Çarpma yoluyla bir dikdörtgenin alanı nasıl bulunur? Alan nasıl hesaplanır? Zemin ve pencere alanı arasındaki oranlar
5. sınıftan itibaren öğrenciler farklı şekillerdeki alanlar kavramına aşina olmaya başlarlar. Dikdörtgenin alanına özel bir rol verilmiştir, çünkü bu rakam üzerinde çalışılması en kolay olanlardan biridir.
Alan Konseptleri
Herhangi bir şeklin kendi alanı vardır ve alanın hesaplanması birim kareye, yani uzun kenarı 1 mm veya 1 cm, 1 dm vb. olan bir kareye dayanır. Böyle bir şeklin alanı $1*1 = 1mm^2$ veya $1cm^2$ vb.'ye eşittir. Alan kural olarak – S harfiyle gösterilir.
Alan, parçaların çerçevelediği şeklin kapladığı düzlemin kısmının boyutunu gösterir.
Dikdörtgen, tüm açılarının ölçüsü aynı derece ve 90 dereceye eşit olan, karşılıklı kenarları paralel ve çiftler halinde eşit olan bir dörtgendir.
Uzunluk ve genişlik ölçü birimlerine özellikle dikkat edilmelidir. Eşleşmeleri gerekiyor. Birimler eşleşmiyorsa dönüştürülür. Kural olarak, daha büyük bir birimi daha küçük bir birim haline getirirler, örneğin uzunluk dm ve genişlik cm olarak verilirse dm cm'ye dönüştürülür ve sonuç $cm^2$ olur.
Dikdörtgen alan formülü
Formülsüz bir dikdörtgenin alanını bulmak için şeklin bölündüğü birim karelerin sayısını saymanız gerekir.
Pirinç. 1. Birim karelere bölünmüş dikdörtgen
Dikdörtgen 15 kareye bölünmüştür yani alanı 15 cm2’dir. Şeklin genişlikte 3 kare ve uzunlukta 5 kare kapladığını belirtmekte fayda var, bu nedenle birim karelerin sayısını hesaplamak için uzunluğu genişlikle çarpmanız gerekir. Dörtgenin kenarı ne kadar küçükse genişlik, uzunluğu da o kadar uzun olur. Böylece dikdörtgenin alanı için formülü türetebiliriz:
S = a · b, burada a,b şeklin genişliği ve uzunluğudur.
Örneğin dikdörtgenin uzunluğu 5 cm, genişliği 4 cm ise alanı 4*5 = 20 cm2 olacaktır.
Köşegenini kullanarak dikdörtgenin alanını hesaplama
Bir dikdörtgenin alanını köşegen boyunca hesaplamak için aşağıdaki formülü uygulamanız gerekir:
$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Görev, köşegenler arasındaki açının değerlerini ve köşegenin değerini veriyorsa, keyfi dışbükey dörtgenler için genel formülü kullanarak dikdörtgenin alanını hesaplayabilirsiniz.
Köşegen, bir şeklin zıt noktalarını birleştiren bir çizgi parçasıdır. Dikdörtgenin köşegenleri eşittir ve kesişme noktası ikiye bölünmüştür.
Pirinç. 2. Köşegenleri çizilmiş dikdörtgen
Örnekler
Konuyu güçlendirmek için görev örneklerini göz önünde bulundurun:
1 numara. Şekildekiyle aynı şekle sahip bir bahçe arsasının alanını bulun.
Pirinç. 3. Sorunun çizimi
Çözüm:
Alanı çıkarmak için şekli iki dikdörtgene bölmeniz gerekir. Birinin boyutları 10 m ve 3 m, diğerinin 5 m ve 7 m boyutları olacak, ayrı ayrı alanlarını buluyoruz:
$S_1 =3*10=30 m^2$;
Bu bahçe arsasının alanı $S = 65 m^2$ olacaktır.
2 numara. Köşegeni d = 6 cm ve köşegenler arasındaki açı α = 30 0 ise dikdörtgenin alanını çıkarın.
Çözüm:
Değer $sin 30 =(1\over(2)) $,
$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\üzerinde(2)) * 6^2 * (1\üzerinde(2)) =9 cm^2$
Böylece $S=9 cm^2$ olur.
