Як знайти площу прямокутника множенням. Як порахувати площу. Пропорції між площею підлоги та вікон
Починаючи з 5 класу, учні починають ознайомлюватися з поняттям площ різних фігур. p align="justify"> Особлива роль відводиться площі прямокутника, так як ця фігура одна з найбільш простих у вивченні.
Поняття площі
Будь-яка фігура має свою площу, а обчислення площі відштовхуються від одиничного квадрата, тобто від квадрата з довгого боку 1 мм, або 1 см, 1 дм і так далі. Площа такої фігури дорівнює $ 1 * 1 = 1мм ^ 2 $, або $ 1см ^ 2 $ і т. д. Площа, як правило, позначається буквою - S.
Площа показує розмір частини площини, що займає фігура, окреслена відрізками.
Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути однакової градусної міри і дорівнюють по 90 градусів, а протилежні сторони попарно паралельні та рівні.
Особливу увагу слід звертати на одиниці виміру довжини та ширини. Вони мають збігатися. Якщо одиниці не збігаються, їх переводять. Як правило, переводять велику одиницю в меншу, наприклад, якщо довжина дається в дм, а ширина в см, то дм переводять в см, а результат вийде $см^2$.
Формула площі прямокутника
Для того, щоб знайти площу прямокутника без формули, необхідно порахувати кількість одиничних квадратів, на які розбита фігура.
Мал. 1. Прямокутник, розбитий на одиничні квадрати
Прямокутник розбитий на 15 квадратів, тобто площа дорівнює 15 см2. Варто звернути увагу, що завширшки фігура займає 3 квадрати, а завдовжки 5, тому щоб обчислити кількість одиничних квадратів, необхідно помножити довжину на ширину. Найменша сторона чотирикутника – ширина, більша довжина. Таким чином, можна вивести формулу площі прямокутника:
S = a · b, де a, b – ширина та довжина фігури.
Наприклад, якщо довжина прямокутника 5 см, а ширина 4 см, то площа дорівнюватиме 4*5=20 см 2 .
Розрахунок площі прямокутника з використанням його діагоналі
Для того, щоб розрахунку площі прямокутника через діагональ необхідно застосувати формулу:
$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Якщо заданні дано значення кута між діагоналями, і навіть значення самої діагоналі, можна обчислити площу прямокутника за загальною формулою довільних опуклих чотирикутників.
Діагональ – це відрізок, який поєднує протилежні точки фігури. Діагоналі прямокутника рівні, і точкою перетину діляться навпіл.
Мал. 2. Прямокутник із накресленими діагоналями
Приклади
Для закріплення теми розглянемо приклади завдань:
№1. Знайти площу городньої ділянки, такої форми як на малюнку.
Мал. 3. Малюнок завдання
Рішення:
Для того, щоб відняти площу, необхідно фігуру розбити на два прямокутники. Один з них матиме розміри 10 м та 3 м, інший 5 м та 7 м. Окремо знаходимо їх площі:
$ S_1 = 3 * 10 = 30 м ^ 2 $;
Це і буде площа городньої ділянки $ S = 65 м 2 $.
№2. Відняти площу прямокутник, якщо дано його діагональ d=6 см і кут між діагоналями α =30 0 .
Рішення:
Значення $sin 30 =(1\over(2)) $,
$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\over(2)) * 6^2 * (1\over(2)) =9 см^2$
Таким чином, $ S = 9 см ^ 2 $.
Діагоналі розділяє прямокутник на 4 фігури – 4 трикутники. У цьому трикутники попарно рівні. Якщо провести діагональ у прямокутнику, то вона поділяє фігуру на два рівні прямокутні трикутники.
Діагоналі не є бісектрисами кутів прямокутника. А також якщо провести бісектрису кожного кута, то при їх перетині вийде прямокутник.
Що ми дізналися?
Ми навчилися знаходити площу прямокутника. Ту чи іншу формули знаходження площі використовують у залежності від вихідних даних. Також варто не забувати, що якщо в завданні різні одиниці виміру сторін необхідно перевести їх одну.
Тест на тему
Оцінка статті
Середня оцінка: 4.4. Усього отримано оцінок: 292.
