksiyası, onun bütün 2n dəyəri verildiyi təqdirdə tam müəyyən edilmiş adlanır, burada n çıxış dəyişənlərinin sayıdır.
Bütün dəyərlər müəyyən edilməmişdirsə, funksiya qismən müəyyən edilmiş adlanır.
Cihazın vəziyyəti məntiqi cəbr funksiyasından istifadə edərək təsvir edilirsə, məntiqi adlanır.
Məntiqi cəbr funksiyasını təmsil etmək üçün aşağıdakı üsullardan istifadə olunur:
Cəbri formada məntiqi elementlərdən istifadə edərək məntiqi cihazın dövrəsini qura bilərsiniz. 
Şəkil 1 - Məntiq cihaz diaqramı
Məntiq cəbrinin bütün əməliyyatları müəyyən edilmişdir həqiqət cədvəlləri dəyərlər. Həqiqət cədvəli əməliyyatın nəticəsini müəyyən edir hər kəs mümkündür x orijinal ifadələrin məntiqi dəyərləri. Əməliyyatların tətbiqinin nəticəsini əks etdirən variantların sayı məntiqi ifadədəki ifadələrin sayından asılı olacaq. Əgər məntiqi ifadədə ifadələrin sayı N olarsa, onda həqiqət cədvəlində 2 N sətir olacaq, çünki mümkün arqument dəyərlərinin 2 N müxtəlif kombinasiyası mövcuddur.
DEYİL əməliyyatı - məntiqi inkar (inversiya)
Sadə və ya mürəkkəb məntiqi ifadə ola bilən tək arqumentə məntiqi əməliyyat tətbiq olunmur. Əməliyyatın nəticəsi aşağıdakı DEYİL:- ilkin ifadə doğrudursa, onun inkarının nəticəsi yalan olacaq;
- ilkin ifadə yalan olarsa, onun inkarının nəticəsi doğru olacaqdır.
A, Ā deyil, A, ¬A, !A deyil
İnkar əməliyyatının nəticəsi aşağıdakı həqiqət cədvəli ilə təyin olunmur:
| A | yox A |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
İlkin müddəa yalan olduqda inkar əməliyyatının nəticəsi doğrudur və əksinə.
OR əməliyyat - məntiqi əlavə (ayrılma, birləşmə)
Məntiqi OR əməliyyatı sadə və ya mürəkkəb məntiqi ifadə ola bilən iki ifadəni birləşdirmək funksiyasını yerinə yetirir. Məntiqi əməliyyat üçün başlanğıc nöqtəsi olan ifadələrə arqumentlər deyilir. OR əməliyyatının nəticəsi orijinal ifadələrdən ən azı biri doğru olduqda doğru olacaq ifadədir.İstifadə olunan təyinatlar: A və ya B, A V B, A və ya B, A||B.
OR əməliyyatının nəticəsi aşağıdakı həqiqət cədvəli ilə müəyyən edilir:
OR əməliyyatının nəticəsi A doğru olduqda doğrudur və ya B doğrudur və ya A və B hər ikisi doğrudur, A və B arqumentləri yanlış olduqda yanlışdır.
AND əməliyyatı - məntiqi vurma (bağlama)
AND məntiqi əməliyyatı sadə və ya mürəkkəb məntiqi ifadə ola bilən iki ifadənin (arqumentlərin) kəsişməsi funksiyasını yerinə yetirir. AND əməliyyatının nəticəsi yalnız və yalnız hər iki orijinal ifadə doğru olduqda doğru olacaq ifadədir.İstifadə olunan təyinatlar: A və B, A Λ B, A & B, A və B.
AND əməliyyatının nəticəsi aşağıdakı həqiqət cədvəli ilə müəyyən edilir:
| A | B | A və B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
AND əməliyyatının nəticəsi o zaman doğru olur ki, A və B ifadələri həm doğru, həm də bütün digər hallarda yanlışdır.
"ƏGƏR-ONDA" əməliyyatı - məntiqi nəticə (təsir)
Bu əməliyyat iki sadə məntiqi ifadəni birləşdirir, onlardan birincisi şərt, ikincisi isə bu şərtin nəticəsidir.İstifadə olunan təyinatlar:
A, onda B; A B ehtiva edir; əgər A onda B; A→B.
Həqiqət cədvəli:
| A | B | A → B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
İmplikasiya əməliyyatının nəticəsi yalnız A müddəasının doğru olduğu və B nəticəsinin (nəticə) yalan olduğu halda yanlışdır.
“A, əgər və yalnız B olarsa” əməliyyatı (ekvivalentlik, ekvivalentlik)
İstifadə olunan təyinat: A ↔ B, A ~ B.Həqiqət cədvəli:
| A | B | A↔B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
“Əlavə modulu 2” əməliyyatı (XOR, eksklüziv və ya ciddi disjunksiya)
İstifadə olunan qeyd: A XOR B, A ⊕ B.Həqiqət cədvəli:
| A | B | A⊕B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Ekvivalentlik əməliyyatının nəticəsi yalnız A və B eyni anda həm doğru, həm də yalan olduqda doğrudur.
Məntiqi əməliyyatların prioriteti
- Mötərizədə hərəkətlər
- İnversiya
- Bağlayıcı (&)
- Ayrılma (V), Eksklüziv OR (XOR), cəmi modulu 2
- Təsir (→)
- Ekvivalentlik (↔)
Mükəmməl disjunktiv normal forma
Düsturun mükəmməl disjunktiv normal forması(SDNF) elementar birləşmələrin disjunksiyasından ibarət ekvivalent düsturdur və aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:- Düsturun hər bir məntiqi termini F(x 1,x 2,...x n) funksiyasına daxil olan bütün dəyişənləri ehtiva edir.
- Düsturun bütün məntiqi şərtləri fərqlidir.
- Heç bir məntiqi termində dəyişən və onun inkarı yoxdur.
