Οι νόμοι του Κέπλερ. Οι νόμοι του Κέπλερ: πρώτος, δεύτερος και τρίτος Η σημασία των ανακαλύψεων του Κέπλερ στην αστρονομία

«Έζησε σε μια εποχή που δεν υπήρχε ακόμη εμπιστοσύνη στην ύπαρξη κάποιου γενικού προτύπου για όλα τα φυσικά φαινόμενα...

Πόσο βαθιά ήταν η πίστη του σε ένα τέτοιο μοτίβο, αν δουλεύοντας μόνος του, χωρίς να υποστηριχθεί ή να κατανοηθεί από κανέναν, για πολλές δεκαετίες αντλούσε δύναμη από αυτό για μια δύσκολη και επίπονη εμπειρική μελέτη της κίνησης των πλανητών και των μαθηματικών νόμων αυτής της κίνησης!

Σήμερα, όταν αυτή η επιστημονική πράξη έχει ήδη ολοκληρωθεί, κανείς δεν μπορεί να εκτιμήσει πλήρως πόση εφευρετικότητα, πόση σκληρή δουλειά και υπομονή χρειαζόταν για να ανακαλύψουμε αυτούς τους νόμους και να τους εκφράσουμε με τόση ακρίβεια» (Άλμπερτ Αϊνστάιν για τον Κέπλερ).

Ο Johannes Kepler ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε τον νόμο της κίνησης των πλανητών του ηλιακού συστήματος. Αλλά το έκανε αυτό με βάση μια ανάλυση των αστρονομικών παρατηρήσεων του Tycho Brahe. Ας μιλήσουμε λοιπόν πρώτα γι' αυτόν.

Tycho Brahe (1546-1601)

Tycho Brahe -Δανός αστρονόμος, αστρολόγος και αλχημιστής της Αναγέννησης. Ο Κέπλερ ήταν ο πρώτος στην Ευρώπη που άρχισε να διεξάγει συστηματικές και υψηλής ακρίβειας αστρονομικές παρατηρήσεις, βάσει των οποίων ο Κέπλερ εξήγαγε τους νόμους της κίνησης των πλανητών.

Από παιδί άρχισε να ενδιαφέρεται για την αστρονομία, έκανε ανεξάρτητες παρατηρήσεις και δημιούργησε ορισμένα αστρονομικά όργανα. Μια μέρα (11 Νοεμβρίου 1572), επιστρέφοντας στο σπίτι από ένα χημικό εργαστήριο, παρατήρησε ένα ασυνήθιστα φωτεινό αστέρι στον αστερισμό της Κασσιόπης, το οποίο δεν είχε ξαναβρεθεί εκεί. Αμέσως κατάλαβε ότι δεν ήταν πλανήτης και έσπευσε να μετρήσει τις συντεταγμένες του. Το αστέρι έλαμψε στον ουρανό για άλλους 17 μήνες. Στην αρχή φαινόταν ακόμη και κατά τη διάρκεια της ημέρας, αλλά σταδιακά η λάμψη του εξασθενούσε. Αυτή ήταν η πρώτη έκρηξη σουπερνόβα στον Γαλαξία μας εδώ και 500 χρόνια. Αυτό το γεγονός ενθουσίασε ολόκληρη την Ευρώπη· υπήρχαν πολλές ερμηνείες αυτού του «ουράνιου σημείου» - είχαν προβλεφθεί καταστροφές, πόλεμοι, επιδημίες, ακόμη και το τέλος του κόσμου. Εμφανίστηκαν επίσης επιστημονικές πραγματείες που περιείχαν λανθασμένες δηλώσεις ότι επρόκειτο για κομήτη ή ατμοσφαιρικό φαινόμενο. Το 1573 εκδόθηκε το πρώτο του βιβλίο, «On the New Star». Σε αυτό, ο Brahe ανέφερε ότι δεν ανιχνεύτηκε παράλλαξη (αλλαγές στη φαινομενική θέση ενός αντικειμένου σε σχέση με ένα μακρινό φόντο ανάλογα με τη θέση του παρατηρητή) για αυτό το αντικείμενο, και αυτό αποδεικνύει πειστικά ότι το νέο φωτιστικό είναι ένα αστέρι, και δεν βρίσκεται κοντά στη Γη, αλλά τουλάχιστον σε πλανητική απόσταση. Με την εμφάνιση αυτού του βιβλίου, ο Tycho Brahe αναγνωρίστηκε ως ο πρώτος αστρονόμος της Δανίας. Το 1576, με διάταγμα του βασιλιά της Δανίας-Νορβηγίας Φρειδερίκο Β', στον Τύχο Μπράχε παραχωρήθηκε το νησί Βεν για ισόβια χρήση. Hven), που βρίσκεται 20 χλμ. από την Κοπεγχάγη, και διατέθηκαν σημαντικά ποσά για την κατασκευή του αστεροσκοπείου και τη συντήρησή του. Ήταν το πρώτο κτίριο στην Ευρώπη που κατασκευάστηκε ειδικά για αστρονομικές παρατηρήσεις.Ο Tycho Brahe ονόμασε το αστεροσκοπείο του "Uraniborg" προς τιμήν της μούσας της αστρονομίας Ουρανία (το όνομα μερικές φορές μεταφράζεται ως "Κάστρο στον ουρανό"). Ο σχεδιασμός του κτιρίου σχεδιάστηκε από τον ίδιο τον Tycho Brahe. Το 1584, ένα άλλο κάστρο παρατηρητηρίου χτίστηκε δίπλα στο Uraniborg: το Stjerneborg (μεταφρασμένο από τα δανικά ως «Κάστρο των Αστέρων»). Το Uraniborg έγινε σύντομα το καλύτερο αστρονομικό κέντρο του κόσμου, συνδυάζοντας παρατηρήσεις, διδασκαλία μαθητών και δημοσίευση επιστημονικών εργασιών. Αλλά αργότερα, σε σχέση με την αλλαγή του βασιλιά. Ο Tycho Brahe έχασε την οικονομική υποστήριξη και στη συνέχεια επιβλήθηκε απαγόρευση άσκησης της αστρονομίας και της αλχημείας στο νησί. Ο αστρονόμος έφυγε από τη Δανία και σταμάτησε στην Πράγα.

