Cum să găsiți aria unui dreptunghi prin înmulțire. Cum se calculează suprafața. Proporțiile dintre suprafața podelei și ferestre
Începând din clasa a 5-a, elevii încep să se familiarizeze cu conceptul de zone de diferite forme. Un rol special este acordat zonei dreptunghiului, deoarece această cifră este una dintre cele mai ușor de studiat.
Concepte de zonă
Orice figură are propria ei zonă, iar calculul ariei se bazează pe un pătrat unitar, adică un pătrat cu latura lungă de 1 mm, sau 1 cm, 1 dm și așa mai departe. Aria unei astfel de figuri este egală cu $1*1 = 1mm^2$, sau $1cm^2$ etc. Aria, de regulă, este notă cu litera – S.
Zona arată dimensiunea părții din plan ocupată de figura conturată de segmente.
Un dreptunghi este un patrulater în care toate unghiurile sunt de aceeași măsură de grad și egale cu 90 de grade, iar laturile opuse sunt paralele și egale în perechi.
O atenție deosebită trebuie acordată unităților de măsură ale lungimii și lățimii. Trebuie să se potrivească. Dacă unitățile nu se potrivesc, ele sunt convertite. De regulă, ei convertesc o unitate mai mare într-una mai mică, de exemplu, dacă lungimea este dată în dm și lățimea este în cm, atunci dm este convertit în cm, iar rezultatul va fi $cm^2$.
Formula zonei dreptunghiulare
Pentru a găsi aria unui dreptunghi fără formulă, trebuie să numărați numărul de pătrate unitare în care este împărțită figura.
Orez. 1. Dreptunghi împărțit în pătrate unitare
Dreptunghiul este împărțit în 15 pătrate, adică aria lui este de 15 cm2. Este de remarcat faptul că cifra ocupă 3 pătrate în lățime și 5 în lungime, așa că pentru a calcula numărul de unități de pătrate, trebuie să înmulțiți lungimea cu lățimea. Latura mai mică a patrulaterului este lățimea, cu atât lungimea este mai mare. Astfel, putem deriva formula pentru aria unui dreptunghi:
S = a · b, unde a,b sunt lățimea și lungimea figurii.
De exemplu, dacă lungimea dreptunghiului este de 5 cm și lățimea este de 4 cm, atunci aria va fi egală cu 4 * 5 = 20 cm 2.
Calcularea ariei unui dreptunghi folosind diagonala acestuia
Pentru a calcula aria unui dreptunghi prin diagonală, trebuie să aplicați formula:
$$S = (1\peste(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Dacă sarcina oferă valorile unghiului dintre diagonale, precum și valoarea diagonalei în sine, atunci puteți calcula aria dreptunghiului folosind formula generală pentru patrulatere convexe arbitrare.
O diagonală este un segment de linie care leagă puncte opuse ale unei figuri. Diagonalele dreptunghiului sunt egale, iar punctul de intersecție este împărțit la jumătate.
Orez. 2. Dreptunghi cu diagonale desenate
Exemple
Pentru a consolida subiectul, luați în considerare exemple de sarcini:
Numarul 1. Găsiți suprafața unei parcele de grădină de aceeași formă ca în figură.
Orez. 3. Desen pentru problema
Soluţie:
Pentru a scădea zona, trebuie să împărțiți figura în două dreptunghiuri. Una dintre ele va avea dimensiuni de 10 m și 3 m, cealaltă de 5 m și 7 m Separat, găsim suprafețele lor:
$S_1 =3*10=30 m^2$;
Aceasta va fi suprafața terenului de grădină $S = 65 m^2$.
nr 2. Scădeți aria dreptunghiului dacă având diagonala sa d = 6 cm și unghiul dintre diagonale α = 30 0.
Soluţie:
Valoarea $sin 30 =(1\peste(2)) $,
$ S =(1\peste(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\peste(2)) * 6^2 * (1\peste(2)) =9 cm^2$
Astfel, $S=9 cm^2$.
