Kako najti površino pravokotnika z množenjem. Kako izračunati površino. Razmerje med površino tal in oknom

Od 5. razreda se učenci začnejo seznanjati s konceptom površin različnih oblik. Posebna vloga je namenjena območju pravokotnika, saj je ta številka ena najlažjih za študij.

Koncepti območja

Vsak lik ima svojo ploščino, izračun ploščine pa temelji na enotnem kvadratu, to je kvadratu z dolgo stranico 1 mm ali 1 cm, 1 dm itd. Površina takšne figure je enaka $1*1 = 1mm^2$ ali $1cm^2$ itd. Območje je praviloma označeno s črko - S.

Območje prikazuje velikost dela ravnine, ki ga zaseda lik, obrisan z segmenti.

Pravokotnik je štirikotnik, v katerem so vsi koti enake stopinjske mere in enaki 90 stopinj, nasprotni stranici pa sta v parih vzporedni in enaki.

Posebno pozornost je treba nameniti merskim enotam dolžine in širine. Ujemati se morajo. Če se enote ne ujemajo, se pretvorijo. Praviloma pretvorijo večjo enoto v manjšo, na primer, če je dolžina podana v dm in širina v cm, se dm pretvori v cm in rezultat bo $cm^2$.

Formula za površino pravokotnika

Da bi našli površino pravokotnika brez formule, morate prešteti število enotskih kvadratov, na katere je lik razdeljen.

riž. 1. Pravokotnik, razdeljen na enotske kvadrate

Pravokotnik je razdeljen na 15 kvadratov, kar pomeni, da je njegova ploščina 15 cm2. Treba je omeniti, da številka obsega 3 kvadrate v širino in 5 v dolžino, zato morate za izračun števila enotskih kvadratov dolžino pomnožiti s širino. Manjša stranica štirikotnika je širina, večja je dolžina. Tako lahko izpeljemo formulo za površino pravokotnika:

S = a · b, kjer sta a,b širina in dolžina figure.

Na primer, če je dolžina pravokotnika 5 cm in širina 4 cm, bo površina enaka 4 * 5 = 20 cm 2.

Izračun površine pravokotnika z njegovo diagonalo

Če želite izračunati površino pravokotnika skozi diagonalo, morate uporabiti formulo:

$$S = (1\nad(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$

Če naloga podaja vrednosti kota med diagonalami, pa tudi vrednost same diagonale, potem lahko izračunate površino pravokotnika s splošno formulo za poljubne konveksne štirikotnike.

Diagonala je odsek črte, ki povezuje nasprotne točke figure. Diagonali pravokotnika sta enaki, presečišče pa je razdeljeno na pol.

riž. 2. Pravokotnik z vrisanimi diagonalami

Primeri

Za okrepitev teme razmislite o primerih nalog:

št. 1. Poiščite površino vrtne parcele enake oblike kot na sliki.

riž. 3. Risba za problem

rešitev:

Če želite odšteti površino, morate sliko razdeliti na dva pravokotnika. Eden od njih bo imel dimenzije 10 m in 3 m, drugi 5 m in 7 m, ločeno pa najdemo njihova območja:

$S_1 =3*10=30 m^2$;

To bo površina vrtne parcele $S = 65 m^2$.

št. 2. Odštejte ploščino pravokotnika, če je dana njegova diagonala d = 6 cm in kot med diagonalama α = 30 0.

rešitev:

Vrednost $sin 30 =(1\nad(2)) $,

$ S =(1\nad(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$

$S =(1\nad(2)) * 6^2 * (1\nad(2)) =9 cm^2$

Tako je $S=9 cm^2$.

Diagonale delijo pravokotnik na 4 oblike - 4 trikotnike. V tem primeru sta trikotnika v parih enaka. Če v pravokotnik narišete diagonalo, ta razdeli lik na dva enaka pravokotna trikotnika.

Diagonale niso simetrale vogalov pravokotnika. In tudi če narišete simetrale vsakega kota, potem ko se sekata, boste dobili pravokotnik.

Kaj smo se naučili?

Naučili smo se poiskati ploščino pravokotnika. Glede na začetne podatke se uporablja ena ali druga formula za iskanje območja. Prav tako je vredno zapomniti, da če ima naloga različne merske enote za stranice, jih je treba pretvoriti v eno.

Test na temo

Ocena članka

Povprečna ocena: 4.4. Skupaj prejetih ocen: 292.