Σύντομα το Uraniborg και όλα τα κτίρια που συνδέονται με αυτό καταστράφηκαν ολοσχερώς (στην εποχή μας έχουν μερικώς αποκατασταθεί).

Κατά τη διάρκεια αυτής της τεταμένης περιόδου, ο Brahe κατέληξε στο συμπέρασμα ότι χρειαζόταν έναν νεαρό, ταλαντούχο βοηθό μαθηματικού για να επεξεργαστεί τα δεδομένα που είχαν συσσωρευτεί για 20 χρόνια. Έχοντας μάθει για τη δίωξη του Johannes Kepler, του οποίου τις εξαιρετικές μαθηματικές ικανότητες είχε ήδη εκτιμήσει από την αλληλογραφία τους, ο Tycho τον κάλεσε στη θέση του. Οι επιστήμονες αντιμετώπισαν ένα καθήκον: να συναγάγουν από τις παρατηρήσεις ένα νέο σύστημα του κόσμου, το οποίο θα έπρεπε να αντικαταστήσει τόσο το Πτολεμαϊκό όσο και το Κοπέρνικο. Εμπιστεύτηκε στον Κέπλερ τον βασικό πλανήτη: τον Άρη, του οποίου η κίνηση δεν ταίριαζε έντονα όχι μόνο στο σχέδιο του Πτολεμαίου, αλλά και στα μοντέλα του ίδιου του Μπράχε (σύμφωνα με τους υπολογισμούς του, οι τροχιές του Άρη και του Ήλιου τέμνονται).

Το 1601, ο Tycho Brahe και ο Kepler άρχισαν να εργάζονται για νέους, εκλεπτυσμένους αστρονομικούς πίνακες, οι οποίοι ονομάστηκαν «Rudolph» προς τιμήν του αυτοκράτορα. ολοκληρώθηκαν το 1627 και υπηρέτησαν αστρονόμους και ναυτικούς μέχρι τις αρχές του 19ου αιώνα. Αλλά ο Tycho Brahe κατάφερε μόνο να δώσει ένα όνομα στα τραπέζια. Τον Οκτώβριο αρρώστησε απροσδόκητα και πέθανε από άγνωστη ασθένεια.

Αφού μελέτησε προσεκτικά τα δεδομένα του Tycho Brahe, ο Kepler ανακάλυψε τους νόμους της κίνησης των πλανητών.

Οι νόμοι του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Αρχικά, ο Κέπλερ σχεδίαζε να γίνει προτεστάντης ιερέας, αλλά χάρη στις εξαιρετικές μαθηματικές του ικανότητες, προσκλήθηκε το 1594 να δώσει διάλεξη για τα μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο του Γκρατς (τώρα Αυστρία). Ο Κέπλερ πέρασε 6 χρόνια στο Γκρατς. Εδώ το 1596 εκδόθηκε το πρώτο του βιβλίο, «Το μυστικό του κόσμου». Σε αυτό, ο Κέπλερ προσπάθησε να βρει τη μυστική αρμονία του Σύμπαντος, για την οποία συνέκρινε διάφορα «πλατωνικά στερεά» (κανονικά πολύεδρα) με τις τροχιές των πέντε τότε γνωστών πλανητών (ξεχώρισε ιδιαίτερα τη σφαίρα της Γης). Παρουσίασε την τροχιά του Κρόνου ως κύκλο (όχι ακόμη έλλειψη) στην επιφάνεια μιας μπάλας που περιβάλλεται γύρω από έναν κύβο. Ο κύβος, με τη σειρά του, ήταν χαραγμένος με μια μπάλα, η οποία υποτίθεται ότι αντιπροσωπεύει την τροχιά του Δία. Ένα τετράεδρο ήταν εγγεγραμμένο σε αυτή τη σφαίρα, περιγεγραμμένο γύρω από μια σφαίρα που αντιπροσωπεύει την τροχιά του Άρη, κ.λπ. Αυτό το έργο, μετά από περαιτέρω ανακαλύψεις του Κέπλερ, έχασε το αρχικό του νόημα (έστω και μόνο επειδή οι τροχιές των πλανητών αποδείχτηκαν μη κυκλικές) ; Παρόλα αυτά, ο Κέπλερ πίστευε στην ύπαρξη μιας κρυμμένης μαθηματικής αρμονίας του Σύμπαντος μέχρι το τέλος της ζωής του και το 1621 επανδημοσίευσε το «The Secret of the World», κάνοντας πολλές αλλαγές και προσθήκες σε αυτό.

Όντας εξαιρετικός παρατηρητής, ο Tycho Brahe συνέταξε ένα ογκώδες έργο για πολλά χρόνια σχετικά με την παρατήρηση πλανητών και εκατοντάδων αστεριών και η ακρίβεια των μετρήσεών του ήταν σημαντικά υψηλότερη από αυτή όλων των προκατόχων του. Για να αυξήσει την ακρίβεια, ο Brahe χρησιμοποίησε τόσο τεχνικές βελτιώσεις όσο και ειδική τεχνική για την εξουδετέρωση των σφαλμάτων παρατήρησης. Ο συστηματικός χαρακτήρας των μετρήσεων ήταν ιδιαίτερα πολύτιμος.