Прямокутник – це окремий випадок чотирикутника. Це означає, що прямокутник має чотири сторони. Його протилежні сторони рівні: наприклад, якщо одна з його сторін дорівнює 10 см, то протилежна їй буде так само рівні 10 см. Приватним випадком прямокутника є квадрат. Квадрат це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Для обчислення площі квадрата можна скористатися тим самим алгоритмом, що й обчислення площі прямокутника.
Як дізнатися площу прямокутника по обидва боки
Щоб знайти площу прямокутника, треба помножити його довжину на ширину: Площа = Довжина × Ширина. У такому випадку: Площа = AB × BC.
Як дізнатися площу прямокутника по стороні та довжині діагоналі
У деяких завданнях необхідно знайти площу прямокутника, використовуючи довжину діагоналі та одну зі сторін. Діагональ прямокутника ділить його на два рівні прямокутні трикутники. Отже, можна визначити другий бік прямокутника, скориставшись теоремою Піфагора. Після цього завдання зводиться до попереднього пункту.
Як дізнатися площу прямокутника по периметру та стороні
Периметр прямокутника – це сума всіх сторін. Якщо відомий периметр прямокутника та одна сторона (наприклад ширина), можна обчислити площу прямокутника, скориставшись такою формулою:
Площа = (Периметр × ширина – ширина 2)/2.
Площа прямокутника через синус гострого кута між діагоналями та довжину діагоналі.
Діагоналі у прямокутнику рівні, тому, щоб обчислити площу на підставі довжини діагоналі та синуса гострого кута між ними, слід скористатися наступною формулою: Площа = Діагональ^2 × sin(гострого кута між діагоналями)/2.
Площа прямокутника, як не зухвало звучатиме, але це важливе поняття. У повсякденному житті ми постійно зустрічаємося з ним. Дізнатися розмір полів, городів, розрахувати кількість фарби, необхідної для побілки стелі, скільки знадобиться шпалер для обклеювання
мнати та інше.
Геометрична фігура
Для початку поговоримо про прямокутник. Це фігура на площині, яка має чотири прямі кути, а її протилежні сторони рівні. Сторони його звикли називати довжиною та шириною. Вимірюють їх у міліметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах тощо. Тепер відповімо на запитання: «Як знайти площу прямокутника?» Для цього потрібно довжину помножити на ширину.
Площа = довжина * ширина
Але ще одне застереження: довжина та ширина повинні бути виражені в однакових одиницях виміру, тобто метр і метр, а не метр і сантиметр. Записується площа латинської літерою S. Для зручності позначимо довжину латинської літерою b, а ширину латинською літерою a, як показано малюнку. Звідси ми робимо висновок, що одиницею вимірювання площі є мм 2 см 2 м 2 і т. д.
Розглянемо на конкретному прикладі, як знайти площу прямокутника. Довжина b = 10 од. Ширина a = 6 од. Рішення: S = a * b, S = 10 од. * 6 од., S = 60 од 2 . Завдання. Як дізнатися площу прямокутника, якщо довжина в 2 рази більша за ширину і становить 18 м? Рішення: якщо b = 18 м, тоді а = b / 2, a = 9 м. Як знайти площу прямокутника, якщо відомі обидві сторони? Правильно, підставити у формулу. S = a * b, S = 18 * 9, S = 162 м 2 . Відповідь: 162 м 2 . Завдання. Скільки потрібно купити рулонів шпалер для кімнати, якщо її розміри становлять: довжина 5,5 м ширина 3,5, а висота 3 м? Розмір рулону шпалер: довжина 10 м, ширина 50 см. Рішення: зробимо малюнок кімнати.
