Kako pronaći površinu pravokutnika množenjem. Kako izračunati površinu. Proporcije između površine poda i prozora
Počevši od 5. razreda, učenici počinju da se upoznaju sa konceptom područja različitih oblika. Posebna uloga se daje površini pravokutnika, jer je ova figura jedna od najlakših za proučavanje.
Koncepti područja
Svaka figura ima svoju površinu, a izračunavanje površine se zasniva na jediničnom kvadratu, odnosno kvadratu sa dugom stranom od 1 mm, ili 1 cm, 1 dm itd. Površina takve figure je jednaka $1*1 = 1mm^2$, ili $1cm^2$, itd. Površina se, po pravilu, označava slovom - S.
Područje pokazuje veličinu dijela ravni kojeg zauzima lik ocrtan segmentima.
Pravougaonik je četvorougao u kome su svi uglovi iste stepene mere i jednaki 90 stepeni, a suprotne stranice paralelne i jednake u paru.
Posebnu pažnju treba obratiti na mjerne jedinice dužine i širine. Moraju se poklapati. Ako se jedinice ne podudaraju, pretvaraju se. Po pravilu pretvaraju veću jedinicu u manju, na primjer, ako je dužina data u dm, a širina u cm, onda se dm pretvara u cm, a rezultat će biti $cm^2$.
Formula površine pravokutnika
Da biste pronašli površinu pravokutnika bez formule, morate izbrojati broj jediničnih kvadrata na koje je lik podijeljen.
Rice. 1. Pravougaonik podijeljen na jedinične kvadrate
Pravougaonik je podijeljen na 15 kvadrata, odnosno njegova površina je 15 cm2. Vrijedi napomenuti da figura zauzima 3 kvadrata u širinu i 5 u dužinu, pa da biste izračunali broj jediničnih kvadrata, trebate pomnožiti dužinu sa širinom. Manja stranica četvorougla je širina, dužina je duža. Dakle, možemo izvesti formulu za površinu pravokutnika:
S = a · b, gdje su a,b širina i dužina figure.
Na primjer, ako je dužina pravokutnika 5 cm, a širina 4 cm, tada će površina biti jednaka 4 * 5 = 20 cm 2.
Izračunavanje površine pravokutnika pomoću njegove dijagonale
Da biste izračunali površinu pravokutnika kroz dijagonalu, morate primijeniti formulu:
$$S = (1\preko(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Ako zadatak daje vrijednosti kuta između dijagonala, kao i vrijednost same dijagonale, tada možete izračunati površinu pravokutnika koristeći opću formulu za proizvoljne konveksne četverokute.
Dijagonala je segment koji spaja suprotne tačke figure. Dijagonale pravougaonika su jednake, a tačka preseka je podeljena na pola.
Rice. 2. Pravougaonik sa nacrtanim dijagonalama
Primjeri
Da biste pojačali temu, razmotrite primjere zadataka:
br. 1. Pronađite površinu baštenske parcele istog oblika kao na slici.
Rice. 3. Crtež za problem
Rješenje:
Da biste oduzeli površinu, morate lik podijeliti na dva pravokutnika. Jedan od njih će imati dimenzije od 10 m i 3 m, a drugi 5 m i 7 m Odvojeno nalazimo njihove površine:
$S_1 =3*10=30 m^2$;
Ovo će biti površina okućnice $S = 65 m^2$.
br. 2. Oduzmite površinu pravougaonika ako je data njegova dijagonala d = 6 cm i ugao između dijagonala α = 30 0.
Rješenje:
Vrijednost $sin 30 =(1\over(2)) $,
$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\preko(2)) * 6^2 * (1\preko(2)) =9 cm^2$
Dakle, $S=9 cm^2$.
Dijagonale dijele pravougaonik na 4 oblika - 4 trokuta. U ovom slučaju, trokuti su jednaki u parovima. Ako nacrtate dijagonalu u pravokutniku, ona dijeli figuru na dva jednaka pravokutna trougla.
Dijagonale nisu simetrale uglova pravougaonika. A također ako nacrtate simetrale svakog ugla, onda kada se sijeku, dobit ćete pravougaonik.
Šta smo naučili?
Naučili smo kako pronaći površinu pravokutnika. U zavisnosti od početnih podataka koristi se jedna ili ona formula za pronalaženje površine. Također je vrijedno zapamtiti da ako zadatak ima različite mjerne jedinice za strane, potrebno ih je pretvoriti u jednu.
Testirajte na temu
Ocjena članka
Prosječna ocjena: 4.4. Ukupno primljenih ocjena: 292.
