Как да намерите площта на правоъгълник чрез умножение. Как да изчислим площта. Пропорции между площта на пода и прозореца
Започвайки от 5 клас, учениците започват да се запознават с концепцията за области с различни форми. Специална роля се дава на площта на правоъгълника, тъй като тази фигура е една от най-лесните за изучаване.
Понятия за площ
Всяка фигура има своя собствена площ и изчисляването на площта се основава на единичен квадрат, т.е. квадрат с дълга страна 1 mm, или 1 cm, 1 dm и т.н. Площта на такава фигура е равна на $1*1 = 1mm^2$ или $1cm^2$ и т.н. Площта, като правило, се обозначава с буквата - S.
Областта показва размера на частта от равнината, заета от фигурата, очертана от сегментите.
Правоъгълникът е четириъгълник, в който всички ъгли са с еднаква степен и са равни на 90 градуса, а срещуположните страни са успоредни и равни по двойки.
Особено внимание трябва да се обърне на единиците за измерване на дължина и ширина. Те трябва да съвпадат. Ако единиците не съвпадат, те се конвертират. Като правило те преобразуват по-голяма единица в по-малка, например, ако дължината е дадена в dm, а ширината е в cm, тогава dm се преобразува в cm и резултатът ще бъде $cm^2$.
Формула за площ на правоъгълник
За да намерите площта на правоъгълник без формула, трябва да преброите броя на единичните квадрати, на които е разделена фигурата.
Ориз. 1. Правоъгълник, разделен на единични квадрати
Правоъгълникът е разделен на 15 квадрата, тоест площта му е 15 cm2. Струва си да се отбележи, че фигурата заема 3 квадрата по ширина и 5 по дължина, така че за да изчислите броя на единичните квадрати, трябва да умножите дължината по ширината. По-малката страна на четириъгълника е ширината, толкова по-голяма е дължината. Така можем да изведем формулата за площта на правоъгълник:
S = a · b, където a,b са ширината и дължината на фигурата.
Например, ако дължината на правоъгълника е 5 cm, а ширината е 4 cm, тогава площта ще бъде равна на 4 * 5 = 20 cm 2.
Изчисляване на площта на правоъгълник по неговия диагонал
За да изчислите площта на правоъгълник през диагонала, трябва да приложите формулата:
$$S = (1\over(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$
Ако задачата дава стойностите на ъгъла между диагоналите, както и стойността на самия диагонал, тогава можете да изчислите площта на правоъгълника, като използвате общата формула за произволни изпъкнали четириъгълници.
Диагоналът е отсечка, която свързва противоположни точки на фигура. Диагоналите на правоъгълника са равни, а пресечната точка е разделена наполовина.
Ориз. 2. Правоъгълник с начертани диагонали
Примери
За да подсилите темата, разгледайте примери за задачи:
номер 1. Намерете площта на градински парцел със същата форма като на фигурата.
Ориз. 3. Чертеж към проблема
Решение:
За да извадите площта, трябва да разделите фигурата на два правоъгълника. Едната ще е с размери 10 м и 3 м, другата 5 м и 7 м. Отделно намираме техните площи:
$S_1 =3*10=30 m^2$;
Това ще бъде площта на градинския парцел $S = 65 m^2$.
номер 2. Извадете площта на правоъгълника, ако е даден неговият диагонал d = 6 cm и ъгълът между диагоналите α = 30 0.
Решение:
Стойност $sin 30 =(1\над(2)) $,
$ S =(1\over(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$
$S =(1\над(2)) * 6^2 * (1\над(2)) =9 cm^2$
Така $S=9 cm^2$.
Диагоналите разделят правоъгълника на 4 форми - 4 триъгълника. В този случай триъгълниците са равни по двойки. Ако начертаете диагонал в правоъгълник, той разделя фигурата на два равни правоъгълни триъгълника.
Диагоналите не са ъглополовящи на ъглите на правоъгълник. И също така, ако начертаете ъглополовящите на всеки ъгъл, тогава, когато се пресекат, ще получите правоъгълник.
Какво научихме?
Научихме как да намираме площта на правоъгълник. Една или друга формула за намиране на площта се използва в зависимост от първоначалните данни. Също така си струва да запомните, че ако задачата има различни мерни единици за страните, е необходимо да ги преобразувате в една.
Тест по темата
Рейтинг на статията
Среден рейтинг: 4.4. Общо получени оценки: 292.
