To'rtburchakning maydonini ko'paytirish orqali qanday topish mumkin. Hududni qanday hisoblash mumkin. Zamin va deraza maydoni o'rtasidagi nisbatlar

5-sinfdan boshlab o‘quvchilar turli shakldagi maydonlar tushunchasi bilan tanisha boshlaydilar. To'rtburchaklar maydoniga alohida rol beriladi, chunki bu raqamni o'rganish eng osonlaridan biridir.

Hudud tushunchalari

Har qanday figuraning o'z maydoni bor va maydonni hisoblash birlik kvadratga asoslanadi, ya'ni uzun tomoni 1 mm yoki 1 sm, 1 dm va hokazo bo'lgan kvadrat. Bunday raqamning maydoni $1*1 = 1mm^2$ yoki $1cm^2$ va boshqalarga teng. Maydon, qoida tariqasida, S harfi bilan belgilanadi.

Maydon, segmentlar tomonidan belgilangan shakl egallagan samolyot qismining o'lchamini ko'rsatadi.

To'rtburchak - bu to'rtburchak bo'lib, unda barcha burchaklar bir xil darajada o'lchamda va 90 gradusga teng, qarama-qarshi tomonlari esa parallel va juftlikda tengdir.

Uzunlik va kenglik o'lchov birliklariga alohida e'tibor berilishi kerak. Ular mos kelishi kerak. Agar birliklar mos kelmasa, ular aylantiriladi. Qoidaga ko'ra, ular kattaroq birlikni kichikroq birlikka aylantiradilar, masalan, agar uzunlik dm da berilgan bo'lsa va eni sm da bo'lsa, dm sm ga aylantiriladi va natijada $sm^2$ bo'ladi.

To'rtburchaklar maydoni formulasi

Formulasiz to'rtburchakning maydonini topish uchun siz raqam bo'lingan kvadratlar sonini hisoblashingiz kerak.

Guruch. 1. Birlik kvadratlarga bo'lingan to'rtburchak

To'rtburchak 15 kvadratga bo'lingan, ya'ni uning maydoni 15 sm2. Ta'kidlash joizki, bu raqam 3 kvadrat kengligi va uzunligi 5 kvadratni egallaydi, shuning uchun birlik kvadratlar sonini hisoblash uchun siz uzunlikni kenglik bilan ko'paytirishingiz kerak. To'rtburchakning kichik tomoni kengligi, uzunligi qanchalik uzun bo'lsa. Shunday qilib, biz to'rtburchakning maydoni uchun formulani olamiz:

S = a · b, bu erda a,b - rasmning kengligi va uzunligi.

Misol uchun, agar to'rtburchakning uzunligi 5 sm va kengligi 4 sm bo'lsa, u holda maydon 4 * 5 = 20 sm 2 ga teng bo'ladi.

To'rtburchakning diagonali yordamida uning maydonini hisoblash

To'rtburchakning maydonini diagonal bo'ylab hisoblash uchun siz quyidagi formulani qo'llashingiz kerak:

$$S = (1\ust(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(a)$$

Agar topshiriq diagonallar orasidagi burchak qiymatlarini, shuningdek, diagonalning o'zi qiymatini bersa, siz o'zboshimchalik bilan konveks to'rtburchaklar uchun umumiy formuladan foydalanib, to'rtburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin.

Diagonal - bu figuraning qarama-qarshi nuqtalarini bog'laydigan chiziq segmenti. To'rtburchakning diagonallari teng bo'lib, kesishish nuqtasi yarmiga bo'linadi.

Guruch. 2. Diagonallari chizilgan to‘rtburchak

Misollar

Mavzuni mustahkamlash uchun vazifalar misollarini ko'rib chiqing:

№ 1. Rasmdagi kabi bir xil shakldagi bog 'uchastkasi maydonini toping.