Pravougaonik je poseban slučaj četvorougla. To znači da pravougaonik ima četiri strane. Njegove suprotne strane su jednake: na primjer, ako je jedna od njegovih strana 10 cm, onda će i suprotna strana biti jednaka 10 cm. Poseban slučaj pravokutnika je kvadrat. Kvadrat je pravougaonik čije su sve strane jednake. Da biste izračunali površinu kvadrata, možete koristiti isti algoritam kao i za izračunavanje površine pravokutnika.
Kako saznati površinu pravokutnika na osnovu dvije strane
Da biste pronašli površinu pravougaonika, potrebno je da pomnožite njegovu dužinu sa širinom: Površina = dužina × širina. U dole navedenom slučaju: Površina = AB × BC.
Kako saznati površinu pravokutnika po bočnoj i dijagonalnoj dužini
Neki problemi zahtijevaju da pronađete površinu pravokutnika koristeći dužinu dijagonale i jedne od stranica. Dijagonala pravougaonika dijeli ga na dva jednaka pravokutna trougla. Stoga možemo odrediti drugu stranu pravokutnika koristeći Pitagorinu teoremu. Nakon ovoga, zadatak se svodi na prethodnu tačku.
Kako saznati površinu pravokutnika po obodu i strani
Opseg pravougaonika je zbir svih njegovih stranica. Ako znate obim pravokutnika i jednu stranu (kao što je širina), možete izračunati površinu pravokutnika koristeći sljedeću formulu:
Površina = (Perimetarךirina – širina^2)/2.
Površina pravokutnika kroz sinus oštrog ugla između dijagonala i dužine dijagonale
Dijagonale u pravougaoniku su jednake, pa da biste izračunali površinu na osnovu dužine dijagonale i sinusa oštrog ugla između njih, trebalo bi da koristite sledeću formulu: Površina = dijagonala^2 × sin (oštar ugao između dijagonala )/2.
Površina pravougaonika možda ne zvuči arogantno, ali je važan koncept. U svakodnevnom životu se stalno susrećemo s tim. Saznajte veličinu polja, povrtnjaka, izračunajte količinu boje potrebne za krečenje stropa, koliko će tapeta biti potrebno za lijepljenje
novac i još mnogo toga.
Geometrijska figura
Prvo, hajde da pričamo o pravougaoniku. Ovo je lik na ravni koji ima četiri prava ugla, a njegove suprotne strane su jednake. Njegove strane se obično nazivaju dužinom i širinom. Oni se mjere u milimetrima, centimetrima, decimetrima, metrima itd. Sada ćemo odgovoriti na pitanje: "Kako pronaći površinu pravokutnika?" Da biste to učinili, trebate pomnožiti dužinu sa širinom.
Površina=dužina*širina
Ali još jedno upozorenje: dužina i širina moraju biti izražene u istim mjernim jedinicama, odnosno metar i metar, a ne metar i centimetar. Područje je napisano latiničnim slovom S. Radi praktičnosti, označimo dužinu latiničnim slovom b, a širinu latiničnim slovom a, kao što je prikazano na slici. Iz ovoga zaključujemo da je jedinica površine mm 2, cm 2, m 2 itd.
Pogledajmo konkretan primjer kako pronaći površinu pravokutnika. Dužina b=10 jedinica. Širina a=6 jedinica. Rješenje: S=a*b, S=10 jedinica*6 jedinica, S=60 jedinica 2. Zadatak. Kako saznati površinu pravokutnika ako je dužina 2 puta veća od širine i 18 m? Rješenje: ako je b=18 m, onda je a=b/2, a=9 m kako pronaći površinu pravokutnika ako su poznate obje strane? Tako je, zamijenite to u formulu. S=a*b, S=18*9, S=162 m 2. Odgovor: 162 m2. Zadatak. Koliko rola tapeta treba da kupite za sobu ako su njene dimenzije: dužina 5,5 m, širina 3,5 i visina 3 m? Dimenzije rolne tapeta: dužina 10 m, širina 50 cm Rješenje: napraviti crtež prostorije.
Površine suprotnih strana su jednake. Izračunajmo površinu zida dimenzija 5,5 m i 3 m S zida 1 = 5,5 * 3,
S zid 1 = 16,5 m 2. Dakle, suprotni zid ima površinu od 16,5 m2. Nađimo površinu sljedeća dva zida. Njihove strane su 3,5 m i 3 m S zid 2 = 3,5 * 3, S zid 2 = 10,5 m 2. To znači da je i suprotna strana jednaka 10,5 m2. Hajde da saberemo sve rezultate. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Kako izračunati površinu pravokutnika ako su stranice izražene u različitim mjernim jedinicama. Prethodno smo izračunali površine u m2, a zatim ćemo u ovom slučaju koristiti brojila. Tada će širina rolne tapeta biti jednaka 0,5 m S rola = 10 * 0,5, S rola = 5 m 2. Sada ćemo saznati koliko je rola potrebno za pokrivanje prostorije. 54:5=10,8 (rola). Pošto se mjere cijelim brojevima potrebno je kupiti 11 rolni tapeta. Odgovor: 11 rolni tapeta. Zadatak. Kako izračunati površinu pravokutnika ako se zna da je širina 3 cm kraća od dužine, a zbir stranica pravokutnika 14 cm? Rješenje: neka je dužina x cm, onda je širina (x-3) cm x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm. - dužina pravougaonika, 5-3=2 cm - širina pravougaonika, S=5*2, S=10 cm 2 Odgovor: 10 cm 2.