Köşegenler dikdörtgeni 4 şekle, 4 üçgene böler. Bu durumda üçgenler çiftler halinde eşittir. Bir dikdörtgenin içine bir köşegen çizerseniz, şekli iki eşit dik üçgene böler.
Köşegenler dikdörtgenin köşelerinin ortaortayları değildir. Ayrıca her açının açıortaylarını çizerseniz, kesiştiklerinde bir dikdörtgen elde edersiniz.
Ne öğrendik?
Dikdörtgenin alanını nasıl bulacağımızı öğrendik. Alanı bulmak için bir veya başka bir formül, ilk verilere bağlı olarak kullanılır. Görevin taraflar için farklı ölçü birimleri varsa, bunları bire dönüştürmek gerektiğini de hatırlamakta fayda var.
Konuyla ilgili deneme
Makale derecelendirmesi
Ortalama puanı: 4.4. Alınan toplam puan: 292.
Dikdörtgen, dörtgenin özel bir halidir. Bu, dikdörtgenin dört kenarı olduğu anlamına gelir. Karşılıklı kenarları eşittir: örneğin, kenarlarından biri 10 cm ise, karşı kenar da 10 cm olacaktır Dikdörtgenin özel bir durumu karedir. Kare, tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir. Bir karenin alanını hesaplamak için dikdörtgenin alanını hesaplamak için kullanılan algoritmanın aynısını kullanabilirsiniz.
İki tarafa dayalı bir dikdörtgenin alanı nasıl bulunur?
Bir dikdörtgenin alanını bulmak için uzunluğunu genişliğiyle çarpmanız gerekir: Alan = Uzunluk × Genişlik. Aşağıda verilen durumda: Alan = AB × BC.
Dikdörtgenin alanını yanlara ve köşegen uzunluğa göre nasıl bulabilirim?
Bazı problemler, köşegen uzunluğunu ve kenarlardan birini kullanarak dikdörtgenin alanını bulmanızı gerektirir. Bir dikdörtgenin köşegeni onu iki eşit dik üçgene böler. Bu nedenle Pisagor teoremini kullanarak dikdörtgenin ikinci kenarını belirleyebiliriz. Bundan sonra görev bir önceki noktaya indirilir.
Bir dikdörtgenin alanı çevresine ve kenarına göre nasıl bulunur?
Bir dikdörtgenin çevresi tüm kenarlarının toplamıdır. Dikdörtgenin çevresini ve bir kenarını (genişlik gibi) biliyorsanız aşağıdaki formülü kullanarak dikdörtgenin alanını hesaplayabilirsiniz:
Alan = (Çevre×genişlik – genişlik^2)/2.
Köşegenler ve köşegen uzunluğu arasındaki dar açının sinüsü boyunca dikdörtgenin alanı
Bir dikdörtgendeki köşegenler eşittir, bu nedenle alanı köşegenin uzunluğuna ve aralarındaki dar açının sinüsüne göre hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanmalısınız: Alan = Diyagonal^2 × sin(köşegenler arasındaki dar açı) )/2.
Dikdörtgenin alanı kulağa abartılı gelmeyebilir ama önemli bir kavramdır. Günlük yaşamda sürekli bununla karşılaşıyoruz. Tarlaların, sebze bahçelerinin büyüklüğünü öğrenin, tavanı beyazlatmak için gereken boya miktarını hesaplayın, yapıştırmak için ne kadar duvar kağıdına ihtiyaç duyulacağını hesaplayın
para ve daha fazlası.
Geometrik şekil
Öncelikle dikdörtgenden bahsedelim. Bu, dört dik açısı olan ve karşılıklı kenarları eşit olan bir düzlem üzerindeki şekildir. Kenarlarına genellikle uzunluk ve genişlik denir. Milimetre, santimetre, desimetre, metre vb. cinsinden ölçülürler. Şimdi şu soruyu cevaplayacağız: "Dikdörtgenin alanı nasıl bulunur?" Bunu yapmak için uzunluğu genişlikle çarpmanız gerekir.
Alan=uzunluk*genişlik
Ancak bir uyarı daha: uzunluk ve genişlik aynı ölçü birimleriyle, yani metre ve santimetreyle değil, metre ve metreyle ifade edilmelidir. Alan Latin harfi S ile yazılmıştır. Kolaylık sağlamak için şekilde görüldüğü gibi uzunluğu Latin harfi b ile, genişliği ise Latin harfi a ile gösterelim. Bundan alan biriminin mm2, cm2, m2 vb. olduğu sonucuna varıyoruz.