Guruch. 3. Muammoni chizish

Yechim:

Maydonni ayirish uchun siz rasmni ikkita to'rtburchakga bo'lishingiz kerak. Ulardan birining o'lchamlari 10 m va 3 m, ikkinchisi 5 m va 7 m bo'ladi.Alohida ravishda biz ularning maydonlarini topamiz:

$S_1 =3*10=30 m^2$;

Bu bog 'uchastkasining maydoni bo'ladi $S = 65 m ^ 2$.

№ 2. To'rtburchakning diagonali d = 6 sm va diagonallar orasidagi burchak a = 30 0 bo'lsa, uning maydonini ayirib tashlang.

Yechim:

Qiymat $sin 30 =(1\over(2)) $,

$ S =(1\ust(2))⋅ d^2 ⋅ sina$

$S =(1\over(2)) * 6^2 * (1\over(2)) =9 sm^2$

Shunday qilib, $S=9 sm^2$.

Diagonallar to'rtburchakni 4 ta shaklga ajratadi - 4 ta uchburchak. Bunday holda, uchburchaklar juftlikda tengdir. Agar siz to'rtburchakda diagonal chizsangiz, u rasmni ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi.

Diagonallar to'rtburchak burchaklarining bissektrisalari emas. Va shuningdek, agar siz har bir burchakning bissektrisalarini chizsangiz, ular kesishganda, siz to'rtburchaklar olasiz.

Biz nimani o'rgandik?

Biz to'rtburchakning maydonini qanday topishni o'rgandik. Dastlabki ma'lumotlarga qarab, maydonni topish uchun u yoki bu formuladan foydalaniladi. Shuni ham yodda tutish kerakki, agar vazifa tomonlar uchun turli o'lchov birliklariga ega bo'lsa, ularni bittasiga aylantirish kerak.

Mavzu bo'yicha test

Maqola reytingi

O'rtacha reyting: 4.4. Qabul qilingan umumiy baholar: 292.

To'rtburchak to'rtburchakning maxsus holatidir. Bu to'rtburchakning to'rt tomoni borligini anglatadi. Uning qarama-qarshi tomonlari teng: masalan, uning bir tomoni 10 sm bo'lsa, qarama-qarshi tomoni ham 10 sm ga teng bo'ladi.To'rtburchakning maxsus holati kvadratdir. Kvadrat - bu barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak. Kvadratning maydonini hisoblash uchun siz to'rtburchakning maydonini hisoblash bilan bir xil algoritmdan foydalanishingiz mumkin.

Ikki tomoniga asoslangan to'rtburchakning maydonini qanday topish mumkin

To'rtburchakning maydonini topish uchun uning uzunligini kengligiga ko'paytirish kerak: maydon = uzunlik × kenglik. Quyida keltirilgan holatda: Maydoni = AB × BC.

To'rtburchakning maydoni va diagonali uzunligini qanday aniqlash mumkin

Ba'zi muammolar to'rtburchakning diagonali va tomonlaridan birining uzunligidan foydalanib, uning maydonini topishni talab qiladi. To'rtburchakning diagonali uni ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi. Shuning uchun biz Pifagor teoremasi yordamida to'rtburchakning ikkinchi tomonini aniqlashimiz mumkin. Shundan so'ng, vazifa oldingi nuqtaga qisqartiriladi.

To'rtburchakning maydonini uning perimetri va tomoni bo'yicha qanday topish mumkin

To'rtburchakning perimetri uning barcha tomonlari yig'indisidir. Agar siz to'rtburchakning perimetri va bir tomonini (masalan, kengligi) bilsangiz, quyidagi formuladan foydalanib, to'rtburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin:
Maydon = (Perimetr × kenglik - kenglik ^ 2)/2.

Diagonallar va diagonal uzunligi orasidagi o'tkir burchak sinusi orqali to'rtburchakning maydoni

To'rtburchakdagi diagonallar teng, shuning uchun diagonalning uzunligi va ular orasidagi o'tkir burchakning sinusiga qarab maydonni hisoblash uchun siz quyidagi formuladan foydalanishingiz kerak: Maydon = Diagonal^2 × sin(diagonallar orasidagi o'tkir burchak). )/2.