Sažetak
Nakon što sam pogledao primjere, nadam se da je postalo jasno kako pronaći površinu pravokutnika. Da vas podsjetim da se mjerne jedinice za dužinu i širinu moraju podudarati, inače ćete dobiti pogrešan rezultat Da biste izbjegli greške, pažljivo pročitajte zadatak. Ponekad se jedna strana može izraziti kroz drugu stranu, ne bojte se. Molimo pogledajte naše riješene probleme, možda bi mogli pomoći. Ali barem jednom u životu smo suočeni s pronalaženjem površine pravokutnika.
je paralelogram u kojem su svi uglovi jednaki 90°, a suprotne strane paralelne i jednake u parovima.
Pravokutnik ima nekoliko nepobitnih svojstava koja se koriste u rješavanju mnogih problema, u formulama za površinu pravokutnika i njegov perimetar. Evo ih:
Dužina nepoznate stranice ili dijagonale pravokutnika izračunava se korištenjem Pitagorine teoreme. Površina pravokutnika može se pronaći na dva načina - umnoškom njegovih stranica ili formulom za površinu pravokutnika kroz dijagonalu. Prva i najjednostavnija formula izgleda ovako:
Primjer izračunavanja površine pravokutnika pomoću ove formule je vrlo jednostavan. Poznavajući dvije strane, na primjer a = 3 cm, b = 5 cm, lako možemo izračunati površinu pravokutnika:
Nalazimo da će u takvom pravokutniku površina biti jednaka 15 kvadratnih metara. cm.
Površina pravougaonika kroz dijagonale
Ponekad morate primijeniti formulu za površinu pravokutnika kroz dijagonale. Ne samo da je potrebno saznati dužinu dijagonala, već i ugao između njih:
Pogledajmo primjer izračunavanja površine pravokutnika pomoću dijagonala. Neka je zadan pravougaonik sa dijagonalom d = 6 cm i uglom = 30°. Podatke zamjenjujemo u već poznatu formulu:
Dakle, primjer izračunavanja površine pravokutnika kroz dijagonalu pokazao nam je da je pronalaženje površine na ovaj način, ako je zadan kut, prilično jednostavno.
Pogledajmo još jedan zanimljiv problem koji će nam pomoći da malo rastegnemo mozak.
zadatak: Dat je kvadrat. Njegova površina je 36 kvadratnih metara. cm Odredi obim pravougaonika čija je dužina jedne stranice 9 cm i čija je površina jednaka gore navedenom kvadratu.
Dakle, imamo nekoliko uslova. Radi jasnoće, zapišimo ih da vidimo sve poznate i nepoznate parametre: 
Stranice figure su paralelne i jednake u parovima. Dakle, obim figure je jednak dvostrukom zbroju dužina stranica:
Iz formule za površinu pravokutnika, koja je jednaka umnošku dviju stranica figure, nalazimo dužinu stranice b
Odavde:
Zamijenimo poznate podatke i pronađemo dužinu stranice b:
Izračunajte obim figure: 
Ovako, znajući nekoliko jednostavnih formula, možete izračunati obim pravokutnika, znajući njegovu površinu.
Već smo se upoznali sa konceptom područje figure, naučio jednu od mjernih jedinica površine - kvadratni centimetar. U ovoj lekciji ćemo izvesti pravilo o tome kako izračunati površinu pravokutnika.
Već znamo kako pronaći područje figura koje su podijeljene na kvadratne centimetre.
Na primjer:
Možemo odrediti da je površina prve figure 8 cm 2, a površina druge figure 7 cm 2.
Kako pronaći površinu pravougaonika čije su stranice 3 cm i 4 cm duge?
Da bismo riješili problem, podijelimo pravougaonik na 4 trake od po 3 cm 2.
Tada će površina pravokutnika biti jednaka 3 * 4 = 12 cm 2.
Isti pravougaonik se može podijeliti na 3 trake od po 4 cm 2.
Tada će površina pravokutnika biti jednaka 4 * 3 = 12 cm 2.