- Düsturda heç bir məntiqi termin eyni dəyişəni iki dəfə ehtiva etmir.
Hər bir funksiya üçün SDNF və SCNF permutasiyaya qədər unikal şəkildə müəyyən edilir.
Mükəmməl konyunktiv normal forma
Düsturun mükəmməl konyunktiv normal forması (SCNF) Bu, elementar disjunksiyaların birləşməsindən ibarət olan və xassələri təmin edən ona ekvivalent bir düsturdur:- Bütün elementar disjunksiyalar F(x 1 ,x 2 ,...x n) funksiyasına daxil olan bütün dəyişənləri ehtiva edir.
- Bütün elementar disjunksiyalar fərqlidir.
- Hər elementar disjunksiya bir dəfə dəyişən ehtiva edir.
- Heç bir elementar disjunksiya dəyişən və onun inkarını ehtiva etmir.
Tənliklərdən istifadə həyatımızda geniş yayılmışdır. Onlar bir çox hesablamalarda, strukturların tikintisində və hətta idmanda istifadə olunur. İnsan qədim zamanlarda tənliklərdən istifadə edirdi və o vaxtdan bəri onların istifadəsi yalnız artmışdır. Riyaziyyatda təklif məntiqi ilə məşğul olan müəyyən problemlər var. Bu cür tənliyi həll etmək üçün müəyyən biliklərə sahib olmaq lazımdır: təklif məntiqi qanunlarını bilmək, 1 və ya 2 dəyişənin məntiqi funksiyalarının həqiqət cədvəllərini bilmək, məntiqi ifadələri çevirmək üsulları. Bundan əlavə, məntiqi əməliyyatların aşağıdakı xüsusiyyətlərini bilməlisiniz: birləşmə, disyunksiya, inversiya, implikasiya və ekvivalentlik.
\dəyişənlərin - \ hər hansı məntiqi funksiyası həqiqət cədvəli ilə müəyyən edilə bilər.
Bir neçə məntiqi tənliyi həll edək:
\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]
\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]
\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]
\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]
Həllini \[X1\] ilə başlayaq və bu dəyişənin hansı dəyərləri ala biləcəyini müəyyən edək: 0 və 1. Sonra yuxarıdakı dəyərlərin hər birini nəzərdən keçirəcəyik və \[X2.\] nə ola biləcəyini görəcəyik.
Cədvəldən göründüyü kimi məntiqi tənliyimizin 11 həlli var.
Məntiq tənliyini onlayn harada həll edə bilərəm?
Tənliyi https://site saytımızda həll edə bilərsiniz. Pulsuz onlayn həlledici hər hansı bir mürəkkəbliyin onlayn tənliklərini bir neçə saniyə ərzində həll etməyə imkan verəcəkdir. Etməli olduğunuz şey sadəcə məlumatlarınızı həllediciyə daxil etməkdir. Siz həmçinin veb saytımızda video təlimatlarına baxa və tənliyi necə həll edəcəyinizi öyrənə bilərsiniz. Hələ suallarınız varsa, onları VKontakte qrupumuzda http://vk.com/pocketteacher soruşa bilərsiniz. Qrupumuza qoşulun, sizə kömək etməkdən hər zaman şad olarıq.
Məntiqi tənliklər sistemlərinin həlli üsulları
Kirgizova E.V., Nemkova A.E.
Lesosibirsk Pedaqoji İnstitutu -
Sibir Federal Universitetinin filialı, Rusiya
Ardıcıl düşünmək, inandırıcı düşünmək, fərziyyələr qurmaq və mənfi nəticələri təkzib etmək bacarığı öz-özünə gəlmir, bu bacarığı məntiq elmi inkişaf etdirir. Məntiq, digər müddəaların həqiqəti və ya yalanı əsasında bəzi mülahizələrin doğru və ya yalan olduğunu müəyyən etmək üsullarını öyrənən bir elmdir.
Bu elmin əsaslarına yiyələnmək məntiqi məsələləri həll etmədən mümkün deyil. Biliklərini yeni şəraitdə tətbiq etmək bacarıqlarının inkişafının yoxlanılması keçid yolu ilə həyata keçirilir. Xüsusilə, bu, məntiqi problemləri həll etmək bacarığıdır. Vahid Dövlət İmtahanındakı B15 tapşırıqları məntiqi tənliklər sistemlərini ehtiva etdiyi üçün artan mürəkkəblik tapşırıqlarıdır. Məntiqi tənliklər sistemlərinin həlli üçün müxtəlif üsullar mövcuddur. Bu, bir tənliyə endirmə, həqiqət cədvəlinin qurulması, parçalanma, tənliklərin ardıcıl həlli və s.
Tapşırıq:Məntiqi tənliklər sistemini həll edin:
Gəlin nəzərdən keçirək bir tənliyə endirmə üsulu . Bu üsul məntiqi tənlikləri elə çevirməyi nəzərdə tutur ki, onların sağ tərəfləri həqiqət qiymətinə bərabər olsun (yəni 1). Bunun üçün məntiqi inkar əməliyyatından istifadə edin. Sonra, tənliklər mürəkkəb məntiqi əməliyyatları ehtiva edirsə, biz onları əsaslarla əvəz edirik: "VƏ", "YA YA", "YOX". Növbəti addım “AND” məntiqi əməliyyatından istifadə edərək tənlikləri sistemə ekvivalent olaraq birləşdirməkdir. Bundan sonra, məntiqi cəbr qanunlarına əsaslanaraq yaranan tənliyi çevirməli və sistemin konkret həllini əldə etməlisiniz.
Həll 1:Birinci tənliyin hər iki tərəfinə inversiya tətbiq edin:
Gəlin “OR” və “NOT” əsas əməliyyatları vasitəsilə nəticəni təsəvvür edək:
Tənliklərin sol tərəfləri 1-ə bərabər olduğundan, biz onları “AND” əməliyyatından istifadə edərək orijinal sistemə bərabər olan bir tənliyə birləşdirə bilərik:
Birinci mötərizəni De Morqan qanununa uyğun olaraq açırıq və əldə edilən nəticəni çeviririk:
Əldə edilən tənliyin bir həlli var: A= 0, B =0 və C =1.