Diagonalele împart dreptunghiul în 4 forme - 4 triunghiuri. În acest caz, triunghiurile sunt egale în perechi. Dacă desenați o diagonală într-un dreptunghi, aceasta împarte figura în două triunghiuri dreptunghiulare egale.
Diagonalele nu sunt bisectoare ale colțurilor unui dreptunghi. Și, de asemenea, dacă desenați bisectoarele fiecărui unghi, atunci când se intersectează, veți obține un dreptunghi.
Ce am învățat?
Am învățat cum să găsim aria unui dreptunghi. Una sau alta formulă pentru găsirea zonei este utilizată în funcție de datele inițiale. De asemenea, merită să ne amintim că, dacă sarcina are unități de măsură diferite pentru laturi, este necesar să le convertiți într-una singură.
Test pe tema
Evaluarea articolului
Rata medie: 4.4. Evaluări totale primite: 292.
Un dreptunghi este un caz special de patrulater. Aceasta înseamnă că dreptunghiul are patru laturi. Laturile sale opuse sunt egale: de exemplu, dacă una dintre laturile sale este de 10 cm, atunci și latura opusă va fi egală cu 10 cm. Un caz special al unui dreptunghi este un pătrat. Un pătrat este un dreptunghi cu toate laturile egale. Pentru a calcula aria unui pătrat, puteți utiliza același algoritm ca și pentru a calcula aria unui dreptunghi.
Cum să aflați aria unui dreptunghi pe două laturi
Pentru a găsi aria unui dreptunghi, trebuie să-i înmulțiți lungimea cu lățimea sa: Arie = Lungime × Lățime. În cazul de mai jos: Aria = AB × BC.
Cum să aflați aria unui dreptunghi după lungimea laterală și diagonală
Unele probleme necesită să găsiți aria unui dreptunghi folosind lungimea diagonalei și a uneia dintre laturi. Diagonala unui dreptunghi îl împarte în două triunghiuri dreptunghiulare egale. Prin urmare, putem determina a doua latură a dreptunghiului folosind teorema lui Pitagora. După aceasta, sarcina este redusă la punctul anterior.
Cum să aflați aria unui dreptunghi după perimetrul și latura lui
Perimetrul unui dreptunghi este suma tuturor laturilor sale. Dacă cunoașteți perimetrul dreptunghiului și o latură (cum ar fi lățimea), puteți calcula aria dreptunghiului folosind următoarea formulă:
Aria = (Perimetru×lățime – lățime^2)/2.
Aria unui dreptunghi prin sinusul unghiului acut dintre diagonale și lungimea diagonalei
Diagonalele dintr-un dreptunghi sunt egale, așa că pentru a calcula aria pe baza lungimii diagonalei și a sinusului unghiului ascuțit dintre ele, ar trebui să utilizați următoarea formulă: Aria = Diagonala^2 × sin(unghiul acut dintre diagonale )/2.
Zona unui dreptunghi poate să nu sune arogant, dar este un concept important. În viața de zi cu zi o întâlnim în mod constant. Aflați dimensiunea câmpurilor, grădinilor de legume, calculați cantitatea de vopsea necesară pentru a vărui tavanul, cât de mult tapet va fi necesar pentru lipire
bani si nu numai.
Figura geometrică
Mai întâi, să vorbim despre dreptunghi. Aceasta este o figură dintr-un plan care are patru unghiuri drepte și laturile sale opuse sunt egale. Laturile sale sunt de obicei numite lungime și lățime. Ele sunt măsurate în milimetri, centimetri, decimetri, metri etc. Acum vom răspunde la întrebarea: „Cum să găsim aria unui dreptunghi?” Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți lungimea cu lățimea.
Aria=lungime*latime
Dar încă o avertizare: lungimea și lățimea trebuie exprimate în aceleași unități de măsură, adică metru și metru, și nu metru și centimetru. Zona este scrisă cu litera latină S. Pentru comoditate, să notăm lungimea cu litera latină b și lățimea cu litera latină a, așa cum se arată în figură. Din aceasta concluzionăm că unitatea de suprafață este mm 2, cm 2, m 2 etc.