Pravokotnik je poseben primer štirikotnika. To pomeni, da ima pravokotnik štiri stranice. Njegovi nasprotni strani sta enaki: na primer, če je ena od njegovih strani 10 cm, bo tudi nasprotna stran enaka 10 cm Poseben primer pravokotnika je kvadrat. Kvadrat je pravokotnik z enakimi stranicami. Za izračun površine kvadrata lahko uporabite isti algoritem kot za izračun površine pravokotnika.

Kako ugotoviti površino pravokotnika na podlagi dveh strani

Če želite najti površino pravokotnika, morate njegovo dolžino pomnožiti s širino: površina = dolžina × širina. V spodnjem primeru: Ploščina = AB × BC.

Kako ugotoviti površino pravokotnika po dolžini stranice in diagonale

Nekatere težave zahtevajo, da poiščete površino pravokotnika z uporabo dolžine diagonale in ene od stranic. Diagonala pravokotnika ga deli na dva enaka pravokotna trikotnika. Zato lahko določimo drugo stran pravokotnika s pomočjo Pitagorovega izreka. Po tem se naloga zmanjša na prejšnjo točko.

Kako ugotoviti površino pravokotnika glede na obseg in stran

Obseg pravokotnika je vsota vseh njegovih stranic. Če poznate obseg pravokotnika in eno stran (na primer širino), lahko izračunate površino pravokotnika z naslednjo formulo:
Površina = (obseg × širina – širina^2)/2.

Ploščina pravokotnika skozi sinus ostrega kota med diagonalama in dolžino diagonale

Diagonali v pravokotniku sta enaki, zato za izračun ploščine na podlagi dolžine diagonale in sinusa ostrega kota med njima uporabite naslednjo formulo: Ploščina = Diagonala^2 × sin(ostri kot med diagonalama )/2.

Območje pravokotnika morda ne zveni arogantno, vendar je pomemben koncept. V vsakdanjem življenju se z njo nenehno srečujemo. Ugotovite velikost polj, zelenjavnih vrtov, izračunajte količino barve, potrebno za beljenje stropa, koliko tapet bo potrebno za lepljenje

denar in več.

Geometrijski lik

Najprej se pogovorimo o pravokotniku. To je lik na ravnini, ki ima štiri prave kote in ima nasprotne stranice enake. Njegove stranice se običajno imenujejo dolžina in širina. Merijo se v milimetrih, centimetrih, decimetrih, metrih itd. Zdaj bomo odgovorili na vprašanje: "Kako najti površino pravokotnika?" Če želite to narediti, morate dolžino pomnožiti s širino.

Površina=dolžina*širina

A še opozorilo: dolžina in širina morata biti izraženi v istih merskih enotah, torej meter in meter, in ne meter in centimeter. Območje je napisano z latinično črko S. Za udobje označimo dolžino z latinsko črko b, širino pa z latinsko črko a, kot je prikazano na sliki. Iz tega sklepamo, da je enota za ploščino mm 2, cm 2, m 2 itd.

Oglejmo si poseben primer, kako najti območje pravokotnika. Dolžina b=10 enot. Širina a=6 enot. Rešitev: S=a*b, S=10 enot*6 enot, S=60 enot 2. Naloga. Kako ugotoviti površino pravokotnika, če je dolžina 2-krat večja od širine in je 18 m? Rešitev: če je b=18 m, potem je a=b/2, a=9 m Kako najti ploščino pravokotnika, če sta znani obe strani? Tako je, nadomestite ga s formulo. S=a*b, S=18*9, S=162 m 2. Odgovor: 162 m2. Naloga. Koliko zvitkov tapet morate kupiti za sobo, če so njene mere: dolžina 5,5 m, širina 3,5 m in višina 3 m? Mere zvitka tapete: dolžina 10 m, širina 50 cm Rešitev: izris prostora.

Ploščini nasprotnih stranic sta enaki. Izračunajmo površino stene z dimenzijami 5,5 m in 3 m S stena 1 = 5,5 * 3,

S stena 1 = 16,5 m 2. Zato ima nasprotna stena površino 16,5 m2. Poiščimo površino naslednjih dveh sten. Njihove stranice so 3,5 m oziroma 3 m, S stena 2 = 3,5 * 3, S stena 2 = 10,5 m 2. To pomeni, da je tudi nasprotna stran enaka 10,5 m2. Seštejmo vse rezultate. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Kako izračunati površino pravokotnika, če so stranice izražene v različnih merskih enotah. Prej smo površine izračunali v m2, v tem primeru pa bomo uporabili metre. Potem bo širina zvitka ozadja enaka 0,5 m, S zvitek = 10 * 0,5, S zvitek = 5 m 2. Zdaj bomo ugotovili, koliko zvitkov je potrebnih za pokrivanje sobe. 54:5=10,8 (zvitki). Ker se merijo v celih številih, morate kupiti 11 zvitkov tapet. Odgovor: 11 rol tapet. Naloga. Kako izračunati površino pravokotnika, če je znano, da je širina 3 cm krajša od dolžine, vsota stranic pravokotnika pa je 14 cm? Rešitev: naj bo dolžina x cm, potem je širina (x-3) cm x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm - dolžina pravokotnika, 5-3=2 cm - širina pravokotnika, S=5*2, S=10 cm 2 Odgovor: 10 cm 2.