Növbəti üsuldur həqiqət cədvəllərinin qurulması . Məntiqi kəmiyyətlərin yalnız iki dəyəri olduğundan, sadəcə olaraq bütün variantları nəzərdən keçirə və onların arasında verilmiş tənliklər sisteminin təmin olunduğu variantları tapa bilərsiniz. Yəni, sistemin bütün tənlikləri üçün bir ümumi həqiqət cədvəli qururuq və tələb olunan qiymətlərə malik bir xətt tapırıq.
Həll 2:Sistem üçün həqiqət cədvəli yaradaq:
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Tapşırıq şərtlərinin yerinə yetirildiyi sətir qalın şriftlə vurğulanır. Beləliklə, A =0, B =0 və C =1.
yol parçalanma . İdeya dəyişənlərdən birinin dəyərini təyin etmək (onu 0 və ya 1-ə bərabər qoymaq) və bununla da tənlikləri sadələşdirməkdir. Sonra ikinci dəyişənin dəyərini düzəldə bilərsiniz və s.
Həll 3: Qoy A = 0, onda:
Birinci tənlikdən alırıq B =0, ikincidən isə – C=1. Sistemin həlli: A = 0, B = 0 və C = 1.
Metoddan da istifadə edə bilərsiniz tənliklərin ardıcıl həlli , hər addımda nəzərdən keçirilən çoxluğa bir dəyişən əlavə edin. Bunun üçün tənlikləri elə çevirmək lazımdır ki, dəyişənlər əlifba sırası ilə daxil edilsin. Sonra, ardıcıl olaraq dəyişənləri əlavə edərək qərar ağacı qururuq.
Sistemin birinci tənliyi yalnız A və B-dən, ikinci tənliyi isə A və C-dən asılıdır. Dəyişən A 2 qiymət 0 və 1 ala bilər:
Birinci tənlikdən belə çıxır 
, nə vaxt A = 0 və biz B = 0 alırıq və A = 1 üçün B = 1 olur. Beləliklə, birinci tənliyin A və B dəyişənlərinə münasibətdə iki həlli var.
Hər bir seçim üçün C dəyərlərini təyin etdiyimiz ikinci tənliyi təsvir edək. A =1 olduqda implikasiya yalan ola bilməz, yəni ağacın ikinci budağının həlli yoxdur. At A= 0
yeganə həll yolu tapırıq C= 1
:
Beləliklə, sistemin həllini əldə etdik: A = 0, B = 0 və C = 1.
Kompüter elmində Vahid Dövlət İmtahanında çox vaxt məntiqi tənliklər sisteminin həllərinin sayını müəyyən etmək lazımdır, bunun üçün müəyyən üsullar da var. Məntiqi tənliklər sisteminin həllərinin sayını tapmağın əsas yoludur dəyişənləri əvəz edir. Əvvəlcə məntiqi cəbr qanunlarına əsaslanaraq tənliklərin hər birini mümkün qədər sadələşdirməli, sonra isə tənliklərin mürəkkəb hissələrini yeni dəyişənlərlə əvəz etməli və yeni sistemin həll yollarının sayını təyin etməlisiniz. Sonra, dəyişdirməyə qayıdın və bunun üçün həllərin sayını təyin edin.
Tapşırıq:Tənliyin neçə həlli var ( A → B ) + (C → D ) = 1? Burada A, B, C, D məntiqi dəyişənlərdir.
Həll:Yeni dəyişənləri təqdim edək: X = A → B və Y = C → D . Yeni dəyişənləri nəzərə alaraq tənlik belə yazılacaq: X + Y = 1.
Dizyunksiya üç halda doğrudur: (0;1), (1;0) və (1;1), while X və Y eyhamdır, yəni üç halda doğru, bir halda yanlışdır. Buna görə də (0;1) halı parametrlərin üç mümkün kombinasiyasına uyğun olacaq. Case (1;1) – orijinal tənliyin parametrlərinin doqquz mümkün kombinasiyasına uyğun olacaq. Bu o deməkdir ki, bu tənliyin ümumi mümkün həlli 3+9=15-dir.
Məntiqi tənliklər sisteminin həllərinin sayını təyin etməyin növbəti yolu ikili ağac. Bir nümunədən istifadə edərək bu üsula baxaq.
Tapşırıq:Məntiqi tənliklər sisteminin neçə müxtəlif həlli var:
Verilmiş tənliklər sistemi tənliyə ekvivalentdir:
( x 1 → x 2 )*( x 2 → x 3 )*…*( x m -1 → x m) = 1.
Belə iddia edəkx 1 – doğrudur, onda birinci tənlikdən bunu alırıqx 2 ikincidən də doğrudur -x 3 =1 və s. qədər x m= 1. Beləliklə (1; 1; …; 1) çoxluğu m vahidlər sistemin həllidir. Qoy indix 1 =0, onda birinci tənlikdən əldə edirikx 2 =0 və ya x 2 =1.
Nə vaxt x 2 doğrudur, biz əldə edirik ki, qalan dəyişənlər də doğrudur, yəni (0; 1; ...; 1) çoxluğu sistemin həllidir. Atx 2 =0 bunu alırıq x 3 =0 və ya x 3 = və s. Son dəyişənə davam edərək, tənliyin həlli yollarının aşağıdakı dəyişənlər dəstləri olduğunu tapırıq ( m +1 məhlul, hər məhlulda m dəyişən dəyərlər):
(1; 1; 1; …; 1)
(0; 1; 1; …; 1)
(0; 0; 0; …; 0)
Bu yanaşma ikili ağacın qurulması ilə yaxşı təsvir edilmişdir. Mümkün həllərin sayı qurulmuş ağacın müxtəlif budaqlarının sayıdır. Onun bərabər olduğunu görmək asandır m +1.
|
Dəyişənlər |
Ağac |
Həlllərin sayı |
|
x 1 |
|
|
|
x 2 |
||
|
x 3 |
||
Əsaslandırma və qərar ağacı qurmaqda çətinliklər yarandıqda, istifadə edərək həll yolu axtara bilərsiniz həqiqət cədvəlləri, bir və ya iki tənlik üçün.