Să ne uităm la un exemplu specific despre cum să găsiți aria unui dreptunghi. Lungimea b=10 unități. Latime a=6 unitati. Rezolvare: S=a*b, S=10 unități*6 unități, S=60 unități 2. Sarcină. Cum să aflați aria unui dreptunghi dacă lungimea este de 2 ori lățimea și este de 18 m? Soluție: dacă b=18 m, atunci a=b/2, a=9 m Cum se găsește aria unui dreptunghi dacă ambele laturi sunt cunoscute? Așa este, înlocuiți-o în formulă. S=a*b, S=18*9, S=162 m2. Raspuns: 162 m2. Sarcină. Câte role de tapet trebuie să cumpărați pentru o cameră dacă dimensiunile acesteia sunt: lungime 5,5 m, lățime 3,5 și înălțime 3 m? Dimensiunile unei role de tapet: lungime 10 m, lățime 50 cm Soluție: faceți un desen al camerei.
Suprafețele laturilor opuse sunt egale. Să calculăm aria unui perete cu dimensiuni de 5,5 m și 3 m S perete 1 = 5,5 * 3,
S perete 1 = 16,5 m 2. Prin urmare, peretele opus are o suprafață de 16,5 m2. Să găsim zona următorilor doi pereți. Laturile lor sunt de 3,5 m și respectiv 3 m S perete 2 = 3,5 * 3, S perete 2 = 10,5 m 2. Aceasta înseamnă că partea opusă este, de asemenea, egală cu 10,5 m2. Să adunăm toate rezultatele. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Cum se calculează aria unui dreptunghi dacă laturile sunt exprimate în diferite unități de măsură. Anterior, am calculat suprafețele în m2, apoi în acest caz vom folosi contoare. Apoi, lățimea rolei de tapet va fi egală cu 0,5 m rola S = 10 * 0,5, rola S = 5 m 2. Acum vom afla de câte rulouri sunt necesare pentru a acoperi o cameră. 54:5=10,8 (rulouri). Deoarece sunt măsurate în numere întregi, trebuie să cumpărați 11 role de tapet. Răspuns: 11 role de tapet. Sarcină. Cum se calculează aria unui dreptunghi dacă se știe că lățimea este cu 3 cm mai mică decât lungimea, iar suma laturilor dreptunghiului este de 14 cm? Soluție: fie lungimea x cm, atunci lățimea este (x-3) cm x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm. - lungime dreptunghi, 5-3=2 cm - latimea dreptunghiului, S=5*2, S=10 cm 2 Raspuns: 10 cm 2.
rezumat
După ce m-am uitat la exemple, sper că a devenit clar cum să găsiți aria unui dreptunghi. Permiteți-mi să vă reamintesc că unitățile de măsură pentru lungime și lățime trebuie să se potrivească, altfel veți obține un rezultat incorect. Pentru a evita greșeli, citiți cu atenție sarcina. Uneori, o parte poate fi exprimată prin cealaltă parte, nu vă fie teamă. Vă rugăm să consultați problemele noastre rezolvate, ei s-ar putea să vă poată ajuta. Dar cel puțin o dată în viața noastră ne confruntăm cu găsirea zonei unui dreptunghi.
este un paralelogram în care toate unghiurile sunt egale cu 90°, iar laturile opuse sunt paralele și egale în perechi.
Un dreptunghi are câteva proprietăți de nerefuzat care sunt folosite în rezolvarea multor probleme, în formule pentru aria unui dreptunghi și perimetrul acestuia. Aici sunt ei:
Lungimea unei laturi sau diagonale necunoscute a unui dreptunghi se calculează folosind sau folosind teorema lui Pitagora. Aria unui dreptunghi poate fi găsită în două moduri - prin produsul laturilor sale sau prin formula pentru aria unui dreptunghi prin diagonală. Prima și cea mai simplă formulă arată astfel:
Un exemplu de calcul al ariei unui dreptunghi folosind această formulă este foarte simplu. Cunoscând două laturi, de exemplu a = 3 cm, b = 5 cm, putem calcula cu ușurință aria dreptunghiului:
Constatăm că într-un astfel de dreptunghi aria va fi egală cu 15 metri pătrați. cm.