Κατά τη διάρκεια πολλών ετών, ο Κέπλερ μελέτησε προσεκτικά τα δεδομένα του Μπράχε και, ως αποτέλεσμα προσεκτικής ανάλυσης, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι Η τροχιά του Άρη δεν είναι ένας κύκλος, αλλά μια έλλειψη, με τον Ήλιο σε μια από τις εστίες του - μια θέση γνωστή σήμερα ως Ο πρώτος νόμος του Κέπλερ.

Ο πρώτος νόμος του Κέπλερ (νόμος των ελλείψεων)

Κάθε πλανήτης στο ηλιακό σύστημα περιστρέφεται σε μια έλλειψη, με τον Ήλιο σε μία από τις εστίες.

Το σχήμα της έλλειψης και ο βαθμός της ομοιότητάς της με έναν κύκλο χαρακτηρίζεται από την αναλογία , όπου είναι η απόσταση από το κέντρο της έλλειψης προς την εστία της (το μισό της μεσοεστιακής απόστασης) και είναι ο ημικύριος άξονας. Η ποσότητα ονομάζεται εκκεντρότητα της έλλειψης. Όταν , και, επομένως, η έλλειψη μετατρέπεται σε κύκλο.

Περαιτέρω ανάλυση οδηγεί στον δεύτερο νόμο. Το διάνυσμα ακτίνας που συνδέει τον πλανήτη και τον Ήλιο περιγράφει ίσες περιοχές σε ίσους χρόνους. Αυτό σήμαινε ότι όσο πιο μακριά είναι ένας πλανήτης από τον Ήλιο, τόσο πιο αργά κινείται.

Ο δεύτερος νόμος του Κέπλερ (νόμος των περιοχών)

Κάθε πλανήτης κινείται σε ένα επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο του Ήλιου και σε ίσες χρονικές περιόδους, το διάνυσμα ακτίνας που συνδέει τον Ήλιο και τον πλανήτη περιγράφει ίσες περιοχές.

Υπάρχουν δύο έννοιες που συνδέονται με αυτόν τον νόμο: περιήλιο- το σημείο της τροχιάς που βρίσκεται πιο κοντά στον Ήλιο, και αφήλιο- το πιο απομακρυσμένο σημείο της τροχιάς. Έτσι, από τον δεύτερο νόμο του Κέπλερ προκύπτει ότι ο πλανήτης κινείται άνισα γύρω από τον Ήλιο, έχοντας μεγαλύτερη γραμμική ταχύτητα στο περιήλιο από ό,τι στο αφήλιο.

Κάθε χρόνο στις αρχές Ιανουαρίου, η Γη κινείται γρηγορότερα όταν διέρχεται από το περιήλιο, επομένως η φαινομενική κίνηση του Ήλιου κατά μήκος της εκλειπτικής προς τα ανατολικά συμβαίνει επίσης ταχύτερα από τον μέσο όρο του έτους. Στις αρχές Ιουλίου, η Γη, περνώντας το αφήλιο, κινείται πιο αργά και επομένως η κίνηση του Ήλιου κατά μήκος της εκλειπτικής επιβραδύνεται. Ο νόμος των περιοχών δείχνει ότι η δύναμη που διέπει την τροχιακή κίνηση των πλανητών κατευθύνεται προς τον Ήλιο.

Τρίτος νόμος του Κέπλερ (αρμονικός νόμος)

Τα τετράγωνα των περιόδων περιστροφής των πλανητών γύρω από τον Ήλιο σχετίζονται με τους κύβους των ημικυριότερων αξόνων των τροχιών των πλανητών. Αυτό ισχύει όχι μόνο για τους πλανήτες, αλλά και για τους δορυφόρους τους.

Πού και είναι οι περίοδοι περιστροφής δύο πλανητών γύρω από τον Ήλιο, και και είναι τα μήκη των ημικυριότερων αξόνων των τροχιών τους.

Ο Νεύτων αργότερα διαπίστωσε ότι ο τρίτος νόμος του Κέπλερ δεν είναι απόλυτα ακριβής - περιλαμβάνει επίσης τη μάζα του πλανήτη: , πού είναι η μάζα του Ήλιου, και και είναι οι μάζες των πλανητών.

Δεδομένου ότι η κίνηση και η μάζα έχουν συσχετιστεί, αυτός ο συνδυασμός του αρμονικού νόμου του Κέπλερ και του νόμου της βαρύτητας του Νεύτωνα χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της μάζας των πλανητών και των δορυφόρων εάν είναι γνωστές οι τροχιές και οι περίοδοι τροχιάς τους.

Η σημασία των ανακαλύψεων του Κέπλερ στην αστρονομία

Ανακαλύφθηκε από τον Κέπλερ τρεις νόμοι της κίνησης των πλανητώνεξήγησε πλήρως και με ακρίβεια τη φαινομενική ανομοιομορφία αυτών των κινήσεων. Αντί για πολυάριθμους κατασκευασμένους επικύκλους, το μοντέλο του Κέπλερ περιλαμβάνει μόνο μία καμπύλη - μια έλλειψη. Ο δεύτερος νόμος καθόρισε πώς αλλάζει η ταχύτητα του πλανήτη καθώς απομακρύνεται ή πλησιάζει τον Ήλιο, και ο τρίτος μας επιτρέπει να υπολογίσουμε αυτή την ταχύτητα και την περίοδο περιστροφής γύρω από τον Ήλιο.