To'rtburchakning maydoni takabbur ko'rinmasligi mumkin, ammo bu muhim tushunchadir. Kundalik hayotda biz doimo unga duch kelamiz. Dalalar, sabzavot bog'lari hajmini bilib oling, shiftni oqlash uchun zarur bo'lgan bo'yoq miqdorini hisoblang, yopishtirish uchun qancha devor qog'ozi kerak bo'ladi

pul va boshqalar.

Geometrik shakl

Birinchidan, to'rtburchaklar haqida gapiraylik. Bu to'rtta to'g'ri burchakli va qarama-qarshi tomonlari teng bo'lgan tekislikdagi rasm. Uning tomonlari odatda uzunlik va kenglik deb ataladi. Ular millimetr, santimetr, dekimetr, metr va hokazolarda o'lchanadi. Endi biz savolga javob beramiz: "To'rtburchakning maydonini qanday topish mumkin?" Buning uchun siz uzunlikni kenglik bilan ko'paytirishingiz kerak.

Maydon = uzunlik * kenglik

Ammo yana bir ogohlantirish: uzunlik va kenglik bir xil o'lchov birliklarida, ya'ni metr va santimetrda emas, balki metr va metrda ifodalanishi kerak. Maydon lotin harfi S bilan yozilgan. Qulaylik uchun rasmda ko'rsatilganidek, uzunlikni lotin harfi b, kenglikni esa lotin a harfi bilan belgilaymiz. Bundan xulosaga kelamizki, maydon birligi mm 2, sm 2, m 2 va hokazo.

Keling, to'rtburchakning maydonini qanday topishning aniq misolini ko'rib chiqaylik. Uzunlik b=10 birlik. Kengligi a=6 birlik. Yechish: S=a*b, S=10 birlik*6 birlik, S=60 birlik 2. Vazifa. To'rtburchakning uzunligi kengligidan 2 baravar va 18 m bo'lsa, uning maydonini qanday aniqlash mumkin? Yechish: agar b=18 m bo‘lsa, a=b/2, a=9 m.To‘rtburchakning ikkala tomoni ham ma’lum bo‘lsa, uning maydoni qanday topiladi? To'g'ri, uni formulaga almashtiring. S=a*b, S=18*9, S=162 m 2. Javob: 162 m2. Vazifa. Agar uning o'lchamlari: uzunligi 5,5 m, kengligi 3,5 va balandligi 3 m bo'lsa, xona uchun qancha rulonli devor qog'ozi sotib olishingiz kerak? Fon rasmi rulosining o'lchamlari: uzunligi 10 m, kengligi 50 sm Yechim: xonaning chizmasini tuzing.

Qarama-qarshi tomonlarning maydonlari teng. Keling, o'lchamlari 5,5 m va 3 m bo'lgan devorning maydonini hisoblaylik S devor 1 = 5,5 * 3,

S devor 1 = 16,5 m 2. Shuning uchun qarama-qarshi devor 16,5 m2 maydonga ega. Keling, keyingi ikkita devorning maydonini topamiz. Ularning tomonlari mos ravishda 3,5 m va 3 m. S devor 2 = 3,5 * 3, S devor 2 = 10,5 m 2. Demak, qarama-qarshi tomon ham 10,5 m2 ga teng. Keling, barcha natijalarni qo'shaylik. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Agar tomonlar turli o'lchov birliklarida ifodalangan bo'lsa, to'rtburchakning maydonini qanday hisoblash mumkin. Ilgari biz m2 maydonlarni hisoblab chiqdik va bu holda biz hisoblagichlardan foydalanamiz. Keyin devor qog'ozi rulosining kengligi 0,5 m ga teng bo'ladi S rulo = 10 * 0,5, S rulo = 5 m 2. Endi biz xonani qoplash uchun qancha rulon kerakligini bilib olamiz. 54:5=10,8 (rulo). Ular butun sonlarda o'lchanganligi sababli, siz 11 rulonli devor qog'ozi sotib olishingiz kerak. Javob: 11 rulonli devor qog'ozi. Vazifa. To'rtburchakning kengligi uzunligidan 3 sm qisqaroq va to'rtburchakning tomonlari yig'indisi 14 sm ekanligi ma'lum bo'lsa, uning maydonini qanday hisoblash mumkin? Yechish: uzunligi x sm, eni (x-3) sm.x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 sm. - uzunligi to'rtburchak, 5-3=2 sm - to'rtburchakning kengligi, S=5*2, S=10 sm 2 Javob: 10 sm 2.