Aria unui dreptunghi prin diagonale
Uneori trebuie să aplicați formula pentru aria unui dreptunghi prin diagonale. Necesită nu numai aflarea lungimii diagonalelor, ci și a unghiului dintre ele:
Să ne uităm la un exemplu de calcul al ariei unui dreptunghi folosind diagonale. Să fie dat un dreptunghi cu diagonala d = 6 cm și unghi = 30°. Inlocuim datele in formula deja cunoscuta:
Deci, exemplul de calcul al ariei unui dreptunghi prin diagonală ne-a arătat că găsirea ariei în acest fel, dacă este dat un unghi, este destul de simplă.
Să ne uităm la o altă problemă interesantă care ne va ajuta să ne întindem puțin creierul.
Sarcină: Dat un pătrat. Suprafata sa este de 36 de metri patrati. cm Aflați perimetrul unui dreptunghi a cărui lungime a unei laturi este de 9 cm și a cărui arie este aceeași cu pătratul dat mai sus.
Deci avem mai multe condiții. Pentru claritate, să le scriem pentru a vedea toți parametrii cunoscuți și necunoscuți: 
Laturile figurii sunt paralele și egale în perechi. Prin urmare, perimetrul figurii este egal cu dublul sumei lungimilor laturilor:
Din formula pentru aria unui dreptunghi, care este egală cu produsul celor două laturi ale figurii, găsim lungimea laturii b
De aici:
Inlocuim datele cunoscute si gasim lungimea laturii b:
Calculați perimetrul figurii: 
Așa, cunoscând câteva formule simple, poți calcula perimetrul unui dreptunghi, cunoscându-i aria.
Ne-am familiarizat deja cu conceptul zona figurii, a învățat una dintre unitățile de măsură a ariei - centimetru pătrat. În această lecție vom obține o regulă despre cum să calculăm aria unui dreptunghi.
Știm deja cum să găsim aria figurilor care sunt împărțite în centimetri pătrați.
De exemplu:
Putem determina că aria primei figuri este de 8 cm 2, aria celei de-a doua figuri este de 7 cm 2.
Cum să găsiți aria unui dreptunghi ale cărui laturi au 3 cm și 4 cm lungime?
Pentru a rezolva problema, împărțim dreptunghiul în 4 benzi de câte 3 cm 2 fiecare.
Apoi aria dreptunghiului va fi egală cu 3 * 4 = 12 cm 2.
Același dreptunghi poate fi împărțit în 3 fâșii de 4 cm 2 fiecare.
Apoi aria dreptunghiului va fi egală cu 4 * 3 = 12 cm 2.
În ambele cazuri Pentru a găsi aria unui dreptunghi, se înmulțesc numerele care exprimă lungimile laturilor dreptunghiului.
Să găsim aria fiecărui dreptunghi.
Luați în considerare dreptunghiul AKMO.
Există 6 cm 2 într-o bandă și există 2 astfel de benzi în acest dreptunghi. Aceasta înseamnă că putem efectua următoarea acțiune:
Numărul 6 reprezintă lungimea dreptunghiului, iar 2 reprezintă lățimea dreptunghiului. Deci am înmulțit laturile dreptunghiului pentru a găsi aria dreptunghiului.
Luați în considerare dreptunghiul KDCO.
În dreptunghiul KDCO există 2 cm 2 într-o bandă și există 3 astfel de benzi. Prin urmare, putem efectua acțiunea
Numărul 3 indică lungimea dreptunghiului, iar 2 lățimea dreptunghiului. Le-am înmulțit și am aflat aria dreptunghiului.
Putem concluziona: Pentru a găsi aria unui dreptunghi, nu trebuie să împărțiți figura în centimetri pătrați de fiecare dată.