Αν και ιστορικά το Κεπλεριανό παγκόσμιο σύστημα βασίζεται στο μοντέλο του Κοπέρνικου, στην πραγματικότητα έχουν πολύ λίγα κοινά (μόνο την καθημερινή περιστροφή της Γης). Οι κυκλικές κινήσεις των σφαιρών που έφεραν πλανήτες εξαφανίστηκαν και εμφανίστηκε η έννοια της πλανητικής τροχιάς. Στο σύστημα του Κοπέρνικου, η Γη εξακολουθούσε να καταλαμβάνει μια κάπως ιδιαίτερη θέση, αφού ήταν η μόνη χωρίς επίκυκλους. Σύμφωνα με τον Κέπλερ, η Γη είναι ένας συνηθισμένος πλανήτης, η κίνηση του οποίου υπόκειται σε τρεις γενικούς νόμους. Όλες οι τροχιές των ουράνιων σωμάτων είναι ελλείψεις· το κοινό επίκεντρο των τροχιών είναι ο Ήλιος.

Ο Κέπλερ εξήγαγε επίσης την «εξίσωση Κέπλερ», που χρησιμοποιείται στην αστρονομία για τον προσδιορισμό των θέσεων των ουράνιων σωμάτων.

Οι νόμοι που ανακάλυψε ο Κέπλερ αργότερα υπηρέτησαν τον Νεύτωνα βάση για τη δημιουργία της θεωρίας της βαρύτητας. Ο Νεύτωνας απέδειξε μαθηματικά ότι όλοι οι νόμοι του Κέπλερ είναι συνέπειες του νόμου της βαρύτητας.

Όμως ο Κέπλερ δεν πίστευε στο άπειρο του Σύμπαντος και ως επιχείρημα πρότεινε φωτομετρικό παράδοξο(αυτό το όνομα προέκυψε αργότερα): εάν ο αριθμός των αστεριών είναι άπειρος, τότε προς οποιαδήποτε κατεύθυνση το βλέμμα θα συναντούσε ένα αστέρι και δεν θα υπήρχαν σκοτεινές περιοχές στον ουρανό. Ο Κέπλερ, όπως και οι Πυθαγόρειοι, θεωρούσε τον κόσμο ως την πραγματοποίηση μιας ορισμένης αριθμητικής αρμονίας, γεωμετρικής και μουσικής. η αποκάλυψη της δομής αυτής της αρμονίας θα έδινε απαντήσεις στα πιο βαθιά ερωτήματα.

Άλλα επιτεύγματα του Κέπλερ

Στα μαθηματικάβρήκε έναν τρόπο να προσδιορίσει τους όγκους διάφορων σωμάτων επανάστασης, πρότεινε τα πρώτα στοιχεία του ολοκληρωτικού λογισμού, ανέλυσε λεπτομερώς τη συμμετρία των νιφάδων χιονιού, το έργο του Kepler στον τομέα της συμμετρίας αργότερα βρήκε εφαρμογή στην κρυσταλλογραφία και τη θεωρία κωδικοποίησης. Συνέταξε έναν από τους πρώτους πίνακες λογαρίθμων και για πρώτη φορά εισήγαγε την πιο σημαντική έννοια απείρως μακρινό σημείοεισήγαγε την έννοια εστίαση της κωνικής τομής καιεπανεξεταστεί προβολικοί μετασχηματισμοί κωνικών τομών, συμπεριλαμβανομένων αυτών που αλλάζουν τον τύπο τους.

Στη φυσικήεπινόησε τον όρο αδράνειακαθώς η έμφυτη ιδιότητα των σωμάτων να αντιστέκονται σε μια εφαρμοζόμενη εξωτερική δύναμη, πλησίασε στην ανακάλυψη του νόμου της βαρύτητας, αν και δεν προσπάθησε να τον εκφράσει μαθηματικά, ο πρώτος, σχεδόν εκατό χρόνια νωρίτερα από τον Νεύτωνα, διατύπωσε την υπόθεση ότι η αιτία της παλίρροιας είναι η επίδραση της Σελήνης στα ανώτερα στρώματα των ωκεανών.

Στην οπτική: η οπτική ως επιστήμη ξεκινά με τα έργα του. Περιγράφει τη διάθλαση του φωτός, τη διάθλαση και την έννοια της οπτικής εικόνας, τη γενική θεωρία των φακών και των συστημάτων τους. Ο Κέπλερ κατάλαβε τον ρόλο του φακού και περιέγραψε σωστά τις αιτίες της μυωπίας και της υπερμετρωπίας.

ΠΡΟΣ ΤΗΝ αστρολογίαΟ Κέπλερ είχε μια αμφίθυμη στάση. Για το θέμα αυτό αναφέρονται δύο δηλώσεις του. Πρώτον: " Φυσικά, αυτή η αστρολογία είναι μια ηλίθια κόρη, αλλά, Θεέ μου, πού θα πήγαινε η μητέρα της, η πολύ σοφή αστρονομία, αν δεν είχε μια ηλίθια κόρη! Ο κόσμος είναι ακόμα πιο ηλίθιος και τόσο ηλίθιος που προς όφελος αυτής της γηραιάς λογικής μητέρας, η ηλίθια κόρη πρέπει να κουβεντιάσει και να πει ψέματα. Και ο μισθός των μαθηματικών είναι τόσο ασήμαντος που η μητέρα πιθανότατα θα λιμοκτονούσε αν η κόρη της δεν κέρδιζε τίποτα" Και δεύτερο: " Οι άνθρωποι κάνουν λάθος να πιστεύουν ότι οι γήινες υποθέσεις εξαρτώνται από τα ουράνια σώματα" Ωστόσο, ο Κέπλερ συνέταξε ωροσκόπια για τον εαυτό του και τους αγαπημένους του.