Tənliklər sistemini aşağıdakı formada yenidən yazaq:
Və bir tənlik üçün ayrıca həqiqət cədvəli yaradaq:
|
x 1 |
x 2 |
(x 1 → x 2) |
İki tənlik üçün həqiqət cədvəli yaradaq:
|
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 1 → x 2 |
x 2 → x 3 |
(x 1 → x 2) * (x 2 → x 3) |
Sonra, bir tənliyin aşağıdakı üç halda doğru olduğunu görə bilərsiniz: (0; 0), (0; 1), (1; 1). İki tənlik sistemi dörd halda (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1) doğrudur. Bu vəziyyətdə dərhal aydın olur ki, yalnız sıfırlardan və daha çoxdan ibarət bir həll var m son mövqedən başlayaraq bütün mümkün yerlər doldurulana qədər bir anda bir vahid əlavə olunduğu həllər. Ümumi həllin eyni formaya malik olacağını güman etmək olar, lakin belə bir yanaşmanın həllə çevrilməsi üçün fərziyyənin doğruluğunu sübut etmək lazımdır.
Yuxarıda göstərilənlərin hamısını ümumiləşdirmək üçün diqqətinizi bir fakta cəlb etmək istərdim ki, müzakirə olunan metodların hamısı universal deyil. Hər bir məntiqi tənlik sistemini həll edərkən onun xüsusiyyətlərini nəzərə almaq lazımdır, bunun əsasında həll üsulu seçilməlidir.
Ədəbiyyat:
1. Məntiqi problemlər / O.B. Boqomolov – 2-ci nəşr. – M.: BİNOM. Bilik laboratoriyası, 2006. – 271 s.: ill.
2. Polyakov K.Yu. Məntiqi tənliklər sistemləri / İnformatika müəllimləri üçün tədris-metodiki qəzet: İnformatika No14, 2011.
n dəyişənin məntiqi funksiyası olsun. Məntiqi tənlik belə görünür:
C sabiti 1 və ya 0 dəyərinə malikdir.
Məntiqi tənliyin 0-dan fərqli həlləri ola bilər. Əgər C 1-ə bərabərdirsə, onda həllər həqiqət cədvəlindən F funksiyasının true (1) qiymətini qəbul etdiyi bütün dəyişənlər toplusudur. Qalan çoxluqlar C sıfıra bərabər olan tənliyin həlləridir. Həmişə yalnız formanın tənliklərini nəzərdən keçirə bilərsiniz:
Həqiqətən, tənlik verilsin:
Bu halda, ekvivalent tənliyə keçə bilərik:
k məntiqi tənliklər sistemini nəzərdən keçirək:
Sistemin həlli sistemin bütün tənliklərinin təmin olunduğu dəyişənlər toplusudur. Məntiqi funksiyalar baxımından məntiqi tənliklər sisteminin həllini əldə etmək üçün ilkin funksiyaların birləşməsini təmsil edən F məntiqi funksiyasının doğru olduğu çoxluğu tapmaq lazımdır:
Əgər dəyişənlərin sayı azdırsa, məsələn, 5-dən azdırsa, o zaman sistemin neçə həlli olduğunu və həlli təmin edən çoxluqların nə olduğunu söyləməyə imkan verən funksiya üçün həqiqət cədvəlini qurmaq çətin deyil.
Məntiqi tənliklər sisteminin həllinin tapılması ilə bağlı bəzi İSTİFADƏ problemlərində dəyişənlərin sayı 10-a çatır. Sonra həqiqət cədvəlinin qurulması demək olar ki, qeyri-mümkün bir işə çevrilir. Problemin həlli fərqli yanaşma tələb edir. İxtiyari tənliklər sistemi üçün bu cür məsələlərin həllinə imkan verən sadalamadan başqa ümumi üsul yoxdur.
İmtahanda təklif olunan məsələlərdə həll adətən tənliklər sisteminin xüsusiyyətlərinin nəzərə alınmasına əsaslanır. Təkrar edirəm, dəyişənlər dəsti üçün bütün variantları sınamaqdan başqa, problemi həll etməyin ümumi yolu yoxdur. Həll sistemin xüsusiyyətlərinə əsaslanaraq qurulmalıdır. Məlum məntiq qanunlarından istifadə edərək tənliklər sisteminin ilkin sadələşdirilməsini həyata keçirmək çox vaxt faydalıdır. Bu problemi həll etmək üçün başqa bir faydalı texnika aşağıdakı kimidir. Bizi bütün çoxluqlar maraqlandırmır, yalnız funksiyanın 1 dəyərinə malik olanlar maraqlandırır. Biz tam həqiqət cədvəli qurmaq əvəzinə onun analoqunu - binar qərar ağacını quracağıq. Bu ağacın hər bir budağı bir həllə uyğun gəlir və funksiyanın 1 qiymətinə malik olduğu çoxluğu müəyyən edir. Qərar ağacındakı budaqların sayı tənliklər sisteminin həllər sayı ilə üst-üstə düşür.
Mən ikili qərar ağacının nə olduğunu və onun necə qurulduğunu bir neçə məsələnin nümunələri ilə izah edəcəyəm.
Problem 18
İki tənlik sistemini təmin edən x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 məntiqi dəyişənlərin neçə müxtəlif dəyər çoxluğu var?
Cavab: Sistemdə 36 müxtəlif həll variantı var.
