Тэгш өнцөгтийн талбайг үржүүлэх замаар хэрхэн олох вэ. Талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Шал болон цонхны талбайн хоорондох харьцаа
5-р ангиасаа эхлэн сурагчид янз бүрийн хэлбэрийн талбайн тухай ойлголттой танилцаж эхэлдэг. Тэгш өнцөгтийн талбайд онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг, учир нь энэ зураг нь судлахад хамгийн хялбар байдаг.
Бүс нутгийн тухай ойлголт
Аливаа зураг өөрийн гэсэн талбайтай бөгөөд талбайг тооцоолохдоо нэгж квадрат, өөрөөр хэлбэл урт тал нь 1 мм, эсвэл 1 см, 1 дм гэх мэт квадрат дээр суурилдаг. Ийм зургийн талбай нь $1*1 = 1мм^2$, эсвэл $1см^2$ гэх мэт хэмжээтэй тэнцүү байна. Талбайг дүрмээр бол S үсгээр тэмдэглэнэ.
Талбай нь сегментүүдээр дүрсэлсэн зурагт эзлэгдсэн онгоцны хэсгийн хэмжээг харуулав.
Тэгш өнцөгт нь бүх өнцөг нь ижил хэмжигдэхүүнтэй, 90 градустай тэнцүү, эсрэг талууд нь зэрэгцээ, хос хосоороо тэнцүү дөрвөн өнцөгтийг тэгш өнцөгт гэнэ.
Урт ба өргөнийг хэмжих нэгжид онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Тэд тохирох ёстой. Хэрэв нэгжүүд таарахгүй бол тэдгээрийг хөрвүүлнэ. Дүрмээр бол тэд том нэгжийг жижиг болгон хувиргадаг, жишээлбэл, уртыг дм, өргөнийг см-ээр өгвөл dm-ийг см болгон хувиргах ба үр дүн нь $см^2$ болно.
Тэгш өнцөгтийн талбайн томъёо
Томъёогүй тэгш өнцөгтийн талбайг олохын тулд тухайн дүрс хуваагдсан нэгж квадратуудын тоог тоолох хэрэгтэй.
Цагаан будаа. 1. Нэгж квадратуудад хуваагдсан тэгш өнцөгт
Тэгш өнцөгт нь 15 квадратад хуваагддаг, өөрөөр хэлбэл түүний талбай нь 15 см2 байна. Энэ зураг нь 3 квадрат өргөн, 5 урттай тул нэгж квадратын тоог тооцоолохын тулд уртыг өргөнөөр үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Дөрвөн өнцөгтийн жижиг тал нь өргөн, урт нь урт байна. Тиймээс бид тэгш өнцөгтийн талбайн томъёог гаргаж болно.
S = a · b, энд a,b нь зургийн өргөн ба урт юм.
Жишээлбэл, тэгш өнцөгтийн урт нь 5 см, өргөн нь 4 см бол талбай нь 4 * 5 = 20 см 2 болно.
Диагональ ашиглан тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолох
Диагональ дундуур тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.
$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Хэрэв даалгавар нь диагональуудын хоорондох өнцгийн утгууд, мөн диагональын утгыг өгдөг бол дурын гүдгэр дөрвөлжингийн ерөнхий томъёог ашиглан тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолж болно.
Диагональ гэдэг нь зургийн эсрэг талын цэгүүдийг холбосон шугамын хэсэг юм. Тэгш өнцөгтийн диагональууд тэнцүү бөгөөд огтлолцлын цэгийг хагасаар хуваана.
Цагаан будаа. 2. Диагональ зурсан тэгш өнцөгт
Жишээ
Сэдвийг бататгахын тулд даалгаврын жишээг авч үзье.
№1. Зураг дээрхтэй ижил хэлбэртэй цэцэрлэгийн талбайн талбайг ол.
Цагаан будаа. 3. Асуудлын зураг
Шийдэл:
Талбайг хасахын тулд та дүрсийг хоёр тэгш өнцөгт болгон хуваах хэрэгтэй. Тэдний нэг нь 10 м ба 3 м, нөгөө нь 5 м ба 7 м хэмжээтэй байх болно. Тус тусад нь бид тэдгээрийн талбайг олно.