Tycho Brahe (1546-1601)

Αφού μελέτησε προσεκτικά τα δεδομένα του Tycho Brahe, ο Kepler ανακάλυψε τους νόμους της κίνησης των πλανητών.

Οι νόμοι του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Ο πρώτος νόμος του Κέπλερ (νόμος των ελλείψεων)

Κάθε πλανήτης στο ηλιακό σύστημα περιστρέφεται σε μια έλλειψη, με τον Ήλιο σε μία από τις εστίες.

Ο δεύτερος νόμος του Κέπλερ (νόμος των περιοχών)

Τρίτος νόμος του Κέπλερ (αρμονικός νόμος)

Η σημασία των ανακαλύψεων του Κέπλερ στην αστρονομία

Άλλα επιτεύγματα του Κέπλερ

Οι δύο μεγαλύτεροι επιστήμονες, πολύ μπροστά από την εποχή τους, δημιούργησαν μια επιστήμη που ονομάζεται ουράνια μηχανική, δηλαδή ανακάλυψαν τους νόμους της κίνησης των ουράνιων σωμάτων υπό την επίδραση της βαρύτητας, και ακόμη και αν τα επιτεύγματά τους περιορίζονταν σε αυτό, θα εξακολουθούσαν να έχουν μπήκε στο πάνθεον των μεγάλων αυτού του κόσμου. Έτυχε να μην διασταυρωθούν εγκαίρως. Μόνο δεκατρία χρόνια μετά τον θάνατο του Κέπλερ γεννήθηκε ο Νεύτων. Και οι δύο ήταν υποστηρικτές του ηλιοκεντρικού συστήματος του Κοπέρνικου. Έχοντας μελετήσει την κίνηση του Άρη για πολλά χρόνια, ο Κέπλερ ανακάλυψε πειραματικά τρεις νόμους της κίνησης των πλανητών, περισσότερα από πενήντα χρόνια πριν ο Νεύτωνας ανακαλύψει τον νόμο της παγκόσμιας βαρύτητας. Δεν καταλαβαίνω ακόμη γιατί οι πλανήτες κινούνται όπως κάνουν. Ήταν σκληρή δουλειά και λαμπρή προνοητικότητα. Αλλά ο Νεύτωνας χρησιμοποίησε τους νόμους του Κέπλερ για να δοκιμάσει τον νόμο της βαρύτητάς του. Και οι τρεις νόμοι του Κέπλερ είναι συνέπειες του νόμου της βαρύτητας. Και ο Νεύτων το ανακάλυψε σε ηλικία 23 ετών. Αυτή την εποχή, 1664 - 1667, η πανώλη μαίνονταν στο Λονδίνο. Το Trinity College, όπου δίδασκε ο Newton, διαλύθηκε επ' αόριστον για να μην επιδεινωθεί η επιδημία. Ο Νεύτωνας επιστρέφει στην πατρίδα του και σε δύο χρόνια κάνει μια επανάσταση στην επιστήμη, κάνοντας τρεις σημαντικές ανακαλύψεις: διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό, μια εξήγηση της φύσης του φωτός και τον νόμο της παγκόσμιας έλξης. Ο Ισαάκ Νεύτων κηδεύτηκε πανηγυρικά στο Αβαείο του Γουέστμινστερ. Πάνω από τον τάφο του στέκεται ένα μνημείο με προτομή και τον επιτάφιο «Εδώ βρίσκεται ο Sir Isaac Newton, ο ευγενής που, με τη δάδα των μαθηματικών στο χέρι, ήταν ο πρώτος που απέδειξε, με τη δάδα των μαθηματικών στο χέρι, την κίνηση του οι πλανήτες, τα μονοπάτια των κομητών και οι παλίρροιες των ωκεανών... Ας χαίρονται οι θνητοί που υπάρχει τέτοιος στολισμός της ανθρώπινης φυλής».

Η αξία της ανακάλυψης των νόμων της κίνησης των πλανητών ανήκει στον εξαιρετικό Γερμανό επιστήμονα, αστρονόμο και μαθηματικό, Γιοχάνες Κέπλερ(1571 – 1630) – άνθρωπος με μεγάλο θάρρος και εξαιρετική αγάπη για την επιστήμη.

Έδειξε ότι είναι ένθερμος υποστηρικτής του Κοπέρνικου συστήματος του κόσμου και ξεκίνησε να ξεκαθαρίσει τη δομή του Ηλιακού συστήματος. Τότε αυτό σήμαινε: να γνωρίζεις τους νόμους της κίνησης των πλανητών, ή, όπως το έθεσε, «να εντοπίσεις το σχέδιο του Θεού κατά τη δημιουργία του κόσμου». Στις αρχές του 17ου αι. Ο Κέπλερ, μελετώντας την επανάσταση του Άρη γύρω από τον Ήλιο, καθιέρωσε τρεις νόμους για την κίνηση των πλανητών.

Ο πρώτος νόμος του Κέπλερ:Κάθε πλανήτης περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο σε μια έλλειψη, με τον Ήλιο σε μία εστία.

Υπό την επίδραση της βαρύτητας, ένα ουράνιο σώμα κινείται στο βαρυτικό πεδίο ενός άλλου ουράνιου σώματος κατά μήκος ενός από τα κωνικά τμήματα - κύκλο, έλλειψη, παραβολή ή υπερβολή.