Həlli: Tənliklər sisteminə iki tənlik daxildir. 5 dəyişəndən asılı olaraq birinci tənlik üçün həllərin sayını tapaq - . Birinci tənliyi öz növbəsində 5 tənlik sistemi kimi qəbul etmək olar. Göstərildiyi kimi, tənliklər sistemi əslində məntiqi funksiyaların birləşməsini təmsil edir. Əks ifadə də doğrudur - şərtlərin birləşməsini tənliklər sistemi kimi qəbul etmək olar.
Gəlin implikasiya üçün qərar ağacı quraq () - birinci tənlik kimi qəbul edilə bilən birləşmənin birinci üzvü. Bu ağacın qrafik təsviri belə görünür
Ağac tənlikdəki dəyişənlərin sayına görə iki səviyyədən ibarətdir. Birinci səviyyə birinci dəyişəni təsvir edir. Bu səviyyənin iki qolu bu dəyişənin mümkün dəyərlərini əks etdirir - 1 və 0. İkinci səviyyədə ağacın budaqları yalnız tənliyin doğru olaraq qiymətləndirdiyi dəyişənin mümkün dəyərlərini əks etdirir. Tənlik bir təsir göstərdiyindən, dəyəri 1 olan budaq bu filialda 1 dəyərinin olmasını tələb edir. 0 dəyəri olan budaq 0 və 1-ə bərabər dəyərlərə malik iki budaq yaradır. ağac üç həlli müəyyən edir, onlardan 1 dəyərini alır. Hər bir budaqda tənliyə həll verən müvafiq dəyişən dəyərlər dəsti yazılır.
Bu çoxluqlar: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))
Gəlin aşağıdakı tənliyi əlavə edərək qərar ağacını qurmağa davam edək, aşağıdakı nəticə. Tənliklər sistemimizin spesifikliyi ondan ibarətdir ki, sistemin hər bir yeni tənliyi əvvəlki tənlikdən bir dəyişən istifadə edir və bir yeni dəyişən əlavə edir. Dəyişən ağacda artıq dəyərlərə malik olduğundan, dəyişənin dəyəri 1 olan bütün budaqlarda dəyişənin də 1 dəyəri olacaq. Belə budaqlar üçün ağacın qurulması növbəti səviyyəyə qədər davam edir, lakin yeni filiallar görünmür. Dəyişənin 0 dəyərinə malik olduğu tək budaq dəyişənin 0 və 1 qiymətlərini alacağı iki budağa bölünəcək. Beləliklə, yeni tənliyin hər bir əlavəsi, spesifikliyini nəzərə alaraq, bir həll əlavə edir. Orijinal ilk tənlik:
6 həlli var. Bu tənlik üçün tam qərar ağacı belə görünür:
Sistemimizin ikinci tənliyi birinciyə bənzəyir:
Yeganə fərq, tənliyin Y dəyişənlərindən istifadə etməsidir. Bu tənliyin də 6 həlli var. Hər dəyişən həll hər dəyişən həll ilə birləşdirilə bildiyi üçün həllərin ümumi sayı 36-dır.
Nəzərə alın ki, qurulmuş qərar ağacı təkcə həllərin sayını (budaqların sayına görə) deyil, həm də ağacın hər bir budağına yazılmış həllərin özlərini verir.
Problem 19
Aşağıda sadalanan bütün şərtləri ödəyən x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 məntiqi dəyişənlərin neçə müxtəlif dəyər dəsti var?
Bu tapşırıq əvvəlki tapşırığın modifikasiyasıdır. Fərq ondadır ki, X və Y dəyişənləri ilə əlaqəli başqa bir tənlik əlavə olunur.
Tənlikdən belə çıxır ki, dəyəri 1 olduqda (belə bir həll mövcuddur), onda onun dəyəri 1 olur. Beləliklə, 1-ə bərabər olan bir çoxluq var. 0-a bərabər olduqda, o, ola bilər. həm 0, həm də 1 hər hansı qiymətə malikdir. Buna görə də 0-a bərabər olan hər bir çoxluq və 5 belə çoxluq var, Y dəyişənləri olan 6 çoxluğun hamısına uyğun gəlir. Buna görə də, həllərin ümumi sayı 31-dir.
Problem 20
Həlli: Əsas ekvivalentləri xatırlayaraq tənliyimizi belə yazırıq:
Tövsiyələrin siklik zənciri dəyişənlərin eyni olması deməkdir, buna görə də tənliyimiz tənliyə ekvivalentdir:
Hamısı 1 və ya 0 olduqda bu tənliyin iki həlli var.
Problem 21
Tənliyin neçə həlli var:
Həlli: 20-ci məsələdə olduğu kimi, tənliyi aşağıdakı formada yenidən yazaraq, tsiklik təsirlərdən eyniliklərə keçirik:
Bu tənlik üçün qərar ağacı quraq:
Problem 22
Aşağıdakı tənliklər sisteminin neçə həlli var?
J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, burada J, K, L, M, N məntiqi dəyişənlərdir?
Həll.
Buna görə də (N ∨ ¬N) ifadəsi istənilən N üçün doğrudur
J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.
Məntiqi tənliyin hər iki tərəfinə inkar tətbiq edək və De Morqan qanunundan ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B istifadə edək. ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1 alırıq.
Məntiqi cəmi 1-ə bərabərdir, əgər onun tərkib müddəalarından ən azı biri 1-ə bərabərdirsə. Buna görə də, tənliyə daxil edilmiş bütün kəmiyyətlərin 0-a bərabər olduğu hal istisna olmaqla, nəticədə yaranan tənlik məntiqi dəyişənlərin istənilən kombinasiyası ilə təmin edilir. 4 dəyişən ya 1, ya da 0-a bərabər ola bilər, ona görə də bütün mümkün birləşmələr 2·2·2·2 = 16-dır. Buna görə də tənliyin 16 −1 = 15 həlli var.