Правоъгълникът е частен случай на четириъгълник. Това означава, че правоъгълникът има четири страни. Противоположните му страни са равни: например, ако една от страните му е 10 см, тогава противоположната страна също ще бъде равна на 10 см. Специален случай на правоъгълник е квадратът. Квадратът е правоъгълник с равни страни. За да изчислите площта на квадрат, можете да използвате същия алгоритъм като за изчисляване на площта на правоъгълник.
Как да разберете площта на правоъгълник въз основа на две страни
За да намерите площта на правоъгълник, трябва да умножите дължината му по ширината му: Площ = Дължина × Ширина. В дадения по-долу случай: площ = AB × BC.
Как да разберете площта на правоъгълник по дължината на страната и диагонала
Някои задачи изискват да намерите площта на правоъгълник, като използвате дължината на диагонала и една от страните. Диагоналът на правоъгълник го разделя на два равни правоъгълни триъгълника. Следователно можем да определим втората страна на правоъгълника с помощта на Питагоровата теорема. След това задачата се свежда до предишната точка.
Как да разберете площта на правоъгълник по неговия периметър и страна
Периметърът на правоъгълник е сумата от всичките му страни. Ако знаете периметъра на правоъгълника и едната му страна (като ширината), можете да изчислите площта на правоъгълника, като използвате следната формула:
Площ = (Периметър×ширина – ширина^2)/2.
Площ на правоъгълник през синуса на острия ъгъл между диагоналите и дължината на диагонала
Диагоналите в правоъгълник са равни, така че за да изчислите площта въз основа на дължината на диагонала и синуса на острия ъгъл между тях, трябва да използвате следната формула: Площ = Диагонал^2 × sin(остър ъгъл между диагоналите )/2.
Площта на правоъгълника може да не звучи арогантно, но е важно понятие. В ежедневието ние постоянно се сблъскваме с него. Разберете размера на полетата, зеленчуковите градини, изчислете количеството боя, необходимо за варосване на тавана, колко тапети ще са необходими за залепване
пари и др.
Геометрична фигура
Първо, нека поговорим за правоъгълника. Това е фигура в равнина, която има четири прави ъгъла и противоположните й страни са равни. Страните му обикновено се наричат дължина и ширина. Те се измерват в милиметри, сантиметри, дециметри, метри и т.н. Сега ще отговорим на въпроса: „Как да намерим площта на правоъгълник?“ За да направите това, трябва да умножите дължината по ширината.
Площ=дължина*ширина
Но още едно предупреждение: дължината и ширината трябва да бъдат изразени в едни и същи мерни единици, тоест метър и метър, а не метър и сантиметър. Площта се изписва с латинската буква S. За удобство нека означим дължината с латинската буква b, а ширината с латинската буква a, както е показано на фигурата. От това заключаваме, че единицата площ е mm 2, cm 2, m 2 и т.н.
Нека да разгледаме конкретен пример за това как да намерите площта на правоъгълник. Дължина b=10 бр. Ширина a=6 единици. Решение: S=a*b, S=10 единици*6 единици, S=60 единици 2. Задача. Как да разберете площта на правоъгълник, ако дължината е 2 пъти по-голяма от ширината и е 18 m? Решение: ако b=18 м, то а=b/2, а=9 м. Как да намерим площта на правоъгълник, ако и двете страни са известни? Точно така, заместете го във формулата. S=a*b, S=18*9, S=162 m 2. Отговор: 162 м2. Задача. Колко ролки тапети трябва да закупите за една стая, ако нейните размери са: дължина 5,5 м, ширина 3,5 и височина 3 м? Размери на ролка тапет: дължина 10 м, ширина 50 см. Решение: направете чертеж на стаята.
Площите на противоположните страни са равни. Нека изчислим площта на стена с размери 5,5 м и 3 м. S стена 1 = 5,5 * 3,
S стена 1 = 16,5 m 2. Следователно противоположната стена има площ от 16,5 m2. Нека намерим площта на следващите две стени. Страните им съответно са 3,5 м и 3 м. S стена 2 = 3,5 * 3, S стена 2 = 10,5 m 2. Това означава, че срещуположната страна също е равна на 10,5 m2. Нека сумираме всички резултати. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 м2. Как да изчислим площта на правоъгълник, ако страните са изразени в различни мерни единици. Преди това изчислявахме площите в m2, а в този случай ще използваме метри. Тогава ширината на ролката на тапета ще бъде равна на 0,5 м. S ролка = 10 * 0,5, S ролка = 5 m 2. Сега ще разберем колко ролки са необходими за покриване на стая. 54:5=10,8 (ролки). Тъй като се измерват в цели числа, трябва да закупите 11 ролки тапети. Отговор: 11 ролки тапет. Задача. Как да изчислим площта на правоъгълник, ако е известно, че ширината е с 3 см по-малка от дължината, а сборът от страните на правоъгълника е 14 см? Решение: нека дължината е x cm, тогава ширината е (x-3) cm. x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm - дължина на правоъгълника, 5-3=2 cm - ширина на правоъгълника, S=5*2, S=10 cm 2 Отговор: 10 cm 2.