$S_1 =3*10=30 м^2$;
Энэ нь цэцэрлэгийн талбайн хэмжээ байх болно $ S = 65 м ^ 2 $.
№2. Тэгш өнцөгтийн диагональ d = 6 см ба диагональуудын хоорондох өнцгийг α = 30 0 гэж үзвэл түүний талбайг хас.
Шийдэл:
Утга $sin 30 =(1\over(2)) $,
$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\over(2)) * 6^2 * (1\over(2)) =9 см^2$
Тиймээс $S=9 см^2$.
Диагональууд нь тэгш өнцөгтийг 4 хэлбэрт хуваадаг - 4 гурвалжин. Энэ тохиолдолд гурвалжин нь хосоороо тэнцүү байна. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн диагональ зурвал дүрсийг хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваана.
Диагональ нь тэгш өнцөгтийн булангийн биссектрис биш юм. Мөн түүнчлэн хэрэв та өнцөг бүрийн биссектрисийг зурвал тэдгээр нь огтлолцох үед та тэгш өнцөгтийг авах болно.
Бид юу сурсан бэ?
Бид тэгш өнцөгтийн талбайг хэрхэн олохыг сурсан. Эхний өгөгдлөөс хамааран талбайг олох нэг буюу өөр томъёог ашигладаг. Хэрэв даалгавар нь талуудын хувьд өөр өөр хэмжүүртэй бол тэдгээрийг нэг болгон хувиргах шаардлагатай гэдгийг санах нь зүйтэй.
Сэдвийн тест
Нийтлэлийн үнэлгээ
Дундаж үнэлгээ: 4.4. Хүлээн авсан нийт үнэлгээ: 292.
Тэгш өнцөгт бол дөрвөн өнцөгтийн онцгой тохиолдол юм. Тэгш өнцөгт дөрвөн талтай гэсэн үг. Үүний эсрэг талууд тэнцүү байна: жишээлбэл, түүний нэг тал нь 10 см бол эсрэг тал нь мөн 10 см-тэй тэнцүү байх болно. Тэгш өнцөгтийн онцгой тохиолдол бол дөрвөлжин юм. Квадрат нь бүх тал нь тэнцүү тэгш өнцөгт юм. Дөрвөлжингийн талбайг тооцоолохын тулд та тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолох алгоритмыг ашиглаж болно.
Хоёр тал дээр үндэслэн тэгш өнцөгтийн талбайг хэрхэн олох вэ
Тэгш өнцөгтийн талбайг олохын тулд та түүний уртыг өргөнөөр нь үржүүлэх хэрэгтэй: Талбай = Урт × Өргөн. Доор өгөгдсөн тохиолдолд: Талбай = AB × BC.
Тэгш өнцөгтийн талбай ба диагональ уртыг хэрхэн олох вэ
Зарим асуудал нь диагональ ба талуудын аль нэгний уртыг ашиглан тэгш өнцөгтийн талбайг олохыг шаарддаг. Тэгш өнцөгтийн диагональ нь хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваагдана. Тиймээс бид Пифагорын теоремыг ашиглан тэгш өнцөгтийн хоёр дахь талыг тодорхойлж болно. Үүний дараа даалгавар өмнөх цэг хүртэл буурна.
Тэгш өнцөгтийн талбайг периметр ба хажуугаар нь хэрхэн олох вэ
Тэгш өнцөгтийн периметр нь түүний бүх талуудын нийлбэр юм. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн периметр ба нэг талыг (өргөн гэх мэт) мэддэг бол тэгш өнцөгтийн талбайг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
Талбай = (Периметр×өргөн – өргөн^2)/2.
Диагональ ба диагональ уртын хоорондох хурц өнцгийн синусаар дамжих тэгш өнцөгтийн талбай
Тэгш өнцөгт дэх диагональууд тэнцүү тул диагональын урт ба тэдгээрийн хоорондох хурц өнцгийн синус дээр үндэслэн талбайг тооцоолохдоо дараах томъёог ашиглана уу: Талбай = Диагональ^2 × sin(диагональуудын хоорондох хурц өнцөг )/2.