Η έλλειψη είναι μια επίπεδη κλειστή καμπύλη που έχει την ιδιότητα ότι το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από δύο σημεία, που ονομάζονται εστίες, παραμένει σταθερό. Αυτό το άθροισμα των αποστάσεων είναι ίσο με το μήκος του κύριου άξονα της έλλειψης. Το σημείο Ο είναι το κέντρο της έλλειψης, τα F1 και F2 είναι οι εστίες. Ο Ήλιος βρίσκεται σε αυτή την περίπτωση στο επίκεντρο F1.

Το σημείο της τροχιάς που βρίσκεται πλησιέστερα στον Ήλιο ονομάζεται περιήλιο, το πιο απομακρυσμένο σημείο ονομάζεται αφήλιο. Η γραμμή που συνδέει οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης με την εστία ονομάζεται διάνυσμα ακτίνας. Ο λόγος της απόστασης μεταξύ των εστιών προς τον κύριο άξονα (προς τη μεγαλύτερη διάμετρο) ονομάζεται εκκεντρότητα ε. Όσο μεγαλύτερη είναι η εκκεντρότητα, τόσο πιο επιμήκης είναι η έλλειψη. Ο ημικύριος άξονας της έλλειψης a είναι η μέση απόσταση του πλανήτη από τον Ήλιο.

Κομήτες και αστεροειδείς κινούνται επίσης σε ελλειπτικές τροχιές. Για κύκλο e = 0, για έλλειψη 0< е < 1, у параболы е = 1, у гиперболы е > 1.

Οι τροχιές των πλανητών είναι ελλείψεις, διαφέρουν ελάχιστα από τους κύκλους. οι εκκεντρικότητες τους είναι μικρές. Για παράδειγμα, η εκκεντρότητα της τροχιάς της Γης είναι e = 0,017.

Ο δεύτερος νόμος του Κέπλερ: Το διάνυσμα ακτίνας του πλανήτη περιγράφει ίσες περιοχές σε ίσες χρονικές περιόδους (καθορίζει την ταχύτητα της τροχιάς του πλανήτη). Όσο πιο κοντά βρίσκεται ένας πλανήτης στον Ήλιο, τόσο πιο γρήγορος είναι.

Ο πλανήτης ταξιδεύει από το σημείο Α στο Α1 και από το Β στο Β1 ταυτόχρονα. Με άλλα λόγια, ο πλανήτης κινείται πιο γρήγορα στο περιήλιο, και πιο αργά όταν βρίσκεται στη μεγαλύτερη απόστασή του (στο αφήλιο). Έτσι, η ταχύτητα του κομήτη Halley στο περιήλιο είναι 55 km/s, και στο aphelion 0,9 km/s.

Ο Ερμής, που βρίσκεται πιο κοντά στον Ήλιο, περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο σε 88 ημέρες. Η Αφροδίτη κινείται πίσω της και ένα έτος σε αυτήν διαρκεί 225 γήινες ημέρες. Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο σε 365 ημέρες, δηλαδή ακριβώς ένα χρόνο. Το Αρειανό έτος είναι σχεδόν διπλάσιο από αυτό της Γης. Ένα έτος Δία ισούται με σχεδόν 12 γήινα χρόνια και ο μακρινός Κρόνος κάνει κύκλους την τροχιά του σε 29,5 χρόνια! Εν ολίγοις, όσο πιο μακριά είναι ο πλανήτης από τον Ήλιο, τόσο μεγαλύτερο είναι το έτος στον πλανήτη. Και ο Κέπλερ προσπάθησε να βρει μια σχέση μεταξύ των μεγεθών των τροχιών διαφόρων πλανητών και του χρόνου της περιστροφής τους γύρω από τον Ήλιο.

Στις 15 Μαΐου 1618, μετά από πολλές ανεπιτυχείς προσπάθειες, ο Κέπλερ δημιούργησε τελικά μια πολύ σημαντική σχέση γνωστή ως

Ο τρίτος νόμος του Κέπλερ:Τα τετράγωνα των περιόδων περιστροφής των πλανητών γύρω από τον Ήλιο είναι ανάλογα με τους κύβους των μέσων αποστάσεων τους από τον Ήλιο.

Εάν οι περίοδοι τροχιάς οποιωνδήποτε δύο πλανητών, για παράδειγμα της Γης και του Άρη, συμβολίζονται με Tz και Tm, και οι μέσες αποστάσεις τους από τον Ήλιο είναι z και m, τότε ο τρίτος νόμος του Κέπλερ μπορεί να γραφτεί ως ισότητα:

T 2 m / T 2 z = a 3 m / a 3 z.

Αλλά η περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο είναι ίση με ένα έτος (Тз = 1), και η μέση απόσταση μεταξύ της Γης και του Ήλιου λαμβάνεται ως μία αστρονομική μονάδα (аз = 1 AU). Τότε αυτή η ισότητα θα πάρει μια απλούστερη μορφή:

T 2 m = a 3 m

Η περίοδος τροχιάς ενός πλανήτη (στο παράδειγμά μας, του Άρη) μπορεί να προσδιοριστεί από παρατηρήσεις. Είναι 687 ημέρες της Γης, ή 1.881 χρόνια. Γνωρίζοντας αυτό, δεν είναι δύσκολο να υπολογίσουμε τη μέση απόσταση του πλανήτη από τον Ήλιο σε αστρονομικές μονάδες:

Εκείνοι. Ο Άρης είναι κατά μέσο όρο 1.524 φορές πιο μακριά από τον Ήλιο από τη Γη μας. Συνεπώς, αν είναι γνωστός ο χρόνος τροχιάς ενός πλανήτη, τότε η μέση απόστασή του από τον Ήλιο μπορεί να βρεθεί από αυτόν. Με αυτόν τον τρόπο, ο Κέπλερ ήταν σε θέση να προσδιορίσει τις αποστάσεις όλων των πλανητών που ήταν γνωστοί εκείνη την εποχή:

Ερμής – 0,39,

Αφροδίτη – 0,72,

Γη – 1.00

Άρης – 1,52,

Δίας – 5,20,

Κρόνος - 9,54.