Povzetek

Upam, da je po ogledu primerov postalo jasno, kako najti območje pravokotnika. Naj te spomnim, da se morata merski enoti za dolžino in širino ujemati, sicer boš dobil napačen rezultat.Da ne boš napak, nalogo natančno preberi. Včasih se lahko stran izrazi skozi drugo stran, ne bojte se. Oglejte si naše rešene težave, morda vam lahko pomagajo. Toda vsaj enkrat v življenju se soočimo z iskanjem ploščine pravokotnika.

je paralelogram, v katerem so vsi koti enaki 90°, nasprotne strani pa so vzporedne in v parih enake.

Pravokotnik ima več neizpodbitnih lastnosti, ki se uporabljajo pri reševanju številnih problemov, v formulah za površino pravokotnika in njegov obseg. Tukaj so:

Dolžina neznane stranice ali diagonale pravokotnika se izračuna s pomočjo ali z uporabo Pitagorovega izreka. Območje pravokotnika je mogoče najti na dva načina - s produktom njegovih strani ali s formulo za območje pravokotnika skozi diagonalo. Prva in najpreprostejša formula izgleda takole:

Primer izračuna površine pravokotnika s to formulo je zelo preprost. Če poznamo dve strani, na primer a = 3 cm, b = 5 cm, lahko enostavno izračunamo površino pravokotnika:
Ugotovimo, da bo v takem pravokotniku površina enaka 15 kvadratnih metrov. cm.

Območje pravokotnika skozi diagonale

Včasih morate uporabiti formulo za površino pravokotnika skozi diagonale. Zahteva ne samo ugotovitev dolžine diagonal, ampak tudi kot med njimi:

Oglejmo si primer izračuna površine pravokotnika z uporabo diagonal. Podan je pravokotnik z diagonalo d = 6 cm in kotom = 30°. Podatke zamenjamo v že znano formulo:

Torej, primer izračuna površine pravokotnika skozi diagonalo nam je pokazal, da je iskanje površine na ta način, če je podan kot, precej preprosto.
Poglejmo še eno zanimivo težavo, ki nam bo pomagala malo razmigati možgane.

Naloga: Podan kvadrat. Njegova površina je 36 kvadratnih metrov. cm Poiščite obseg pravokotnika, katerega dolžina ene stranice je 9 cm in njegova ploščina je enaka zgornjemu kvadratu.
Imamo torej več pogojev. Zaradi jasnosti jih zapišimo, da vidimo vse znane in neznane parametre:
Stranice figure so v parih vzporedne in enake. Zato je obseg figure enak dvakratni vsoti dolžin stranic:
Iz formule za ploščino pravokotnika, ki je enaka zmnožku obeh strani figure, najdemo dolžino stranice b
Od tod:
Nadomestimo znane podatke in poiščemo dolžino stranice b:
Izračunajte obseg figure:
Tako lahko, če poznate nekaj preprostih formul, izračunate obseg pravokotnika, če poznate njegovo površino.

S konceptom smo se že seznanili območje figure, naučil eno od enot za merjenje površine - kvadratni centimeter. V tej lekciji bomo izpeljali pravilo, kako izračunati površino pravokotnika.

Že vemo, kako najti površino številk, ki so razdeljene na kvadratne centimetre.

Na primer:

Ugotovimo lahko, da je ploščina prve figure 8 cm 2, površina druge figure pa 7 cm 2.

Kako najti površino pravokotnika, katerega stranice so dolge 3 cm in 4 cm?

Za rešitev problema razdelimo pravokotnik na 4 trakove po 3 cm 2.

Potem bo površina pravokotnika enaka 3 * 4 = 12 cm 2.

Enak pravokotnik lahko razdelimo na 3 trakove po 4 cm 2.

Potem bo površina pravokotnika enaka 4 * 3 = 12 cm 2.

V obeh primerih Da bi našli površino pravokotnika, pomnožimo števila, ki izražajo dolžine strani pravokotnika.

Poiščite površino vsakega pravokotnika.

Razmislite o pravokotniku AKMO.