Xulosa

Misollarni ko'rib chiqqach, to'rtburchakning maydonini qanday topish mumkinligi aniq bo'ldi deb umid qilaman. Eslatib o'taman, uzunlik va kenglik uchun o'lchov birliklari mos kelishi kerak, aks holda siz noto'g'ri natija olasiz.Xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun vazifani diqqat bilan o'qing. Ba'zan bir tomonni boshqa tomondan ifodalash mumkin, qo'rqmang. Iltimos, hal qilingan muammolarimizga murojaat qiling, ular yordam berishi mumkin. Ammo hayotimizda hech bo'lmaganda bir marta biz to'rtburchakning maydonini topishga duch kelamiz.

barcha burchaklari 90° ga, qarama-qarshi tomonlari esa parallel va juft boʻlib teng boʻlgan parallelogramma.

To'rtburchaklar bir nechta inkor etilmaydigan xususiyatlarga ega bo'lib, ular ko'plab muammolarni hal qilishda, to'rtburchakning maydoni va uning perimetri formulalarida qo'llaniladi. Mana ular:

To'rtburchakning noma'lum tomoni yoki diagonali uzunligi Pifagor teoremasi yordamida yoki undan foydalanib hisoblanadi. To'rtburchakning maydonini ikki yo'l bilan topish mumkin - uning tomonlari mahsuloti yoki diagonal orqali to'rtburchakning maydoni formulasi. Birinchi va eng oddiy formula quyidagicha ko'rinadi:

Ushbu formuladan foydalangan holda to'rtburchaklar maydonini hisoblash misoli juda oddiy. Ikki tomonni bilgan holda, masalan, a = 3 sm, b = 5 sm, biz to'rtburchakning maydonini osongina hisoblashimiz mumkin:
Biz bunday to'rtburchakda maydon 15 kvadrat metrga teng bo'lishini topamiz. sm.

Diagonallar orqali to'rtburchakning maydoni

Ba'zan diagonallar orqali to'rtburchaklar maydoni uchun formulani qo'llash kerak. Bu nafaqat diagonallarning uzunligini, balki ular orasidagi burchakni ham aniqlashni talab qiladi:

Keling, diagonallar yordamida to'rtburchakning maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. Diagonali d = 6 sm va burchagi = 30 ° bo'lgan to'rtburchak berilsin. Biz ma'lumotlarni allaqachon ma'lum bo'lgan formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib, to'rtburchakning maydonini diagonal orqali hisoblash misoli, agar burchak berilgan bo'lsa, maydonni shu tarzda topish juda oddiy ekanligini ko'rsatdi.
Keling, miyamizni biroz cho'zishga yordam beradigan yana bir qiziqarli muammoni ko'rib chiqaylik.

Vazifa: Kvadrat berilgan. Uning maydoni 36 kvadrat metrni tashkil qiladi. sm.Bir tomonining uzunligi 9 sm, maydoni yuqorida berilgan kvadrat bilan bir xil bo‘lgan to‘rtburchakning perimetrini toping.
Shunday qilib, bizda bir nechta shartlar mavjud. Aniqlik uchun barcha ma'lum va noma'lum parametrlarni ko'rish uchun ularni yozamiz:
Shaklning tomonlari parallel va juftlikda teng. Shunday qilib, rasmning perimetri tomonlarning uzunliklari yig'indisining ikki barobariga teng:
Shaklning ikki tomonining mahsulotiga teng bo'lgan to'rtburchakning maydoni formulasidan biz b tomonining uzunligini topamiz.
Bu yerdan:
Biz ma'lum ma'lumotlarni almashtiramiz va b tomonining uzunligini topamiz:
Shaklning perimetrini hisoblang:
Shunday qilib, bir nechta oddiy formulalarni bilib, uning maydonini bilib, to'rtburchakning perimetrini hisoblashingiz mumkin.