Bir dikdörtgenin alanının nasıl bulunacağına ilişkin özel bir örneğe bakalım. Uzunluk b=10 birim. Genişlik a=6 birim. Çözüm: S=a*b, S=10 birim*6 birim, S=60 birim 2. Görev. Uzunluğu genişliğinin 2 katı ve 18 m ise dikdörtgenin alanı nasıl bulunur? Çözüm: b=18 m ise a=b/2, a=9 m Her iki kenarı da biliniyorsa dikdörtgenin alanı nasıl bulunur? Aynen öyle, bunu formülde yerine koy. S=a*b, S=18*9, S=162 m2. Cevap: 162 m2. Görev. Boyutları şuysa, bir oda için kaç rulo duvar kağıdı satın almanız gerekir: uzunluk 5,5 m, genişlik 3,5 ve yükseklik 3 m? Bir duvar kağıdı rulosunun boyutları: uzunluk 10 m, genişlik 50 cm Çözüm: odanın bir çizimini yapın.
Karşı tarafların alanları eşittir. Boyutları 5,5 m ve 3 m olan bir duvarın alanını hesaplayalım.S duvar 1 = 5,5*3,
G duvarı 1 = 16,5 m2. Dolayısıyla karşı duvar 16,5 m2 alana sahiptir. Sonraki iki duvarın alanını bulalım. Kenarları sırasıyla 3,5 m ve 3 m'dir, S duvarı 2 = 3,5 * 3, S duvarı 2 = 10,5 m2. Bu, karşı tarafın da 10,5 m2'ye eşit olduğu anlamına gelir. Tüm sonuçları toplayalım. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Kenarlar farklı ölçü birimleriyle ifade edilirse dikdörtgenin alanı nasıl hesaplanır? Daha önce alanları m2 cinsinden hesaplıyorduk, bu durumda metre kullanacağız. Daha sonra duvar kağıdı rulosunun genişliği 0,5 m'ye eşit olacaktır, S rulosu = 10 * 0,5, S rulosu = 5 m2. Şimdi bir odayı kaplamak için kaç ruloya ihtiyaç olduğunu öğreneceğiz. 54:5=10,8 (yuvarlanır). Tam sayı olarak ölçüldüğü için 11 rulo duvar kağıdı almanız gerekmektedir. Cevap: 11 rulo duvar kağıdı. Görev. Genişliğin uzunluktan 3 cm daha kısa olduğu ve dikdörtgenin kenarlarının toplamının 14 cm olduğu biliniyorsa dikdörtgenin alanı nasıl hesaplanır? Çözüm: Uzunluk x cm olsun, genişlik (x-3) cm olsun x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm - dikdörtgenin uzunluğu, 5-3=2 cm - dikdörtgenin genişliği, S=5*2, S=10 cm2 Cevap: 10 cm2.
Özet
Örneklere baktıktan sonra dikdörtgenin alanının nasıl bulunacağını umuyorum. Uzunluk ve genişlik ölçü birimlerinin eşleşmesi gerektiğini hatırlatmama izin verin, aksi takdirde yanlış sonuç alırsınız Hataları önlemek için görevi dikkatlice okuyun. Bazen bir taraf diğer taraf üzerinden de ifade edilebilir, korkmayın. Lütfen çözülmüş sorunlarımıza bakın, yardımcı olmaları oldukça mümkündür. Ancak hayatımızda en az bir kez dikdörtgenin alanını bulmakla karşı karşıya kalırız.
tüm açıların 90°'ye eşit olduğu ve karşılıklı kenarların paralel ve çiftler halinde eşit olduğu bir paralelkenardır.
Bir dikdörtgenin, dikdörtgenin alanı ve çevresi formüllerinde birçok problemin çözümünde kullanılan inkar edilemez birçok özelliği vardır. İşte buradalar:
Bir dikdörtgenin bilinmeyen bir tarafının veya köşegeninin uzunluğu, Pisagor teoremi kullanılarak veya kullanılarak hesaplanır. Bir dikdörtgenin alanı iki şekilde bulunabilir: kenarlarının çarpımı veya köşegen boyunca dikdörtgenin alanı formülü ile. İlk ve en basit formül şuna benzer:
Bu formülü kullanarak bir dikdörtgenin alanını hesaplamanın bir örneği çok basittir. İki kenarı bilerek, örneğin a = 3 cm, b = 5 cm, dikdörtgenin alanını kolaylıkla hesaplayabiliriz:
Böyle bir dikdörtgende alanın 15 metrekareye eşit olacağını görüyoruz. santimetre.