Μόνο αυτές ήταν σχετικές αποστάσεις - αριθμοί που δείχνουν πόσες φορές ένας συγκεκριμένος πλανήτης βρίσκεται πιο μακριά από τον Ήλιο ή πιο κοντά στον Ήλιο από τη Γη. Οι πραγματικές τιμές αυτών των αποστάσεων, εκφρασμένες σε γήινα μέτρα (σε km), παρέμειναν άγνωστες, επειδή το μήκος της αστρονομικής μονάδας - η μέση απόσταση της Γης από τον Ήλιο - δεν ήταν ακόμη γνωστό.

Ο τρίτος νόμος του Κέπλερ συνέδεσε ολόκληρη την ηλιακή οικογένεια σε ένα ενιαίο αρμονικό σύστημα. Η αναζήτηση κράτησε εννέα δύσκολα χρόνια. Η επιμονή του επιστήμονα κέρδισε!

Συμπέρασμα: Οι νόμοι του Κέπλερ ανέπτυξαν θεωρητικά το ηλιοκεντρικό δόγμα και έτσι ενίσχυσαν τη θέση της νέας αστρονομίας. Η κοπερνίκεια αστρονομία είναι το σοφότερο από όλα τα έργα του ανθρώπινου μυαλού.

Μεταγενέστερες παρατηρήσεις έδειξαν ότι οι νόμοι του Κέπλερ ισχύουν όχι μόνο για τους πλανήτες του Ηλιακού Συστήματος και τους δορυφόρους τους, αλλά και για αστέρια που συνδέονται φυσικά μεταξύ τους και περιστρέφονται γύρω από ένα κοινό κέντρο μάζας. Αποτέλεσαν τη βάση της πρακτικής αστροναυτικής, αφού όλα τα τεχνητά ουράνια σώματα κινούνται σύμφωνα με τους νόμους του Κέπλερ, ξεκινώντας από τον πρώτο σοβιετικό δορυφόρο και τελειώνοντας με τα σύγχρονα διαστημόπλοια. Δεν είναι τυχαίο ότι στην ιστορία της αστρονομίας ο Johannes Kepler αποκαλείται «νομοθέτης του ουρανού».

Το σκεύασμα του Kepler:

Ο πλανήτης κινείται κατά μήκος μιας έλλειψης, σε μια από τις εστίες της οποίας βρίσκεται ο Ήλιος.

Ο Νεύτωνας το γενικεύει: πρώτον, μπορεί να θεωρηθεί το σύστημα αστέρι - αστέρι (διπλό αστέρι), πλανήτης - δορυφόρος. δεύτερον, ένα μικρότερο σώμα μπορεί να κινηθεί κατά μήκος μιας παραβολής ή υπερβολής (Εικ. 33).

Σύγχρονη διατύπωση:

Σε ένα βαρυτικά δεσμευμένο σύστημα το σώμα σικινείται κατά μήκος μιας έλλειψης, σε μια από τις εστίες της οποίας υπάρχει ένα σώμα ΕΝΑ. Η εκκεντρότητα της έλλειψης καθορίζεται από την αριθμητική τιμή της συνολικής ενέργειας του συστήματος. Σε ένα βαρυτικά αδέσμευτο σύστημα, το σώμα Β κινείται κατά μήκος μιας παραβολής ( μι= 0) ή με υπερβολή ( μι> 0), οι εστίες του οποίου είναι το σώμα ΕΝΑ.

Ελλειψη

Η έλλειψη (Εικ. 33) είναι ένας επιμήκης κύκλος με την ιδιότητα ότι υπάρχουν δύο σημεία (εστίες της έλλειψης ΣΤ 1Και F 2, για το οποίο ικανοποιείται η προϋπόθεση: το άθροισμα των αποστάσεων των εστιών από οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης είναι σταθερό ( ΣΤ 1ντο + F 2ντο = ΣΤ 1μι + F 2μι= const), δηλαδή δεν εξαρτάται από το σημείο που έχει επιλεγεί στην έλλειψη).

Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒονομάζεται κύριος άξονας, αντίστοιχα τμήμα Ο Α.Ο. = Ο.Β.- ημικύριος άξονας (αποδεκτός προσδιορισμός ένα), τμήματα CDΚαι O.C.- δευτερεύων άξονας και ημιάξονας σι. Το μέγεθος της έλλειψης καθορίζεται από τον ημικύριο άξονα, το σχήμα καθορίζεται από την εκκεντρότητα e = √(1 - σι 2 / ένα 2). Στο μι= 0 η έλλειψη εκφυλίζεται σε κύκλο, όταν μι= 1 - σε παραβολή, με μι> 1 - σε μια υπερβολή, η οποία αναπαρίσταται καλύτερα ως γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1 / Χ,περιστράφηκε 45°. Η έλλειψη έχει έναν κύριο ημιάξονα ένα> 0, κοντά σε παραβολή ένα= ∞, για την υπερβολή ένα < 0, что, конечно, только математиче-ская абстракция.

Το διάνυσμα ακτίνας του πλανήτη περιγράφει ίσες περιοχές σε ίσες χρονικές περιόδους (Εικ. 34).

Αυτή η δήλωση είναι παρόμοια με το γεγονός ότι η ταχύτητα της κίνησης μειώνεται με την απόσταση από τον Ήλιο, ή μάλλον, αυτός είναι ο νόμος της διατήρησης της γωνιακής ορμής.