Biz allaqachon kontseptsiya bilan tanishib chiqdik rasmning maydoni, maydon o'lchov birliklaridan birini o'rgandi - kvadrat santimetr. Ushbu darsda biz to'rtburchakning maydonini qanday hisoblash bo'yicha qoidani olamiz.

Biz allaqachon kvadrat santimetrga bo'lingan raqamlarning maydonini qanday topishni bilamiz.

Masalan:

Birinchi rasmning maydoni 8 sm 2, ikkinchi raqamning maydoni 7 sm 2 ekanligini aniqlashimiz mumkin.

Tomonlari 3 sm va 4 sm uzunlikdagi to'rtburchakning maydonini qanday topish mumkin?

Muammoni hal qilish uchun biz to'rtburchakni har biri 3 sm 2 bo'lgan 4 ta chiziqqa ajratamiz.

Keyin to'rtburchakning maydoni 3 * 4 = 12 sm 2 ga teng bo'ladi.

Xuddi shu to'rtburchakni har biri 4 sm 2 bo'lgan 3 ta chiziqqa bo'lish mumkin.

Keyin to'rtburchakning maydoni 4 * 3 = 12 sm 2 ga teng bo'ladi.

Ikkala holatda ham To'rtburchakning maydonini topish uchun to'rtburchak tomonlarining uzunliklarini ifodalovchi raqamlar ko'paytiriladi.

Har bir to'rtburchakning maydonini toping.

AKMO to'rtburchakni ko'rib chiqing.

Bitta chiziqda 6 sm 2 bor va bu to'rtburchakda 2 ta shunday chiziq bor.Bu biz quyidagi amalni bajarishimiz mumkinligini anglatadi:

6 raqami to'rtburchakning uzunligini, 2 soni esa to'rtburchakning kengligini bildiradi. Shunday qilib, biz to'rtburchakning maydonini topish uchun uning tomonlarini ko'paytirdik.

KDCO to'rtburchakni ko'rib chiqing.

KDCO to'rtburchakda bitta chiziqda 2 sm 2 va shunday 3 ta chiziq bor.Shuning uchun amalni bajarishimiz mumkin.

3 raqami to'rtburchakning uzunligini, 2 raqami esa to'rtburchakning kengligini bildiradi. Biz ularni ko'paytirdik va to'rtburchakning maydonini aniqladik.

Xulosa qilishimiz mumkin: To'rtburchakning maydonini topish uchun har safar raqamni kvadrat santimetrga bo'lish shart emas.

To'rtburchakning maydonini hisoblash uchun siz uning uzunligi va kengligini topishingiz kerak (to'rtburchakning tomonlari uzunligi bir xil o'lchov birliklarida ifodalanishi kerak), so'ngra olingan raqamlarning mahsulotini (maydon) hisoblang. tegishli maydon birliklarida ifodalanadi)

Keling, xulosa qilaylik: To'rtburchakning maydoni uning uzunligi va kengligining mahsulotiga teng.

Muammoni hal qiling.

To'rtburchakning uzunligi 9 sm va kengligi 2 sm bo'lsa, to'rtburchakning maydonini hisoblang.

Keling, shunday o'ylaylik. Bu masalada to'rtburchakning uzunligi ham, kengligi ham ma'lum. Shuning uchun biz qoidaga amal qilamiz: to'rtburchakning maydoni uning uzunligi va kengligining mahsulotiga teng.