Köşegenlerden geçen bir dikdörtgenin alanı
Bazen dikdörtgenin alanı formülünü köşegenlerden uygulamanız gerekir. Sadece köşegenlerin uzunluğunu değil aynı zamanda aralarındaki açıyı da bulmayı gerektirir:
Köşegenleri kullanarak bir dikdörtgenin alanını hesaplama örneğine bakalım. Köşegeni d = 6 cm ve açısı = 30° olan bir dikdörtgen verilsin. Verileri zaten bilinen formülle değiştiriyoruz:
Yani bir dikdörtgenin alanını köşegenden hesaplama örneği bize, eğer açı verilirse alanı bu şekilde bulmanın oldukça basit olduğunu gösterdi.
Beynimizi biraz esnetmemize yardımcı olacak ilginç bir soruna daha bakalım.
Görev: Bir kare verildi. Alanı 36 metrekaredir. cm Bir kenar uzunluğu 9 cm olan ve alanı yukarıda verilen kare ile aynı olan dikdörtgenin çevresini bulun.
Yani birkaç şartımız var. Anlaşılır olması açısından, bilinen ve bilinmeyen tüm parametreleri görmek için bunları yazalım: 
Şeklin kenarları çiftler halinde paralel ve eşittir. Bu nedenle şeklin çevresi, kenar uzunluklarının toplamının iki katına eşittir:
Şeklin iki tarafının çarpımına eşit olan dikdörtgenin alan formülünden b tarafının uzunluğunu buluyoruz.
Buradan:
Bilinen verileri yerine koyarız ve b tarafının uzunluğunu buluruz:
Şeklin çevresini hesaplayın: 
Birkaç basit formülü bilerek, alanını bilerek bir dikdörtgenin çevresini bu şekilde hesaplayabilirsiniz.
Konsepte zaten aşina olduk şeklin alanı, alan ölçüm birimlerinden birini öğrendi - Santimetrekare. Bu dersimizde dikdörtgenin alanının nasıl hesaplanacağına dair bir kural türeteceğiz.
Santimetre kareye bölünen rakamların alanını nasıl bulacağımızı zaten biliyoruz.
Örneğin:
Birinci şeklin alanının 8 cm2, ikinci şeklin alanının ise 7 cm2 olduğunu tespit edebiliriz.
Kenar uzunlukları 3 cm ve 4 cm olan dikdörtgenin alanı nasıl bulunur?
Sorunu çözmek için dikdörtgeni her biri 3 cm 2'lik 4 şeride bölüyoruz.
O zaman dikdörtgenin alanı 3 * 4 = 12 cm2'ye eşit olacaktır.
Aynı dikdörtgen, her biri 4 cm 2 olan 3 şeride bölünebilir.
O zaman dikdörtgenin alanı 4 * 3 = 12 cm2'ye eşit olacaktır.
Her iki durumda da Bir dikdörtgenin alanını bulmak için dikdörtgenin kenar uzunluklarını ifade eden sayılar çarpılır.
Her dikdörtgenin alanını bulun.
AKMO dikdörtgenini düşünün.
Bir şeritte 6 cm2 var ve bu dikdörtgende bu tür 2 şerit var, bu da aşağıdaki işlemi gerçekleştirebileceğimiz anlamına geliyor:
6 sayısı dikdörtgenin uzunluğunu, 2 sayısı ise dikdörtgenin genişliğini temsil eder. Yani dikdörtgenin alanını bulmak için dikdörtgenin kenarlarını çarptık.
KDCO dikdörtgenini düşünün.
KDCO dikdörtgeninde bir şeritte 2 cm2 vardır ve bu tür 3 şerit vardır, bu nedenle işlemi gerçekleştirebiliriz.
3 sayısı dikdörtgenin uzunluğunu, 2 sayısı ise dikdörtgenin genişliğini belirtir. Bunları çarparak dikdörtgenin alanını bulduk.