Площі протилежних сторін рівні. Обчислимо площу стіни з розмірами 5,5 м та 3 м. S стіни 1 =5,5*3,
S стіни 1 = 16,5 м2. Отже, протилежна стіна має площу рівну 16,5 м 2 . Знайдемо площу наступних двох стін. Сторони їх відповідно рівні 3,5 м і 3 м. S стіни 2 =3,5*3, S стіни 2 =10,5 м 2 . Отже, і протилежний бік дорівнює 10,5 м 2 . Складемо всі результати. 16,5 +16,5 +10,5 +10,5 = 54 м2. Як обчислити площу прямокутника, якщо сторони виражені у різних одиницях виміру. Раніше ми обчислювали площі в м2, то й у цьому випадку будемо використовувати метри. Тоді ширина рулону шпалер дорівнюватиме 0,5 м. S рулону = 10 * 0,5, S рулону = 5 м 2 . Тепер дізнаємося, скільки рулонів необхідно для обклеювання кімнати. 54: 5 = 10,8 (рулонів). Так як вони вимірюються цілими числами, потрібно купити 11 рулонів шпалер. Відповідь: 11 рулонів шпалер. Завдання. Як обчислити площу прямокутника, якщо відомо, що ширина на 3 см коротша за довжину, а сума сторін прямокутника становить 14 см? Рішення: нехай довжина х см, тоді ширина (х-3) див. прямокутника, 5-3 = 2 см - ширина прямокутника, S = 5 * 2, S = 10 см 2 Відповідь: 10 см 2 .
Резюме
Розглянувши приклади, сподіваюся, стало зрозуміло, як знайти площу прямокутника. Нагадаю, що одиниці виміру довжини та ширини повинні збігатися, інакше вийде неправильний результат, щоб не допустити помилок, читайте завдання уважно. Іноді сторона може бути виражена через іншу сторону, боятися не варто. Зверніться до наших вирішених завдань, можливо, вони можуть допомогти. Але хоч раз у житті ми стикаємося зі знаходженням площі прямокутника.
– це паралелограм, у якого всі кути дорівнюють 90°, а протилежні сторони попарно паралельні та рівні.
У прямокутника є кілька незаперечних властивостей, що застосовуються у розв'язанні безлічі завдань, у формулах площі прямокутника та його периметра. Ось вони:
Довжина невідомої сторони або діагоналі прямокутника обчислюється по або з теореми Піфагора. Площу прямокутника можна знайти двома способами – за добутком його сторін або за формулою площі прямокутника через діагональ. Перша та найпростіша формула виглядає так:
Приклад розрахунку площі прямокутника за формулою дуже простий. Знаючи дві сторони, наприклад a = 3 см, b = 5 см, ми легко вирахуємо площу прямокутника:
Отримуємо, що в такому прямокутнику площа дорівнюватиме 15 кв. див.
Площа прямокутника через діагоналі
Іноді потрібно застосувати формулу прямокутника через діагоналі. Для неї потрібно не тільки дізнатися довжину діагоналей, а й кут між ними:
Розглянемо приклад розрахунку площі прямокутника через діагоналі. Нехай даний прямокутник з діагоналлю d = 6 см і кутом = 30°. Підставляємо дані у вже відому формулу:
Отже, приклад розрахунку площі прямокутника через діагональ показав нам, що знайти площу таким чином, якщо задано кут, досить просто.
Розглянемо ще одне цікаве завдання, яке допоможе нам трохи розім'яти мізки.
Завдання:Дано квадрат. Його площа дорівнює 36 кв. см. Знайдіть периметр прямокутника, у якого довжина однієї зі сторін дорівнює 9 см, а площа така сама, як у заданого вище квадрата.
Отже, ми маємо кілька умов. Для наочності запишемо їх, щоб побачити всі відомі та невідомі параметри: 
Сторони фігури попарно паралельні та рівні. Тому периметр фігури дорівнює подвоєній сумі довжин сторін:
З формули площі прямокутника, що дорівнює добутку двох сторін фігури, знайдемо довжину сторони b
Звідси:
Підставляємо відомі дані і знаходимо довжину сторони b:
Розраховуємо периметр фігури: 
Ось так, знаючи кілька легких формул, можна обчислити периметр прямокутника, знаючи його площу.
Ми вже познайомились із поняттям площа фігури, дізналися одну з одиниць виміру площі - квадратний сантиметр. На уроці ми виведемо правило, як обчислити площу прямокутника.
Ми вже вміємо знаходити площу фігур, які поділені на квадратні сантиметри.
Наприклад:
Ми можемо визначити, що площа першої фігури 8 см 2 площа другої фігури 7 см 2 .
Як знайти площу прямокутника, довжини сторін якого 3 см і 4 см?
Для розв'язання задачі розіб'ємо прямокутник на 4 смужки по 3 см 2 кожна.
Тоді площа прямокутника дорівнюватиме 3*4=12 см 2 .