Tapılan 15 həllin N məntiqi dəyişəninin iki mümkün qiymətindən hər hansı birinə uyğun olduğunu qeyd etmək qalır, buna görə də orijinal tənliyin 30 həlli var.
Cavab: 30
Tənliyin neçə fərqli həlli var?
((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1
burada J, K, L, M, N məntiqi dəyişənlərdir?
Cavabda bu bərabərliyin mövcud olduğu J, K, L, M və N dəyərlərinin bütün müxtəlif dəstlərini sadalamaq lazım deyil. Cavab olaraq, belə dəstlərin sayını göstərməlisiniz.
Həll.
A → B = ¬A ∨ B və ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B düsturlarından istifadə edirik.
Birinci alt düsturu nəzərdən keçirək:
(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)
İkinci alt düsturu nəzərdən keçirək
(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L
Üçüncü alt düsturu nəzərdən keçirək
1) M → J = 1 buna görə də,
(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;
(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;
Gəlin birləşdirək:
¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 deməli 4 həll.
(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;
(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L
Gəlin birləşdirək:
K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L deməli 4 həll.
c) M = 0 J = 0.
(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.
(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.
Cavab: 4 + 4 = 8.
Cavab: 8
Tənliyin neçə fərqli həlli var?
((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0
harada K, L, M, N məntiqi dəyişənlərdir? Cavabda bu bərabərliyin mövcud olduğu K, L, M və N dəyərlərinin bütün müxtəlif dəstlərini sadalamağa ehtiyac yoxdur. Cavab olaraq belə dəstlərin sayını göstərməlisiniz.
Həll.
Əməliyyatlar üçün daha sadə qeydlərdən istifadə edərək tənliyi yenidən yazaq:
((K + L) → (L M N)) = 0
1) “təsir” əməliyyatının həqiqət cədvəlindən (birinci məsələyə bax) belə çıxır ki, bu bərabərlik o halda doğrudur ki, və yalnız eyni zamanda
K + L = 1 və L M N = 0
2) birinci tənlikdən belə çıxır ki, dəyişənlərdən ən azı biri K və ya L 1-ə bərabərdir (və ya hər ikisi birlikdə); ona görə də üç halı nəzərdən keçirək
3) əgər K = 1 və L = 0 olarsa, onda ikinci bərabərlik istənilən M və N üçün ödənilir; iki Boolean dəyişəninin 4 kombinasiyası (00, 01, 10 və 11) olduğundan 4 fərqli həllimiz var
4) əgər K = 1 və L = 1 olarsa, M · N = 0 üçün ikinci bərabərlik yerinə yetirilir; 3 belə kombinasiya var (00, 01 və 10), daha 3 həllimiz var
5) K = 0 olarsa, L = 1 (birinci tənlikdən); bu halda ikinci bərabərlik M · N = 0 olduqda təmin edilir; 3 belə kombinasiya var (00, 01 və 10), daha 3 həllimiz var
6) cəmi 4 + 3 + 3 = 10 həll alırıq.
Cavab: 10
Tənliyin neçə fərqli həlli var?
(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1
Həll.
(K ∧ L) və (M ∧ N) müvafiq olaraq 01, 11, 10-a bərabər olduqda ifadə üç halda doğrudur.
1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N 1-ə bərabərdir və K və L eyni vaxtda 1-dən başqa hər şeydir. Buna görə də 3 həll yolu var.
2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 məhlul.
3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 məhlul.
Cavab: 7.
Cavab: 7
Tənliyin neçə fərqli həlli var?
(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0
burada X, Y, Z, P məntiqi dəyişənlərdir? Cavabda bu bərabərliyin mövcud olduğu bütün müxtəlif dəyər dəstlərini sadalamaq lazım deyil. Cavab olaraq, yalnız belə dəstlərin sayını göstərməlisiniz.
Həll.
(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>
¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;
(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;
Məntiqi OR yalnız bir halda yanlışdır: hər iki ifadə yanlış olduqda.
Beləliklə,
(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.
¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>
¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.
Buna görə də tənliyin yalnız bir həlli var.
Cavab: 1
Tənliyin neçə fərqli həlli var?
(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1
harada K, L, M, N məntiqi dəyişənlərdir? Cavab üçün bu bərabərliyin mövcud olduğu K, L, M və N dəyərlərinin bütün müxtəlif dəstlərini sadalamaq lazım deyil. Cavab olaraq, yalnız belə dəstlərin sayını göstərməlisiniz.
Həll.
Məntiqi Və yalnız bir halda doğrudur: bütün ifadələr doğru olduqda.
K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.
Hər bir tənlik 3 həlli verir.
A ∧ B = 1 tənliyini nəzərdən keçirin, əgər həm A, həm də B hər biri üç halda həqiqi qiymətlər alırsa, cəmi tənliyin 9 həlli var.
Buna görə cavab 9-dur.
Cavab: 9
Tənliyin neçə fərqli həlli var?
((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,
harada A, B, C, D məntiqi dəyişənlərdir?
Cavabda bu bərabərliyin mövcud olduğu A, B, C, D dəyərlərinin bütün müxtəlif dəstlərini sadalamaq lazım deyil. Cavab olaraq, belə dəstlərin sayını göstərməlisiniz.
Həll.
Məntiqi "OR" ifadələrindən ən azı biri doğru olduqda doğrudur.
(D ∧ ¬D)= hər hansı D üçün 0.
Beləliklə,
(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, bu da bizə hər D üçün 3 mümkün həll yolu verir.
(D ∧ ¬ D)= 0 istənilən D üçün, bu bizə iki həll yolu verir (D = 1, D = 0 üçün).
Buna görə də: cəmi həllər 2*3 = 6.
Cəmi 6 həll.
Cavab: 6
Tənliyin neçə fərqli həlli var?