Тэгш өнцөгтийн талбай нь бардам сонсогдохгүй байж болох ч энэ нь чухал ойлголт юм. Өдөр тутмын амьдралд бид түүнтэй байнга тулгардаг. Талбай, хүнсний ногооны талбайн хэмжээг мэдэж, таазыг цайруулахад шаардагдах будагны хэмжээг тооцоолж, наахад хэр их ханын цаас шаардагдахыг тооцоолоорой.
мөнгө болон бусад.
Геометрийн дүрс
Эхлээд тэгш өнцөгтийн талаар ярилцъя. Энэ бол дөрвөн тэгш өнцөгтэй, эсрэг талууд нь тэнцүү хавтгай дээрх дүрс юм. Түүний талыг ихэвчлэн урт ба өргөн гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг миллиметр, сантиметр, дециметр, метр гэх мэтээр хэмждэг. Одоо бид "Тэгш өнцөгтийн талбайг хэрхэн олох вэ?" Гэсэн асуултанд хариулах болно. Үүнийг хийхийн тулд та уртыг өргөнөөр үржүүлэх хэрэгтэй.
Талбай=урт*өргөн
Гэхдээ бас нэг анхааруулга: урт ба өргөнийг ижил хэмжлийн нэгжээр, өөрөөр хэлбэл метр ба метрээр илэрхийлэх ёстой, харин метр, сантиметр биш. Талбай нь латин S үсгээр бичигдсэн. Тохиромжтой болгох үүднээс зурагт үзүүлсэн шиг уртыг латин b үсгээр, өргөнийг латин a үсгээр тэмдэглэе. Эндээс бид талбайн нэгжийг мм 2, см 2, м 2 гэх мэтээр дүгнэж байна.
Тэгш өнцөгтийн талбайг хэрхэн олох тухай тодорхой жишээг харцгаая. Урт b=10 нэгж. Өргөн a=6 нэгж. Шийдэл: S=a*b, S=10 нэгж*6 нэгж, S=60 нэгж 2. Даалгавар. Хэрвээ урт нь өргөнөөсөө 2 дахин их, 18 м бол тэгш өнцөгтийн талбайг хэрхэн олох вэ? Шийдэл: b=18 м бол a=b/2, a=9 м.Тэгш өнцөгтийн аль аль тал нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг хэрхэн олох вэ? Энэ нь зөв, үүнийг томъёонд орлуулаарай. S=a*b, S=18*9, S=162 м 2. Хариулт: 162 м2. Даалгавар. Хэмжээ нь: урт нь 5.5 м, өргөн нь 3.5, өндөр нь 3 м бол өрөөнд зориулж хэдэн өнхрөх ханын цаас худалдаж авах шаардлагатай вэ? Өнхрөх ханын цаасны хэмжээ: урт 10 м, өргөн нь 50 см Шийдэл: өрөөний зураг зурах.
Эсрэг талуудын талбайнууд тэнцүү байна. 5.5 м ба 3 м хэмжээтэй хананы талбайг тооцоолъё. S хана 1 = 5.5 * 3,
S хана 1 = 16.5 м 2. Тиймээс эсрэг талын хана нь 16.5 м2 талбайтай. Дараагийн хоёр хананы талбайг олъё. Тэдний талууд тус тус 3.5 м ба 3 м байна S хана 2 = 3.5 * 3, S хана 2 = 10.5 м 2. Энэ нь эсрэг тал нь мөн 10.5 м2-тай тэнцүү гэсэн үг юм. Бүх үр дүнг нэгтгэж үзье. 16.5+16.5+10.5+10.5=54 м2. Хэрэв талууд нь өөр өөр хэмжүүрээр илэрхийлэгдсэн бол тэгш өнцөгтийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ. Өмнө нь бид м2 талбайг тооцоолж байсан бөгөөд энэ тохиолдолд бид тоолуурыг ашиглах болно. Дараа нь ханын цаасны өнхрөх өргөн нь 0.5 м-тэй тэнцүү байх болно S өнхрөх = 10 * 0.5, S өнхрөх = 5 м 2. Одоо бид өрөөг бүрхэхэд хэдэн өнхрөх хэрэгтэйг олж мэдэх болно. 54:5=10,8 (өнхрөх). Тэдгээрийг бүхэл тоогоор хэмждэг тул та 11 өнхрөх ханын цаас худалдаж авах хэрэгтэй. Хариулт: 11 өнхрөх ханын цаас. Даалгавар. Хэрэв тэгш өнцөгтийн өргөн нь уртаасаа 3 см богино, талуудын нийлбэр нь 14 см бол тэгш өнцөгтийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ? Шийдэл: урт нь х см, өргөн нь (х-3) см байна.x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4х-6=14, 4х=20, х=5 см. - урт тэгш өнцөгт, 5-3=2 см - тэгш өнцөгтийн өргөн, S=5*2, S=10 см 2 Хариу: 10 см 2.