Pentru a calcula aria unui dreptunghi, trebuie să găsiți lungimea și lățimea acestuia (lungimile laturilor dreptunghiului trebuie exprimate în aceleași unități de măsură), apoi să calculați produsul numerelor rezultate (aria vor fi exprimate în unitățile de suprafață corespunzătoare)
Să rezumăm: Aria unui dreptunghi este egală cu produsul dintre lungime și lățime.
Rezolva problema.
Calculați aria unui dreptunghi dacă lungimea dreptunghiului este de 9 cm și lățimea este de 2 cm.
Să gândim așa. În această problemă, atât lungimea cât și lățimea dreptunghiului sunt cunoscute. Prin urmare, respectăm regula: aria unui dreptunghi este egală cu produsul dintre lungimea și lățimea acestuia.
Să scriem soluția.
Răspuns: suprafață dreptunghi 18 cm 2
Ce alte lungimi ale laturilor unui dreptunghi cu o astfel de zonă crezi?
Puteți gândi așa. Deoarece aria este produsul lungimilor laturilor unui dreptunghi, trebuie să vă amintiți tabelul înmulțirii. Ce numere se înmulțesc pentru a da răspunsul 18?
Așa este, atunci când înmulțiți 6 și 3, obțineți și 18. Asta înseamnă că un dreptunghi poate avea laturile de 6 cm și 3 cm și aria lui va fi și ea egală cu 18 cm 2.
Rezolva problema.
Lungimea dreptunghiului este de 8 cm, iar lățimea este de 2 cm. Găsiți aria și perimetrul acestuia.
Cunoaștem lungimea și lățimea dreptunghiului. Este necesar să rețineți că pentru a găsi zona trebuie să găsiți produsul lungimii și lățimii sale, iar pentru a găsi perimetrul trebuie să înmulțiți suma lungimii și lățimii cu două.
Să scriem soluția.
Răspuns: Aria dreptunghiului este de 16 cm2, iar perimetrul dreptunghiului este de 20 cm.
Rezolva problema.
Lungimea dreptunghiului este de 4 cm, iar lățimea este de 3 cm. Care este aria triunghiului? (Vezi poza)
Pentru a răspunde la întrebarea din problemă, mai întâi trebuie să găsiți aria dreptunghiului. Știm că pentru aceasta trebuie să înmulțim lungimea cu lățimea.
Uită-te la desen. Ai observat cum diagonala a împărțit dreptunghiul în două triunghiuri egale? Prin urmare, aria unui triunghi este de 2 ori mai mică decât aria unui dreptunghi. Deci, trebuie să reducem de 12 de 2 ori.
Răspuns: Aria triunghiului este de 6 cm2.
Astăzi, la clasă, am învățat despre regula pentru calcularea ariei unui dreptunghi și am învățat să aplicăm această regulă atunci când rezolvăm probleme pentru a găsi aria unui dreptunghi.
1. M.I.Moro, M.A.Bantova ş.a. Matematică: Manual. Clasa a III-a: în 2 părți, partea 1. M., „Iluminări”, 2012.
2. M.I.Moro, M.A.Bantova ş.a. Matematică: Manual. Clasa a III-a: în 2 părți, partea a 2-a. M., „Iluminări”, 2012.
3. M.I.Moro. Lecții de matematică: Recomandări metodologice pentru profesori. clasa a 3-a. - M.: Educație, 2012.
4. Document de reglementare. Monitorizarea și evaluarea rezultatelor învățării. M., „Iluminismul”, 2011.
5. „Școala Rusiei”: Programe pentru școala primară. - M.: „Iluminismul”, 2011.
6. S.I.Volkova. Matematică: Lucrări de test. clasa a 3-a. - M.: Educație, 2012.
7. V.N.Rudnitskaya. Teste. M., „Examen”, 2012 (127 p.)
2. Editura „Prosveshcheniye” ()
1. Lungimea dreptunghiului este de 7 cm, lățimea este de 4 cm. Aflați aria dreptunghiului.
2. Latura pătratului este de 5 cm. Aflați aria pătratului.
3. Desenați opțiuni posibile pentru dreptunghiuri cu o suprafață de 18 cm 2.
4. Creați o temă pe tema lecției pentru prietenii dvs.