(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0
harada K, L, M, N məntiqi dəyişənlərdir? Cavab üçün bu bərabərliyin mövcud olduğu K, L, M və N dəyərlərinin bütün müxtəlif dəstlərini sadalamaq lazım deyil. Cavab olaraq, yalnız belə dəstlərin sayını göstərməlisiniz.
Həll.
Tənliyin hər iki tərəfinə inkar tətbiq edək:
(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1
Məntiqi OR üç halda doğrudur.
Seçim 1.
K ∧ L ∧ M = 1, onda K, L, M = 1 və ¬L ∧ M ∧ N = 0. N ixtiyari, yəni 2 həlldir.
Seçim 2.
¬L ∧ M ∧ N = 1, onda N, M = 1; L = 0, K hər hansı, yəni 2 məhlul.
Buna görə də cavab 4-dür.
Cavab: 4
A, B və C ifadənin doğru olduğu tam ədədlərdir
¬ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B)).
A = 45 və C = 43 olarsa, B nəyə bərabərdir?
Həll.
Nəzərə alın ki, bu mürəkkəb ifadə üç sadə ifadədən ibarətdir
1) ¬(A = B); (A > B)→(B > C); (B > A)→(C > B);
2) bu sadə ifadələr ∧ (AND, birləşmə) əməliyyatı ilə bağlanır, yəni eyni vaxtda yerinə yetirilməlidir;
3) ¬(A = B)=1-dən dərhal belə nəticə çıxır ki, A B;
4) tutaq ki, A > B, onda ikinci şərtdən 1→(B > C)=1 alırıq; bu ifadə yalnız və yalnız B > C = 1 olduqda doğru ola bilər;
5) buna görə də bizdə A > B > C var, bu şərtə yalnız 44 rəqəmi uyğun gəlir;
6) hər halda, A variantını da yoxlayaq 0 →(B > C)=1;
bu ifadə istənilən B üçün doğrudur; indi əldə etdiyimiz üçüncü şərtə baxın
bu ifadə yalnız və yalnız C > B olduqda doğru ola bilər və burada ziddiyyət yaranır, çünki C > B > A üçün elə bir B nömrəsi yoxdur.
Cavab: 44.
Cavab: 44
Məntiqi funksiya üçün həqiqət cədvəlini qurun
X = (A ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))
burada A arqumentinin dəyərlərinin sütunu 27 rəqəminin ikili təsviri, B arqumentinin dəyərlərinin sütunu 77 nömrəsi, C arqumentinin dəyər sütunu 120 rəqəmidir. sütunda yuxarıdan aşağıya ən əhəmiyyətlidən ən az əhəmiyyətliyə (sıfır çoxluğu daxil olmaqla) yazılır. X funksiyasının dəyərlərinin ikili təsvirini onluq say sisteminə çevirin.
Həll.
Əməliyyatlar üçün daha sadə qeydlərdən istifadə edərək tənliyi yazaq:
1) bu üç dəyişənli ifadədir, ona görə də həqiqət cədvəlində sətirlər olacaq; buna görə də A, B və C cədvəl sütunlarını qurmaq üçün istifadə olunan ədədlərin ikili təsviri 8 rəqəmdən ibarət olmalıdır.
2) 27, 77 və 120 rəqəmlərini ikili sistemə çevirin, dərhal ədədlərin əvvəlinə 8 rəqəmə qədər sıfır əlavə edin
3) hər kombinasiya üçün X funksiyasının dəyərlərini dərhal yaza bilməyəcəyiniz ehtimalı azdır, buna görə aralıq nəticələri hesablamaq üçün cədvələ əlavə sütunlar əlavə etmək rahatdır (aşağıdakı cədvələ baxın)
| A | IN | İLƏ | X|
| 0 | 0 | ||
| 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 |
4) cədvəl sütunlarını doldurun:
| A | IN | İLƏ | X | ||||
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
qiymət yalnız A = B olduğu sətirlərdə 1-dir
B və ya C = 1 olduğu sətirlərdə qiymət 1-dir
qiymət yalnız A = 1 və B + C = 0 olduğu sətirlərdə 0-dır
dəyər əvvəlki sütunun tərsidir (0 1 ilə, 1 isə 0 ilə əvəz olunur)
X (son sütun) nəticəsi iki sütunun məntiqi cəmidir və
5) Cavab almaq üçün X sütunundan yuxarıdan aşağıya qədər bitləri yazın:
6) bu ədədi onluq sistemə çevirin:
Cavab: 171
(10 (X+1)·(X+2)) ifadəsinin doğru olduğu ən böyük X tam ədədi hansıdır?
Həll.
Tənlik iki əlaqə arasındakı təsir əməliyyatıdır:
1) Əlbəttə, burada 2208-ci misaldakı kimi eyni metodu tətbiq edə bilərsiniz, lakin siz kvadrat tənlikləri həll etməli olacaqsınız (mən istəmirəm...);
2) Qeyd edək ki, şərtlə bizi yalnız tam ədədlər maraqlandırır, buna görə də ekvivalent ifadə əldə edərək orijinal ifadəni birtəhər çevirməyə cəhd edə bilərik (köklərin dəqiq dəyərləri bizi heç maraqlandırmır!);
3) Bərabərsizliyi nəzərdən keçirək: aydındır ki, o, ya müsbət, ya da mənfi ədəd ola bilər;
4) Domendə ifadənin bütün tam ədədlər üçün, domendə isə bütün tam ədədlər üçün doğru olduğunu yoxlamaq asandır (çaşqınlıq yaratmamaq üçün qeyri-ciddi bərabərsizliklərdən istifadə etmək daha rahatdır və əvəzinə . və );
5) Buna görə də tam ədədlər üçün onu ekvivalent ifadə ilə əvəz etmək olar
6) ifadənin həqiqət sahəsi iki sonsuz intervalın birləşməsidir;
7) İndi ikinci bərabərsizliyə nəzər salaq: aydındır ki, o, həm də müsbət və ya mənfi ədəd ola bilər;
8) Domendə ifadə bütün tam ədədlər üçün, domendə isə bütün tam ədədlər üçün doğrudur, buna görə də tam ədədlər üçün onu ekvivalent ifadə ilə əvəz etmək olar.