V enem traku je 6 cm 2 in v tem pravokotniku sta takšna trakova 2. To pomeni, da lahko izvedemo naslednje dejanje:

Število 6 predstavlja dolžino pravokotnika, 2 pa širino pravokotnika. Zato smo pomnožili stranice pravokotnika, da bi našli površino pravokotnika.

Razmislite o pravokotniku KDCO.

V pravokotniku KDCO je v enem traku 2 cm 2 in takih trakov je 3. Zato lahko izvedemo dejanje

Številka 3 označuje dolžino pravokotnika, 2 pa širino pravokotnika. Pomnožili smo jih in ugotovili ploščino pravokotnika.

Lahko zaključimo: Če želite najti površino pravokotnika, vam ni treba vsakič razdeliti figure na kvadratne centimetre.

Če želite izračunati površino pravokotnika, morate najti njegovo dolžino in širino (dolžine strani pravokotnika morajo biti izražene v enakih merskih enotah) in nato izračunati produkt dobljenih števil (površina bo izraženo v ustreznih površinskih enotah)

Naj povzamemo: Površina pravokotnika je enaka produktu njegove dolžine in širine.

Rešiti problem.

Izračunaj ploščino pravokotnika, če je dolžina pravokotnika 9 cm in širina 2 cm.

Razmišljajmo takole. V tej nalogi sta znani dolžina in širina pravokotnika. Zato sledimo pravilu: površina pravokotnika je enaka produktu njegove dolžine in širine.

Zapišimo rešitev.

odgovor: površina pravokotnika 18 cm 2

Katere druge dolžine stranic pravokotnika s tako ploščino mislite?

Lahko razmišljate takole. Ker je površina zmnožek dolžin stranic pravokotnika, si morate zapomniti tabelo množenja. Katera števila pomnožimo, da dobimo odgovor 18?

Tako je, ko pomnožite 6 in 3, dobite tudi 18. To pomeni, da ima pravokotnik lahko stranice 6 cm in 3 cm, njegova ploščina pa bo prav tako enaka 18 cm 2.

Rešiti problem.

Dolžina pravokotnika je 8 cm, širina pa 2 cm. Poiščite njegovo ploščino in obseg.

Poznamo dolžino in širino pravokotnika. Ne smemo pozabiti, da morate za iskanje površine najti produkt njegove dolžine in širine, za iskanje oboda pa morate vsoto dolžine in širine pomnožiti z dvema.

Zapišimo rešitev.

odgovor: Ploščina pravokotnika je 16 cm2, obseg pravokotnika pa 20 cm.

Rešiti problem.

Dolžina pravokotnika je 4 cm, širina pa 3 cm. Kakšna je površina trikotnika? (glej sliko)

Če želite odgovoriti na vprašanje v nalogi, morate najprej najti površino pravokotnika. Vemo, da moramo za to dolžino pomnožiti s širino.

Poglej risbo. Ste opazili, kako je diagonala razdelila pravokotnik na dva enaka trikotnika? Zato je površina enega trikotnika 2-krat manjša od površine pravokotnika. To pomeni, da je treba 12 prepoloviti.

odgovor: Površina trikotnika je 6 cm 2.

Danes smo pri pouku spoznali pravilo za izračun ploščine pravokotnika in se naučili uporabiti to pravilo pri reševanju nalog o iskanju ploščine pravokotnika.

1. M.I.Moro, M.A.Bantova in drugi Matematika: Učbenik. 3. razred: v 2 delih, 1. del. M., "Razsvetljenje", 2012.

2. M.I.Moro, M.A.Bantova in drugi Matematika: Učbenik. 3. razred: v 2 delih, 2. del. M., "Razsvetljenje", 2012.

3. M.I.Moro. Pouk matematike: Metodološka priporočila za učitelje. 3. razred. - M.: Izobraževanje, 2012.

4. Regulativni dokument. Spremljanje in vrednotenje učnih rezultatov. M., "Razsvetljenje", 2011.

5. »Ruska šola«: Programi za osnovno šolo. - M.: "Razsvetljenje", 2011.

6. S.I.Volkova. Matematika: Izpitne naloge. 3. razred. - M.: Izobraževanje, 2012.

7. V.N.Rudnitskaya. Testi. M., "Izpit", 2012 (127 str.)

2. Založba "Prosveshcheniye" ()

1. Dolžina pravokotnika je 7 cm, širina 4 cm Poiščite ploščino pravokotnika.

2. Stran kvadrata je 5 cm Poiščite ploščino kvadrata.

3. Narišite možne možnosti za pravokotnike s površino 18 cm 2.

4. Ustvarite nalogo na temo lekcije za svoje prijatelje.