Şu sonuca varabiliriz: Dikdörtgenin alanını bulmak için her seferinde rakamı santimetre kareye bölmenize gerek yok.
Bir dikdörtgenin alanını hesaplamak için uzunluğunu ve genişliğini bulmanız (dikdörtgenin kenarlarının uzunlukları aynı ölçü birimlerinde ifade edilmelidir) ve ardından elde edilen sayıların çarpımını (alan) hesaplamanız gerekir. karşılık gelen alan birimleriyle ifade edilecektir)
Özetleyelim: Bir dikdörtgenin alanı, uzunluğu ve genişliğinin çarpımına eşittir.
Problemi çöz.
Dikdörtgenin uzunluğu 9 cm ve genişliği 2 cm ise dikdörtgenin alanını hesaplayın.
Şöyle düşünelim. Bu problemde dikdörtgenin hem uzunluğu hem de genişliği bilinmektedir. Bu nedenle şu kuralı uyguluyoruz: Bir dikdörtgenin alanı, uzunluğunun ve genişliğinin çarpımına eşittir.
Çözümü yazalım.
Cevap: dikdörtgen alan 18cm 2
Böyle bir alana sahip bir dikdörtgenin kenar uzunluklarının başka hangi uzunlukları olduğunu düşünüyorsunuz?
Şöyle düşünebilirsiniz. Alan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarının çarpımı olduğundan çarpım tablosunu hatırlamanız gerekir. 18 cevabını vermek için hangi sayılar çarpılır?
Doğru, 6 ile 3'ü çarptığınızda yine 18 elde edersiniz. Bu, bir dikdörtgenin kenarlarının 6 cm ve 3 cm olabileceği ve alanının da 18 cm 2 olacağı anlamına gelir.
Problemi çöz.
Dikdörtgenin uzunluğu 8 cm, genişliği 2 cm'dir. Alanını ve çevresini bulun.
Dikdörtgenin uzunluğunu ve genişliğini biliyoruz. Alanı bulmak için uzunluğunun ve genişliğinin çarpımını bulmanız gerektiğini, çevreyi bulmak için ise uzunluk ve genişliğin toplamını ikiyle çarpmanız gerektiğini unutmamak gerekir.
Çözümü yazalım.
Cevap: Dikdörtgenin alanı 16 cm2, çevresi 20 cm'dir.
Problemi çöz.
Dikdörtgenin uzunluğu 4 cm, genişliği 3 cm'dir. Üçgenin alanı nedir? (resmi görmek)
Problemdeki soruyu cevaplamak için öncelikle dikdörtgenin alanını bulmanız gerekiyor. Bunun için uzunluğu genişlikle çarpmamız gerektiğini biliyoruz.
Çizime bakın. Köşegenin dikdörtgeni iki eşit üçgene nasıl böldüğünü fark ettiniz mi? Bu nedenle bir üçgenin alanı dikdörtgenin alanından 2 kat daha azdır. Bu, 12'nin yarıya indirilmesi gerektiği anlamına gelir.
Cevap:Üçgenin alanı 6 cm2'dir.
Bugün sınıfta dikdörtgenin alanını hesaplama kuralını öğrendik ve dikdörtgenin alanını bulma problemlerini çözerken bu kuralı uygulamayı öğrendik.
1. M.I.Moro, M.A.Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 1. M., “Aydınlanma”, 2012.
2. M.I.Moro, M.A.Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm halinde, bölüm 2. M., “Aydınlanma”, 2012.
3. M.I.Moro. Matematik dersleri: Öğretmenler için metodolojik öneriler. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
4. Düzenleyici belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. M., “Aydınlanma”, 2011.
5. “Rusya Okulu”: İlkokul programları. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
6. S.I.Volkova. Matematik: Test kağıtları. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
7. V.N.Rudnitskaya. Testler. M., “Sınav”, 2012 (127 s.)
2. "Prosveshcheniye" yayınevi ()
1. Dikdörtgenin uzunluğu 7 cm, genişliği 4 cm'dir Dikdörtgenin alanını bulun.
2. Karenin bir kenarı 5 cm'dir.Karenin alanını bulun.
3. Alanı 18 cm2 olan dikdörtgenler için olası seçenekleri çizin.
4. Arkadaşlarınız için dersin konusuyla ilgili bir ödev oluşturun.