9) ifadənin həqiqət dairəsi qapalı intervaldır;
10) Verilmiş ifadə və olduğu sahələr istisna olmaqla, hər yerdə doğrudur;
11) Nəzərə alın ki, qiymət artıq uyğun deyil, çünki orada və , yəni implikasiya 0 verir;
12) Şərti ödəyən 2, (10 (2+1) · (2+2)), və ya 0 → 0 əvəz edilərkən.
Beləliklə, cavab 2-dir.
Cavab: 2
Bəyanatın doğru olduğu ən böyük X tam ədədi hansıdır
(50 (X+1)·(X+1))?
Həll.
Gəlin implikasiya çevrilməsini tətbiq edək və ifadəni çevirək:
(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).
Məntiqi OR ən azı bir məntiqi ifadə doğru olduqda doğrudur. Hər iki bərabərsizliyi həll edərək və nəzərə alsaq ki, onlardan ən azı birinin ödənildiyi ən böyük tam ədədin 7 olduğunu görürük (şəkildə ikinci bərabərsizliyin müsbət həlli sarı, birinci isə mavi rənglə göstərilmişdir).
Cavab: 7
Məntiqi ifadənin olduğu K, L, M, N dəyişənlərinin dəyərlərini göstərin
(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)
yalan. Cavabı 4 simvoldan ibarət sətir kimi yazın: K, L, M və N dəyişənlərinin dəyərləri (bu ardıcıllıqla). Beləliklə, məsələn, 1101-ci sətir K=1, L=1, M=0, N=1 faktına uyğun gəlir.
Həll.
Dublikat tapşırığı 3584.
Cavab: 1000
(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)
Həll.
Təsir çevrilməsini tətbiq edək:
(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0
Tənliyin hər iki tərəfinə inkar tətbiq edək:
(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1
Gəlin çevirək:
(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1
Buna görə də, M = 0, N = 0, indi nəzərdən keçirin (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):
M = 0, N = 0 olmasından belə çıxır ki, M ∧ L = 0, onda ¬K ∧ L = 1, yəni K = 0, L = 1 olur.
Cavab: 0100
Məntiqi ifadənin olduğu K, L, M, N dəyişənlərinin qiymətlərini göstərin
(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)
yalan. Cavabınızı dörd simvoldan ibarət sətir kimi yazın: K, L, M və N dəyişənlərinin dəyərləri (bu ardıcıllıqla). Beləliklə, məsələn, 1101-ci sətir K=1, L=1, M=0, N=1 faktına uyğun gəlir.
Həll.
Əməliyyatların daha sadə qeydindən istifadə edərək tənliyi yazaq (“ifadə yanlışdır” şərti onun məntiqi sıfıra bərabər olduğunu bildirir):
1) şərtin tərtibindən belə çıxır ki, ifadə yalnız bir dəyişənlər toplusu üçün yalan olmalıdır
2) "təsir" əməliyyatının həqiqət cədvəlindən belə çıxır ki, bu ifadə yalnız və yalnız eyni zamanda yanlışdır.
3) birinci bərabərlik (məntiqi hasil 1-ə bərabərdir) və yalnız və olduqda ödənilir; buradan belə çıxır (məntiqi cəm sıfıra bərabərdir), bu yalnız olduqda baş verə bilər; Beləliklə, biz artıq üç dəyişən müəyyən etmişik
4) ikinci şərtdən, , üçün və alırıq.
Tapşırığı təkrarlayır
Cavab: 1000
Məntiqi ifadənin olduğu P, Q, S, T məntiqi dəyişənlərin dəyərlərini göstərin
(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) yanlışdır.
Cavabı dörd simvoldan ibarət bir sətir kimi yazın: P, Q, S, T dəyişənlərinin dəyərləri (bu ardıcıllıqla).
Həll.
(1) (P ∨ ¬Q) = 0
(2) (Q → (S ∨ T)) = 0
(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.
(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Təsir çevrilməsini tətbiq edək:
¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.
Cavab: 0100
Məntiqi ifadənin olduğu K, L, M, N dəyişənlərinin qiymətlərini göstərin
(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N
yalan. Cavabınızı dörd simvoldan ibarət sətir kimi yazın: K, L, M və N dəyişənlərinin dəyərləri (bu ardıcıllıqla). Beləliklə, məsələn, 1101-ci sətir K=1, L=1, M=0, N=1 faktına uyğun gəlir.
Həll.
Məntiqi OR yalnız və yalnız hər iki ifadə yalan olduqda yanlışdır.
(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.
Birinci ifadə üçün implikasiya çevrilməsini tətbiq edək:
¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.
İkinci ifadəni nəzərdən keçirin:
(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (birinci ifadənin nəticəsinə bax) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.
Cavab: 1001.
Cavab: 1001
Məntiqi ifadənin olduğu K, L, M, N dəyişənlərinin qiymətlərini göstərin
(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))
doğru. Cavabınızı dörd simvoldan ibarət sətir kimi yazın: K, L, M və N dəyişənlərinin dəyərləri (bu ardıcıllıqla). Beləliklə, məsələn, 1101-ci sətir K=1, L=1, M=0, N=1 faktına uyğun gəlir.
Həll.
Məntiqi "AND" yalnız və yalnız hər iki ifadə doğru olduqda doğrudur.
1) (K → M) = 1 Təsir çevrilməsini tətbiq edin: ¬K ∨ M = 1
2) (K → ¬M) = 1 Təsir çevrilməsini tətbiq edin: ¬K ∨ ¬M = 1
Buradan belə çıxır ki, K = 0.
3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Təsir çevrilməsini tətbiq edək: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 K = 0 olması faktından əldə edirik.