Дүгнэлт
Жишээнүүдийг харсны дараа тэгш өнцөгтийн талбайг хэрхэн олох нь тодорхой болсон гэж найдаж байна. Урт ба өргөнийг хэмжих нэгжүүд таарч байх ёстойг сануулъя, эс тэгвээс буруу үр дүн гарах болно.Алдаа гаргахгүйн тулд даалгаврыг анхааралтай уншина уу. Заримдаа нэг талыг нөгөө талаас нь илэрхийлж болно, бүү ай. Бидний шийдсэн асуудлуудыг харна уу, тэд тусалж магадгүй юм. Гэхдээ бид амьдралдаа дор хаяж нэг удаа тэгш өнцөгтийн талбайг олохтой тулгардаг.
параллелограмм нь бүх өнцөг нь 90°-тай тэнцүү, эсрэг тал нь параллель бөгөөд хосоороо тэнцүү байна.
Тэгш өнцөгт нь олон асуудлыг шийдвэрлэхэд, тэгш өнцөгтийн талбай ба түүний периметрийн томъёонд ашиглагддаг хэд хэдэн үгүйсгэх аргагүй шинж чанартай байдаг. Тэд энд байна:
Тэгш өнцөгтийн үл мэдэгдэх тал эсвэл диагоналын уртыг Пифагорын теоремыг ашиглан эсвэл ашиглан тооцоолно. Тэгш өнцөгтийн талбайг хоёр аргаар олж болно - талуудын үржвэр эсвэл диагональ дундуур тэгш өнцөгтийн талбайн томъёогоор. Эхний бөгөөд хамгийн энгийн томъёо нь дараах байдалтай байна.
Энэ томъёог ашиглан тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолох жишээ нь маш энгийн. Хоёр тал, жишээ нь a = 3 см, b = 5 см, бид тэгш өнцөгтийн талбайг хялбархан тооцоолж болно.
Ийм тэгш өнцөгтийн талбай нь 15 квадрат метртэй тэнцэх болно гэдгийг бид олж мэдсэн. см.
Диагональ дундуур тэгш өнцөгтийн талбай
Заримдаа та диагональуудаар тэгш өнцөгтийн талбайн томъёог хэрэглэх хэрэгтэй. Энэ нь зөвхөн диагональуудын уртыг төдийгүй тэдгээрийн хоорондох өнцгийг олохыг шаарддаг.
Диагональ ашиглан тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолох жишээг харцгаая. Диагональ d = 6 см, өнцөг = 30 ° тэгш өнцөгтийг өгье. Бид өгөгдлийг аль хэдийн мэдэгдэж байсан томъёонд орлуулна:
Тиймээс, тэгш өнцөгтийн талбайг диагональаар тооцоолох жишээ нь хэрэв өнцөг өгөгдсөн бол талбайг ийм аргаар олох нь маш энгийн болохыг харуулсан.
Бидний тархийг бага зэрэг сунгахад туслах өөр нэг сонирхолтой асуудлыг харцгаая.
Даалгавар:Квадрат өгсөн. Түүний талбай нь 36 хавтгай дөрвөлжин метр юм. см.Нэг талын урт нь 9 см, талбай нь дээр өгөгдсөн квадраттай ижил тэгш өнцөгтийн периметрийг ол.
Тиймээс бидэнд хэд хэдэн нөхцөл бий. Тодорхой болгохын тулд бүх мэдэгдэж байгаа болон үл мэдэгдэх параметрүүдийг харахын тулд тэдгээрийг бичье. 