Резюме
След като разгледах примерите, надявам се, че стана ясно как да намерите площта на правоъгълник. Напомням, че мерните единици за дължина и ширина трябва да съвпадат, в противен случай ще получите неправилен резултат.За да избегнете грешки, прочетете внимателно задачата. Понякога една страна може да се изрази чрез другата страна, не се страхувайте. Моля, вижте нашите решени проблеми, напълно възможно е те да помогнат. Но поне веднъж в живота си се сблъскваме с намирането на площта на правоъгълник.
е успоредник, в който всички ъгли са равни на 90°, а срещуположните страни са успоредни и равни по двойки.
Правоъгълникът има няколко неопровержими свойства, които се използват при решаването на много проблеми, във формули за площта на правоъгълник и неговия периметър. Ето ги и тях:
Дължината на неизвестна страна или диагонал на правоъгълник се изчислява с помощта или с помощта на Питагоровата теорема. Площта на правоъгълник може да се намери по два начина - чрез произведението на страните му или по формулата за площта на правоъгълник през диагонала. Първата и най-проста формула изглежда така:
Пример за изчисляване на площта на правоъгълник с помощта на тази формула е много прост. Познавайки две страни, например a = 3 cm, b = 5 cm, можем лесно да изчислим площта на правоъгълника:
Откриваме, че в такъв правоъгълник площта ще бъде равна на 15 квадратни метра. см.
Площ на правоъгълник през диагонали
Понякога трябва да приложите формулата за площта на правоъгълник през диагоналите. Това изисква не само намиране на дължината на диагоналите, но и ъгъла между тях:
Нека да разгледаме пример за изчисляване на площта на правоъгълник с помощта на диагонали. Нека е даден правоъгълник с диагонал d = 6 cm и ъгъл = 30°. Заменяме данните във вече известната формула:
И така, примерът за изчисляване на площта на правоъгълник през диагонала ни показа, че намирането на площта по този начин, ако е даден ъгъл, е доста просто.
Нека разгледаме още един интересен проблем, който ще ни помогне да разтегнем малко мозъка си.
Задача:Даден е квадрат. Площта му е 36 квадратни метра. см. Намерете обиколката на правоъгълник, чиято дължина на едната страна е 9 см и чиято площ е същата като квадрата, даден по-горе.
Така че имаме няколко условия. За по-голяма яснота нека ги запишем, за да видим всички известни и неизвестни параметри: 
Страните на фигурата са успоредни и равни по двойки. Следователно периметърът на фигурата е равен на удвоената сума от дължините на страните:
От формулата за площта на правоъгълник, която е равна на произведението на двете страни на фигурата, намираме дължината на страната b
Оттук:
Заменяме известните данни и намираме дължината на страната b:
Изчислете периметъра на фигурата: 
Ето как, знаейки няколко прости формули, можете да изчислите периметъра на правоъгълник, знаейки неговата площ.
Вече се запознахме с концепцията площ на фигурата, научи една от единиците за измерване на площ - квадратен сантиметър. В този урок ще изведем правило за това как да изчислим площта на правоъгълник.
Вече знаем как да намерим площта на фигурите, които са разделени на квадратни сантиметри.
Например:
Можем да определим, че площта на първата фигура е 8 cm 2, площта на втората фигура е 7 cm 2.
Как да намерим площта на правоъгълник, чиито страни са с дължина 3 cm и 4 cm?
За да решим задачата, разделяме правоъгълника на 4 ленти по 3 cm 2 всяка.
Тогава площта на правоъгълника ще бъде равна на 3 * 4 = 12 cm 2.
Същият правоъгълник може да бъде разделен на 3 ивици по 4 cm 2 всяка.
Тогава площта на правоъгълника ще бъде равна на 4 * 3 = 12 cm 2.
И в двата случая За да се намери площта на правоъгълник, числата, изразяващи дължините на страните на правоъгълника, се умножават.
Намерете площта на всеки правоъгълник.