Цей прямокутник можна розбити на 3 смужки по 4 см 2 .
Тоді площа прямокутника дорівнюватиме 4*3=12 см 2 .
В обох випадках для знаходження площі прямокутника перемножуються числа, що виражають довжини сторін прямокутника.
Знайдемо площу кожного прямокутника.
Розглянемо прямокутник АКМО.
В одній смужці 6 см 2 , а таких смужок у цьому прямокутнику 2. Отже, ми можемо виконати таку дію:
Число 6 означає довжину прямокутника, а 2 - ширину прямокутника. Таким чином, ми перемножили сторони прямокутника для того, щоб знайти площу прямокутника.
Розглянемо прямокутник KDCO.
У прямокутнику KDCO в одній смужці 2см 2 а таких смужок 3. Отже, ми можемо виконати дію
Число 3 означає довжину прямокутника, а 2 - ширину прямокутника. Ми їх перемножили і впізнали площу прямокутника.
Можна зробити висновок: щоб знайти площу прямокутника, не треба щоразу розбивати фігуру на квадратні сантиметри.
Щоб обчислити площу прямокутника, потрібно знайти його довжину і ширину (довжини сторін прямокутника повинні бути виражені в одних і тих самих одиницях виміру), а потім обчислити добуток отриманих чисел (площа буде виражена у відповідних одиницях площі)
Узагальним: площа прямокутника дорівнює добутку його довжини та ширини.
Розв'яжіть завдання.
Обчисли площу прямокутника, якщо довжина прямокутника 9см, а ширина - 2см.
Розмірковуємо так. У даній задачі відомі і довжина та ширина прямокутника. Тому діємо за правилом: площа прямокутника дорівнює добутку його довжини та ширини.
Запишемо рішення.
Відповідь:площа прямокутника 18см 2
Як ви вважаєте, якими ще можуть бути довжини сторін прямокутника з такою площею?
Можна міркувати так. Оскільки площа – це добуток довжин сторін прямокутника, тож треба згадати таблицю множення. При множенні яких чисел виходить відповідь 18?
Правильно, при множенні 6 і 3 теж вийде 18. Значить, прямокутник може мати сторони 6см і 3 см і його площа теж дорівнюватиме 18см 2 .
Розв'яжіть завдання.
Довжина прямокутника 8см, а ширина 2см. Знайди його площу та периметр.
Нам відомі довжина та ширина прямокутника. Необхідно згадати, що для знаходження площі необхідно знайти добуток його довжини та ширини, а для знаходження периметра потрібно суму довжини та ширини помножити на два.
Запишемо рішення.
Відповідь:площа прямокутника 16 см 2 а периметр прямокутника 20 см.
Розв'яжіть завдання.
Довжина прямокутника 4см, а ширина – 3см. Чому дорівнює площа трикутника? (Дивися малюнок)
Щоб відповісти на питання задачі, спочатку треба знайти площу прямокутника. Ми знаємо, що для цього необхідно помножити довжину на ширину.
Подивіться на креслення. Ви помітили, що діагональ розділила прямокутник на два рівні трикутники? Отже, площа одного трикутника в 2 рази менша за площу прямокутника. Значить, треба 12 зменшити у 2 рази.
Відповідь:площа трикутника 6 см2.
Сьогодні на уроці ми познайомилися з правилом, як обчислити площу прямокутника і вчилися застосовувати це правило під час вирішення завдань перебування площі прямокутника.
1. М.І.Моро, М.А.Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. М., «Освіта», 2012 рік.
2. М.І.Моро, М.А.Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. М., «Освіта», 2012 рік.
3. М.І.Моро. Уроки математики: Методичні поради для вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. М., «Освіта», 2011 рік.
5. "Школа Росії": Програми для початкової школи. - М.: «Освіта», 2011.
6. С.І.Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
7. В.Н.Рудницька. Тести. М., «Іспит», 2012 (127с.)
2. Видавництво «Освіта» ()
1. Довжина прямокутника 7 см, ширина 4 см. Знайдіть площу прямокутника.
2. Сторона квадрата 5 см. Знайдіть площу квадрата.
3. Накресліть можливі варіанти прямокутників, площа яких 18 см2.
4. Складіть завдання на тему уроку для своїх товаришів.