Зургийн талууд параллель бөгөөд хосоороо тэнцүү байна. Тиймээс зургийн периметр нь талуудын уртын нийлбэрээс хоёр дахин их байна.
Зургийн хоёр талын үржвэртэй тэнцүү тэгш өнцөгтийн талбайн томъёоноос бид b талын уртыг олно.
Эндээс:
Бид мэдэгдэж буй өгөгдлийг орлуулж, b талын уртыг олно:
Зургийн периметрийг тооцоолно уу: 
Хэд хэдэн энгийн томъёог мэдсэнээр та тэгш өнцөгтийн периметрийг тооцоолж, түүний талбайг мэдэж болно.
Бид энэ ойлголттой аль хэдийн танилцсан зургийн талбай, талбайн хэмжилтийн нэгжүүдийн нэгийг сурсан - квадрат сантиметр. Энэ хичээлээр бид тэгш өнцөгтийн талбайг хэрхэн тооцоолох дүрмийг гаргаж авах болно.
Бид квадрат см-т хуваагдсан дүрсүүдийн талбайг хэрхэн олохыг аль хэдийн мэддэг болсон.
Жишээлбэл:
Эхний зургийн талбай нь 8 см 2, хоёр дахь зургийн талбай нь 7 см 2 гэдгийг бид тодорхойлж болно.
Талууд нь 3 см ба 4 см урттай тэгш өнцөгтийн талбайг хэрхэн олох вэ?
Асуудлыг шийдэхийн тулд бид тэгш өнцөгтийг тус бүр нь 3 см 2 хэмжээтэй 4 тууз болгон хуваана.
Дараа нь тэгш өнцөгтийн талбай нь 3 * 4 = 12 см 2 байх болно.
Ижил тэгш өнцөгтийг тус бүр нь 4 см 2 хэмжээтэй 3 тууз болгон хувааж болно.
Дараа нь тэгш өнцөгтийн талбай 4 * 3 = 12 см 2 байна.
Хоёр тохиолдолд Тэгш өнцөгтийн талбайг олохын тулд тэгш өнцөгтийн талуудын уртыг илэрхийлсэн тоог үржүүлнэ.
Тэгш өнцөгт бүрийн талбайг ол.
AKMO тэгш өнцөгтийг авч үзье.
Нэг туузанд 6 см 2 байх ба энэ тэгш өнцөгт дотор 2 ийм тууз байна. Энэ нь бид дараах үйлдлийг хийж болно гэсэн үг юм.
6 тоо нь тэгш өнцөгтийн уртыг, 2 нь тэгш өнцөгтийн өргөнийг илэрхийлнэ. Тиймээс бид тэгш өнцөгтийн талбайг олохын тулд тэгш өнцөгтийн талуудыг үржүүлэв.
KDCO тэгш өнцөгтийг авч үзье.
KDCO тэгш өнцөгт нь нэг туузанд 2 см 2 байх ба ийм 3 зурвас байгаа тул үйлдлийг хийж болно.
3 тоо нь тэгш өнцөгтийн уртыг, 2 нь тэгш өнцөгтийн өргөнийг илэрхийлнэ. Бид тэдгээрийг үржүүлж, тэгш өнцөгтийн талбайг олж мэдэв.
Бид дүгнэж болно: Тэгш өнцөгтийн талбайг олохын тулд зургийг квадрат сантиметр болгон хуваах шаардлагагүй.
Тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолохын тулд та түүний урт ба өргөнийг олох хэрэгтэй (тэгш өнцөгтийн талуудын уртыг ижил хэмжлийн нэгжээр илэрхийлэх ёстой), дараа нь үүссэн тоонуудын үржвэрийг (талбай) тооцоолох хэрэгтэй. талбайн харгалзах нэгжээр илэрхийлэгдэх болно)
Дүгнэж хэлье: Тэгш өнцөгтийн талбай нь түүний урт ба өргөний үржвэртэй тэнцүү байна.
Асуудлыг шийдэх.
Тэгш өнцөгтийн урт нь 9 см, өргөн нь 2 см бол тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоол.