Да разгледаме правоъгълника AKMO.
В една лента има 6 cm 2, а в този правоъгълник има 2 такива ленти.Това означава, че можем да извършим следното действие:
Числото 6 представлява дължината на правоъгълника, а 2 представлява ширината на правоъгълника. Така че умножихме страните на правоъгълника, за да намерим площта на правоъгълника.
Да разгледаме правоъгълника KDCO.
В правоъгълника KDCO има 2 cm 2 в една лента, а има 3 такива ленти. Следователно можем да извършим действието
Числото 3 означава дължината на правоъгълника, а 2 - ширината на правоъгълника. Умножихме ги и намерихме площта на правоъгълника.
Можем да заключим: За да намерите площта на правоъгълник, не е необходимо да разделяте фигурата на квадратни сантиметри всеки път.
За да изчислите площта на правоъгълник, трябва да намерите неговата дължина и ширина (дължините на страните на правоъгълника трябва да бъдат изразени в едни и същи мерни единици) и след това да изчислите произведението на получените числа (площта ще бъдат изразени в съответните единици площ)
Нека обобщим: Площта на правоъгълник е равна на произведението на неговата дължина и ширина.
Реши задачата.
Изчислете площта на правоъгълник, ако дължината на правоъгълника е 9 cm, а ширината е 2 cm.
Нека помислим така. В тази задача са известни както дължината, така и ширината на правоъгълника. Затова следваме правилото: площта на правоъгълника е равна на произведението на неговата дължина и ширина.
Нека запишем решението.
Отговор:площ на правоъгълник 18 см 2
Какви други дължини на страните на правоъгълник с такава площ смятате?
Можете да мислите така. Тъй като площта е произведение на дължините на страните на правоъгълник, трябва да запомните таблицата за умножение. Кои числа се умножават, за да се получи отговорът 18?
Точно така, когато умножите 6 и 3, вие също получавате 18. Това означава, че един правоъгълник може да има страни 6 cm и 3 cm и неговата площ също ще бъде равна на 18 cm 2.
Реши задачата.
Дължината на правоъгълника е 8 cm, а ширината е 2 cm. Намерете неговата площ и периметър.
Знаем дължината и ширината на правоъгълника. Необходимо е да запомните, че за да намерите площта, трябва да намерите произведението на нейната дължина и ширина, а за да намерите периметъра, трябва да умножите сумата от дължината и ширината по две.
Нека запишем решението.
Отговор:Площта на правоъгълника е 16 cm2, а обиколката на правоъгълника е 20 cm.
Реши задачата.
Дължината на правоъгълника е 4 см, а ширината е 3 см. Каква е площта на триъгълника? (виж снимката)
За да отговорите на въпроса в задачата, първо трябва да намерите площта на правоъгълника. Знаем, че за това трябва да умножим дължината по ширината.
Вижте чертежа. Забелязахте ли как диагоналът разделя правоъгълника на два равни триъгълника? Следователно площта на един триъгълник е 2 пъти по-малка от площта на правоъгълник. Това означава, че 12 трябва да се намали наполовина.
Отговор:Площта на триъгълника е 6 cm 2.
Днес в клас научихме за правилото за изчисляване на площта на правоъгълник и се научихме да прилагаме това правило при решаване на задачи за намиране на площта на правоъгълник.
1. М. И. Моро, М. А. Бантова и др.Математика: Учебник. 3 клас: в 2 части, част 1. М., „Просвещение“, 2012 г.
2. М.И.Моро, М.А.Бантова и др.Математика: Учебник. 3 клас: в 2 части, част 2. М., „Просвещение“, 2012 г.
3. M.I.Moro. Уроци по математика: Методически препоръки за учители. 3 клас. - М.: Образование, 2012.
4. Нормативен документ. Мониторинг и оценка на резултатите от обучението. М., „Просвещение“, 2011 г.
5. „Училище на Русия”: Програми за начално училище. - М .: „Просвещение“, 2011 г.
6. С.И.Волкова. Математика: Контролни работи. 3 клас. - М.: Образование, 2012.
7. В.Н.Рудницкая. Тестове. М., „Изпит“, 2012 (127 стр.)
2. Издателство "Просвещение" ()
1. Дължината на правоъгълника е 7 см, ширината е 4 см. Намерете площта на правоъгълника.
2. Страната на квадрата е 5 см. Намерете площта на квадрата.
3. Начертайте възможни варианти за правоъгълници с площ 18 cm 2.
4. Създайте задача по темата на урока за вашите приятели.