Αν μετρήσετε τον αριθμό των ημερών από την εαρινή ισημερία (21 Μαρτίου) έως τη φθινοπωρινή ισημερία (23 Σεπτεμβρίου) και από τις 23 Σεπτεμβρίου έως τις 21 Μαρτίου του επόμενου έτους, αποδεικνύεται ότι η πρώτη περίοδος είναι 7 ημέρες. μεγαλύτερο από το δεύτερο. Με άλλα λόγια, η Γη κινείται πιο γρήγορα το χειμώνα από το καλοκαίρι, επομένως, είναι πιο κοντά στον Ήλιο το χειμώνα. Η Γη περνά το πλησιέστερο σημείο της τροχιάς της στον Ήλιο - το περιήλιο - στις 6 Ιανουαρίου.

Νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής

Ορμή ( κ = mvr) είναι ένα φυσικό μέγεθος κατάλληλο για την περιγραφή της κίνησης ενός σημείου κατά μήκος ενός κύκλου ή έλλειψης, παραβολής, υπερβολής, καθώς και για την περιγραφή της περιστροφής ενός άκαμπτου σώματος. Νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής(όπως και οι νόμοι διατήρησης της ορμής και της ενέργειας) είναι ένας από τους τρεις θεμελιώδεις νόμους της φύσης. Σύμφωνα με το θεώρημα του Noether, αυτός ο νόμος είναι συνέπεια της ισοτροπίας (ισότητας όλων των κατευθύνσεων) του Σύμπαντος.

Ο λόγος του κύβου του ημικυρίως άξονα της πλανητικής τροχιάς προς τον κύβο της περιόδου περιστροφής του πλανήτη γύρω από τον Ήλιο είναι ίσος με το άθροισμα των μαζών του Ήλιου και του πλανήτη (σύμφωνα με τη διατύπωση του Νεύτωνα):

ένα 3 / Τ 2 = (σολ/ 4π 2) . ( Μ + Μ),Υλικό από τον ιστότοπο

Οπου ΜΚαι Μ— μάζες σωμάτων του συστήματος· έναΚαι Τ— ημικύριος άξονας και περίοδος περιστροφής του μικρότερου σώματος (πλανήτης, δορυφόρος). σολ— σταθερά βαρύτητας.

Είναι απαραίτητο να δώσετε προσοχή στον σταθερό παράγοντα στη δεξιά πλευρά. Στον τύπο δίνεται σε μονάδες SI, αλλά στην αστρονομία χρησιμοποιείται η αστρονομική μονάδα μήκους (αντί για το μέτρο), το έτος (αντί για το δεύτερο) και η μάζα του Ήλιου (αντί για το κιλό). Τότε, όπως είναι εύκολο να δούμε, αν παραμελήσουμε τη μάζα του πλανήτη σε σχέση με τη μάζα του Ήλιου, ο σταθερός παράγοντας σε αυτόν τον τύπο είναι ίσος με ένα.

Ο τρίτος νόμος του Κέπλερ παρέχει τη μόνη ευκαιρία για τον άμεσο προσδιορισμό της μάζας ενός ουράνιου σώματος (για παράδειγμα,

Μπορεί να αποδειχθεί ότι , όπου μικρό- τομεακή ταχύτητα, δηλ. η περιοχή που περιγράφεται από το διάνυσμα ακτίνας ενός κινούμενου σώματος ανά μονάδα χρόνου.

Ετσι, Η τομεακή ταχύτητα για ένα κινούμενο σώμα είναι μια σταθερή τιμή- αυτή είναι η διατύπωση Ο δεύτερος γενικευμένος νόμος του Κέπλερ , και η σχέση (3.11) είναι μια μαθηματική έκφραση αυτού του νόμου.

Αφήστε λίγο σώμα μάζας Μκινείται γύρω από ένα κεντρικό σώμα μάζας Μκατά μήκος της έλλειψης. Τότε η τομεακή ταχύτητα είναι , όπου είναι το εμβαδόν της έλλειψης, T είναι η περίοδος περιστροφής του σώματος, έναΚαι σιείναι ο κύριος και ο δευτερεύων ημιάξονες της έλλειψης, αντίστοιχα. Οι ημιάξονες της έλλειψης σχετίζονται μεταξύ τους με τη σχέση: , όπου μι- εκκεντρικότητα της έλλειψης. Λαμβάνοντας υπόψη αυτό, καθώς και τον τύπο (3.8), λαμβάνουμε: , Οπου . Επομένως, μετά από μετασχηματισμούς έχουμε:

Ειναι εκει δεύτερη φόρμα εγγραφήςΟ τρίτος γενικευμένος νόμος του Κέπλερ.

Αν θεωρήσουμε την κίνηση δύο πλανητών γύρω από τον Ήλιο, δηλ. γύρω από το ίδιο σώμα ( Μ 1 ==Μ 2) και παραμελήστε τις μάζες των πλανητών ( Τ 1 =Μ 2 = 0) σε σύγκριση με τη μάζα του Ήλιου, λαμβάνουμε τον τύπο (2.7), που προέρχεται από τον Kepler από παρατηρήσεις. Δεδομένου ότι οι μάζες των πλανητών είναι ασήμαντες σε σύγκριση με τη μάζα του Ήλιου, ο τύπος του Κέπλερ συμφωνεί αρκετά καλά με τις παρατηρήσεις.

Οι τύποι (3.12) και (3.13) παίζουν μεγάλο ρόλο στην αστρονομία: καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό της μάζας των ουράνιων σωμάτων (βλ. § 3.6).