Ингээд бодоцгооё. Энэ асуудалд тэгш өнцөгтийн урт ба өргөнийг хоёуланг нь мэддэг. Тиймээс бид дүрмийг дагаж мөрддөг: тэгш өнцөгтийн талбай нь түүний урт ба өргөний үржвэртэй тэнцүү байна.
Үүний шийдлийг бичье.
Хариулт:тэгш өнцөгт талбай 18см 2
Ийм талбайтай тэгш өнцөгтийн талууд өөр ямар урттай байх ёстой гэж та бодож байна вэ?
Та ингэж бодож болно. Талбай нь тэгш өнцөгтийн талуудын уртын үржвэр тул үржүүлэх хүснэгтийг санах хэрэгтэй. 18 гэсэн хариултыг өгөхийн тулд ямар тоог үржүүлэх вэ?
Зөв, 6 ба 3-ыг үржүүлэхэд та бас 18 болно. Энэ нь тэгш өнцөгт нь 6 см ба 3 см талуудтай байж болох бөгөөд түүний талбай нь мөн 18 см 2 болно гэсэн үг юм.
Асуудлыг шийдэх.
Тэгш өнцөгтийн урт нь 8 см, өргөн нь 2 см. Түүний талбай ба периметрийг ол.
Тэгш өнцөгтийн урт ба өргөнийг бид мэднэ. Талбайг олохын тулд түүний урт ба өргөний үржвэрийг олох хэрэгтэй бөгөөд периметрийг олохын тулд урт, өргөний нийлбэрийг хоёроор үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг санах нь зүйтэй.
Үүний шийдлийг бичье.
Хариулт:Тэгш өнцөгтийн талбай нь 16 см2, тэгш өнцөгтийн периметр нь 20 см.
Асуудлыг шийдэх.
Тэгш өнцөгтийн урт нь 4 см, өргөн нь 3 см. Гурвалжны талбай хэд вэ? (зураг харна уу)
Асуудлын асуултанд хариулахын тулд эхлээд тэгш өнцөгтийн талбайг олох хэрэгтэй. Үүний тулд уртыг өргөнөөр үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг бид мэднэ.
Зургийг хар. Диагональ нь тэгш өнцөгтийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хэрхэн хуваасаныг та анзаарсан уу? Тиймээс нэг гурвалжны талбай нь тэгш өнцөгтийн талбайгаас 2 дахин бага байна. Энэ нь 12-ыг хоёр дахин багасгах шаардлагатай гэсэн үг юм.
Хариулт:Гурвалжны талбай нь 6 см 2.
Өнөөдөр хичээл дээр бид тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолох дүрмийн талаар олж мэдсэн бөгөөд тэгш өнцөгтийн талбайг олох асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ дүрмийг ашиглаж сурсан.
1. М.И.Моро, М.А.Бантова болон бусад Математик: Сурах бичиг. 3-р анги: 2 хэсэг, 1-р хэсэг. М., “Гэгээрэл”, 2012.
2. М.И.Моро, М.А.Бантова болон бусад Математик: Сурах бичиг. 3-р анги: 2 хэсэг, 2-р хэсэг. М., “Гэгээрэл”, 2012.
3. М.И.Моро. Математикийн хичээл: Багш нарт зориулсан арга зүйн зөвлөмж. 3-р анги. - М.: Боловсрол, 2012.
4. Зохицуулалтын баримт бичиг. Сургалтын үр дүнгийн хяналт-шинжилгээ, үнэлгээ. М., “Гэгээрэл”, 2011 он.
5. "Оросын сургууль": Бага сургуульд зориулсан хөтөлбөрүүд. - М.: "Гэгээрэл", 2011 он.
6. С.И.Волкова. Математик: Туршилтын материал. 3-р анги. - М.: Боловсрол, 2012.
7. В.Н.Рудницкая. Туршилтууд. М., "Шалгалт", 2012 (127 х.)
2. "Просвещение" хэвлэлийн газар ()
1. Тэгш өнцөгтийн урт 7 см өргөн 4 см тэгш өнцөгтийн талбайг ол.
2. Талбайн тал нь 5 см, талбайн талбайг ол.
3. 18 см 2 талбайтай тэгш өнцөгтийн боломжит хувилбаруудыг зур.
4. Найзууддаа хичээлийн сэдвийн дагуу даалгавар зохио.