Keling, yechimni yozamiz.

Javob: to'rtburchaklar maydoni 18 sm 2

Bunday maydonga ega bo'lgan to'rtburchakning yana qanday uzunliklari bor deb o'ylaysiz?

Siz shunday o'ylashingiz mumkin. Maydoni to'rtburchaklar tomonlari uzunligining mahsuloti bo'lganligi sababli, ko'paytirish jadvalini eslab qolish kerak. 18 ga javob berish uchun qanday raqamlar ko'paytiriladi?

To'g'ri, siz 6 va 3 ni ko'paytirsangiz, siz ham 18 olasiz. Bu shuni anglatadiki, to'rtburchakning tomonlari 6 sm va 3 sm bo'lishi mumkin va uning maydoni ham 18 sm 2 ga teng bo'ladi.

Muammoni hal qiling.

To'rtburchakning uzunligi 8 sm, kengligi esa 2 sm. Uning maydoni va perimetrini toping.

Biz to'rtburchakning uzunligi va kengligini bilamiz. Shuni yodda tutish kerakki, maydonni topish uchun uning uzunligi va kengligining mahsulotini topish kerak, perimetrni topish uchun esa uzunlik va kenglik yig'indisini ikkiga ko'paytirish kerak.

Keling, yechimni yozamiz.

Javob: To'rtburchakning maydoni 16 sm2 va to'rtburchakning perimetri 20 sm.

Muammoni hal qiling.

To'rtburchakning uzunligi 4 sm, kengligi esa 3 sm. Uchburchakning maydoni nima? (rasmga qarang)

Muammodagi savolga javob berish uchun, avvalo, to'rtburchakning maydonini topishingiz kerak. Bilamizki, buning uchun biz uzunlikni kenglik bilan ko'paytirishimiz kerak.

Chizilgan rasmga qarang. Diagonal to'rtburchakni ikkita teng uchburchakka qanday ajratganini payqadingizmi? Shunday qilib, bitta uchburchakning maydoni to'rtburchakning maydonidan 2 baravar kichikdir. Bu 12 ni yarmiga qisqartirish kerakligini anglatadi.

Javob: Uchburchakning maydoni 6 sm 2 ga teng.

Bugun sinfda biz to'rtburchakning maydonini hisoblash qoidasi bilan tanishdik va bu qoidani to'rtburchakning maydonini topish bo'yicha muammolarni echishda qo'llashni o'rgandik.

1. M.I.Moro, M.A.Bantova va boshqalar.Matematika: Darslik. 3-sinf: 2 qism, 1-qism. M., “Ma’rifat”, 2012 y.

2. M.I.Moro, M.A.Bantova va boshqalar.Matematika: Darslik. 3-sinf: 2 qism, 2-qism. M., “Ma’rifat”, 2012 y.

3. M.I.Moro. Matematika darslari: O'qituvchilar uchun uslubiy tavsiyalar. 3-sinf. - M.: Ta'lim, 2012.

4. Normativ-huquqiy hujjat. Ta'lim natijalarini monitoring qilish va baholash. M., “Ma’rifat”, 2011 yil.

5. "Rossiya maktabi": Boshlang'ich maktab uchun dasturlar. - M.: "Ma'rifat", 2011 yil.

6. S.I.Volkova. Matematika: Test varaqalari. 3-sinf. - M.: Ta'lim, 2012.

7. V.N.Rudnitskaya. Testlar. M., "Imtihon", 2012 (127 b.)

2. "Prosveshcheniye" nashriyoti ()

1. To‘g‘ri to‘rtburchakning uzunligi 7 sm, eni 4 sm.To‘rtburchakning yuzini toping.

2. Kvadrat tomoni 5 sm.Kvadratning maydonini toping.

3. Maydoni 18 sm 2 bo'lgan to'rtburchaklar uchun mumkin bo'lgan variantlarni chizing.

4. Do'stlaringiz uchun dars mavzusi bo'yicha topshiriq tuzing.