U oba slučaja Da bi se pronašla površina pravougaonika, množe se brojevi koji izražavaju dužine stranica pravougaonika.
Nađimo površinu svakog pravougaonika.
Razmotrimo pravougaonik AKMO.
U jednoj traci ima 6 cm 2, a u ovom pravokutniku ima 2 takve trake. To znači da možemo izvršiti sljedeću radnju:
Broj 6 predstavlja dužinu pravougaonika, a 2 širinu pravougaonika. Tako smo pomnožili stranice pravokutnika da bismo pronašli površinu pravokutnika.
Razmotrimo pravougaonik KDCO.
U pravougaoniku KDCO ima 2 cm 2 u jednoj traci, a postoje 3 takve trake, dakle, možemo izvršiti radnju
Broj 3 označava dužinu pravougaonika, a 2 širinu pravougaonika. Pomnožili smo ih i saznali površinu pravokutnika.
Možemo zaključiti: Da biste pronašli površinu pravokutnika, ne morate svaki put dijeliti lik na kvadratne centimetre.
Da biste izračunali površinu pravokutnika, morate pronaći njegovu dužinu i širinu (dužine stranica pravokutnika moraju biti izražene u istim mjernim jedinicama), a zatim izračunati proizvod rezultirajućih brojeva (površinu će biti izraženi u odgovarajućim jedinicama površine)
Hajde da rezimiramo: Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegove dužine i širine.
Riješite problem.
Izračunajte površinu pravougaonika ako je dužina pravougaonika 9 cm, a širina 2 cm.
Hajde da razmišljamo ovako. U ovom zadatku poznate su i dužina i širina pravougaonika. Stoga slijedimo pravilo: površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegove dužine i širine.
Zapišimo rješenje.
odgovor: površina pravougaonika 18 cm 2
Šta mislite koje druge dužine stranica pravougaonika sa takvom površinom?
Možeš razmišljati ovako. Budući da je površina proizvod dužina stranica pravokutnika, morate zapamtiti tablicu množenja. Koji se brojevi množe da bi se dobio odgovor 18?
Tako je, kada pomnožite 6 i 3, dobijate i 18. To znači da pravougaonik može imati stranice od 6 cm i 3 cm i njegova površina će takođe biti jednaka 18 cm 2.
Riješite problem.
Dužina pravougaonika je 8 cm, a širina 2 cm. Pronađite njegovu površinu i perimetar.
Znamo dužinu i širinu pravougaonika. Neophodno je zapamtiti da za pronalaženje područja morate pronaći proizvod njegove dužine i širine, a da biste pronašli perimetar morate pomnožiti zbir dužine i širine sa dva.
Zapišimo rješenje.
odgovor: Površina pravougaonika je 16 cm2, a obim pravougaonika je 20 cm.
Riješite problem.
Dužina pravougaonika je 4 cm, a širina 3 cm. Kolika je površina trougla? (vidi sliku)
Da biste odgovorili na pitanje u zadatku, prvo morate pronaći površinu pravokutnika. Znamo da za to trebamo pomnožiti dužinu sa širinom.
Pogledaj crtež. Jeste li primijetili kako je dijagonala podijelila pravougaonik na dva jednaka trougla? Dakle, površina jednog trokuta je 2 puta manja od površine pravougaonika. Dakle, trebamo smanjiti 12 za 2 puta.
odgovor: Površina trougla je 6 cm 2.
Danas smo na času učili o pravilu za izračunavanje površine pravokutnika i naučili primjenjivati ovo pravilo pri rješavanju zadataka o pronalaženju površine pravokutnika.
1. M.I.Moro, M.A.Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, dio 1. M., „Prosvjeta“, 2012.
2. M.I.Moro, M.A.Bantova i dr. Matematika: Udžbenik. 3. razred: u 2 dijela, 2. dio. M., “Prosvjeta”, 2012.
3. M.I.Moro. Časovi matematike: Metodičke preporuke za nastavnike. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
4. Regulatorni dokument. Praćenje i evaluacija ishoda učenja. M., „Prosvjeta“, 2011.
5. „Škola Rusije“: Programi za osnovnu školu. - M.: "Prosvjeta", 2011.
6. S.I.Volkova. Matematika: Testni rad. 3. razred. - M.: Obrazovanje, 2012.
7. V.N.Rudnitskaya. Testovi. M., “Ispit”, 2012 (127 str.)
2. Izdavačka kuća "Prosveshcheniye" ()
1. Dužina pravougaonika je 7 cm, širina 4 cm Nađite površinu pravougaonika.
2. Stranica kvadrata je 5 cm Nađite površinu kvadrata.
3. Nacrtajte moguće opcije za pravokutnike površine 18 cm 2.
4. Napravite zadatak na temu lekcije za svoje prijatelje.